• Tidak ada hasil yang ditemukan

KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN"

Copied!
21
0
0

Teks penuh

(1)

β€œKESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN”

Tugas ini Disusun guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kajian Matematika SMP 2

Dosen Pengampu :Koryna Aviory, S.Si, M.Pd

Oleh :

1. Siti Khotimah ( 14144100087 ) 2. Reza Nike Oktariani ( 14144100098) 3. Elga Dian Pertiwi ( 14144100108 )

Kelas : 4A3

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA 2016

(2)

Kesebangunan dan Kekongruenan |1

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI ... 1

A. Bangun-bangun yang Sebangun dan Kongruen ... 2

1. Pengertian Kesebangunan... 2

2. Pengertian Kekongruenan... 6

B. Segitiga-segitiga yang sebangun ... 8

1. Syarat dua segitiga yang sebangun ... 8

2. Perbandingan Ruas Garis pada Segitiga ... 11

C. Dua Segitiga yang Kongruen ... 13

1. Sifat Dua Segitiga yang Kongruen ... 14

2. Syarat Dua Segitiga Kongruen... 15

PETA KONSEP ... 19

(3)

Kesebangunan dan Kekongruenan |2

A. Bangun-bangun yang Sebangun dan Kongruen 1. Pengertian Kesebangunan

Pada Gambar 1.1 diperlihatkan 2 bangun persegipanjang yang masing-masing berukuran 36 mmΓ— 24mm, 180 mmΓ— 120 mm.

Perbandingan antara panjang persegipanjang ABCD dan panjang persegipanjang 𝐴′𝐡′𝐢′𝐷′ adalah 36 : 180 atau 1 : 5. Demikian pula dengan lebarnya, perbandingannya 24 : 120 atau 1 : 5. Dengan demikian, sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu memiliki perbandingan senilai (sebanding).

Perbandingan sisi yang bersesuaian dari kedua persegipanjang tersebut sebagai berikut:

𝐴𝐡 𝐴′𝐡′= 𝐡𝐢 𝐡′𝐢′= 𝐷𝐢 𝐷′𝐢′= 𝐴𝐷 𝐴′𝐷′= 1 5

Sedangkan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dari kedua persegipanjang tersebut sebagai berikut:

∠𝐴 = βˆ π΄β€², ∠𝐡 = βˆ π΅β€², ∠𝐢 = βˆ πΆβ€², ∠𝐷 = βˆ π·β€² = 90Β°

Dalam hal ini, persegipanjang ABCD dan persegipanjang 𝐴′𝐡′𝐢′𝐷′ memiliki sisi-sisi bersesuaian yang sebanding dan sudut-sudut bersesuaian yang sama besar. Selanjutnya, kedua persegipanjang tersebut dikatakan sebangun. Jadi persegipanjang ABCD sebangun dengan persegipanjang 𝐴′𝐡′𝐢′𝐷′.

(4)

Kesebangunan dan Kekongruenan |3

Sekarang amati Gambar 1.2

Jikadiukurpanjang sisi dan besar sudut-sudut βˆ†πΈπΉπΊ dan βˆ†π‘‹π‘Œπ‘. Maka akan diperoleh hubungan sebagai berikut:

(i) πΈπΉπ‘‹π‘Œ =πΉπΊπ‘Œπ‘ =𝐸𝐺𝑋𝑍

(ii) ∠𝐸 = βˆ π‘‹, ∠𝐹 = βˆ π‘Œ, dan ∠𝐺 = βˆ π‘

Oleh karena itu sisi-sisi yang bersesuaian sebanding dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar maka βˆ†πΈπΉπΊ sebangun βˆ†π‘‹π‘Œπ‘

Pengertian kesebangunan seperti ini berlaku umum untuk setiap bangun datar:

Dua bangun atau lebih dikatakan sebangun jika memenuhi syarat sebagai berikut:

1. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada bangun-bangun tersebutmemiliki perbandingan yang senilai.

2. Sudut-sudut yang bersesuaian pada bangun-bangun tersebut sama besar.

(5)

Kesebangunan dan Kekongruenan |4 Contoh:

Amati gambar dibawah ini

a) Selidikilah apakah persegi ABCD dan persegi EFGH sebangun dengan persegi EFGH?

b) Selidikilah apakah persegi ABCD dan belahketupat PQRS sebangun? c) Selidikilah apakah persegi EFGH sebangun dengan belahketupat

PQRS?

Jelaskan hasil penyelidikanmu. Penyelesaian:

a) Amati persegiABCD dan persegi EFGH. (i) Perbandingan panjang sisi-sisinya adalah

𝐴𝐡 𝐸𝐹 = 𝐡𝐢 𝐹𝐺 = 𝐷𝐢 𝐻𝐺 = 𝐴𝐷 𝐸𝐻 = 4 5

Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian dari persegi ABCD dan persegi EFGHsebanding.

(ii) Bangun ABCD dan EFGH keduanya persegi sehingga besar setiap sudutnya 90Β°. Dengan demikian, sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Berdasarkan (i) dan (ii), persegi ABCD dan persegiEFGH sebangun. b) Amati persegi ABCD dan belahketupat PQRS.

(i) Perbandingan panjang sisi-sisinya adalah 𝐴𝐡 𝑃𝑄 = 𝐡𝐢 𝑄𝑅= 𝐷𝐢 𝑆𝑅 = 𝐴𝐷 𝑃𝑆 = 4 4

(6)

Kesebangunan dan Kekongruenan |5

Jadi, panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari persegi ABCD dan belahketupat PQRS sebanding.

(ii) Besar sudut-sudut yang bersesuaian adalah sebagai berikut. ∠𝐴 β‰  βˆ π‘ƒ, ∠𝐡 β‰  βˆ π‘„, ∠𝐢 β‰  βˆ π‘…, ∠𝐷 β‰  βˆ π‘†

Jadi, sudut-sudut yang bersesuaian tidak sama besar.

Berdasarkan (i) dan (ii), persegi ABCD dan belahketupat PQRS tidak sebangun.

c) Telah diketahui bahwa pesegi ABCD sebangun dengan persegi EFGH, sedangan persegi ABCD tidak sebangun dengan belahketupat PQRS. Dengan demikian, persegi EFGH tidak sebangun belahketupat PQRS.

(7)

Kesebangunan dan Kekongruenan |6

2. Pengertian Kekongruenan

Pada gambar 1.4 adalah gambar permukaan lantai yang akan dipasang ubin persegipanjang. Pada permukaannya diberi garis-garis sejajar. Jika ubin ABCD di geser searah AB (tanpa dibalik), di peroleh 𝐴 β†’ 𝐡, 𝐡 β†’ 𝐸, 𝐷 β†’ 𝐢, dan 𝐢 β†’ 𝐹sehingga ubin ABCD akan menempati ubin BEFC. Akibatnya,

𝐴𝐡 β†’ 𝐡𝐸 sehingga 𝐴𝐡 = 𝐡𝐸 𝐡𝐢 β†’ 𝐸𝐹 sehingga 𝐡𝐢 = 𝐸𝐹 𝐷𝐢 β†’ 𝐢𝐹 sehingga 𝐷𝐢 = 𝐢𝐹 𝐴𝐷 β†’ 𝐡𝐢 sehingga 𝐴𝐷 = 𝐡𝐢 ∠𝐷𝐴𝐡 β†’ ∠𝐢𝐡𝐸 sehingga ∠𝐷𝐴𝐡 = ∠𝐢𝐡𝐸 ∠𝐴𝐡𝐢 β†’ ∠𝐡𝐸𝐹 sehingga ∠𝐴𝐡𝐢 = ∠𝐡𝐸𝐹 ∠𝐡𝐢𝐷 β†’ ∠𝐸𝐹𝐢 sehingga ∠𝐡𝐢𝐷 = ∠𝐸𝐹𝐢 ∠𝐴𝐷𝐢 β†’ ∠𝐡𝐢𝐹 sehingga ∠𝐴𝐷𝐢 = ∠𝐡𝐢𝐹 Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh

a. Sisi-sisi yang bersesuaian dari persegi panjang ABCD dan BEFC sama panjang.

b. Sudut-sudut yang bersesuaian dari persegi panjang ABCD dan BEFC sama besar.

Hal tersebut menunjukkan bahwa persegi panjang ABCD dan BEFC memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Dua persegi panjang yang demikian dikatakan kongruen.

(8)

Kesebangunan dan Kekongruenan |7

Jika diukur panjang sisi dan besar sudut sudut segienam ABCDEF dan segienam PQRSTU,maka akan diperoleh hubungan sebagai berikut.

(i) (ii) AB BC CD DE EF FA PQ QR RS ST TU UP A B C D E F P Q R S T U ο€½ ο€½ ο€½ ο€½ ο€½ ο€½ ο€½ ο€½ ο€½ ο€½ ο€½  ο€½  ο€½  ο€½  ο€½  ο€½  ο€½  ο€½  ο€½  ο€½  ο€½  ο€½ 

Oleh karena itu, segienam ABCDEF kongruen dengan segienam PQRSTU.

Sedangkan, jika diukur panjang sisi dan besar sudut-sudut segienam ABCDEF dengan GHIJKL,maka diperoleh hubungan sebagai berikut.

(i) (ii) , , , , , A B C D E F G H I J K L AB GH BC HI CD IJ DE JK EF KL FA LG  ο€½  ο€½  ο€½  ο€½  ο€½  ο€½  ο€½  ο€½  ο€½  ο€½  ο€½  ο‚Ή ο‚Ή ο‚Ή ο‚Ή ο‚Ή ο‚Ή

Berdasarkan (i) dan (ii), dapat disimpulkan bahwa segienam ABCDEF sebangun dengan segienam GHIJKL.

Berdasarkan uraian tersebut maka diperoleh dua bangun yang kongruen pasti sebangun, tetapi dua bangun yang sebangun belum tentu sebangun.

Contoh :

Amatilah gambar berikut ini

a. Selidiki apakah persegipanjang ABCD kongruen dengan persegi panjang PQRS?

b. Selidiki apakah persegipanjang ABCD sebangun dengan persegipanjang PQRS?

Bangun-bangun yang memiliki bentuk dalam ukuran yang sama dikatakan bangun-bangun yang kongruen

(9)

Kesebangunan dan Kekongruenan |8

Jelaskan hasil penyelidikanmu.

Penyelesaian:

Unsur-unsur persegipanjang ABCD adalah

𝐴𝐡 = 𝐷𝐢 = 8 π‘π‘š, 𝐴𝐷 = 𝐡𝐢 = 6 π‘π‘š, dan ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90Β° Amati persegipanjang PQRS dengan diagonal PR. Panjang PQ dapat ditentukan dengan menggunakan Dalil Pythagoras sebagai berikut: 𝑃𝑄 = (𝑃𝑅)2βˆ’ 𝑄𝑅 2 = 102βˆ’ 62 = 64 = 8

Jadi unsur-unsur persegipanjang PQRS adalah

𝑃𝑄 = 𝑆𝑅 = 8 cm, 𝑃𝑆 = 𝑄𝑅 = 6 π‘π‘š, dan βˆ π‘ƒ = βˆ π‘„ = βˆ π‘… = βˆ π‘† = 90Β°. a. Berdasarkan uraian tersegut tampak bahwa sisi-sisi yang bersesuaian

dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS sama panjang. Selain itu, sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu sama besar. Jadi persegipanjang ABCD kongruen dengan persegipanjang PQRS.

b. Kedua bangun datar yang kongruen pasti sebangun. Jadi persegipanjang ABCD sebangun dengan persegipanjang PQRS.

B. Segitiga-segitiga yang sebangun

1. Syarat dua segitiga yang sebangun Pada gambar dibawah ini

QR sejajar dengan ST (QR//ST).Jika panjang sisi dan sudut-sudut diukur,maka akan memperoleh hubungan sebagai berikut:

(10)

Kesebangunan dan Kekongruenan |9 (i) 𝑃𝑄𝑃𝑆 = 𝑃𝑇𝑃𝑅 =𝑄𝑅𝑆𝑇 ;

(ii) βˆ π‘‡π‘ƒπ‘† = βˆ π‘…π‘ƒπ‘„, βˆ π‘ƒπ‘‡π‘† = βˆ π‘ƒπ‘…π‘„, βˆ π‘ƒπ‘†π‘‡ = βˆ π‘ƒπ‘„π‘…. Jadi, βˆ†π‘ƒπ‘†π‘‡ sebangun dengan βˆ†π‘ƒπ‘„π‘….

Pada gambar diatasβˆ†π΄π΅πΆ adalah segitiga dengan 𝐴𝐡 = 𝑐; 𝐡𝐢 = π‘Ž; 𝐴𝐢 = 𝑏

∠𝐴 = 𝛼; ∠𝐡 = 𝛽; ∠𝐢 = 𝛾

Jika kamu buat segitiga lain yang panjang sisi-sisi bersesuaiannya dua kali panjang sisi-sisi βˆ†π΄π΅πΆ maka diperoleh βˆ†πΎπΏπ‘€ seperti gambar (b). Dengan demikian, 𝐾𝐿 = 2𝐴𝐡 = 2𝑐, 𝐿𝑀 = 2𝐡𝐢 = 2π‘Ž, dan 𝐾𝑀 = 2𝐴𝐢 = 2𝑏. Sehingga perbandingan sisi yang bersesuaian dari βˆ†π΄π΅πΆ dan βˆ†πΎπΏπ‘€ sebagai berikut: 𝐴𝐡 𝐾𝐿 = 𝐡𝐢 𝐿𝑀= 𝐴𝐢 𝐾𝑀= 1 2 Sisi yang bersesuian sebanding.

Selanjutnya, ukurlah sudut-sudut βˆ†πΎπΏπ‘€. Dari pengukuran tersebut, akan diperoleh hubungan berikut:

∠𝐴 = ∠𝐾 = 𝛼 ∠𝐡 = ∠𝐿 = 𝛽 ∠𝐢 = βˆ π‘€ = 𝛾 Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Jadi Δ𝐴𝐡𝐢 dan Δ𝐾𝐿𝑀 sebangun.

(11)

Kesebangunan dan Kekongruenan |10

Pada gambar (c), Δ𝑃𝑄𝑅 dibuat sedemikian sehingga βˆ π‘ƒ = ∠𝐴 = π‘Ž, βˆ π‘„ = ∠𝐡 = 𝛽, βˆ π‘… = ∠𝐢 = 𝛾. Ukur panjang sisi Δ𝑃𝑄𝑅, dari pengukuran tersebut diperoleh hubungan sebagai berikut:

𝐴𝐡 𝑃𝑄 = 𝐡𝐢 𝑄𝑅= 𝐴𝐢 𝑃𝑅= 1 3 Sisi yang bersesuaian sebanding.

Jadi, Δ𝐴𝐡𝐢 dan Ξ”PQR adalah sebangun.

Uraian tersebut menunjukan bahwa dua segitiga yang sisi-sisi bersesuaiannya sebanding maka sudut-sudut yang bersesuaiannya sama besar. Hal ini berarti bahwa dua segitiga yang sisi-sisi bersesuaiannya sebanding adalahsebangun.

Sebaliknya, jika dua segitiga memiliki sudut-sudut bersesuaian yang sama besar maka sisi-sisi yang bersesuaiannya sebanding. Hal ini berarti bahwa dua segitiga yang memiliki sudut-sudut bersesuaian sama besar adalah sebangun.

Berdasarkan uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa Dua segitiga dikatakan sebangun jika sisi-sisi yang bersesuaian sebanding atau sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Contoh :

Coba kamu selidiki apakah βˆ†π΄π΅πΆ

dan βˆ†π΄β€²π΅β€²πΆβ€² pada gambar disamping sebangun? Jelaskan hasil penyelidikanmu.

Penyelesaian : Amati βˆ†π΄π΅πΆ (𝐴𝐢)2 = (𝐴𝐡)2+ (𝐡𝐢)2 ⇔ (𝐴𝐢)2= 82+ 62 ⇔ 𝐴𝐢 2 = 100 ⇔ 𝐴𝐢 = 100 = 10 Jadi, 𝐴𝐢 = 10 Amati βˆ†π΄β€²π΅β€²πΆβ€² (𝐴′𝐡′)2 = (𝐴′𝐢′)2βˆ’ (𝐡′𝐢′)2 ⇔ (𝐴′𝐡′)2= 52βˆ’ 32

(12)

Kesebangunan dan Kekongruenan |11

⇔ (𝐴′𝐡′)2 = 25 βˆ’ 9 ⇔ (𝐴′𝐡′)2 = 16 ⇔ 𝐴′𝐡′ = 16 = 4

Oleh karena itu, 𝐴𝐡 𝐴′𝐡′= 8 4= 2; 𝐡𝐢 𝐡′𝐢′= 6 3= 2; 𝐴𝐢 𝐴′𝐢′= 10 5 = 2 Berarti, 𝐴𝐴𝐡′𝐡′ = 𝐡𝐡𝐢′𝐢′ = 𝐴𝐴𝐢′𝐢′

Jadi, βˆ†π΄π΅πΆsebangun dengan βˆ†π΄β€²π΅β€²πΆ 2. PerbandinganRuasGarispadaSegitiga

Amati gambar 1.10 diketahui bahwa 𝑆𝑇 βˆ• 𝑃𝑅, oleh karena itu,

Berdasarkan (1),(2), dan (3), di perolehβˆ†π‘†π‘„π‘‡ sebangun dengan βˆ†π‘ƒπ‘„π‘… sehingga

(*)

SQ TQ ST

PQο€½ RQ ο€½ PR

Jika 𝑃𝑆 = 𝑝, 𝑆𝑄 = π‘ž, 𝑅𝑇 = π‘Ÿ, 𝑇𝑄 = 𝑠, 𝑃𝑅 = 𝑑 dan 𝑆𝑇 = 𝑒, dengan 𝑝 β‰  0, π‘ž β‰  0, π‘Ÿ β‰  0, 𝑠 β‰  0, 𝑑 β‰  0, 𝑒 β‰  0,seperti tampak pada gambar 1.10maka persamaan (*) menjadi

( ) ( )

q s u

pq ο€½ rs ο€½ t

Sekarang, amati perbandingan senilai π‘ž 𝑝+π‘ž =

𝑠

π‘Ÿ+𝑠. kedua ruas dikalikan dengan 𝑝 + π‘ž π‘Ÿ + 𝑠 , sehingga diperoleh:

⇔ π‘ž 𝑝 + π‘ž 𝑝 + π‘ž π‘Ÿ + 𝑠 = 𝑠 π‘Ÿ + 𝑠 𝑝 + π‘ž π‘Ÿ + 𝑠 ⇔ π‘ž π‘Ÿ + 𝑠 = 𝑠 𝑝 + π‘ž ⇔ π‘žπ‘Ÿ + π‘žπ‘  = 𝑝𝑠 + π‘žπ‘  ⇔ π‘žπ‘Ÿ + π‘žπ‘  βˆ’ π‘žπ‘  = 𝑝𝑠 + π‘žπ‘  βˆ’ π‘žπ‘  1) βˆ π‘†π‘„π‘‡ = βˆ π‘ƒπ‘„π‘… (berimpit) 2) βˆ π‘‡π‘†π‘„ = βˆ π‘…π‘ƒπ‘„ (sehadap) 3) βˆ π‘†π‘‡π‘„ = βˆ π‘ƒπ‘…π‘„ (sehadap)

(13)

Kesebangunan dan Kekongruenan |12 ⇔ π‘žπ‘Ÿ = 𝑝𝑠 ⇔ π‘ž 𝑝= 𝑠 π‘Ÿ

Jadi, perbandingan ruas garis pada segitiga seperti tampak pada gambar 1.10 adalah sebagai berikut:

q s

r ο€½r

Berdasarkan perbandingan π‘ž 𝑝 =

𝑠

π‘Ÿ dapat dikatakan bahwa jika dalam suatu segitiga terdapat garis yang sejajar dengan salah satu sisi segitiga maka garis tersebut akan membagi sisi lainnya dengan perbandingan𝑑

𝑒. Selanjutnya, amatigambar1.11

Cobaselidiki, apakahβˆ†π‘ƒπ‘„π‘… sebangun dengan βˆ†π‘„π‘†π‘…

Padagambartersebuttampakbahwa : 1) βˆ π‘ƒπ‘„π‘… = βˆ π‘„π‘†π‘… (Siku-siku)

2) βˆ π‘„π‘…π‘ƒ = βˆ π‘„π‘…π‘† (berimpit)

Berdasarkan (1) dan (2), diperolehβˆ π‘„π‘ƒπ‘… = βˆ π‘…π‘„π‘†.

Oleh karena itu, βˆ†π‘ƒπ‘„π‘… sebangun dengan βˆ†π‘„π‘†π‘… sehingga berlaku hubungan: 2 atau . QR SR QR SR PR PR ο€½QR ο€½

(14)

Kesebangunan dan Kekongruenan |13 C. Dua Segitiga yang Kongruen

Perhatikangambardibawah ini.

Ukurlah panjang sisi dan besar sudut segitiga ABC dan segitiga PQR. Jika dilakukan pengukuran dengan benar, diperoleh hubungan :

(i) 𝐴𝐡 = 𝑃𝑄, 𝐡𝐢 = 𝑄𝑅, dan 𝐴𝐢 = 𝑃𝑅 (ii) ∠𝐴 = βˆ π‘ƒ, ∠𝐡 = βˆ π‘„, dan ∠𝐢 = βˆ π‘… Oleh karena itu, βˆ†π΄π΅πΆ kongruen dengan βˆ†π‘ƒπ‘„π‘….

Sekarang, ukurlah panjang sisi dan besar sudut βˆ†πΎπΏπ‘€ dengan panjang sisi 𝐾𝐿 = 3 π‘π‘š, 𝐿𝑀 = 5 π‘π‘š, dan 𝑀𝐾 = 4 cm . Kemudian, bandingkan dengan unsur-unsur βˆ†π΄π΅πΆ dengan panjang sisi 𝐴𝐡 = 6π‘π‘š, 𝐡𝐢 = 10 π‘π‘š, dan 𝐴𝐢 = 8 π‘π‘š. Dari hasil pengukuran tersebut, diperoleh hubungan berikut.

(iii) 𝐴𝐡 β‰  𝐾𝐿, 𝐡𝐢 β‰  𝐿𝑀, dan 𝐴𝐢 β‰  𝐾𝑀 (iv) ∠𝐴 = ∠𝐾, ∠𝐡 = ∠𝐿, dan ∠𝐢 = βˆ π‘€

Berdasarkan (iii) dan (iv) dapat diketahui bahwa βˆ†π΄π΅πΆ tidak kongruen dengan βˆ†πΎπΏπ‘€. Akan tetapi,

𝐴𝐡 𝐾𝐿 = 𝐡𝐢 𝐿𝑀 = 𝐴𝐢 𝐾𝐿

Dengan demikian, βˆ†π΄π΅πΆ sebangun dengan βˆ†πΎπΏπ‘€.

Berdasarkan uraian tersebut, dapat ditarik kesimpulan bahwaDua segitiga yang kongruen pasti sebangun, tetapi dua segitiga yang sebangun belum tentu kongruen.

(15)

Kesebangunan dan Kekongruenan |14

1. Sifat Dua Segitiga yang Kongruen

Gambar 1.13 menunjukkan sebagian dari pola pengubinan segitiga-segitiga yang kongruen.

Apabila βˆ†π΄π΅π· di geser kekanan tanpa memutar dengan arah 𝐴𝐡 maka diperoleh 𝐴 β†’ 𝐡 (𝐴 menempati 𝐡) 𝐡 β†’ 𝐢 (𝐡 menempati 𝐢) 𝐷 β†’ 𝐸 (𝐷 menempati 𝐸) 𝐴𝐡 β†’ 𝐡𝐢 sehingga 𝐴𝐡 = 𝐡𝐢 𝐡𝐷 β†’ 𝐢𝐸 sehingga 𝐡𝐷 = 𝐢𝐸 𝐴𝐷 β†’ 𝐡𝐸 sehingga 𝐴𝐷 = 𝐡𝐸

Hal ini menunjukkan bahwa dua segitiga yang kongruen memenuhi sifat umum berikut.

Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang Dalam pergeseran βˆ†π΄π΅π· dengan arah 𝐴𝐡 , sehingga ∠𝐷𝐴𝐡 β†’ ∠𝐸𝐡𝐢sehingga ∠𝐷𝐴𝐡 = ∠𝐸𝐡𝐢

∠𝐷𝐡𝐴 β†’ ∠𝐸𝐢𝐡sehingga ∠𝐷𝐡𝐴 = ∠𝐸𝐢𝐡 ∠𝐴𝐷𝐡 β†’ ∠𝐡𝐸𝐢sehingga ∠𝐴𝐷𝐡 = ∠𝐡𝐸𝐢

Hal ini menunjukkan bahwa dua segitiga yang kongruen memenuhi sifat umum berikut.

Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

Contoh :

Pada gambar disamping, PQ diputar setengah putaran dengan pusat O (titik O di luar PQ) sehingga bayangannya P’Q’. Slidiki apakah βˆ†π‘ƒπ‘‚π‘„ kongruen dengan βˆ†π‘ƒβ€²π‘‚π‘„β€². Jelaskan hasil penyelidikanmu.

(16)

Kesebangunan dan Kekongruenan |15 Penyelesaian :

PQ diputar setengah putaran terhadap pusat O, diperoleh a. 𝑃𝑄 β†’ 𝑃′𝑄′ sehingga 𝑃𝑄 = 𝑃′𝑄′ 𝑃𝑂 β†’ 𝑃′𝑂 sehingga 𝑃𝑂 = 𝑃′𝑂 𝑄𝑂 β†’ 𝑄′𝑂 sehingga 𝑄𝑂 = 𝑄′𝑂 b. βˆ π‘„π‘ƒπ‘‚ β†’ βˆ π‘„β€²π‘ƒβ€²π‘‚ sehingga βˆ π‘„π‘ƒπ‘‚ = βˆ π‘„β€²π‘ƒβ€²π‘‚ βˆ π‘ƒπ‘„π‘‚ β†’ βˆ π‘ƒβ€²π‘„β€²π‘‚ sehingga βˆ π‘ƒπ‘„π‘‚ = βˆ π‘ƒβ€²π‘„β€²π‘‚ βˆ π‘ƒπ‘‚π‘„ β†’ βˆ π‘ƒβ€²π‘‚π‘„β€² sehingga βˆ π‘ƒπ‘‚π‘„ = βˆ π‘ƒβ€²π‘‚π‘„β€²

Berdasarkan penjelasan (a) dan (b) maka βˆ†π‘ƒπ‘‚π‘„ kongruen dengan βˆ†π‘ƒβ€²π‘‚π‘„β€², ditulis βˆ†π‘ƒπ‘‚π‘„ β‰… βˆ†π‘ƒβ€²π‘‚π‘„β€².

2. Syarat Dua Segitiga Kongruen

a. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang (s.s.s)

Amati gambar 1.15 pada gambar tersebut, 𝐴𝐡 = 𝑃𝑄, 𝐡𝐢 = 𝑄𝑅, dan 𝐴𝐢 = 𝑃𝑅. Ukurlah besar sudut-sudut dari kedua segitiga tersebut. Berdasarkan hasil pengukuran tersebut, akan memperoleh hubungan ∠𝐴 = βˆ π‘ƒ; ∠𝐡 = βˆ π‘„; ∠𝐢 = βˆ π‘….

Dengan demikian, βˆ†π΄π΅πΆdan βˆ†π‘ƒπ‘„π‘… memenuhi sifat dua segitiga yang kongruen, yaitu sisi-sisi yang bersesuaian

sama panjang dan sudut-sudut yang

bersesuaian sama besar.Jadi, βˆ†π΄π΅πΆ kongruen βˆ†π‘ƒπ‘‚π‘….

Berdasarkan uraian diatas tampak bahwa jika sisi-sisi yang bersesuaian dari dua segitiga sama panjang maka dua segitiga tersebut kongruen.

Jika sisi-sisi yang bersesuaian dari dua segitiga sama panjang (s.s.s) maka dua segitiga tersebut kongruen.

(17)

Kesebangunan dan Kekongruenan |16

b. Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar (s.sd.s)

Amati gambar 1.16 pada gambar tersebut, 𝐷𝐸 = 𝐾𝐿, ∠𝐷 = ∠𝐾, dan 𝐷𝐹 = 𝐾𝑀. Ukurlah panjang 𝐸𝐹 dan 𝐿𝑀, besar ∠𝐸 dan ∠𝐿, serta besar ∠𝐹 dan βˆ π‘€. Berdasarkan hasil pengukuran tersebut, kamu akan memperoleh hubungan 𝐸𝐹 = 𝐿𝑀, ∠𝐸 = ∠𝐿 dan ∠𝐹 = βˆ π‘€. Dengan demikian,pada βˆ†π·πΈπΉ dan βˆ†πΎπΏπ‘€ berlaku :

𝑖 𝐷𝐸 = 𝐾𝐿, 𝐸𝐹 = 𝐿𝑀, 𝐷𝐹 = 𝐾𝑀 𝑖𝑖 ∠𝐷 = ∠𝐾, ∠𝐸 = ∠𝐿, ∠𝐹 = βˆ π‘€

Hal ini menunjukkan bahwa βˆ†DEF danβˆ†KLM memenuhi sifat dua segitiga yang kongruen. Jadi, βˆ†DEF β‰… βˆ†KLM.

Uraian tersebut memperjelas sifat berikut.

Jika dua sisi yang bersesuaian dari dua segitiga sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar (s.sd.s) maka kedua segitiga itu kongruen.

c. Dua Sudut yang Bersesuaian Sama Besar dan Sisi yang Berada di Antarannya Sama Panjang (sd.s.sd)

(18)

Kesebangunan dan Kekongruenan |17

Pada gambar tersebut ∠G = ∠X, ∠H = ∠Y, dan GH = XY. Ukurlah besar ∠I dan ∠Z, panjang GI dan XZ, serta panjang HI dan YZ. Dari hasil pengukuran tersebut, kamu akan memperoleh hubungan ∠I = ∠Z, GI = XZ, dan HI = YZ.

Dengan demikian, pada βˆ†GHI dan βˆ†XYZ berlaku (i) ∠G = ∠X, ∠H = ∠Y, dan∠ I = ∠Z;

(ii) 𝐺𝐻 = π‘‹π‘Œ, 𝐻𝐼 = π‘Œπ‘, dan 𝐺𝐼 = 𝑋𝑍.

Hal ini menunjukkan bahwa βˆ†GHI dan βˆ†XYZmemenuhi sifat dua segitiga yang kongruen. Jadi, βˆ†GHIβ‰… βˆ†XYZ

Berdasarkan uraian tersebut, memperjelas sifat berikut.

Jika dua sudut yang bersesuaian dari dua segitiga sama besar dan sisi yang berada diantaranya sama panjang (sd.s.sd) maka kedua segitiga itu kongruen.

d. Dua Sudut yang Bersesuaian Sama Besar dan Sisi yang Berada Dihadapannya Sama Panjang (sd.sd.s)

(19)

Kesebangunan dan Kekongruenan |18

Pada gambar tersebut, ∠𝐴 = βˆ π‘‹, ∠𝐡 = βˆ π‘Œ, dan BC = YZ. Ukurlah besar ∠𝐢 dan βˆ π‘, panjang AB dan XY, serta panjang AC dan XZ. Dari hasil pengukuran tersebut, kamu akan memperoleh hubungan∠𝐢 = βˆ π‘, 𝐴𝐡 = π‘‹π‘Œ, dan 𝐴𝐢 = 𝑋𝑍.

Dengan demikian, pada βˆ†π΄π΅πΆ dan βˆ†π‘‹π‘Œπ‘ berlaku (i) ∠𝐴 = βˆ π‘‹, ∠𝐡 = βˆ π‘Œ, dan ∠𝐢 = ∠ 𝑍;

(ii) AB = XY, BC = YZ, dan AC = XZ.

Hal ini menunjukkan bahwa βˆ†π΄π΅πΆ dan βˆ†π‘‹π‘Œπ‘ memenuhi sifat dua segitiga yang kongruen. Jadi, βˆ†π΄π΅πΆ β‰… βˆ†π‘‹π‘Œπ‘

Berdasarkan uraian tersebut, memperjelas sifat berikut.

Jika dua sudut yang bersesuaian dari dua segitiga sama besar dan satu sisi sekutu kedua sudutnya sama panjang (sd.sd.s) maka kedua segitiga tersebut kongruen.

Contoh :

Amati Gambar 1.19.

Selidikilah apakah βˆ†π΄π΅πΆ kongruen dengan βˆ†π‘ƒπ‘„π‘…? Jelaskan.

(20)

Kesebangunan dan Kekongruenan |19

Kedua segitiga tersebut memenuhi sd.s.sd sehingga βˆ†π΄π΅πΆ kongruen dengan βˆ†π‘ƒπ‘„π‘….

PETA KONSEP Kesebangunan dan Kekongruenan

Sebangun Kongruen

Panjang sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan senilai Sudut yang bersesuaian sama besar Segitiga yang sebangun Menentukan perbandingan ruas garis pada segitiga

Bentuk dan ukurannya sama besar Sisi-sisi yang bersesuai an sama panjang (s.s.s) Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang diampitany a sama besar (s.sd.s) Dua sudut yang bersesuaian sama panjang dan sisi yang berada di antaranya sama panjang (sd.s.sd) Dua sudut yang bersesuaian sama panjang dan sisi yang berada di hadapanya sama panjang (sd.sd.s)

Menentukan garis dan besar sudut dari bangun geometri

(21)

Kesebangunan dan Kekongruenan |20

DAFTAR PUSTAKA

Avianti Agus, Nuniek. 2008. Mudah Belajar Matematika. Jakarta : Pusat pembukuan Departemen Pendidikan Nasional tahun 2007. Djumanta, Wahyudin. 2008. Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan.

Jakarta : Pusat pembukuan Departemen Pendidikan Nasional tahun 2008.

Gambar

Gambar  1.13  menunjukkan  sebagian  dari  pola  pengubinan  segitiga- segitiga-segitiga yang kongruen

Referensi

Dokumen terkait

Dua Pasang Sudut yang Bersesuaian Sama Besar Syarat: Sisi Sisi Sisi Syarat: Sisi Sisi Sisi Syarat: Sisi Sudut Sisi Syarat: Sisi Sudut Sisi Syarat: Sudut Sisi

Dua segitiga yang kongruen maka dua buah sudut dari segitiga pertama sama dengan dua sudut pada segitiga kedua, dan sisi di antara kedua sudut tersebut sama panjang..

Dua segitiga akan kongruen jika dua sudut pada segitiga pertama sama besar dengan dua sudut yang bersesuaian pada segitiga kedua, dan sisi yang merupakan kaki persekutuan kedua sudut

Dua segitiga akan kongruen jika dua sudut pada segitiga pertama sama besar dengan dua sudut yang bersesuaian pada segitiga kedua, dan sisi yang merupakan kaki persekutuan kedua sudut

Dua segitiga akan kongruen jika dua sudut pada segitiga pertama sama besar dengan dua sudut yang bersesuaian pada segitiga kedua, dan sisi yang merupakan kaki persekutuan kedua sudut

Dua bangun atau lebih dikatakan kongruen jika bangun-bangun tersebut memiliki bentuk dan ukuran yang sama serta sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.. Kongruen disebut juga

Dua buah segitiga dikatakan kongruen jika dua pasang sisi yang bersesuaian sama

Dua segitiga akan kongruen jika dua sudut pada segitiga pertama sama besar dengan dua sudut yang bersesuaian pada segitiga kedua, dan sisi yang merupakan kaki persekutuan kedua sudut