Bab 4 Kekongruenan dan Kesebangunan

0HQJLGHQWL¿NDVL PHQGHVNULSVLNDQ PHQMHODVNDQ VLIDW DWDX NDUDNHWULVWLN EHQGDGHQJDQ SHUPXNDDQ\DQJNRQJUXHQDWDXVHEDQJXQEHUGDVDUNDQKDVLOSHQJDPDWDQ

0HPEXDWPRGHOPHQJJDPEDUDWDXPHOXNLVGDQPHQHQWXNDQEDQJXQEDQJXQGDWDU\DQJ NRQJUXHQDWDXVHEDQJXQGHQJDQEHUEDJDLFDUDGDQSRVLVL

0HQJXMLGXDVHJLWLJDVHEDQJXQGDQGXDVHJLWLJDNRQJUXHQ

0HQHQWXNDQSDQMDQJVLVLEHVDUVXGXWDWDXXQVXUODLQQ\DEHUNDLWDQGHQJDQEDQJXQGDWDU \DQJNRQJUXHQDWDXVHEDQJXQGDQPHQ\HOHVDLNDQSHUPDVDODKDQQ\DWD\DQJWHUNDLWGHQJDQ NRQVHSNHNRQJUXHQDQGDQNHVHEDQJXQDQ

P

B

engalaman

elajar

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

1DK PDVDODKPDVDODK WHUVHEXW GL DWDV GDSDW GLVHOHVDLNDQ GHQJDQ NRQVHS NHNRQJUXHQDQ GDQ NHVHEDQJXQDQ.RQVHSLQLDNDQNLWDSHODMDULEHUVDPD GL%DELQL

1.1 0HQJKDUJDLGDQPHQJKD\DWLDMDUDQ DJDPD\DQJGLDQXWQ\D

2.1 0HQXQMXNNDQVLNDSORJLVNULWLV DQDOLWLNGDQNUHDWLINRQVLVWHQGDQ WHOLWLEHUWDQJJXQJMDZDEUHVSRQVLI GDQWLGDNPXGDKPHQ\HUDKGDODP PHPHFDKNDQPDVDODKVHKDULKDUL \DQJPHUXSDNDQSHQFHUPLQDQVLNDS SRVLWLIGDODPEHUPDWHPDWLND 0HPDKDPLNRQVHSNHNRQJUXHQDQ

GDQNHVHEDQJXQDQJHRPHWULPHODOXL SHQJDPDWDQ

0HQ\HOHVDLNDQSHUPDVDODKDQQ\DWD KDVLOSHQJDPDWDQ\DQJWHUNDLW SHQHUDSDQNHNRQJUXHQDQGDQ NHVHEDQJXQDQ

K

D

ompetensi

asar

x .HNRQJUXHQDQ x )DNWRU6NDOD x 6HEDQJXQ

K

ata Kunci

Kekongruenan dan

Kesebangunan

Bab IV

P

K

eta

onsep

Syarat

Kekongruenan

Bangun Datar

Syarat

Kekongruenan

Bangun Datar

Kekongruenan

Segitiga

Kekongruenan

Segitiga

Syarat

Kekongruenan

Segitiga

Syarat

Kekongruenan

Segitiga

Syarat

Kesebangunan

Bangun Datar

Syarat

Kesebangunan

Bangun Datar

Kesebangunan

Segitiga

Kesebangunan

Segitiga

Syarat

Kesebangunan

Segitiga

Syarat

Kesebangunan

Segitiga

1. P e r b a n d i n g a n

Sisi-Sisi yang

Ber-sesuai Senilai

2. Dua Pasang Sudut

yang Bersesuaian

Sama Besar

1. P e r b a n d i n g a n

Sisi-Sisi yang

Ber-sesuai Senilai

2. Dua Pasang Sudut

yang Bersesuaian

Sama Besar

Syarat:

Sisi

Sisi

Sisi

Syarat:

Sisi

Sisi

Sisi

Syarat:

Sisi

Sudut

Sisi

Syarat:

Sisi

Sudut

Sisi

Syarat:

Sudut

Sisi

Sudut

Syarat:

Sudut

Sisi

Sudut

Syarat:

Sisi

Sisi

Sisi

Syarat:

Sisi

Sisi

Sisi

Kekongruenan dan

Kesebangunan Bangun Datar

Kekongruenan dan

Kesebangunan Bangun Datar

Menghitung Panjang Sisi dan Besar Sudut dari Segitiga-Segitiga

Sebangun atau Kongruen

Thales PHUXSDNDQ VDODK VHRUDQJ ¿OVXI <XQDQL \DQJ KLGXS SDGD DEDG NH 60 ,D 60 ODKLU GL NRWD 0LOHWXV$ZDOQ\D 7KDOHV DGDODK VHRUDQJ SHGDQJDQJSURIHVL\DQJPHPEXDWQ\DVHULQJPHODNXNDQ SHUMDODQDQ .RQGLVL NRWD 0LOHWRV \DQJ FXNXS PDNPXU memungkinkan orang-orang di sana untuk mengisi waktu dengan berdiskusi dan berpikir tentang segala sesuatu yang ada di sekitar mereka, sehingga banyak para ¿OVXI<XQDQLSHUWDPD\DQJODKLUGLWHPSDWLQL3HPLNLUDQ 7KDOHV GLDQJJDS VHEDJDL NHJLDWDQ EHU¿OVDIDW SHUWDPD NDUHQD LD PHQFRED PHQMHODVNDQ GXQLD GDQ JHMDOD JHMDODGLGDODPQ\DGHQJDQPHQJJXQDNDQUDVLRPDQXVLD dan tidak bergantung pada mitos yang berkembang di PDV\DUDNDW,DMXJDGLNHQDOVHEDJDLVDODKVDWXGDUL7XMXK 2UDQJ%LMDNVDQDGDODPEDKDVD<XQDQLGLVHEXWGHQJDQ KRL KHSWD VRSKLR \DQJ ROHK $ULVWRWHOHV GLEHUL JHODU ¿OVXI\DQJSHUWDPD

7KDOHV MXJD GLNHQDO VHEDJDL DKOL JHRPHWUL DVWURQRPL GDQ SROLWLN 3DGD ELGDQJ PDWHPDWLND 7KDOHV PHQJXQJNDSNDQVDODKVDWXJDJDVDQ\DQJFXNXSIHQRPHQDO yakni di bidang kesebangunan. Diceritakan bahwa dia dapat menghitung tinggi piramida dengan PHQJJXQDNDQEDQWXDQGDULED\DQJDQVXDWXWRQJNDW7KDOHVPHQJJXQDNDQNHQ\DWDDQEDKZD segitiga yang dibentuk oleh piramida dan bayangannya sebangun dengan segitiga kecil yang dibentuk oleh tongkat dan bayangannya. Dengan menggunakan perbandingan kesebangunan dua segitiga itu ia dapat memperkirakan tinggi dari piramida tersebut.

6HODLQLWXGLDMXJDGDSDWPHQJXNXUMDXKQ\DNDSDOGLODXWGDULSDQWDL.HPXGLDQ7KDOHV PHQMDGLWHUNHQDOVHWHODKGLDEHUKDVLOPHPSUHGLNVLWHUMDGLQ\DJHUKDQDPDWDKDULSDGDWDQJJDO 0HLDWDX6HSWHPEHUWDKXQ60'LDGDSDWPHODNXNDQSUHGLNVLWHUVHEXWNDUHQDGLD WHODKPHPSHODMDULFDWDWDQFDWDWDQDVWURQRPLV\DQJWHUVLPSDQGL%DELORQLDVHMDNWDKXQ60 7KDOHVWLGDNPHQLQJJDONDQFXNXSEXNWLWHUWXOLVPHQJHQDLSHPLNLUDQ¿OVDIDWQ\D3HPLNLUDQQ\D GLGDSDWNDQPHODOXLWXOLVDQ$ULVWRWHOHVWHQWDQJGLULQ\D$ULVWRWHOHVPHQJDWDNDQEDKZD7KDOHV DGDODKRUDQJ\DQJSHUWDPDNDOLPHPLNLUNDQWHQWDQJDVDOPXODWHUMDGLQ\DDODPVHPHVWD2OHK NDUHQDLWX7KDOHVMXJDGLDQJJDSVHEDJDLSHULQWLV¿OVDIDWDODPQDWXUDOSKLORVRSK\

6XPEHUZZZZLNLSHGLDFRPGDQ(QVLNORSHGLD0DWHPDWLND

Hikmah yang bisa diambil

7KDOHV DGDODK RUDQJ \DQJ PHPSXQ\DL UDVD LQJLQ WDKX \DQJ VDQJDW WLQJJL 'LD VHODOX PHPLNLUNDQVHWLDSNHMDGLDQDODP\DQJDGDGLVHNLWDUQ\DGDQPHQFDULWDKXSHQ\HEDEQ\D Ia mencoba memprediksi gerhana matahari dengan menggunakan ilmu pengetahuan \DQJWHODKGLDSHODMDULWDQSDEHUVDQGDUSDGDPLWRV\DQJDGD

7LGDN PXGDK SXDV WHUKDGDS VHVXDWX \DQJ VXGDK GLGDSDWNDQ VHKLQJJD WHUXV EHU¿NLU melakukan inovasi untuk menemukan sesuatu yang baru. Hal ini bisa kita lihat dari gagasannya dalam mengukur tinggi piramida tanpa perlu mengukur secara langsung, tapi dapat dilakukan dengan menggunakan bantuan dari bayangan suatu tongkat dan konsep kesebangunan yang dikemukakannya.

0DWHPDWLNDDGDODKLOPX\DQJPHQDULNXQWXNNLWDSHODMDULEXNDQLOPX\DQJPHQ\HUDPNDQ VHSHUWL GLNDWDNDQ VHEDJLDQ RUDQJ .DUHQD WHODK EDQ\DN VHMDUDK \DQJ PHQFHULWDNDQ WHQWDQJSHUDQPDWHPDWLNDGDODPPHPDMXNDQSHUDGDEDQPDQXVLDVDODKVDWXQ\DDGDODK NRQVHSNHVHEDQJXQDQGDUL7KDOHV\DQJEHUJXQDGDODPNHKLGXSDQPDQXVLDVDDWLQL

Thales

A. Kekongruenan Bangun Datar

Pertanyaan Penting

%DJDLPDQDNDPXGDSDWPHQJLGHQWL¿NDVLGXDEDQJXQGDWDUGLNDWDNDQNRQJUXHQ" 6XSD\DNDPXGDSDWPHQJHWDKXLGDQPHPDKDPLMDZDEDQSHUWDQ\DDQGLDWDVVLODNDQ amati gambar-gambar di bawah ini dengan seksama.

Kegiatan 4.1

0HQJLGHQWL¿NDVL'XD%HQGD.RQJUXHQDWDX7LGDN

Kumpulkanlah data tinggi dan berat badan teman sekelasmu.

Ayo Kita Amati

Coba kamu amati gambar di bawah ini dengan seksama.

D 'XDJDPEDUPRELO\DQJNRQJUXHQ E 'XDJDPEDUPRELO\DQJWLGDNNRQJUXHQ

6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG

Gambar 4.1 Sepasang mobil kongruen dan tidak kongruen

Perhatikan pula pasangan di bawah ini dengan teliti.

D 'XDJDPEDUPRELO\DQJNRQJUXHQ E 'XDJDPEDUPRELO\DQJWLGDNNRQJUXHQ

6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG

D /LPDJDPEDUSHQVLO\DQJNRQJUXHQ E 'XDJDPEDUSHQVLOWLGDNNRQJUXHQ

6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG

Gambar 4.3 Pensil-pensil yang kongruen dan tidak kongruen

Coba kamu amati pula Gambar 4.4 dan 4.5 di bawah ini.

40 cm

60 cm 40 cm

60 cm

6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG

Gambar 4.4 Dua pigura lukisan yang kongruen

40 cm

FP 80 cm

40 cm

6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG

Gambar 4.5 Dua pigura lukisan yang tidak kongruen

Ayo Kita Menalar

Gunakan Kalimatmu Sendiri

Setelah mengamati Gambar 4.1 sampai dengan Gambar 4.5, menurutmu mengapa dua bangun atau lebih dikatakan kongruen?

Ayo Kita Berbagi

Kegiatan 4.2

Menemukan Konsep Dua Bangun Kongruen

Perhatikanlah beberapa pasangan bangun berikut ini.

FP

FP

D 'XDSHUVHJLSDQMDQJNRQJUXHQ E 'XDSHUVHJLNRQJUXHQ

F 7LJDELQWDQJNRQJUXHQ G 7LJDWDEXQJNRQJUXHQ

6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG

Gambar 4.6 Pasangan bangun yang kongruen

Gambar di bawah ini adalah contoh pasangan bangun tidak kongruen. FP

FP

D 'XDSHUVHJLSDQMDQJWLGDNNRQJUXHQ E 'XDVHJLHPSDWWLGDNNRQJUXHQ

F 'XDELQWDQJWLGDNNRQJUXHQ G 'XDWDEXQJWLGDNNRQJUXHQ

6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG

Ayo Kita Menalar

Diskusikan dengan kelompokmu dan paparkan ke teman sekelasmu.

0HQJDSDEDQJXQEDQJXQSDGD*DPEDUNRQJUXHQVHGDQJNDQEDQJXQEDQJXQ pada Gambar 4.7 tidak kongruen?

2. Syarat apakah yang dipenuhi oleh bangun-bangun pada Gambar 4.6 yang tidak dipenuhi oleh bangun-bangun pada Gambar 4.7?

Kegiatan 4.3

Mendapatkan Dua Bangun Kongruen dengan Translasi

Ayo Kita Mencoba

Perhatikanlah gambar di bawah ini.

$

'

%

C

( F

H G

Gambar 4.8

6DOLQODK SHUVHJLSDQMDQJ$%&' pada Gambar 4.8 pada kertas lain kemudian guntinglah.

*HVHUWUDQODVLNDQSHUVHJLSDQMDQJ$%&' yang kamu buat tadi sehingga titik $ berimpit dengan (, dan titik % berhimpit dengan titik F$SD\DQJWHUMDGLGHQJDQ

titik-titik lain?

$SDNDK SHUVHJLSDQMDQJ$%&' WHSDW PHQHPSDWL PHQXWXSL SHUVHJLSDQMDQJ

()*+?

-LND EHQDU VHWLDS WLWLN SDGD SHUVHJLSDQMDQJ$%&' dapat menempati titik-titik SHUVHJLSDQMDQJ()*+ PDND GLNDWDNDQ EDKZD SHUVHJLSDQMDQJ$%&' kongruen GHQJDQSHUVHJLSDQMDQJ()*+.

Kegiatan 4.4

Mendapatkan Dua Bangun Kongruen dengan Rotasi

Ayo Kita Mencoba

Lakukan kegiatan di bawah ini bersama temanmu.

Perhatikan gambar di bawah ini.

T

W V

U

P Q

5 S

Gambar 4.9

1. Jiplaklah bangun trapesium 3456 OLKDW *DPEDU SDGD NHUWDV ODLQ ODOX guntinglah.

3XWDUODKODKURWDVLNDQWUDSHVLXP\DQJNDPXEXDWGDQJHVHUODKPHQXMXWUDSHVLXP

TUVW.

Apakah trapesium 3456 tepat menempati trapesium $%&'? Jika benar, maka 3456#$%&'.

Ayo Kita Berbagi

%HUGDVDUNDQ.HJLDWDQGDQ\DQJVXGDKNDPXNHUMDNDQEHUVDPDWHPDQPX GLVNXVLNDQ GHQJDQ WHPDQPX DSD KXEXQJDQ WUDQIRUPDVL GHQJDQ EDQJXQ \DQJ kongruen. Silakan paparkan kepada teman sekelasmu.

Kegiatan 4.5

Syarat Dua Bangun Segibanyak (Poligon) Kongruen

Perhatikan gambar di bawah ini.

%

$

'

C P

Q 5 S

Gambar 4.10

8NXUODK SDQMDQJ VLVL GDQ EHVDU VXGXW sudut segiempat $%&' dan segiempat

34567XOLVNDQSDGD*DPEDU 7XOLVNDQ VLVLVLVL \DQJ EHUVHVXDLDQ

7XOLVNDQ VXGXWVXGXW \DQJ EHUVHVXDLDQ %DJDLPDQD EHVDU VXGXWVXGXW \DQJ bersesuaian tersebut?

4. Apakah kedua bangun itu kongruen? Jelaskan.

0HQXUXW NDPX DSD VDMD V\DUDWV\DUDW GXD EDQJXQ VHJL EDQ\DN SROLJRQ kongruen? Jelaskan.

6. Carilah benda-benda di sekitarmu yang permukaannya kongruen. Selidikilah apakah syarat-syarat yang kamu berikan untuk dua bangun kongruen terpenuhi?

Ayo Kita Simpulkan

Berdasarkan Kegiatan 4.5, kesimpulan yang kamu peroleh adalah:

'XDEDQJXQVHJLEDQ\DNSROLJRQGLNDWDNDQNRQJUXHQMLNDPHPHQXKLGXDV\DUDW yaitu:

1. ...

2. ...

Ayo Kita Menalar

$SDNDKMLNDVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDSDQMDQJVXGDKPHQMDPLQGXDEDQJXQ kongruen?

$SDNDK MLND VXGXWVXGXW \DQJ EHUVHVXDLDQ VDPD VXGDK PHQMDPLQ GXD EDQJXQ kongruen?

Syarat Dua Bangun Datar Kongruen

Materi Esensi

Dua bangun yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama dinamakan kongruen. 'XDEDQJXQVHJLEDQ\DNSROLJRQGLNDWDNDQNRQJUXHQMLNDPHPHQXKLGXDV\DUDW yaitu:

$

J

'

M C

L %

.

sisi $% dan -. sisi yang bersesuaian

‘' dan ‘M adalah sudut yang bersesuaian

Sudut-sudut yang bersesuaian:

‘$ dan ‘J o ‘$ = ‘J ‘% dan ‘. o ‘% = ‘.

‘C dan ‘L o ‘C = ‘L ‘' dan ‘M o ‘' = ‘M

Sisi-sisi yang bersesuaian:

$% dan -. o $% = -.

%& dan ./ o %& = ./

&'GDQ/0 o &' = LM

'$ dan MJ o '$ = MJ

Jika bangun $%&' dan -./0 memenuhi kedua syarat tersebut, maka bangun

$%&' dan -./0 kongruen, dinotasikan dengan $%&'#-./0

Jika bangun $%&' dan -./0 tidak memenuhi kedua syarat tersebut maka bangun $%&' dan -./0 tidak kongruen, dinotasikan dengan $%&'#-./0.

Catatan:

Ketika menyatakan dua bangun sebangun sebaiknya dinyatakan berdasarkan titik-titik sudut yang bersesuaian dan berurutan, contohnya:

ABCD a JKLM atau BADC a KJML atau CDAB a LMJK

Contoh 4.1

Menentukan Sisi-sisi dan Sudut-sudut yang Bersesuaian

Segi empat $%&' dan WXYZ pada gambar di bawah kongruen. Sebutkan sisi-sisi dan sudut-sudut yang bersesuaian

$

'

W

Z Y

X

C %

Alternatif Penyelesaian:

Sisi-sisi yang bersesuaian: Sudut-sudut yang bersesuaian:

AB dan _WX ‘$ dan ‘W

BC dan XY ‘% dan ‘X

CD dan YZ ‘C dan ‘Y

Contoh 4.2

0HQJLGHQWL¿NDVL'XD%DQJXQ.RQJUXHQ

8

8

8

8

8 8

8

D E F

8

9 9

9 9

0DQDNDK SHUVHJL GL VDPSLQJ yang kongruen? Jelaskan.

Alternatif Penyelesaian:

'XDEDQJXQGLNDWDNDQNRQJUXHQMLNDPHPHQXKLGXDV\DUDW\DLWX L VXGXWVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQVDPDEHVDU

Setiap persegi mempunyai empat sudut siku-siku, sehingga sudut-sudut yang EHUVHVXDLDQSDGDSHUVHJLDEGDQFEHVDUQ\DSDVWLVDPD

LLVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDSDQMDQJ

3HUVHJLDGDQSHUVHJLE

3DQMDQJVHWLDSVLVLSHUVHJLDDGDODKFP3DQMDQJVHWLDSVLVLSHUVHJLEDGDODK FP-DGLVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQSHUVHJLDGDQEWLGDNVDPDSDQMDQJ 3HUVHJLEGDQSHUVHJLF

3DQMDQJVHWLDSVLVLSHUVHJLEDGDODKFP3DQMDQJVHWLDSVLVLSHUVHJLF DGDODKFP-DGLVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQSHUVHJLEGDQFWLGDNVDPD SDQMDQJ

3HUVHJLDGDQSHUVHJLF

3DQMDQJVHWLDSVLVLSHUVHJLDDGDODKFP3DQMDQJVHWLDSVLVLSHUVHJLF DGDODKFP-DGLVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQSHUVHJLDGDQFVDPDSDQMDQJ %HUGDVDUNDQLGDQLLGLDWDVPDNDSHUVHJL\DQJNRQJUXHQDGDODKSHUVHJLDGDQF

Contoh 4.3 Menentukan Panjang Sisi dan Besar Sudut yang Belum Diketahui Perhatikan gambar trapesium $%&' dan 3456 yang kongruen di bawah ini.

$

' C

[

%

40 cm

21 cm

P

S

5

[

Q

D -LNDSDQMDQJVLVL$% = 40 cm, %& = 21 cm, 56 = 16 cm, dan PS = 15 cm, tentukan SDQMDQJVLVL$', '&, PQ, dan 45.

b. Jika besar ‘$ = 60o_, ‘% _{= 40}o_{. Berapakah besar} ‘5 _dan ‘_S?

VHODQMXWQ\DEHVDU‘$ ditulis dengan P‘$, seperti yang sudah kamu kenal di NHODVGDQ

Alternatif Penyelesaian:

Diketahui: bangun $%&'#3456, berarti

x VLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDSDQMDQJ

x sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

D 8QWXNPHQHQWXNDQSDQMDQJVLVL$', '&, PQ, dan 45, tentukan terlebih dulu sisi-sisi yang bersesuaian yaitu:

AB dengan PQ o$% 34

BC dengan QR o%& 45

DC dengan SR o'& 65

AD dengan PS o$' 36

menentukan sisi-sisi yang bersesuaian

PHQJDSDEXNDQ$% = 65"-HODVNDQ

'HQJDQGHPLNLDQMLND$% = 40 cm, %& = 21 cm, 56 = 16 cm, dan PS = 15 cm maka:

$' = PS = 15 cm

'& = 65 = 16 cm

45 = %& = 21 cm

PQ = $% = 40 cm

b. Untuk menentukan besar ‘5 dan ‘S, tentukan terlebih dulu sudut-sudut yang bersesuaian yaitu:

‘$ = ‘P o P‘$ = P‘P

‘% = ‘Q o P‘% = P‘Q

‘C = ‘5 o P‘C = P‘5

‘' = ‘S o P‘'= P‘S

menentukan sudut-sudut yang bersesuaian

'HQJDQGHPLNLDQMLND‘$ = 60o_, ‘% _{= 40}o _maka:

P‘P = P‘$ = 60oGDQ 0HQJDSDEXNDQP‘3 P‘%"-HODVNDQ

P‘Q = P‘% = 40o 0HQJDSDEXNDQP‘4 P‘$"-HODVNDQ

P‘5 = 180o _– P‘_Q

P‘5 = 180o _{– 40}o

P‘5 = 140o

P‘S = 180o _– P‘_P 0HQJDSD",QJDWSHODMDUDQNHODV9,,

P‘S = 180o _{– 60}o

P‘S = 120o

Jadi P‘5 = 140o _dan P‘_{S = 120}o_.

Ayo Kita Tinjau Ulang

7HQWXNDQPDQDSDVDQJDQEDQJXQEHULNXWLQL\DQJNRQJUXHQGDQWLGDNNRQJUXHQ" Jelaskan.

4 cm 4 cm

D

4 cm 4 cm

E

F

G

Bangun-bangun yang Kongruen

Latihan 4.1

0DQDNDKGLDQWDUDJDPEDUGLEDZDKLQL\DQJNRQJUXHQ"

I J K L M 0DQDNDKGLDQWDUDJDPEDUGLEDZDKLQL\DQJNRQJUXHQ"

DEFGHIJKL

3HQVLOZDUQDSDGDJDPEDUGLVDPSLQJLQLDSDNDKPHQXUXWPX kongruen atau tidak? Jelaskan.

7XOLVNDQSDVDQJDQEDQJXQ\DQJNRQJUXHQ"

A B C D E F G H

,-./012

7XOLVNDQ ODQJNDKPX PHQHQWXNDQ EDQJXQ WHUVHEXW" 'LJHVHU URWDVL GLSXWDU WUDQVODVLDWDXJDEXQJDQQ\D"

%HULNXWLQLDGDODKSDVDQJDQEDQJXQ\DQJNRQJUXHQ7XOLVNDQGDQVXGXWVXGXW yang bersesuaian.

% $

C M

N O

M

N

O P

$ %

C

'

' ( F $ % C $ % C ' J . L M LLL LY J . L M N S 5 Q V T P Q 5 S T W V Z Y X Y _YL 0DQDNDKEHODKNHWXSDWGLEDZDKLQL\DQJNRQJUXHQ"-HODVNDQ 5 cm 50o D 5,5 cm 50o E 5 cm o F

7. Diketahui trapesium $%&' dan trapesium ()*+ adalah kongruen. -LNDSDQMDQJVLVL$' = 12 cm, '&

FP GDQ() = 22 cm maka WHQWXNDQSDQMDQJ(+.

8. Perhatikan gambar berikut ini.

o o 75o X v 80o

Jika dua gambar di samping kongruen, tentukan nilai X dan v pada gambar tersebut.

'

$ _{% ( F}

9. Perhatikan dua gambar rumah tampak dari depan yang kongruen berikut ini.

$

5 m 5 m

5 m

4 m 4 m

4 m 8 m

J %

N .

L C

M '

(

D 7HQWXNDQVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQ E 7HQWXNDQVXGXWVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQ F %HUDSDSDQMDQJ.-, ./, dan LM?

d. Berapa keliling dan luas -./01MLNDMDUDNJ ke LM adalah 7 m?

10. Analisis Kesalahan

6

6

6 6

6 6

6 6

Jelaskan dan perbaikilah pernyataan yang salah berikut.

“Kedua bangun di samping mempunyai empat sisi dan sisi-sisi yang bersesuaian VDPD SDQMDQJ MDGL NHGXD EDQJXQ tersebut kongruen”

11. Benar atau Salah

$

' C

140o

% 7UDSHVLXPSDGDJDPEDUGLEDZDKLQLNRQJUXHQ

7HQWXNDQSHUQ\DWDDQEHULNXWLQLEHQDUDWDXVDODK Jelaskan.

Besar ‘Z =140o

Besar ‘C =40o

Sisi WZ bersesuaian dengan sisi &%

Y

X W

40o

90o

Z

Keliling bangun $%&' sama dengan keliling

WXYZ.

12. Bernalar

6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG

*DPEDUGLVDPSLQJPHQXQMXNNDQGXD cara menggambar satu garis untuk PHPEDJLSHUVHJLSDQMDQJPHQMDGLGXD bangun yang kongruen. Gambarkan tiga cara lainnya.

Berpikir Kritis

Apakah luas dua bangun yang kongruen pasti sama? Apakah dua bangun dengan luas yang sama pasti kongruen? -HODVNDQGHQJDQJDPEDUGLDJUDPXQWXNPHQGXNXQJMDZDEDQPX 14. Berpikir Kritis

Berapa banyak segitiga sama sisi kongruen paling sedikit yang diperlukan untuk PHPEHQWXNVHJLWLJDVDPDVLVL'HPLNLDQMXJDEHUDSDSHUVHJLNRQJUXHQSDOLQJ sedikit yang diperlukan untuk menghasilkan persegi. Dapatkah hasil ini diperluas untuk segi-n beraturan yang lain? Jelaskan alasanmu. Harus ditambah berapa banyak segi-nEHUDWXUDQODJLVXSD\DWHWDSMDGLVHJLn?

B. Kekongruenan Dua Segitiga

Pertanyaan Penting

%HUGDVDUNDQ6XE%DE$GXDEDQJXQGLNDWDNDQNRQJUXHQMLNDSDQMDQJVLVLVLVL yang bersesuaian adalah sama dan besar sudut-sudut yang bersesuaian adalah sama. 6HKLQJJDGXDVHJLWLJDNRQJUXHQ\DLWXMLNDNHWLJDSDVDQJVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPD SDQMDQJGDQNHWLJDSDVDQJVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQVDPDEHVDU

$SDNDKSHUOXGLXMLNHHQDPSDVDQJXQVXUWHUVHEXWXQWXNPHQHQWXNDQGXDVHJLWLJD NRQJUXHQ DWDX WLGDN" $WDX DGD DOWHUQDWLI ODLQ XQWXN PHQJXML NHNRQJUXHQDQ GXD segitiga?

Kegiatan 4.6 Menguji Kekongruenan Segitiga dengan Kriteria Sisi – Sisi – Sisi Sediakan alat dan bahan sebagai berikut:

6HOHPEDUNHUWDVNHUWDVEHUSHWDNDNDQOHELKPHPXGDKNDQ - Pensil

- Batang lidi - Penggaris - Gunting %XVXUGHUDMDW

Lakukan kegiatan berikut ini.

3RWRQJODKEDWDQJOLGLPHQMDGLSRWRQJGHQJDQXNXUDQXNXUDQ\DQJELVDGLEHQWXN PHQMDGLVHJLWLJDLQJDWNHPEDOLWHQWDQJV\DUDWSDQMDQJVLVLVHJLWLJDGLNHODV9,, 0LVDOQ\D FP FP GDQ FP .HPXGLDQ EHQWXNODK NHWLJD SRWRQJDQ OLGL WHUVHEXWPHQMDGLVHJLWLJD

2. Salinlah segitiga yang terbentuk tersebut pada selembar kertas. 8NXUODKPDVLQJPDVLQJEHVDUVXGXWSDGDVHJLWLJDLWXGHQJDQEXVXU

/DNXNDQODJLODQJNDKVDPSDLROHKDQJJRWD\DQJODLQGLNHORPSRNPXGHQJDQ XNXUDQSRWRQJDQOLGL\DQJVDPDGHQJDQGLODQJNDK

5. Bandingkan dengan segitiga yang dihasilkan temanmu. Apakah kamu mendapatkan pasangan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar?

6. Atau gunting salah satu dari gambar segitiga tersebut kemudian tempelkan pada segitiga satunya, apakah kedua segitiga itu tepat saling menutupi?

0HQXUXWPXDSDNDKNHGXDVHJLWLJDWHUVHEXWNRQJUXHQ"-HODVNDQ 7XOLVNDQNHVLPSXODQPX

$OWHUQDWLINHJLDWDQSDGD.HJLDWDQLQLGDSDWMXJDNDPXODNXNDQNHJLDWDQGL bawah ini:

Sediakan alat dan bahan sebagai berikut:

- Selembar kertas - Pensil

- Penggaris %XVXUGHUDMDW

- Jangka dan gunting

Lakukan kegiatan berikut ini.

1. Gambarlah '$%& dan ''()GHQJDQSDQMDQJVLVL$% = '(, %& = (), dan $& =

D *DPEDUODKJDULVN sebarang pada selembar kertas.

E 3DGDJDULVN, buatlah segmen garis $% dan '(, dengan $% = '(.

F 'HQJDQPHQJJXQDNDQMDQJNDOXNLVODKGXDEXVXUOLQJNDUDQPDVLQJPDVLQJ berpusat di $ dan 'GHQJDQMDULMDULVDPD

G 'HQJDQPHQJJXQDNDQMDQJNDOXNLVODKGXDEXVXUOLQJNDUDQPDVLQJPDVLQJ berpusat di % dan (GHQJDQMDULMDULVDPDMDULMDULWLGDNKDUXVVDPDGHQJDQ MDULMDULSDGDODQJNDKF

H %HUL ODEHO WLWLNC dan F pada perpotongan kedua busur lingkaran di atas. Hubungkan titik C dengan $GDQ%PDNDWHUEHQWXNODKǻ$%&. Hubungkan titik F dengan ' dan ( maka terbentuklah ''().

$SDNDKNDPXPHPSHUROHKSDQMDQJ$% = '(, %& = (), dan $& = ')?

$ % ' ( N

C F

2. Guntinglah ''()dan tumpukkan di atas '$%&, apakah kedua segitiga tersebut kongruen? Jelaskan.

8QWXN PHPDVWLNDQ MDZDEDQ NDPX SDGD QR XNXUODK VXGXWVXGXW \DQJ bersesuaian. Apakah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar? Berikan SHQMHODVDQ

Ayo Kita Simpulkan

Dari kegiatan di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh?

'XDVHJLWLJDNRQJUXHQMLNDGDQKDQ\DMLND

Kegiatan 4.7 Menguji Kekongruenan Segitiga dengan Kriteria Sisi – Sudut – Sisi Sediakan alat sebagai berikut:

- Selembar kertas - Gunting

- Pensil - Busur

Lakukan kegiatan berikut ini.

*DPEDUODKǻ$%&GDQǻ'()GHQJDQSDQMDQJVLVL$% = '(, P‘$ = P‘', dan

$& = ')SDGDVHOHPEDUNHUWDVGHQJDQODQJNDKVHEDJDLEHULNXWOLKDWJDPEDU D *DPEDUODKJDULVN sebarang pada selembar kertas.

E 3DGDJDULVN, buatlah segmen garis $% dan '(, dengan $% = '(.

F %XDWODKJDULVSPHODOXLWLWLN$ dan buatlah garis n melalui titik ', sedemikian hingga garis SVHMDMDUGHQJDQq. Apakah P‘$ = P‘'? Jelaskan.

G %XDWODKVHJPHQJDULV$& pada garis S, dan segmen garis ') pada garis q, VHGHPLNLDQKLQJJDSDQMDQJ$& = ').

H +XEXQJNDQWLWLN% dengan titik CGDQMXJDKXEXQJNDQWLWLN( dengan titik

F sehingga terbentuk '$%& dan ''()GHQJDQSDQMDQJ$% = '(, P‘$ =

P‘', dan $& = ').

$ % ' (

C

S q

N F

2. Guntinglah ''() dan tumpukkan di atas '$%&, apakah kedua segitiga tersebut kongruen? Jelaskan.

8QWXN PHPDVWLNDQ MDZDEDQ NDPX SDGD QR XNXUODK EHVDU VXGXWVXGXW GDQ SDQMDQJ VLVL \DQJ ODLQQ\D$SDNDK VXGXWVXGXW \DQJ EHUVHVXDLDQ VDPD EHVDU" $SDNDKVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDSDQMDQJ"%HULNDQSHQMHODVDQ

Ayo Kita Simpulkan

Dari kegiatan di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh?

'XDVHJLWLJDNRQJUXHQMLNDGDQKDQ\DMLND

Kegiatan 4.8 Menguji Kekongruenan Segitiga dengan Kriteria Sudut –

Sisi – Sudut

- Selembar kertas - Gunting

- Pensil - Busur

- Penggaris

Lakukan kegiatan berikut ini.

1. Gambarlah '$%&dan ''() dengan P‘$ = P‘', $% = '(, dan P‘%= P‘( SDGDVHOHPEDUNHUWDVGHQJDQODQJNDKVHEDJDLEHULNXWOLKDWJDPEDU

D *DPEDUODKJDULVN sebarang pada selembar kertas.

E 3DGDJDULVN, buatlah segmen garis $% dan '(, dengan $% = '(.

F %XDWODKJDULVU melalui titik $ dan buatlah garis V melalui titik ', sedemikian hingga garis UVHMDMDUGHQJDQV. Apakah P‘$ = P‘'? Jelaskan.

G %XDWODKJDULVS melalui titik % dan buatlah garis q melalui titik (, sedemikian hingga garis SVHMDMDUGHQJDQq. Apakah P‘% = P‘E? Jelaskan.

H 7LWLNSHUSRWRQJDQJDULVU dan S beri nama titik C, perpotongan garis V dan q

beri nama titik F, sehingga terbentuk '$%& dan ''() dengan P‘$ = P‘',

$% = '(, dan P‘% = P‘( .

$ % ' (

C

U _V

N q

S

F

*XQWLQJODKǻ'()GDQWXPSXNNDQGLDWDVǻ$%&, apakah kedua segitiga tersebut kongruen? Jelaskan.

8QWXN PHPDVWLNDQ MDZDEDQ NDPX SDGD QR XNXUODK EHVDU VXGXWVXGXW GDQ SDQMDQJ VLVL \DQJ ODLQQ\D$SDNDK VXGXWVXGXW \DQJ EHUVHVXDLDQ VDPD EHVDU" $SDNDKVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDSDQMDQJ"%HULNDQSHQMHODVDQ

Ayo Kita Simpulkan

Dari kegiatan di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh?

Kegiatan 4.9 Menguji Kekongruenan Segitiga dengan Kriteria Sisi –

Sudut – Sudut

Sediakan alat sebagai berikut:

- Selembar kertas - Gunting

- Penggaris - Busur

Lakukan kegiatan berikut ini.

1. Gambarlah '$%& dan ''() dengan P‘$ = P‘', P‘C = P‘F, dan $% = '( SDGDVHOHPEDUNHUWDVGHQJDQODQJNDKVHEDJDLEHULNXWOLKDWJDPEDU

D *DPEDUODKJDULVN sebarang pada selembar kertas. E %XDWODKJDULVU yang memotong garis N di titik $.

F %XDWODKJDULVV yang memotong garis N di titik 'GDQVHMDMDUGHQJDQJDULVU. G 3DGDJDULVU, buatlah segmen garis $%.

( '

C

U

$ %

F N

V q

S

Pada garis V, buatlah segmen garis '( dengan '( = $%.

H 'DUL WLWLN % buatlah garis S yang memotong garis N. Perpotongan antara garis S dan garis N beri nama titik C. I 'DUL WLWLN ( buatlah garis q yang

memotong garis N di titik FGDQVHMDMDU

dengan garis S. Perpotongan antara garis q dan garis N beri nama titik F. J $SDNDKSDVWLP‘$ = P‘' dan P‘C

= P‘F? Jelaskan.

K 7HUEHQWXN'$%&dan ''() dengan $% = '(, P‘$ = P‘', dan P‘C =

P‘FNULWHULDVLVL±VXGXW±VXGXW

4. Guntinglah ''()dan tumpukkan di atas '$%&, apakah kedua segitiga tersebut kongruen? Jelaskan.

8QWXN PHPDVWLNDQ MDZDEDQ NDPX SDGD QR XNXUODK EHVDU VXGXWVXGXW GDQ SDQMDQJ VLVL \DQJ ODLQQ\D$SDNDK VXGXWVXGXW \DQJ EHUVHVXDLDQ VDPD EHVDU" $SDNDKVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDSDQMDQJ"%HULNDQSHQMHODVDQ

Ayo Kita Simpulkan

Dari kegiatan di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh?

Ayo Kita Menalar

Apakah dua segitiga yang mempunyai tiga pasang sudut-sudut yang bersesuaian VDPDEHVDUSDVWLNRQJUXHQ"-HODVNDQGHQJDQDODVDQ\DQJPHQGXNXQJMDZDEDQPX

Ayo Kita Gali Informasi

Dengan Kegiatan 4.6 sampai dengan 4.9, kamu sudah menemukan syarat-syarat NULWHULDGXDVHJLWLJDNRQJUXHQ&REDFDULODKNULWHULDODLQXQWXNPHQJXMLGXDVHJLWLJD kongruen.

Syarat Dua Segitiga Kongruen

Materi Esensi

Dua bangun yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama dinamakan kongruen. 'XDVHJLWLJDGLNDWDNDQNRQJUXHQMLNDKDQ\DMLNDPHPHQXKLV\DUDWEHULNXWLQL L VLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDSDQMDQJ

LLVXGXWVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQVDPDEHVDU

' (

F C

Sisi $& dan ') adalah sisi yang bersesuaian

‘%dan ‘( adalah sudut yang bersesuaian

$ %

Sisi-sisi yang bersesuaian: Sudut-sudut yang bersesuaian:

$% dan '( o $% = '( ‘$ dan ‘' o ‘$ = ‘'

%& dan () o %& = () ‘% dan ‘( o ‘% = ‘(

atau dengan kata lain

1

AB BC AC

DE EF DF

-LND ¨$%& GDQ ¨'() PHPHQXKL V\DUDW WHUVHEXW PDND ¨$%&GDQ ¨'()

NRQJUXHQGLQRWDVLNDQGHQJDQ¨$%&#¨'().

-LND¨$%&GDQ¨'()WLGDNPHPHQXKLV\DUDWWHUVHEXWPDNDPDND¨$%& dan ¨'()WLGDNNRQJUXHQGLQRWDVLNDQGHQJDQ¨$%&#¨'().

Catatan:

Ketika menyatakan dua segitiga kongruen sebaiknya berdasarkan titik-titik sudut yang bersesuaian dan berurutan, contohnya:

'ABC a 'DEF atau 'BAC a 'EDF atau 'CBA a 'FED

EXNDQǻ$%&#ǻ(')DWDXǻ$%&#ǻ()' atau yang lainnya.

8QWXNPHQJXMLDSDNDKGXDVHJLWLJDNRQJUXHQDWDXWLGDNWLGDNSHUOXPHQJXML semua pasangan sisi dan sudut yang bersesuaian. Dua segitiga dikatakan kongruen MLNDPHPHQXKLVDODKVDWXNRQGLVLEHULNXWLQL

.HWLJD SDVDQJDQ VLVL \DQJ EHUVHVXDLDQ VDPD SDQMDQJ %LDVD GLVHEXW GHQJDQ kriteria VLVL±VLVL±VLVL.

'XDSDVDQJVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDSDQMDQJGDQVXGXW\DQJGLDSLWQ\DVDPD besar. Biasa disebut dengan kriteria VLVL±VXGXW±VLVL.

4. Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar dan sepasang sisi yang bersesuaian VDPDSDQMDQJ%LDVDGLVHEXWGHQJDQNULWHULDVXGXW±VXGXW±VLVL.

5. Khusus untuk segitiga siku-siku, sisi miring dan satu sisi siku yang bersesuaian VDPDSDQMDQJ

Contoh 4.4

Membuktikan Dua Segitiga Kongruen

a. Perhatikan gambar di samping. $ %

C

' (

Buktikan bahwa '$%&#'('&.

Alternatif Penyelesaian:

Berdasarkan gambar di atas diperoleh bahwa:

$& = (& GLNHWDKXLDGDWDQGDVDPDSDQMDQJ

P‘$&% = P‘(&' NDUHQDVDOLQJEHUWRODNEHODNDQJ

%& = '& GLNHWDKXLDGDWDQGDVDPDSDQMDQJ Jadi, '$%&#'('& EHUGDVDUNDQNULWHULDVLVL±VXGXW±VLVL

b. Perhatikan gambar di samping. _P

5

Q S

Buktikan bahwa 'PQS#'546.

Alternatif Penyelesaian:

Berdasarkan gambar di samping diperoleh bahwa:

PQ = 54 GLNHWDKXLDGDWDQGDVDPDSDQMDQJ

PS = 56 GLNHWDKXLDGDWDQGDVDPDSDQMDQJ

QS pada 'PQS sama dengan QS pada '546QSEHULPSLW

Ayo Kita Tinjau Ulang

-HODVNDQGHQJDQDODVDQ\DQJPHQGXNXQJMDZDEDQPX

1. Apakah dua segitiga yang mempunyai tiga pasang sisi-sisi yang bersesuaian VDPDSDQMDQJSDVWLNRQJUXHQ"

2. Apakah dua segitiga yang mempunyai tiga pasang sudut-sudut yang bersesuaian sama besar pasti kongruen?

$SDNDKGXDVHJLWLJD\DQJPHPSXQ\DLGXDSDVDQJVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPD SDQMDQJGDQVHSDVDQJVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQVDPDEHVDUSDVWLNRQJUXHQ" 4. Apakah dua segitiga yang mempunyai dua pasang sudut yang bersesuaian sama

EHVDUGDQVHSDVDQJVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDSDQMDQJSDVWLNRQJUXHQ"

Kekongruenan Dua Segitiga

Latihan 4.2

Selesaikan soal-soal berikut ini dengan benar dan sistematis.

1. Perhatikan gambar di bawah ini.

P Q 5

S

Buktikan bahwa 'PQS dan '546 kongruen.

2. Perhatikan gambar di bawah ini.

$ %

C

( '

3DQMDQJ$% = '( dan $%'(.

Buktikan bahwa '$%& dan '('&kongruen.

( ' C

% $

7LWLN C DGDODK WLWLN SXVDW OLQJNDUDQ 7XQMXNNDQ

4. Bangun WXYZ adalah segi empat dengan sisi-sisi W X

Y Z

\DQJEHUKDGDSDQSDQMDQJQ\DVDPDXY adalah salah satu diagonalnya.

a. Buktikan bahwa 'WXZ#'ZYX.

E 7XQMXNNDQEDKZDWXYZDGDODKMDMDUJHQMDQJ

5. Perhatikan gambar di bawah ini.

$

%

P O

7LWLNO adalah pusat lingkaran dalam dan lingkaran luar. $% adalah garis singgung dan titik P adalah titik singgung pada lingkaran kecil.

Dengan menggunakan kekongruenan segitiga, WXQMXNNDQEDKZDWLWLNP adalah titik tengah $%.

6. Perhatikan gambar di bawah ini.

$

N

% C

M Pada segitiga $%&, %0 tegak lurus dengan $&, CN

tegak lurus dengan $%3DQMDQJ%0 = CN. 7XQMXNNDQEDKZD'%&0#'&%1

7. Perhatikan gambar di bawah ini.

P

X

Y

Q 5

M

7LWLNM adalah titik tengah 45. Garis XM dan

YM masing-masing tegak lurus pada PQ dan

353DQMDQJXM = YM. Buktikan bahwa 'QMX #'50<.

8. Menalar

Q P

S 5

O

Diketahui 65PQ, OP = OQ, OS = 25.

9. Berpikir Kritis

Apakah dua segitiga yang mempunyai tiga pasang sudut-sudut yang bersesuaian VDPDEHVDUSDVWLNRQJUXHQ"-HODVNDQGHQJDQDODVDQ\DQJPHQGXNXQJMDZDEDQPX 10. Berpikir Kritis

Apakah dua segitiga yang mempunyai dua pasang sisi yang bersesuaian sama SDQMDQJ GDQ VHSDVDQJ VXGXW \DQJ EHUVHVXDLDQ VDPD EHVDU SDVWL NRQJUXHQ" -HODVNDQGHQJDQDODVDQ\DQJPHQGXNXQJMDZDEDQPX

11. Membagi Sudut

Gambarlah sebuah sudut dan beri nama ‘$%&, kemudian

D 'HQJDQPHQJJXQDNDQMDQJNDEDJLODK‘$%&WHUVHEXWPHQMDGLGXDVDPDEHVDU b. Gambarlah lagi ‘$%& \DQJ VDPD NHPXGLDQ WDQSD PHQJJXQDNDQ MDQJND PDXSXQ EXVXU GHUDMDW EDJLODK‘$%&WHUVHEXW PHQMDGL GXD VDPD EHVDU SHWXQMXNJXQDNDQNRQVHSVHJLWLJDNRQJUXHQ

12. Mengukur Panjang Danau

P Q

Q' 5

5 &KDQ LQJLQ PHQJXNXU SDQMDQJ VHEXDK GDQDX

tetapi tidak memungkinkan mengukurnya secara langsung. Dia merencanakan suatu cara yaitu ia memilih titik P, Q, 5 dan mengukur MDUDN QP dan 53 OLKDW LOXVWUDVL JDPEDU .HPXGLDQ PHPSHUSDQMDQJ QP PHQXMX NH QGDQ53PHQXMXNH5VHKLQJJDSDQMDQJQP =

PQGDQ53 = 35

&KDQ PHQ\LPSXONDQ EDKZD GHQJDQ PHQJXNXU SDQMDQJQ5 GLD PHQGDSDWNDQ

SDQMDQJGDQDXWHUVHEXW$SDNDKPHQXUXWPXVWUDWHJL&KDQEHQDU"-HODVNDQ

C. Kesebangunan Bangun Datar

Pertanyaan Penting

%DJDLPDQDNDPXGDSDWPHQJLGHQWL¿NDVLGXDEDQJXQDWDXOHELKVHEDQJXQ" %DJDLPDQD NDPX GDSDW PHQJJXQDNDQ SHUEDQGLQJDQ SURSRUWLRQ XQWXN PHPEDQWXPXGDODPGHVDLQJUD¿VIRWRJUD¿DWDXPHPEXDWOD\RXWPDMDODK"

PHQJJHVHUGUDJIRWRSDGDVLVLVXGXWIRWRPDNDXNXUDQIRWRSURSRUVLRQDOWHUKDGDS IRWRDVOLQ\D

Foto asli di GUDJ ke atas di GUDJ ke samping di GUDJSDGDVXGXWIRWR

6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG

Gambar 4.10

Kegiatan 4.10

Kesebangunan Bangun Datar

Alat dan bahan yang diperlukan:

3DVIRWRXNXUDQuu 4, dan 4 u %XVXUGHUDMDW

- Penggaris - Pensil

Lakukan kegiatan di bawah bersama temanmu.

6LDSNDQSDVIRWRPXXNXUDQuu 4, dan 4 u 6 masing-masing 1 lembar

LL

L LLL

6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG

Gambar 4.11

8NXUODK NHPEDOL IRWRIRWR LWX GHQJDQ SHQJJDULV XQWXN PHPDVWLNDQ EDKZD ukurannya sesuai.

6HOLGLNLODKPDQDNDKPHQXUXWNDOLDQGLDQWDUDIRWRIRWRWHUVHEXW\DQJVHEDQJXQ manakah yang tidak sebangun.

Kegiatan 4.11

Masalah Nyata Sederhana:

2SWLFDO=RRP

6XPEHUZZZDLSWHNFRPWZ

6XPEHUZZZDPD]RQFRXN

2uRSWLFDO]RRP

2ULJLQDO

4u optical

]RRP

Coba selesaikan masalah berikut ini bersama temanmu.

2SWLFDO ]RRP DWDX SHUEHVDUDQ RSWLN VHULQJGLMXPSDLSDGDNDPHUD)DVLOLWDV RSWLFDO ]RRP SDGD NDPHUD DGDODK EHUIXQJVLXQWXNPHPSHUEHVDUWDPSLODQ gambar. Jika gambar diperbesar dua kali disebut 2u ]RRP .DWD RSWLFDO berarti menggunakan lensa kamera bukan menggunakan sistem digital. 0LVDONDQ WHOHSRQ JHQJJDP $\DK memiliki 2u RSWLFDO ]RRP VHGDQJNDQ telepon genggam Ibu memiliki 4u RSWLFDO ]RRP EHUDSD XNXUDQ JDPEDU EXQJD NULVDQ GL VDPSLQJ MLND XNXUDQ gambar awalnya adalah 1,6 cm u 1,4 cm. Berapa pula ukuran gambar orang PDLQVNLGLVDPSLQJMLNDXNXUDQJDPEDUDZDOQ\DDGDODKFPu 1,2 cm

a. pada kamera telepon genggam ayah. b. pada kamera telepon genggam ibu.

Ayo Kita Gali Informasi

&RED FDULODK LQIRUPDVL PHODOXL EXNX PDMDODK LQWHUQHW GDQ ODLQODLQ PHQJHQDL SHUDODWDQDWDXWHNQRORJL\DQJSULQVLSNHUMDQ\DPHQJJXQDNDQNRQVHSNHVHEDQJXQDQ

Ayo Kita Berbagi

%XDWODKSUHVHQWDVLPHQJHQDLLQIRUPDVL\DQJWHODKNDPXSHUROHKGLDWDVGDQSDSDUNDQ kepada temanmu di kelas.

Kegiatan 4.12 Syarat-syarat Dua Bangun Segibanyak (Poligon) Sebangun Alat yang diperlukan:

.HUMDNDQODKNHJLDWDQGLEDZDKLQLEHUVDPDWHPDQPX Perhatikan gambar di bawah ini.

( F

G H

$ %

C '

8NXUODKSDQMDQJVLVLGDQEHVDUVXGXWEDQJXQSDGDJDPEDUGLDWDV 2. Lengkapilah tabel di bawah ini.

3DQMDQJ6LVLGDODPVDWXDQFP

$% = ... %& = ... &' = ... $' = ...

() = ... FG = ... GH = ... (+ = ...

Besar Sudut

P‘$ = ... o_. P‘% _{= ...} o_. P‘_{C = ...} o_. P‘' _{= ...} o_.

P‘( = ... o_. P‘_{F = ...} o_. P‘_{G = ...} o_. P‘_{H = ...} o_. 7XOLVNDQSDVDQJDQVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQ

Bagaimana perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian? 7XOLVNDQSDVDQJDQVXGXWVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQ

Bagaimana besar sudut-sudut yang bersesuaian?

Ayo Kita Simpulkan

Dari kegiatan di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh?

'XDEDQJXQVHJLEDQ\DNSROLJRQVHEDQJXQMLNDPHPHQXKLV\DUDW

... ...

Kesebangunan Bangun Datar

Materi Esensi

VXGXWVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQVDPDEHVDU3HUXEDKDQEDQJXQVDWXPHQMDGLEDQJXQ lain yang sebangun melibatkan perbesaran atau pengecilan.

'HQJDQNDWDODLQGXDEDQJXQGLNDWDNDQVHEDQJXQMLNDPHPHQXKLV\DUDW L SHUEDQGLQJDQSDQMDQJVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVHQLODL

AB BC CD AD

EF FG GH EH

LL VXGXW\DQJEHUVHVXDLDQEHVDUQ\DVDPD

P‘$ = P‘(

$

% H G

F

( C

' P‘% = P‘F

P‘C = P‘G P‘' = P‘H

Jika bangun $%& dan '() memenuhi kedua syarat tersebut, maka bangun $%&' dan ()*+ sebangun, dinotasikan dengan $%&'a()*+.

Jika bangun $%& dan '()tidak memenuhi kedua syarat tersebut maka bangun

$%&' dan ()*+ tidak sebangun, dinotasikan dengan $%&'aEFGH. Catatan:

Ketika menyatakan dua bangun kongruen sebaiknya dinyatakan berdasarkan titik-titik sudut yang bersesuaian dan berurutan, contohnya:

'ABCD # 'EFGH atau 'BADC # 'FEHG atau 'CDAB # 'GHEF

Contoh 4.5

Menentukan Sisi-sisi dan Sudut-sudut yang Bersesuaian

Perhatikan gambar dua bangun yang sebangun di bawah ini.

( F

G H

, J

U

P Q

5 S

7HQWXNDQ

a. Sisi-sisi yang bersesuaian

b. Sudut-sudut yang bersesuaian

Alternatif Penyelesaian:

Sisi-sisi yang bersesuaian: Sudut-sudut yang bersesuaian:

PQ o EF ST o HI ‘Po‘( ‘So‘H

QR o FG TU o IJ ‘Qo‘F ‘To‘,

RS o GH UP o JE ‘5o‘G ‘Uo‘J

Contoh 4.6

0HQJLGHQWL¿NDVL'XD%DQJXQ6HEDQJXQ

Perhatikan gambar di bawah ini.

0DQDNDKSDVDQJDQSHUVHJLSDQMDQJ\DQJVHEDQJXQ"-HODVNDQ

' $

8 cm

12 cm _{8 cm}

6 cm 4 cm

FP

C

% _{( F}

,

L

J

.

H G

L LL

LLL

Alternatif Penyelesaian:

3HULNVDVXGXWVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQ

.HWLJDJDPEDUWHUVHEXWDGDODKSHUVHJLSDQMDQJPDNDPDVLQJPDVLQJVXGXWQ\DDGDODK 90o_{. Sehingga, sudut-sudut yang bersesuaian pasti sama besar yaitu 90}o_.

Periksa perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian: 3HUVHJLSDQMDQJLGDQLL

= = =

8 2

AB DC

EF HG

8 4

= =

AD BC

=

EH FG

3HUVHJLSDQMDQJLGDQLLL

= = =

4 1

AB DC

JK IL

8 =

AD BC

=

JI KL

7DPSDNEDKZDSHUEDQGLQJDQVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQWLGDNVDPD -DGLSHUVHJLSDQMDQJLGDQLLWLGDNVHEDQJXQ

3HUVHJLSDQMDQJLLGDQLLL

8 2

= =

4 1

EF HG

=

JK IL

6 2

= =

EH FG

=

JI KL

7DPSDNEDKZDSHUEDQGLQJDQVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVHQLODL -DGLSHUVHJLSDQMDQJLLGDQLLLVHEDQJXQ

Ingat: EFGH sebangun dengan JKLI, tetapi EFGH tidak sebangun dengan IJKL

-DGL SDVDQJDQ SHUVHJLSDQMDQJ \DQJ VHEDQJXQ DGDODK SHUVHJLSDQMDQJ LL GDQ LLL sebangun.

Contoh 4.7 Menentukan Panjang Sisi dan Besar Sudut yang

Belum Diketahui Dari Dua Bangun Datar Sebangun

Perhatikan di bawah ini.

'

C

% $

20 cm

16 m 22,6o

\o

( H

20 cm 15 cm

]o

xo

G F

Bangun $%&' dan ()*+ sebangun. 7HQWXNDQ

a. nilai x, \ dan ]

E SDQMDQJVLVL(), %&, dan HG

Alternatif Penyelesaian:

Bangun $%&' dan ()*+ sebangun berarti sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian senilai, yaitu:

P‘( = P‘$, P‘F = P‘%, P‘G = P‘C, P‘H = P‘',

EF FG GH HE

= = =

AB BC CD DA

a. Bangun $%&' dan ()*+ sebangun dengan sudut-sudut yang bersesuaian

P‘( = P‘$, P‘F = P‘%, P‘G = P‘C, dan P‘H = P‘', Sehingga,

P‘G = P‘C œ xo _{= 22,6}o

P‘D = 180o _– P‘_C œ \o _{= 180}o _{– x}o _{= 180}o _{– 22,6}o _{= 157,4}o0HQJDSD"

P‘H = P‘' œ ]o ₌ \o _{= 157,4}o

Jadi nilai adalah xo _{= 22,6}o_, \o _{= 157,4}o _dan ]o _{= 157,4}o

b. Perbandingan sisi yang bersesuaian adalah

EF FG GH HE

= = =

AB BC CD DA

pada gambar diketahui bahwa

= =

20 4

HE DA

Sehingga,

=

4

EF HE

=

AB DA

=

16 4

EF

= = 12

4

u EF

6HODQMXWQ\DPHQJKLWXQJSDQMDQJ%& sebagai berikut:

= 4

FG BC

= 4

BC

20 × 4 2

= = 26

( H 15 cm 12 cm 5 cm 15 cm G ? F O

8QWXNPHQFDULSDQMDQJHG, buat garis bantuan HO

seperti pada gambar di samping. Sehingga,

FO = (+ = 15 cm, HO = () = 12 cm, OG = FG – FO

= 20 – 15 = 5 cm

*XQDNDQWHRUHPD3K\WDJRUDVXQWXNPHQJKLWXQJSDQMDQJHGOLKDWVHJLWLJDHOG

HG = 2 2* 2 2 2

HO

-DGLSDQMDQJ() = 12 cm, %& FPGDQHG FP

c. ( H 20 cm 15 cm 12 cm ]o xo G F ' C % $ 20 cm 16 m 22,6o \o cm = 2 80 26 cm Luas Luas EFGH

ABCD =

ò ò u u

EH FG EF

AD BC AB

= ½

u

½ 80

§ _{· u}

¨ ¸

© ¹ 4

= 140 4 u u =

4u u 1404

= 9 16

Jadi, perbandingan luas ()*+ dan $%&' adalah 9 : 16.

Ayo Kita Tinjau Ulang

Pada Contoh 4.7 di atas, perbandingan luas ()*+ dan $%&' adalah 9 : 16. Apakah kaitannya dengan perbandingan sisi yang bersesuaian bangun ()*+ dan $%&' yaitu

4

EF FG GH HE

= = = =

$SDNDK SDGD GXD EDQJXQ \DQJ VHEDQJXQ MLND SHUEDQGLQJDQ SDQMDQJ VLVL \DQJ bersesuaian adalah x : \ maka apakah pasti perbandingan luasnya adalah x2 _: \2_? %HULNDQSHQMHODVDQ

%DJDLPDQDMLNDSDGDGXDEDQJXQUXDQJ\DQJVHEDQJXQDSDNDKMLNDSHUEDQGLQJDQ ukuran yang bersesuaian adalah adalah x : \ maka apakah pasti perbandingan volumenya adalah x : \"%HULNDQSHQMHODVDQ

Kesebangunan Bangun Datar

Latihan 4.3

Selesaikan soal-soal di bawah ini dengan benar dan sistematis.

1. Selidikilah apakah dua trapesium di bawah ini sebangun? Jelaskan.

P $

' C

%

S 5

4 cm 8 cm

16 cm

2 cm

O

2. Carilah pasangan bangun yang sebangun diantara gambar di bawah ini.

$ _{6 cm} % _{28 cm} C _FP

42 cm FP

4 cm

' ( F

50 cm

50 cm

50 cm

50 cm P

P P

P

P P P

P

80o ₇₀o

70o

100o 110o

110o

G _,

H

100o 2 cm

2 cm _{4 m}

8 m 80o

3HUKDWLNDQGXDEDQJXQ\DQJVHEDQJXQSDGDJDPEDUGLEDZDKLQL

$ %

C '

48 cm FP

(

P Q

5 S

21 cm 24 cm

18 cm

T

+LWXQJODKSDQMDQJVLVL$(, (', dan 45. 4. Dua buah bangun di bawah ini sebangun

( H

F G

16 cm

28 cm 127o

xo

'

$ %

C

20 cm

FP

\o

]o

Hitunglah:

D 3DQMDQJ(), HG, $', dan '&. b. Nilai x, \ dan ].

6HEXDKJDPEDUEHUEHQWXNSHUVHJLSDQMDQJEHUXNXUDQFPu 8,4 cm. Gambar WHUVHEXWGLSHUNHFLOVHKLQJJDXNXUDQQ\DPHQMDGLN cm uFP+LWXQJODKSDQMDQJ

N.

16,8 cm

8,4 cm 2 cm

N cm

6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG

6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG

6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG

5 cm 5 cm

FP

?

D %HUDSDOHEDUNDUWRQGLEDJLDQEDZDK\DQJWLGDNWHUWXWXSROHKIRWRWHUVHEXW" E 3HUEDQGLQJDQOXDVIRWRGDQOXDVNDUWRQ

6HEXDK EDWDNR EHUXNXUDQ SDQMDQJ FP OHEDU FP GDQ WLQJJLQ\D FP GHQJDQ EHUDW NJ7HUGDSDW PLQLDWXU EDWDNR \DQJ VHEDQJXQ GHQJDQ EDWDNR WHUVHEXWGDQWHUEXDWGDULEDKDQ\DQJVDPDGHQJDQEDWDNRDVOLGDQSDQMDQJQ\D cm. Hitunglah:

a. Lebar dan tinggi miniatur batako.

b. Perbandingan volume batako asli dan batako miniatur. F %HUDWPLQLDWXUEDWDNRGDODPJUDP

3DQMDQJVLVLWHUSHQGHNGDULGXDEXDKVHJLHQDPKH[DJRQVHEDQJXQDGDODK cm dan 8 cm. Jika luas segi enam yang besar adalah 200 cm2_{, berapakah luas segi} enam yang kecil?

9. Usaha Konveksi

Wina mempunyai usaha konveksi. Untuk mengetahui bahan kain yang dibutuhkan, sebelum memproduksi GDODPMXPODKEHVDULDPHPEXDWVDPSHO EDMX XNXUDQ NHFLO GHQJDQ VNDOD ó WHUKDGDS XNXUDQ VHEHQDUQ\D 7HUQ\DWD satu sampel tersebut membutuhkan kain sekitar 0,25 m2_{. Berapa luas kain yang} GLEXWXKNDQ MLND LD PHQGDSDW SHVDQDQ

XQWXNPHPSURGXNVLEDMXWHUVHEXWVHEDQ\DNEDMX"

10. Botol Air Mineral

Ada dua macam kemasan air mineral yaitu botol ukuran sedang dan besar. Kedua kemasan tersebut sebangun. Botol sedang tingginya 15 cm dan botol EHVDUWLQJJLQ\DFP9ROXPHERWROEHVDUDGDODK 1250 ml. Berapa volume botol kecil?

11. Denah Rumah

6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG

Perhatikan gambar denah rumah di bawah ini.

Denah di samping menggunakan skala 1 : 200.

Hitunglah:

a. Ukuran dan luas garasi sebenarnya

b. Ukuran dan luas kamar mandi sebenarnya

c. Luas taman depan sebenarnya

d. Luas rumah sebenarnya WDQDKGDQEDQJXQDQ

12. Miniatur Kereta Api

6XPEHUZZZNHUHWDDSLFRLG

Sebuah miniatur salah satu gerbong kereta api dibuat dengan material yang sama GHQJDQNHUHWDDSLVHEHQDUQ\D3DQMDQJPLQLDWXUNHUHWDDSLWHUVHEXWDGDODK FPSDQMDQJVHEHQDUQ\DDGDODKPGDQEHUDWPLQLDWXUDGDODKNJ%HUDSDNDK berat kereta api sebenarnya?

D. Kesebangunan Dua Segitiga

Pertanyaan Penting

7DKXNDK NDPX SDGD VDDW WHNQRORJL PHVLQ IRWRNRSL NDPHUD GDQ NRPSXWHU EHOXP ditemukan bagaimana cara manusia menduplikat, memperbesar atau memperkecil suatu gambar?

%DJDLPDQD PHQJLGHQWL¿NDVL GXD VHJLWLJD DWDX OHELK VHEDQJXQ" %DJDLPDQD V\DUDW yang harus dipenuhi sehingga dua segitiga atau lebih dikatakan sebangun?

Bagaimana pula cara mengukur tinggi bangunan atau pohon yang tinggi tanpa mengukurnya secara langsung?

Kegiatan 4.13

Pantograf

Ada salah satu alat gambar yang diciptakan oleh Christooph Scheiner sekitar WDKXQ \DQJ GLJXQDNDQ XQWXN PHPEXDW VDOLQDQ JDPEDU GHQJDQ VNDOD \DLWX SDQWRJUDI3ULQVLSNHUMDSDQWRJUDIPHQJJXQDNDQNRQVHSNHVHEDQJXQDQ

Ayo Kita Amati

$PDWLODKJDPEDUSDQWRJUDIGLEDZDKLQL

gambar asli gambar salinan skrup

pensil sumbu

titik tetap

Saat pensil pada gambar asli digerakkan, pensil pada sisi kanan secara otomatis akan membuat salinannya. Ukuran salinan gambar dapat disesuaikan dengan mengubah posisi sumbu.

'HQJDQ PHQJDPDWL GDQ PHPDKDPL FDUD NHUMD SDQWRJUDI NDPX ELVD PHPEXDW SDQWRJUDIVHQGLULGDQPHPEXDWVDOLQDQJDPEDUGHQJDQVNDODWHUWHQWX

$ ' F

% (

C

Pada gambar di samping titik tetapnya adalah $ dan gambar aslinya adalah '. Pensil gambar salinan berada pada titik C. Lengan $% dan %& sama SDQMDQJ)'VHODOXVHMDMDUGHQJDQ%& dan $% selalu VHMDMDUGHQJDQ'(.

0HQXUXW NDPX DSDNDK '$%& dan '$)' VHEDQJXQ"8QWXNPHQMDZDEQ\DFREDNDPXVHOLGLNL besar sudut-sudut dan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian.

8QWXNPHQ\HOLGLNLEHVDUVXGXWVXGXWQ\DJXQDNDQVLIDWVLIDWJDULVVHMDMDU\DQJ dipotong oleh suatu garis.

3HUKDWLNDQǻ$%&GDQǻ$)'.

P‘%$& = P‘NDUHQD

P‘$%& = P‘NDUHQD

P‘%&$ = P‘NDUHQD

Apakah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar?

0LVDONDQGLEXDWUDQFDQJDQSDQWRJUDIEHUXNXUDQ$) = 10 cm, )% FP(& cm, %( = 10 cm, $' = 14 cm, dan '& = 42 cm.

%HUDSDSDQMDQJ'(GDQ)'"

%HUDSDVNDODSHUEHVDUDQSDGDSDQWRJUDIWHUVHEXW"

$ '

F

% (

C

10 cm

FP FP

10 cm

Seperti tampak pada gambar di samping bahwa )'VHMDMDUGHQJDQ%( dan )%VHMDMDU dengan '(DNLEDWQ\DMHODVEDKZD)' = %( = 10 cm dan '( = )% FP

Sekarang coba selidiki perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian yaitu

, ,

AB BC AC

AF FD AD

Apakah AC AB BC

AD AF FD?

%HUDSDVNDODSHUEHVDUDQSDQWRJUDIWHUVHEXW"

Gambar yang dihasilkan nanti berapa kali ukuran gambar aslinya?

Ayo Kita Mencoba

%HUVDPD WHPDQPX FRED EXDWODK SDQWRJUDI EXDWDQ NHORPSRNPX \DQJ ELVD menghasilkan salinan gambar lima kali lebih besar.

3UHVHQWDVLNDQ SDQWRJUDI KDVLO NDU\D NHORPSRNPX WHUVHEXW EHVHUWD JDPEDU salinannya.

3DGD6XE%DENDPXWHODKPHPSHODMDULEDKZDGXDEDQJXQGDWDUGLNDWDNDQ VHEDQJXQMLNDPHPHQXKLGXDV\DUDWVHEDJDLEHULNXW

D SHUEDQGLQJDQSDQMDQJVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVHQLODL b. sudut yang bersesuaian besarnya sama

%DJDLPDQDPHQJXMLNHVHEDQJXQDQGXDVHJLWLJDWDQSDKDUXVPHQJXMLNHGXDV\DUDW GLDWDV"0HODOXLNHJLDWDQEHULNXWLQLFREDNDPXWHPXNDQMDZDEDQQ\D

Kegiatan 4.14

Syarat Dua Segitiga Sebangun

.HUMDNDQODKNHJLDWDQEHULNXWLQLEHUVDPDNHORPSRNPX 1. Gambarlah '$%&GHQJDQSDQMDQJVLVLVHVXDLNHLQJLQDQPX 0LVDONDQVHSHUWLJDPEDUEHULNXW

$ %

$¶ %¶

&¶

7 cm

6 cm _{6N cm}

5N cm

7N cm 5 cm

C

2. Gambarlah '$¶%¶&¶GHQJDQSDQMDQJVLVLNNDOLSDQMDQJVLVL'$%& EROHKGLSHUEHVDUDWDXGLSHUNHFLO

8NXUODKPDVLQJPDVLQJVXGXW'$%& dan '$¶%¶&¶dengan menggunakan busur GHUDMDW%DQGLQJNDQVXGXWVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQGDULGXDVHJLWLJDWHUVHEXW 4. Bandingkan hasilnya dengan temanmu.

'LVNXVLNDQGHQJDQWHPDQPXGDQMDZDEODKSHUWDQ\DDQEHULNXW D $SDNDKVXGXWVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQVDPDEHVDU"

E %HUDSDSHUEDQGLQJDQSDQMDQJVLVLA'B'=B'C'=C'A'

F $SDNDKVHJLWLJD\DQJGLSHUSHVDUDWDXGLSHUNHFLOGHQJDQIDNWRUVNDOD\DQJ sama akan sebangun dengan segitiga semula?

'DUL 6XE EDE NDPX WHODK PHQJHWDKXL EDKZD GXD VHJLWLJD NRQJUXHQ MLND SDQMDQJVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDNULWHULDVLVLVLVLVLVL

Dalam hal ini '$%& dan '$¶%¶&¶NRQJUXHQMLNDA'B'=B'C'=C'A' AB BC CA = 1.

%HUGDVDUNDQ QR PHQXUXW NDPX DSDNDKǻ$%& GDQǻ$%& VHEDQJXQ MLND A'B' B'C' C'A'

= =

AB BC CA = N, dengan NWHWDSNRQVWDQ6HOLGLNLODK

'DUL6XEEDENDPXWHODKPHQJHWDKXLEDKZDGXDVHJLWLJDNRQJUXHQMLNDGXD SDVDQJVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDSDQMDQJGDQVXGXW\DQJGLDSLWQ\DVDPDEHVDU NULWHULDVLVL±VXGXW±VLVL

'DODPKDOLQLǻ$%&GDQǻ$%&NRQJUXHQMLND A'B'=B'C'

AB BC = 1 dan P‘% =

P‘%0HQXUXWNDPXDSDNDKǻ$%&GDQǻ$¶%¶&¶VHEDQJXQMLND A'B'=B'C' AB BC =

N, dengan NWHWDSNRQVWDQGDQP‘% = P‘%¶. Selidikilah.

'DUL6XE%DENDPXWHODKPHQJHWDKXLEDKZDGXDVHJLWLJDNRQJUXHQMLNDGXD pasang sudut yang bersesuaian sama besar dan sepasang sisi yang bersesuaian VDPDSDQMDQJNULWHULDVXGXW±VXGXW±VLVL

'DODPKDOLQLǻ$%&GDQǻ$%&NRQJUXHQMLND A'B'

AB = 1, P‘% = P‘%GDQ

P‘C = P‘C¶0HQXUXWNDPXDSDNDKǻ$%&GDQǻ$¶%¶&¶VHEDQJXQMLNDA'B'

AB =

N, dengan NWHWDSNRQVWDQP‘% = P‘%GDQP‘C = P‘C%DJDLPDQDMLND

A'B'

AB = NGLDEDLNDQPHQXUXWPXDSDNDKǻ$%&GDQǻ$%&VHEDQJXQMLNDP‘% = P‘%GDQP‘C = P‘C¶6HOLGLNLODK

%HUGDVDUNDQNHJLDWDQGLDWDVNKXVXVQ\DQRPRUGDQPHQXUXWPXEDJDLPDQD syarat yang lebih sederhana sehingga dua segitiga sebangun?

'XDVHJLWLJDVHEDQJXQMLNDPHPHQXKLVDODKVDWXV\DUDWEHULNXWLQL

1. ... 2. ...

Kegiatan 4.15

Kesebangunan Khusus dalam Segitiga Siku-siku

Alat dan bahan yang diperlukan:

- Penggaris %XVXUGHUDMDW - Gunting

.HUMDNDQODKNHJLDWDQEHULNXWLQLEHUVDPDNHORPSRNPX 1. Gambarlah segitiga siku-siku seperti gambar

$

' C

%

GL VDPSLQJ XNXUDQ EROHK EHUEHGD ODOX guntinglah pada sisi $%, %&, dan $&. Buatlah sekali lagi. Sehingga kamu mempunyai dua buah segitiga $%&.

2. Guntinglah salah satu segitiga $%& tersebut pada garis $'. Sehingga kamu sekarang mempunyai tiga buah segitiga yaitu '$%&, ''%$ dan ''$&.

$

$ '

% '

C

$ C

%

3HUKDWLNDQ'$%& dan ''%$

' $

C

%

$

%

7XPSXNODK'$%& dan ''%$ tersebut, di mana ‘% saling berhimpit.

Selidikilah apakah '$%& dan ''%$ VHEDQJXQ" JXQDNDQ NHVLPSXODQ \DQJ sudah kamu peroleh dari .HJLDWDQWHQWDQJV\DUDWGXDEDQJXQVHEDQJXQ

Jika '$%& dan ''%$ sebangun, tuliskan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian.

= =

} } } } } }

4. Perhatikan '$%& dan ''$&

$

$ %

C

' C

7XPSXNODK'$%& dan ǻ'$&tersebut, di mana ‘% pada '$%& dan ‘$ pada

''$& saling berhimpit.

6HOLGLNLODK DSDNDK ǻ$%& GDQǻ'$& VHEDQJXQ" JXQDNDQ NHVLPSXODQ \DQJ sudah kamu peroleh '$%&.HJLDWDQWHQWDQJV\DUDWGXDEDQJXQVHEDQJXQ

Jika '$%& dan ǻ'$& sebangun, tuliskan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian.

= =

} } } } } }

dan kamu akan memperoleh bahwa: $&2 _{= ...} u _...

5. Perhatikan ''%$ dan ''$&

$

' %

$

' C

7XPSXNODKǻ'%$GDQǻ'$& tersebut, di mana ‘% pada ''%$ dan ‘$ pada

ǻ'$& saling berhimpit.

Selidikilah apakah ''%$ dan ǻ'$& VHEDQJXQ" JXQDNDQ NHVLPSXODQ \DQJ sudah kamu peroleh dari .HJLDWDQWHQWDQJV\DUDWGXDEDQJXQVHEDQJXQ

Jika ''%$ dan ǻ'$& sebangun, tuliskan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian.

= =

} } } } } }

Kesebangunan Dua Segitiga

Materi Esensi

'XDVHJLWLJDGLNDWDNDQVHEDQJXQMLNDKDQ\DMLNDPHPHQXKLV\DUDWEHULNXWLQL L 3HUEDQGLQJDQVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVHQLODL

LL%HVDUVXGXWVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQVDPD

$ %

C

5 cm _{4 cm}

6 cm

5D cm 4D cm

6D cm

$ %

C'

L 3HUEDQGLQJDQVLVLVLVL\DQJ LL%HVDUVXGXWVXGXW\DQJ bersesuaian senilai bersesuaian sama

A'B' B'C' A'C'

= = = a

AB BC AC

‘$= ‘$

‘%= ‘%

‘C = ‘C

-LND ¨$%& GDQ ¨'()PHPHQXKL V\DUDW WHUVHEXW PDND ¨$%& GDQ ¨$%&

VHEDQJXQGLQRWDVLNDQGHQJDQ¨$%&a¨$%&

-LND ¨$%& GDQ ¨'()WLGDN PHPHQXKL V\DUDW WHUVHEXW PDND PDND ¨$%&dan ¨'()WLGDNVHEDQJXQGLQRWDVLNDQGHQJDQ¨$%&a¨$%&.

Catatan:

Ketika menyatakan dua segitiga sebangunsebaiknya berdasarkan titik-titik sudut yang bersesuaian dan berurutan, contohnya:

'ABC # 'A'B'C' atau 'BAC # 'B'A'C' atau 'CBA # 'C'B'A'

EXNDQǻ$%&#ǻ%&$DWDXǻ$%&#ǻ&$% atau yang lainnya.

Syarat Dua Segitiga Sebangun

1. Perbandingannya ketiga pasangan sisi yang bersesuaian sama, yaitu:

A B' B'C' A'C'

= = = a

AB BC AC

'

$ %

C

x cm _{\ cm}

] cm

D[ cm D\ cm

D] cm

$ %

C'

2. Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar.

Contoh: ‘$ = ‘$GDQ‘% = ‘%

$ %

C

$ %

C'

Perbandingan dua pasang sisi yang bersesuaian sama dan sudut yang diapitnya sama besar.

Contoh:

A'B' A'C'

= = a

AB AC

$ %

C

$ %

C'

dan

‘A = ‘$

Kesebangunan Khusus dalam Segitiga Siku-Siku

3HUKDWLNDQJDPEDU%HUGDVDUNDQ.HJLDWDQGHQJDQPHPSHUKDWLNDQEDKZDǻ$%&a

$

' C

%

$%2 ₌ %'u%&

$&2 ₌ &'u&%

$'2 ₌ '%u'&

Contoh 4.8

Membuktikan Dua Segitiga Sebangun

Perhatikan gambar di bawah ini.

' (

C %

$

Alternatif Penyelesaian:

Pada '$%&dan '$'(dapat diketahui bahwa:

P‘$%& = P‘$'(

NDUHQD%&'(, sehingga ‘$%& dan ‘$'( adalah pasangan sudut yang sehadap, besarnya

Buktikan bahwa '$%&a'$'( SDVWLVDPD

P‘%$& = P‘'$&

NDUHQD‘%$&dan ‘'$&EHUKLPSLW

Karena dua pasang sudut yang bersesuaian sama EHVDUMDGL'$%&a'$'(WHUEXNWL

Contoh 4.9 Menghitung Panjang Sisi dan Besar Sudut yang Belum

Diketahui dari Dua Segitiga Sebangun

Perhatikan gambar di bawah ini.

' (

C %

$

6 cm 8 cm

4 cm

70o

45o 5 cm

7HQWXNDQ

D SDQMDQJVLVL'( dan $%

b. besar ‘$&%, ‘$'( dan ‘'$(

Alternatif Penyelesaian:

a. Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah

= =

AB BC AC

AD DE AE

Diketahui:

SDQMDQJ$& = 4 cm, $( = $&&( FPPDND

4 1

= =

AC AE

SDQMDQJ%& = 5 cm, maka

=

BC AC

DE AE

5 1

=

DE

'( = 5 u

'( = 15 SDQMDQJ%' = 5 cm, maka

=

AB AC

AD AE

1 =

AB AB BD

1 = AB AB

$% $%

$% = $% $% – $% = 5

2$% = 5

2 5

=

2 2

AB

$% = 2,5 -DGLSDQMDQJ'( = 15 cm dan $% = 2,5 cm b. Sudut-sudut yang bersesuaianan besarnya sama

P‘$%& = P‘$'( 0HQJDSD"

P‘$&% = P‘$(' 0HQJDSD"

P‘%$& = P‘'$( 0HQJDSD"

' (

C %

$

6 cm 8 cm

4 cm

o

Sehingga,

P‘$&% = P‘$(' o

P‘$'( = P‘$%& o

P‘'$( = 180o±P‘$'(P‘$(' 0HQJDSD" = 180o±oo

= 180o _{– 90}o

= 90o

Jadi, besar ‘$&% o_, ‘$'( o _dan ‘'$( _{= 90}o_.

Contoh 4.10

Penerapan Sederhana dari Kesebangunan Segitiga

Diketahui seorang siswa dengan tinggi badan

150 cm berdiri di lapangan pada pagi hari yang FHUDKGDQSDQMDQJED\DQJDQQ\DDGDODKP6DDW itu di sebelahnya terdapat tiang bendera dengan SDQMDQJED\DQJDQPPDNDWHQWXNDQWLQJJLWLDQJ bendera tersebut.

Alternatif Penyelesaian:

Diketahui:

7LQJJLEDGDQVLVZD FP

3DQMDQJED\DQJDQVLVZD P FP 3DQMDQJED\DQJDQWLDQJEHQGHUD P FP 0LVDOWLQJJLWLDQJEHQGHUD t

Permasalahan di atas dapat dibuat model atau sketsa sebangai berikut:

6 m = 600 cm 2,5 m = 250 cm 150 cm

$

'

C %

t

'$%&a''(&, sehingga

=

AB CE

DE CB

600 = 150 250

t

250 t = 150 u 600

t = 150 600

250 u

t

-DGLWLQJJLWLDQJEHQGHUDWHUVHEXWDGDODKFPDWDXP

Ayo Silakan Bertanya

6HWHODK PHPSHODMDUL FRQWRKFRQWRK GL DWDV SHUWDQ\DDQ DSDNDK \DQJ PXQFXO GL benakmu. Silakan tanyakan pada guru dan temanmu.

Ayo Kita Menalar

&REDSLNLUNDQDOWHUQDWLIFDUDODLQEDJDLPDQDPHQ\HOHVDLDNDQSHUPDVDODK\DQJVHUXSD GHQJDQ&RQWRKGLDWDVMLNDWDQSDPHQJJXQDNDQED\DQJDQREMHN\DQJGLDPDWL

Ayo Kita Gali Informasi

&REDNDPXFDULLQIRUPDVLGDULEXNXLQWHUQHWDWDXODLQQ\DPHQJHQDLEHUEDJDLFDUD memperkirakan tinggi pohon, tinggi gedung, tinggi bukit, atau lebar sungai secara tidak langsung dengan alat bantu seadanya.

&DULODKSX