kelas9 smp matematika wahyudin djumanta1

(1)

(2)

(3)

Hak Cipt a Buku ini dibeli oleh Depar t em en Pendidikan Nasional dar i Pener bit PT. Set ia Pur na I nvest

Be la j a r M a t e m a t ik a Ak t if da n M e n y e n a n gk a n Unt uk SMP/ MTs Kelas I X

SPI 03- 01- 20- 02- 036

Penulis : Wahyudin Dj um ant a

Dw i Susant i

Edit or : Tim Set ia Pur na I nves Perancang Kulit : Tim Set ia Pur na I nves Layout er : Tim Set ia Pur na I nves I lust rat or : Tim Set ia Pur na I nves Ukuran Buku : 17,6 × 25 cm

5 1 0 .7 1

D JU D JUM AN TA, W a h y u din

b Belaj ar Mat em at ika Akt if dan Menyenangkan unt uk SMP/ MTs Kelas I X/ oleh Wahyudin Dj um ant a dan Dwi Susant i. –Jakart a: Pusat Perbukuan, Depart em en Pendidikan Nasional, 2008.

vi, 162 hal. : t ab.; ilus.; fot o., 25 cm indeks, hlm . 160- 161

I SBN 979- 462- 974-4

1. Mat em at ika St udi dan Pem belaj aran I . Judul

I I . Wahyudin Dj um ant a I I I . Susant i, Dw i Hak Cipt a pada Depar t em en Pendidikan Nasional

Dilindungi Undang- undang

Dit er bit kan oleh Pusat Per bukuan Depar t em en Pendidikan Nasional Tahun 2008

(4)

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karunia-Nya, Pemerintah, dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun 2008, telah membeli hak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluaskan kepada masyarakat melalui situs internet (website) Jaringan Pendidikan Nasional.

Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 34 Tahun 2008.

Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para penulis/penerbit yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para siswa dan guru di seluruh Indonesia.

Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Departemen Pendidikan Nasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialihmediakan, atau difotokopi oleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yang bersifat komersial harga penjualannya harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan bahwa buku teks pelajaran ini akan lebih mudah diakses sehingga siswa dan guru di seluruh Indonesia maupun sekolah Indonesia yang berada di luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini.

Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para siswa kami ucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwa buku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan.

Jakarta, Juli 2008 Kepala Pusat Perbukuan

(5)

Pendidikan adalah modal dasar bagi peningkatan kualitas sumber daya manusia sehingga manusia dituntut untuk terus berupaya mempelajari, memahami, dan menguasai berbagai macam disiplin ilmu untuk kemudian diaplikasikan dalam segala aspek kehidupan. Matematika sebagai ibu dari segala ilmu pengetahuan memegang peranan penting dalam dunia pendidikan. Oleh karena itu, Matematika memiliki tingkat urgensitas yang tinggi karena merupakan landasan awal bagi terciptanya sumber daya manusia yang cerdas dan berkualitas.

Sesuai dengan misi penerbit untuk menciptakan inovasi baru dalam dunia pendidikan maka penulis dan penerbit merealisasikan tanggungjawab tersebut dengan menyediakan bahan ajar Matematika yang berkualitas dan sesuai dengan kurikulum yang berlaku saat ini.

Buku ini disusun dengan mengutamakan pendekatan secara inkuiri (eksperimen) dan disajikan secara sistematis, komunikatif, dan integratif, serta adanya keruntutan rangkaian (bab dengan subbab, antarsubbab dalam bab, antaralinea dalam subbab). Sebelum mempelajari materi, sebaiknya terlebih dahulu membaca bagian Advanced Organizer yang terdapat pada halaman awal setiap bab agar dapat mengetahui isi bab secara umum, Diagram Alur sebagai peta jalan pemahaman materi pada setiap bab, dan Tes Apersepsi Awal sebagai evaluasi materi prasyarat untuk mempelajari bab yang bersangkutan. Di akhir setiap bab, terdapat Ringkasan dan Releksi yang bertujuan lebih meningkatkan pemahaman kamu tentang materi yang telah dipelajari dengan memunculkan umpan balik untuk evaluasi diri. Buku ini dilengkapi juga dengan beberapa materi, tugas, dan soal pengayaan, diantaranya Infomatika, InfoNet, Siapa Berani?, TechnoMath, Tugas untukmu, MatematikaRia, dan Uji Kecerdikan yang dapat memperluas wawasan dan pengetahuanmu tentang materi yang sedang dipelajari.

Untuk menguji pemahamanmu terhadap materi yang telah dipelajari, diberikan Tes Kompetensi Subbab pada setiap akhir subbab, Tes Kompetensi Bab pada setiap akhir bab, dan Tes Kompetensi Semester pada setiap untuk menguji pemahaman materi selama satu tahun ajaran. Semua tes kompetensi tersebut merupakan sarana mengevaluasi pemahaman dan melatih kemampuan menerapkan konsep/prinsip yang berkaitan dengan materi yang telah dipelajari. Adapun Kunci Jawaban (nomor ganjil) kami sajikan untuk memudahkan Anda dalam mengevaluasi hasil jawaban.

Untuk menumbuhkan daya nalar, kreativitas, dan pola berpikir matematis, kami sajikan Aktivitas yang menuntut peran aktif kamu dalam melakukan kegiatan tersebut.

Demikianlah persembahan kami untuk dunia pendidikan.

Bandung, Juli 2008

(6)

Ka t a Sa m bu t a n • iii Ka t a Pe n ga n t a r • iv D a ft a r Sim bol • v i

Ba b 1

Ke se ba n gu n a n da n Ke k on gr u e n a n • 1

Diagram Alur • 2

A. Bangun-Bangun yang Sebangun dan Kongruen • 3

B. Segitiga-Segitiga yang Sebangun • 10 C. Dua Segitiga yang Kongruen • 17 Ringkasan • 26

Reﬂeksi • 27

Tes Kompetensi Bab 1 • 27 Ba b 2

Ba n gu n Ru a n g Sisi Le n gk u n g • 3 1 Diagram Alur • 32

A. Unsur-Unsur dan Luas Permukaan Bangun Ruang Sisi Lengkung • 33 B. Volume Bangun Ruang Sisi

Lengkung • 43 Ringkasan • 52 Reﬂeksi • 53

St a t ist ik a • 5 7 Diagram Alur • 58

A. Pengumpulan dan Penyajian Data • 59

B. Ukuran Pemusatan Data • 69 C. Ukuran Penyebaran Data • 79 D. Distribusi Frekuensi • 83 Ringkasan • 85

Reﬂeksi • 86

D a ft a r I si

Pe lu a n g • 8 9 Diagram Alur • 90

A. Pengertian Peluang • 91 B. Frekuensi Harapan • 102 Ringkasan • 104

Reﬂeksi • 104

Tes Kompetensi Bab 4 • 105 Tes Kompetensi Semester 1 • 108 Ba b 5

Pa n gk a t Ta k Se be n a r n y a • 1 1 1 Diagram Alur • 112

A. Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulat • 113

B. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan • 123

Ringkasan • 132 Reﬂeksi • 133

Ba r isa n da n D e r e t Bila n ga n • 1 3 5 Diagram Alur • 136

A. Pola Bilangan • 136

B. Barisan dan Deret Bilangan • 141 Ringkasan • 151

Reﬂeksi • 152

Tes Kompetensi Bab 6 • 152 Tes Kompetensi Semester 2 • 154

Te s Kom pe t e n si Ak h ir Ta h u n • 1 5 6 Ku n ci Ja w a ba n • 1 5 8

(7)

sudut

+ tambah; plus; positif – kurang; minus; negatif

kali : bagi

sebanding dengan ∆ segitiga

= sama dengan ≠ tidak sama dengan

sedemikian hingga; maka akar kuadrat

alpha beta gamma // sejajar

AB u r u r u r

ruas garis

|u ru ru r_AB| panjang ruas garis kongruen

tegak lurus

π phi (3,141592 ...) ° derajat

sebangun

(8)

Ke se ba n gu n a n

da n Ke k on gr u e n a n

1

Ba b

Su m be r: i160.phot obucket .com

Kamu telah mempelajari perbandingan di Kelas VII.

Perbandingan merupakan sifat dasar dalam konsep

kesebangunan dan kekongruenan.

Kesebangunan sangat penting peranannya dalam

kehidupan sehari-hari seperti uraian berikut.

Lima orang anak ingin mengukur lebar sungai. Oleh

karena secara langsung tidak memungkinkan, kegiatan

pengukuran dilakukan secara tidak langsung. Mereka berhasil

menandai tempat-tempat

A

,

B, C

,

D

, dan

E

seperti tampak

pada gambar berikut.

Setelah dilakukan peng ukuran,

diperoleh

AB

= 4 m,

BC

= 3 m, dan

DE

=

BF

= 12 m. Berapa meter lebar

sungai itu? Untuk menjawabnya,

pelajarilah bab ini dengan baik.

A. Bangun-Bangun yang Sebangun dan Kongruen

B. Segitiga-Segitiga yang Sebangun

C. Dua Segitiga yang Kongruen

Pada bab ini, kamu akan diajak untuk memahami kesebangunan bangun datar dan penggunaannya dalam pemecahan masalah dengan cara mengidentifikasi bangun-bangun datar yang sebangun dan kongruen, mengidentifikasi sifat-sifat dua segitiga sebangun dan kongruen, serta menggunakan konsep kesebangunan segitiga dalam pemecahan masalah.

A D

E F

B

(9)

D ia gr a m Alu r

Se be lu m m e m pe la j a r i m a t e r i ba b in i, k e r j a k a n la h soa l- soa l be r ik u t di bu k u la t ih a n m u .

Te s Ape r se psi Aw a l

1. Suatu peta digambar dengan skala 1 : 500.000. Berapakah jarak pada peta jika jarak sesungguh nya 25 km? 2. Jika harga 6 buah penggaris adalah

Rp2.700,00, berapakah harga 9 buah penggaris ter sebut?

3. Sebutkan dan gambarkan jenis-jenis segi tiga ditinjau dari:

a. panjang sisinya; b. besar sudutnya.

4. Perhatikan gambar segitiga berikut ini. Tentukan nilai .

5. Perhatikan gambar berikut ini. a. Tentukan besar DEC b. Tentukan besar BEC. c. Tentukan sudut yang

saling bertolak belakang.

Kesebangunan dan Kekongruenan

Sebangun

Segitiga yang Sebangun

Kongruen

Panjang sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan senilai.

Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang (s.s.s)

Menentukan garis dan besar sudut dari bangun geometri. Menentukan

perbandingan ruas garis pada segitiga.

Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang berada di antaranya sama panjang (sd.s.sd).

Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang berada di hadapannya sama panjang (sd.sd.s). Sudut yang

bersesuaian sama besar.

Bentuk dan ukurannya sama besar.

perbedaan

syarat syarat

aplikasi

aplikasi aplikasi

sifat

Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar (s.sd.s).

38° 75°

A 110° C

B D

(10)

A. Ba ngun- Ba ngun

ya ng

Seba ngun

da n Kon gr u e n

1 . Fot o Be r sk a la

Contoh kesebangunan yang sering kamu jumpai dalam

kehidupan sehari-hari adalah foto berskala, seperti terlihat

pada Gambar 1.1.

Gambar 1.1(a) memperlihatkan sebuah film negatif

ABCD

berukuran panjang 36 mm dan lebar 24 mm. Setelah

dicetak, film negatif tersebut menjadi foto

A' B' C' D'

berukuran panjang 180 mm dan lebar 120 mm.

Pada dasarnya, pengertian skala pada foto sama dengan

skala pada peta. Hanya saja, perbandingan antara ukuran

pada foto dan ukuran sebenarnya tidak sebesar perbandingan

antara ukuran pada peta dan ukuran sebenarnya. Satu

sentimeter pada peta mewakili beberapa kilometer pada

ukuran sebenarnya, sedangkan satu sentimeter pada foto

biasanya mewakili beberapa sentimeter atau beberapa meter

saja dari ukuran sebenarnya.

Skala pada peta ialah perbandingan antara ukuran pada

peta dan ukuran sebenarnya.

Con t oh 1 .1

Amati gambar dari foto sebuah mobil seperti dalam Gambar 1.2. Jika panjang mobil sebenarnya 3,5 m, berapa tinggi mobil sebenarnya?

Penyelesaian:

Untuk menentukan tinggi mobil sebenarnya, langkah pertama yang harus kamu lakukan adalah menentukan skala foto tersebut.

Perbandingan antara panjang dalam foto dan panjang sebenar-nya adalah 7 cm : 3,5 m

7 cm : 350 cm 1 cm : 50 cm.

Jadi, skala dari foto tersebut adalah 1 : 50. Oleh karena tinggi mobil dalam foto 2,5 cm maka tinggi mobil sebenarnya adalah 2,5 cm 50 = 125 cm.

Jadi, tinggi mobil sebenarnya adalah 1,25 m.

C' D'

A' _{180 mm}

120 mm

B' C D

36 mm

24 mm

A B

2,5 cm 7 cm

a

b

Ga m ba r 1 .1

Ga m ba r 1 .2

Sia pa Be r a n i?

1. Seorang anak yang tingginya 1,5 m difoto. Jika skala foto tersebut adalah 1 : 20, berapa sentimeter tinggi anak dalam foto?

2. Lebar sebuah rumah dalam foto adalah 5 cm. Jika skala foto tersebut 1 : 160, berapa meter lebar rumah sebenarnya? Su m be r: Dokum ent asi Pener bit

Su m be r: i160.phot obucket .com

(11)

2 . Pe n ge r t ia n Ke se ba n gu n a n

Pada Gambar 1.3 diperlihatkan tiga bangun persegi panjang

yang masing-masing berukuran 36 mm 24 mm, 180 mm

120 mm, dan 58 mm 38 mm.

D

A

C

B

24 mm

36 mm

C‘

B‘ D‘

A‘ _{180 mm}

120 mm

S

P

R

Q

38 mm

58 mm

Perbandingan antara panjang persegipanjang

ABCD

dan

panjang persegipanjang

A'B'C'D'

adalah 36 : 180 atau 1 : 5.

Demikian pula dengan lebarnya, perbandingannya 24 : 120

atau 1 : 5. Dengan demikian, sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua

persegipanjang itu memiliki perbandingan senilai (sebanding).

Perbandingan sisi yang bersesuaian dari kedua

persegi-panjang tersebut, yaitu sebagai berikut.

AB A B

BC B C

DC D C

AD A D

' 'B ' 'C ' 'C ' 'D

1 5

Oleh karena semua sudut persegipanjang besarnya

90° (siku-siku) maka sudut-sudut yang bersesuaian dari

kedua persegipanjang itu besarnya sama. Dalam hal ini,

persegipanjang

ABCD

dan persegipanjang

A'B'C'D'

memiliki

sisi-sisi bersesuaian yang sebanding dan sudut-sudut bersesuaian

yang sama besar

. Selanjutnya, kedua persegipanjang tersebut

dikatakan sebangun. Jadi, persegipanjang

ABCD

sebangun

dengan persegipanjang

A'B'C'D'

.

Selanjutnya lakukan Tugas untukmu di samping.

Sekarang amati Gambar 1.4.

E

G

F X

Z

Y

M

L

K

a b c

Ukurlah panjang sisi dan besar sudut-sudut

EFG

dan

XYZ

. Jika kamu melakukan pengukuran dengan benar,

akan diperoleh hubungan berikut.

(i)

EF XY

FG YZ

EG XZ

;

(ii)

E

=

X

,

F

=

Y

, dan

G

=

Z

.

Tu ga s u n t u k m u

Amatilah persegipanjang

ABCD dan persegipanjang

PQRS pada Gambar 1.3.

Coba kamu selidiki bersama kelompok belajarmu, apakah

persegipanjang ABCD

sebangun dengan persegipanjang PQRS? Presentasikan hasil penyelidikanmu di depan kelas bergantian dengan kelompok lain.

(12)

D C

A _{4 cm} B

S

R P

Q

4 cm Tu ga s u n t u k m u

Amatilah ∆EFG dan

∆KLM pada Gambar 1.4. Coba kamu selidiki bersama kelompok belajarmu, apakah ∆EFG

sebangun dengan ∆KLM? Presentasikan hasil penyelidikanmu di depan kelas bergantian dengan kelompok lain.

Oleh karena sisi-sisi yang bersesuaian sebanding dan

sudut-sudut yang bersesuaian sama besar maka

EFG

sebangun dengan

XYZ

.

Pengertian kesebangunan seperti ini berlaku umum

untuk setiap bangun datar.

Dua bangun datar dikatakan sebangun jika memenuhi

dua syarat berikut.

1) Panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua bangun

itu memiliki perbandingan senilai.

2) Sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua bangun itu

sama besar.

Con t oh 1 .2

Amati Gambar 1.5.

a. Selidikilah apakah persegi ABCD sebangun dengan persegi

EFGH?

b. Selidikilah apakah persegi ABCD dan belahketupat PQRS

sebangun?

c. Selidikilah apakah persegi EFGH sebangun dengan belahketupat PQRS?

Jelaskan hasil penyelidikanmu. Penyelesaian:

a. Amati persegi ABCD dan persegi EFGH. (i) Perbandingan panjang sisi-sisinya adalah

AB EF

BC FG

DC HG

AD EH

4 5

Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian dari persegi ABCD dan persegi EFGH sebanding.

(ii) Bangun ABCD dan EFGH keduanya persegi sehingga besar setiap sudutnya 90°. Dengan demikian, sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Berdasarkan (i) dan (ii), persegi ABCD dan persegi EFGH

sebangun.

b. Amati persegi ABCD dan belahketupat PQRS. (i) Perbandingan panjang sisi-sisinya adalah

AB PQ

BC QR

DC SR

AD PS

4 4

Jadi, panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari persegi

ABCD dan belahketupat PQRS sebanding.

(ii) Besar sudut-sudut yang bersesuaian adalah sebagai berikut.

A ≠ P, B ≠ Q, C ≠ R, dan D ≠ S.

H G

E _{5 cm} F

Ga m ba r 1 .5

Ca t a t a n

Salah satu syarat kesebangunan adalah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Maksud dari kata sam a besar adalah ukuran sudutnya sebanding, sehingga pada Gambar 1.5 dapat dituliskan:

A = E, B = F,

(13)

P

R

Q S

L K

N

M 80°

125°

Jadi, sudut-sudut yang bersesuaian tidak sama besar.

Berdasarkan (i) dan (ii), persegi ABCD dan belahketupat

PQRS tidak sebangun.

c. Telah diketahui bahwa persegi ABCD sebangun dengan

persegi EFGH, sedangkan persegi ABCD tidak sebangun

dengan belahketupat PQRS. Dengan demikian, persegi

EFGH tidak sebangun dengan belahketupat PQRS.

Con t oh 1 .3

1. Amati Gambar 1.6.

Jika persegipanjang ABCD sebangun dengan persegipanjang

PQRS, hitung panjang QR.

Penyelesaian:

Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. Oleh karena itu,

AB PQ

BC

QR QR

2 6

5 ₂_QR_{= 30}_QR_{= 15}

Jadi, panjang QR adalah 15 cm.

2. Jika layang-layang KLMN dan layang-layang PQRS pada

Gambar 1.7 sebangun, tentukan besar R dan S.

Penyelesaian:

Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah

sudut-sudut yang bersesuaian sama besar sehingga P =

125° dan Q = 80°.

t "NBUJMBZBOHMBZBOHPQRS.

Menurut sifat layang-layang, sepasang sudut yang

ber-hadapan sama besar sehingga R = P = 125°.

t 0MFI LBSFOB TVEVUTVEVU EBMBN MBZBOHMBZBOH CFSKVNMBI

360° maka

P + Q + R + S = 360°

125° + 80° + 125° + S = 360°

S = 360° – 330° = 30°

3 . Pe n ge r t ia n Ke k on gr u e n a n

Pernahkah kamu melihat seorang tukang bangunan yang

sedang memasang ubin? Sebelum ubin-ubin itu dipasang,

biasanya tukang tersebut memasang benang-benang sebagai

tanda agar pemasangan ubin tersebut terlihat rapi, seperti

tampak pada Gambar 1.8(a).

Cara pemasangan ubin tersebut dapat diterangkan secara

geometri seperti berikut.

Ga m ba r 1 .7 Ga m ba r 1 .6

Ga m ba r 1 .8

A D

B C

E F

a

b

A _{2 cm} 5 cm

B

D C

S

6 cm

P

(14)

Gambar 1.8(b) adalah gambar permukaan lantai yang

akan dipasang ubin persegipanjang. Pada permukaannya diberi

garis-garis sejajar. Jika ubin

ABCD

digeser searah

AB

(tanpa

dibalik), diperoleh

A

฀

B

,

B

E

,

D

C

, dan

C

฀

F

sehingga

ubin

ABCD

akan menempati ubin

BEFC

. Akibatnya,

AB

BE

sehingga

AB

=

BE

BC

EF

sehingga

BC

=

EF

DC

CF

sehingga

DC

=

CF

AD

BC

sehingga

AD

=

BC

DAB

CBE

sehingga

DAB

=

CBE

ABC

BEF

sehingga

ABC

=

BEF

BCD

EFC

sehingga

BCD

=

EFC

ADC

BCF

sehingga

ADC

=

BCF

Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh

a

. sisi-sisi yang bersesuaian dari persegipanjang

ABCD

dan persegipanjang

BEFC

sama panjang, dan

b

. sudut-sudut yang bersesuaian dari persegipanjang

ABCD

dan persegipanjang

BEFC

sama besar.

Hal tersebut menunjukkan bahwa persegipanjang

ABCD

dan persegipanjang

BEFC

memiliki

bentuk dan ukuran

yang sama

. Dua persegipanjang yang demikian dikatakan

kongruen

.

Sekarang amati Gambar 1.9. Ukurlah panjang sisi

dan besar sudut-sudut segienam

ABCDEF

dan segienam

PQRSTU

. Jika kamu melakukan pengukuran dengan benar,

diperoleh hubungan

(i)

AB = BC = CD = DE = EF = FA = PQ = QR = RS = ST

= TU = UP

(ii)

A = B = C = D = E = F = P = Q = R

= S = T = U.

Oleh karena itu, segienam

ABCDEF

kongruen

dengan

segienam

PQRSTU

.

Sekarang, ukurlah panjang sisi dan besar sudut-sudut

segienam

GHIJKL

. Kemudian, bandingkan dengan

unsur-unsur segienam

ABCDEF

. Dari hasil pengukuran tersebut,

diperoleh hubungan

(i)

A = B = C = D = E = F = G = H = I =

J = K = L

(ii)

AB

≠

GH, BC

≠

HI, CD

≠

IJ, DE

≠

JK, EF

≠

KL, FA

≠

LG.

A B

C

E D

F

P Q

T S

U R

G H

I

K J

L

Ga m ba r 1 .9

Sia pa Be r a n i?

Berikut ini adalah sketsa tambak udang milik Pak Budi

100 m

200 m 100 m

(15)

Berdasarkan (i) dan (ii), dapat disimpulkan bahwa

segienam

ABCDEF

tidak kongruen

dengan segienam

GHIJKL

. Sekarang lakukan Tugas untukmu di samping.

Berdasarkan

uraian dan tugas tersebut diperoleh gambaran

bahwa dua bangun yang kongruen pasti sebangun, tetapi dua

bangun yang sebangun belum tentu kongruen.

Bangun-bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang

sama dikatakan bangun-bangun yang kongruen.

Pengertian kekongruenan tersebut berlaku juga untuk

setiap bangun datar.

Con t oh 1 .4

Amati Gambar 1.10.

a. Selidiki apakah persegipanjang ABCD

kongruen dengan persegi panjang

PQRS?

b. Selidiki apakah persegipanjang ABCD

sebangun dengan persegi panjang

PQRS?

Jelaskan hasil penyelidikanmu. Penyelesaian:

Unsur-unsur persegipanjang ABCD

adalah

AB = DC = 8 cm, AD = BC = 6 cm, dan A = B = C = D = 90°.

Amati persegipanjang PQRS dengan

diagonal PR. Panjang PQ dapat ditentukan dengan menggunakan Dalil Pythagoras seperti berikut.

PQ = ( )2 ((Q ))2 ₁₀₁₀2 ₆₆22 ₆₄_{= 8}

Jadi, unsur-unsur persegipanjang PQRS adalah PQ = SR = 8 cm, PS = QR = 6 cm, dan P = Q = R = S = 90°.

a. Dari uraian tersebut tampak bahwa sisi-sisi yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS sama panjang. Selain itu, sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu sama besar. Jadi, persegipanjang ABCD

kongruen dengan persegipanjang PQRS.

b. Dua bangun datar yang kongruen pasti sebangun. Jadi, persegi panjang ABCD sebangun dengan persegipanjang

PQRS.

Ga m ba r 1 .1 0

S R

P Q

10 cm

6 cm

D C

A _{8 cm} B

6 cm

I n foN e t

Kamu dapat menambah wawasanmu tentang materi dalam bab ini dengan mengunjungi alamat:

(16)

Te s Kom pe t e n si 1 .1

Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu.

a. Selidiki apakah belahketupat EFGH

sebangun dengan belahketupat PQRS?

b. Selidiki apakah belahketupat EFGH

kongruen dengan belahketupat PQRS?

Jelaskan hasil penyelidikanmu.

6. Pasangan bangun-bangun berikut adalah

sebangun, tentukan nilai x.

a.

x

8 cm 6 cm

3 cm

b.

14 cm x

8 cm 5 cm

7. Perhatikan gambar berikut.

N M

K L

6 cm

9 cm 110°

G

E F

H

6 cm 4 cm 70°

Trapesium EFGH dan trapesium KLMN

adalah trapesium sama kaki. Tunjukkan

bahwa trapesium EFGH sebangun dengan

trapesium KLMN.

8. Amati foto berikut.

Foto tersebut mempunyai skala 1 : 65. Tentukan tinggi sebenarnya orang yang ada di foto tersebut.

9. Trapesium ABCD sebangun dengan

tra-pesium PQRS.

B

D C

A 9 cm

18 cm

Q

S R

P 12 cm

85°

1. Ukuran lebar dan tinggi sebuah slide

(film negatif) berturut-turut 36 mm dan 24 mm. Jika lebar pada layar 2,16 m, tentukan tinggi pada layar.

2. Amati gambar berikut.

C

A B

10 cm

8 cm

4 cm Q 3 cm P

R

a. Tentukan panjang AC dan QR.

b. Apakah ABC sebangun dengan

PQR? Jelaskan jawabanmu.

U

R

T

S

N

K

M

L

Pada gambar tersebut, jajargenjang RSTU

sebangun dengan jajargenjang KLMN.

Jika KL = 6 cm, LM = 4 cm, dan RS = 15

cm, tentukan:

a. panjang KN dan MN;

b. panjang ST, TU, dan RU.

Jika layang-layang ABCD

sebangun dengan

layang-layang BEFC, tentukan:

a. panjang CF;

b. panjang EF.

E F G

5 cm 12 cm

H P

Q

R

S 5 cm 13 cm

A D

C

F 3 cm

B

E 6 cm

(17)

a. Tentukan panjang PS. b. Tentukan besar PQR. c. Tentukan besar BCD. d. Tentukan besar BAD.

10. Segilima ABCDE

seba ngun dengan segi lima PQCRS. Panjang AB = 7,5 cm, BC = 4,2 cm,

CD = 3 cm,

PS = 1 cm,

SR = 2,5 cm, dan RC = 2 cm. Tentukan panjang:

a. AE;

b. QC;

c. DE;

d. PQ.

E D

B C

A R

Q S

P

11. Diketahui tinggi Monas pada gambar di samping 4,4 cm. Jika skalanya 1 : 3.000, tentukanlah tinggi Monas sesungguhnya.

12. Bagilah bangun berikut menjadi dua bagian yang sama dan sebangun.

Selanjutnya, susunlah kembali kedua bagian tersebut sehingga membentuk ber macam-macam bangun. Cobalah, bangun-bangun apa saja yang dapat kamu per oleh?

4,4 cm

B. Segitiga- Segitiga

yang

Sebangun

1 . Sy a r a t D u a Se git iga Se ba n gu n

Amati Gambar 1.11.

Pada gambar tersebut,

QR

sejajar dengan

ST

(

QR

//

ST

).

Ukurlah panjang

PS

,

PQ

,

PT

,

PR

,

ST

, dan

QR

. Ukur

pula besar

TPS

,

RPQ

,

PTS

,

PRQ

,

PST

, dan

PQR

. Berdasarkan hasil pengukuran tersebut, kamu akan

memperoleh hubungan berikut:

(i)

PS PQ

PT PR

ST QR

;

(ii)

TPS

=

RPQ

,

PTS

=

PRQ

,

PST

=

PQR

.

Jadi,

PST

sebangun dengan

PQR

. Selanjutnya, amati

Gambar 1.12(a). Pada gambar tersebut,

ABC

adalah

segi-tiga dengan

AB

=

c

;

BC

=

a

;

AC

=

b

A

= ;

B

= ;

C

= .

Jika kamu buat segitiga lain yang panjang

sisi-sisi

bersesuaiannya

dua kali panjang sisi-sisi

ABC

maka

diperoleh

KLM

seperti pada Gambar 1.12(b).

R T

P

S Q

K

M

2b

2c L

2a

A B

C a b

c

R

P Q

c b a

Ga m ba r 1 .1 1

(18)

Dengan demikian,

KL

= 2

AB

= 2

c

,

LM

= 2

BC

= 2

a,

dan

KM

= 2

AC

= 2

b

. Sehingga

AB KL

BC LM

AC KM

1

2

.

Selanjutnya, ukurlah sudut-sudut

KLM

. Dari

pengukuran tersebut, akan di per oleh hubungan berikut:

A

=

K

=

B

=

L

=

C

=

M

=

Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Jadi,

ABC

dan

KLM

sebangun.

Pada Gambar 1.12(c),

PQR

dibuat sedemi kian rupa

sehingga

P

=

A

= ,

Q

=

B

= , dan

R

=

C

= .

Ukurlah panjang sisi-sisi

PQR

. Dari pengukuran

tersebut, kamu akan memperoleh hubungan berikut.

AB PQ

BC QR

AC PR

Sisi-sisi yang bersesuaian sebanding.

Jadi,

ABC

dan

PQR

sebangun.

Uraian tersebut menunjukkan bahwa dua segitiga yang

sisi-sisi bersesuaiannya

seban ding maka sudut-sudut yang

ber sesuai an nya sama besar. Hal ini berarti bahwa

dua segitiga

yang sisi-sisi ber sesuai annya sebanding

adalah

sebangun

.

Sebaliknya, jika dua se gi tiga memiliki sudut-sudut

bersesuaian yang sama besar maka sisi-sisi yang bersesuaian nya

sebanding. Hal ini ber arti bahwa

dua segitiga yang memiliki

sudut-sudut ber sesuai an sama besar

adalah

sebangun

.

Berdasarkan uraian tersebut, dapatkah kamu menerka

suatu syarat dua segitiga sebangun? Cobalah nyatakan syarat

dua segitiga sebangun dengan kata-katamu sendiri.

Dua segitiga dikatakan sebangun jika sisi-sisi yang

ber-sesuaian sebanding atau sudut-sudut yang berber-sesuaian

sama besar.

Con t oh 1 .5

1. Coba kamu selidiki apakah

ABC dan A'B'C' pada gambar di samping sebangun? Jelaskan hasil penyelidikanmu.

I n foM a t ik a

Th a le s ( 6 2 4 S.M .– 5 4 6 S.M .)

Kira-kira 2.500 tahun yang lalu, seorang ahli Matematika Yunani, Thales, meng ungkap kan gagasan yang fenomenal. Ia dapat menghitung tinggi piramida dari panjang bayangan suatu tongkat.

B A

C D

E

Thales menggunakan kenyataan bahwa segitiga besar ABC yang dibentuk oleh piramida dan bayangannya, sebangun dengan segitiga kecil DCE yang dibentuk oleh tongkat dan bayangannya. Oleh karena itu, diperoleh persamaan

AB BC

DC CE

Thales dapat mengukur panjang BC, CD, dan

CE. Dengan demikian, ia dapat menghitung

AB (tinggi piramida) menggunakan persamaan tersebut.

Su m be r: Mat em at ika, Khazanah Penget ahuan bagi Anak- Anak, 1979

B A

C

8

6

A'

B' C'

5

(19)

B A

C

E

D

Penyelesaian:

Amati ABC.

(AC)2 _{= (}_AB₎2_{+ (}_BC₎2₍_AC₎2_{= 8}2_{+ 6}2

(AC)2_{= 100}_AC₌ ₁₀₀_{= 10}

Jadi, AC= 10.

Amati A'B'C'

฀ ฀(A'B')2_{= (}_A'C'₎2_{– (}_B'C'₎2₍_A'B'₎2_{= 5}2_{– 3}2

(A'B')2_{= 25 – 9}฀₍_A'B'₎2_{= 16} A'B' = 16 = 4

Oleh karena itu, AB

A B' 'B =

8 4 = 2;

BC B C' 'C =

6 3 = 2;

AC A C' 'C =

10 5 = 2.

Berarti, AB A B' 'B =

BC B C' 'C ฀=

AC A C' 'C . Jadi, ABC sebangun dengan A'B'C'. 2. Amati Gambar 1.13.

a. Jika DE // BC, apakah ADE sebangun dengan ABC? b. Jika BC = 6 cm, CE = 3 cm, dan AE = 6 cm, tentukan

panjang DE. Penyelesaian:

a. Pada DE dan ABC tampak bahwa

DAE = BAC (berimpit)

ADE = ABC (sehadap)

AED = ACB (sehadap)

Jadi, sudut-sudut yang bersesuaian dari ABC dan

ADE sama besar sehingga ABC se bangun dengan

ADE.

b. ADE sebangun dengan ABC. Oleh karena itu, DE

BC = AE AC ฀฀

DE BC =

AE AE CE DE

6 = 6 6 3 DE = 4 Jadi, DE = 4 cm.

Ak t iv it a s 1 .1

Tujuan: Mengukur tinggi pohon menggunakan konsep kesebangunan.

Cara Kerja:

1. Buatlah kelompok yang terdiri atas 4 sampai dengan 6 orang. 2. Carilah sebuah pohon di sekitar rumah atau sekolah. I n foN e t

Kamu dapat menemukan informasi lebih lanjut tentang materi ini dari internet dengan mengunjungi alamat

ar t ofm at hem at ics. w or dpr ess.com

Sia pa Be r a n i?

1. Diketahui PQR dan

XYZ dengan unsur-unsur sebagai berikut.

PQR = 40°,

PRQ = 65°,

YXZ = 75°,

XYZ = 35°. Selidikilah apakah

PQR dan XYZ

sebangun? Jelaskan.

T Q

R P

S

3 cm

4 cm _{10 cm}

7,5 cm

x cm

(x + 30) cm

x cm

(x_{+ 30) cm}

a. Apakah PQR

sebangun dengan

PST? Jelaskan.

b. Jika PQR

sebangun dengan

PST tentukan nilai x.

(20)

3. Ambil sebuah tongkat yang telah diukur panjangnya. 4. Tancapkan tongkat tersebut di ujung bayangan pohon.

Amati Gambar 1.14.

5. Hitung panjang bayangan tongkat dan bayangan pohon. Kemudian, jawab pertanyaan berikut.

a. Apakah ABE sebangun dengan BCD?

b. Dengan menggunakan perhitungan, tentukan tinggi pohon tersebut.

Presentasikanlah hasil kegiatanmu di depan kelas.

Petunjuk: Kegiatan dilakukan sekitar pukul 09.00 atau pukul 16.00 pada saat cuaca sedang cerah.

2 . Pe r ba n din ga n Ru a s Ga r is pa da Se git iga

Amati Gambar 1.15. Pada gambar tersebut, diketahui bahwa

ST

//

PR

. Oleh karena itu,

1)

SQT

=

PQR

(berimpit)

2)

TSQ

=

RPQ

(sehadap)

3)

STQ

=

PRQ

(sehadap)

Berdasarkan (1), (2), dan (3), diperoleh

SQT

se bangun

dengan

PQR

sehingga

SQ PQ

TQ RQ

ST PR

... (*)

Jika

PS

=

p

,

SQ

=

q

,

RT

=

r

,

TQ

=

s

,

PR

=

t

, dan

ST

=

u,

dengan

p

≠

0,

q

≠

0,

r

≠

0,

s

≠

0,

t

≠

0,

u

≠

0, seperti tampak

pada Gambar 1.15 maka persamaan (*) menjadi

q p q

s r s

u t

Sekarang, amati perbandingan senilai

q p q

s r s

.

Jika kamu kalikan kedua ruas dengan (

p

+

q

)(

r

+

s

),

diperoleh

฀

q

p q

(

p

+

q

) (

r

+

s

) =

s

r s

(

p

+

q

) (

r

+

s

)

q

(

r

+

s

) =

s

(

p

+

q

)

qr

+

qs

=

ps

+

qs

qr

+

qs

–

qs

=

ps

+

qs

–

qs

qr

=

ps

฀

q

p s r

Ga m ba r 1 .1 4

Ga m ba r 1 .1 5

A B C

D E

S

P Q

R

T

s

q r

p t

u

Coba kamu selidiki. Jelaskan mengapa p≠ 0,

(21)

Jadi, perbandingan ruas garis pada segitiga seperti

tampak pada Gambar 1.15 adalah sebagai berikut.

q p

s r

Berdasarkan perbandingan

q p

s

r

dapat dikatakan bahwa

jika dalam suatu segitiga terdapat garis yang sejajar dengan

salah satu sisi segitiga maka garis tersebut akan membagi sisi

lainnya dengan perbandingan yang sama.

Selanjutnya, amati Gambar 1.16.

Coba kamu selidiki, apakah

PQR

sebangun dengan

QSR

?

Pada gambar tersebut tampak bahwa:

1)

PQR

=

QSR

(siku-siku);

2)

QRP

=

QRS

(berimpit).

Berdasarkan (1) dan (2), diperoleh

QPR

=

RQS

. Mengapa?

Coba kamu jelaskan.

Oleh karena itu,

PQR

sebangun dengan

QSR

sehingga ber laku hubungan

QR

PR

=

SR

QR

atau

QR

2

=

SR

·

PR

.

Con t oh 1 .6

1. Amati Gambar 1.17. Tentukan panjang OM. Penyelesaian:

MPO sebangun dengan MON sehingga OM

MN = MP OM

(OM)2₌_MP_·_MN

฀(OM)2_{= 3 · 12}฀

฀(OM)2 _{= 36} OM = 6 cm

Jadi, panjang OM = 6 cm.

2. Lima orang anak ingin meng ukur lebar sungai. Oleh karena secara langsung tidak memungkinkan, kegiatan pengukuran dilakukan secara tidak langsung.

Mereka berhasil menandai tempat-tempat A, B, C, D, dan E

seperti tampak pada Gambar 1.18.

Setelah dilakukan pengukuran, diperoleh AB = 4 m, BC = 3 m, dan DE = 12 m. Jika BF sejajar DE, berapa meter lebar sungai itu?

Q P

R

S

O

M N

P

3 cm 9 cm

Ga m ba r 1 .1 6

Ga m ba r 1 .1 7

Ga m ba r 1 .1 8 A D

E F

B

(22)

Penyelesaian: Langkah 1

Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan pada soal.

Diketahui: AB = 4 m, BC = 3 m, dan DE =BF = 12 m. Ditanyakan : Lebar sungai (BD)?

Langkah 2

Menentukan konsep apa yang akan digunakan untuk menjawab soal. Konsep yang digunakan adalah segitiga-segitiga yang sebangun.

Langkah 3

Melakukan perhitungan dengan menggunakan konsep kese-bangunan, sebagai berikut. Amati Gambar 1.18 pada soal. Dari pengamatan yang teliti, diperoleh ABC sebangun dengan ADE, sehingga

AB AD =

BC DE

4

AB BD =

3 12

4 12 = 3(AB + BD) kedua ruas kalikan 12 (AB + BD) 48 = 3(4 + BD) substitusikan AB = 4

4 + BD = 16 kedua ruas bagi dengan 3

฀BD = 12

Jadi, lebar sungai itu adalah 12 meter.

Sia pa Be r a n i?

Amati gambar berikut.

P A

Q

R C

B

Titik P, Q, dan R

berturut-turut terletak pada perpanjangan AC, AB, dan BC suatu ABC. Jika P, Q, dan R segaris, buktikan bahwa

AQ QB

BR RC

CP PA = 1

Te s Kom pe t e n si 1 .2

T

R

S

6 cm

10 cm

8 cm

M

K

L

9 cm

15 cm

12 cm

a. Buktikan bahwa KLM sebangun dengan RST.

b. Tentukan pasangan-pasangan sudut yang sama besar.

C

A B

50°

R

P 65° Q

a. Buktikan bahwa ABC sebangun dengan PQR.

(23)

P

B A

Q O

a. Buktikan bahwa AOB sebangun

dengan POQ.

b. Jika AB = 12 cm, PQ = 8 cm, dan

AQ = 24 cm, tentukan panjang OA

dan OQ.

Diketahui BC // ED.

a. Buktikan bahwa

ABC sebangun

dengan AED.

b. Jika EB = 6 cm, BC = 10 cm, dan

DE = 4 cm, tentukan panjang AE.

5. Jika ABC dan PQR pada soal berikut

sebangun, tentukan nilai x dan y.

a.

B A

C y

28°

R x 118°

P

Q

b. C

A B

6 cm

15 cm x cm

10 cm R

P Q

y cm _{8 cm}

6. Diketahui ABC sebangun dengan PQR.

Jika AB = 6 cm, AC = 8 cm, BAC = 60°,

dan PR = 10 cm, tentukan besar QRP

dan panjang PQ.

B 3 cmP C

A Q

x cm

a. Selidiki apakah ABC sebangun

dengan APQ? Jelaskan.

b. Jika ABC sebangun dengan APQ

tentukan nilai x.

8. Diketahui ABC sebangun dengan PQR.

Jika BAC = 50° dan ABC = 68°, tentukan

besar QPR, PQR, danPRQ.

9. R

P _S

r q

Q p t

Pada gambar berikut, PRQ siku-siku,

begitu juga dengan PSR. Nyata kan t

dalam p, q, dan r.

C D

B _{8 m}

A

6 m

F E

Berdasarkan gambar di atas, tentukan:

a. panjang AC; c. panjang AE;

b. panjang CF; d. luas ADF.

11. Pak Amir akan membuat dua buah papan

reklame berbentuk segitiga samasisi. Menurut pemesannya, perbandingan sisi kedua papan itu 3 : 7 dan selisih kedua sisinya 16 dm. Tentukanlah panjang sisi dari setiap segitiga itu.

4 cm H

C D

B 3 cm

A E

F G

I

Dari gambar tersebut, buktikan:

a. DCG sebangun dengan IBC,

b. DCG sebangun dengan HGF.

Kemudian, tentukan panjang CI,

IB, HG, dan HF.

A

E D

(24)

13. Diketahui ABC dan PQR kedua-duanya sama kaki. Jika besar salah satu sudut dari ABC adalah 80° dan besar salah satu sudut dari PQR adalah 50°, jawablah pertanyaan berikut.

a. Sketsalah beberapa kemungkinan ben tuk geometri kedua segitiga itu dan tentukan besar semua sudutnya. b. Apakah ABC dan PQR sebangun?

Jelaskan.

C. D u a Se git iga y a n g Kon gr u e n

Perhatikan Gambar 1.19.

Ukurlah panjang sisi dan besar sudut segitiga

ABC

dan

segitiga

PQR

. Jika kamu melakukan pengukuran dengan

benar, diperoleh hubungan:

(i)

AB

=

PQ

,

BC = QR

, dan

AC

=

PR

.

(ii)

A

=

P

,

B

=

Q

, dan

C

=

R

.

Oleh karena itu,

ABC

kongruen dengan

PQR

.

Sekarang, ukurlah panjang sisi dan besar sudut

KLM

.

Kemudian, bandingkan dengan unsur-unsur

ABC

. Dari

hasil pengukuran tersebut, diperoleh hubungan berikut.

(iii)

AB

≠

KL

,

BC

≠

LM

, dan

AC

≠

KM

.

(iv)

A

=

K

,

B

=

L

, dan

C

=

M

.

Berdasarkan (iii) dan (iv) dapat diketahui bahwa

BC

tidak kongruen dengan

KLM

. Akan tetapi,

AB

KL BC LM

AC KM

Dengan demikian,

ABC

sebangun dengan

KLM

.

Berdasarkan uraian tersebut, dapatkah kamu menerka

pengertian dua segitiga yang kongruen? Cobalah nyatakan

pengertian dua segitiga yang kongruen dengan kata-katamu

sendiri.

Dua segitiga yang kongruen pasti sebangun, tetapi dua

segitiga yang sebangun belum tentu kongruen.

1 . Sifa t D u a Se git iga y a n g Kon gr u e n

Gambar 1.20 menunjukkan sebagian dari pola pengubinan

segitiga-segitiga yang kongruen.

Apabila

ABD

digeser ke kanan tanpa memutar dengan arah

AB

uuu

u r

maka diperoleh

A B

C

R

P Q

M

K L

Ga m ba r 1 .1 9

Ga m ba r 1 .2 0 G

A

H

B

I

C

(25)

A

B

(

A

menempati

B

)

B

C

(

B

menempati

C

)

D

E

(

D

menempati

E

)

AB

BC

sehingga

AB

=

BC

BD

CE

sehingga

BD

=

CE

AD

BE

sehingga

AD

=

BE

Hal ini menunjukkan bahwa dua segitiga yang kongruen

memenuhi sifat umum berikut.

Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.

Dalam penggeseran

ABE

dengan arah

AB

uuu

u r

, diperoleh pula

DAB

EBC

sehingga

EAB

=

FBC

DBA

ECB

sehingga

DBA

=

ECB

ADB

BEC

sehingga

ADB

=

BEC

Hal ini menunjukkan bahwa dua segitiga yang kongruen

memenuhi sifat umum berikut.

Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Con t oh 1 .7

1. Pada gambar di samping, PQ diputar setengah putaran dengan pusat O (titik O di luar PQ) sehingga bayangannya

P’Q’. Selidiki apakah POQ kongruen dengan P'OQ' ? Jelaskan hasil penyelidikanmu.

Penyelesaian:

PQ diputar setengah putaran terhadap pusat O, diperoleh a. PQ P'Q' sehingga PQ = P'Q'

PO P'O sehingga PO = P'O QO Q'O sehingga QO = Q'O

b. QPO Q'P'O sehingga QPO = Q'P'O PQO P'Q'O sehingga PQO = P'Q'O POQ P'OQ' sehingga POQ = P'O'Q

Dari penjelasan (a) dan (b) maka POQ kongruen dengan

P'OQ' , ditulis POQ ฀฀P'OQ'.

2. Pada gambar di samping, ABC kongruen dengan PQR. Tentukan:

a. besar ACB dan PQR; b. panjang sisi QR. Penyelesaian:

a. ABC kongruen dengan PQR maka

ACB = PRQ = 62°

ABC = 180° – (BAC + ACB)

P Q'

P' Q

O

Q

R P

62°

54°

A _B

C

18 cm

20 cm Sia pa Be r a n i?

Amati gambar berikut.

B E

A

C

D AE diputar setengah putaran dengan pusat B

sehingga bayangannya

CD. Akibatnya, ABE

kongruen dengan CBD. Jika BE = 6 cm,

AE = 8 cm, BC = 5 cm,

BAE = 60°, dan

ABE = 70°, tentukan:

a. panjang BD dan AB;

(26)

= 180° – (54° + 62°) = 64°

PQR = ABC = 64°.

b. ABC kongruen dengan PQR maka

QR = BC = 18 cm.

2 . Sy a r a t D u a Se git iga Kon gr u e n

Pada bagian sebelumnya, kamu sudah mengetahui bahwa dua

segitiga akan kongruen jika sisi-sisi yang bersesuaian sama

panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Dengan

demikian, kamu harus menghitung setiap panjang sisi dan

besar sudut kedua segitiga untuk membuktikan kekongruenan

dua segitiga tersebut. Tentunya hal ini akan menyita waktu.

Apakah kamu tahu cara lain yang lebih efektif?

a . Sisi- Sisi y a n g Be r se su a ia n Sa m a Pa n j a n g ( s.s.s)

Amati Gambar 1.21. Pada gambar tersebut,

AB

=

PQ

,

BC

=

QR

, dan

AC

=

PR

. Ukurlah besar sudut-sudut dari kedua

segitiga tersebut. Dari hasil pengukuran tersebut, kamu akan

memperoleh hubungan

A

=

P

;

B

=

Q

;

C

=

R

.

Dengan demikian,

ABC

dan

PQR

memenuhi sifat

dua segitiga yang kongruen, yaitu

sisi-sisi yang bersesuaian

sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

.

Jadi,

ABC

kongruen dengan

PQR

.

Berdasarkan uraian di atas tampak bahwa jika sisi-sisi yang

bersesuaian dari dua segitiga sama panjang maka dua segitiga

tersebut kongruen. Apakah hal itu berlaku secara umum? Untuk

mengetahuinya, lakukanlah Tugas untukmu di samping.

Hasil yang benar dari tugas tersebut memperjelas sifat

berikut.

Jika sisi-sisi yang bersesuaian dari dua segitiga sama

panjang (s.s.s) maka dua segitiga tersebut kongruen.

b. D u a Sisi y a n g Be r se su a ia n Sa m a Pa n j a n g da n Su du t y a n g D ia pit n y a Sa m a Be sa r ( s.sd.s)

Amati Gambar 1.22. Pada gambar tersebut,

DE

=

KL

,

D

=

K

, dan

DF

=

KM

. Ukurlah panjang

EF

dan

LM

, besar

E

dan

L,

serta besar

F

dan

M

. Berdasarkan hasil pengukuran

Sia pa Be r a n i?

Coba kamu selidiki persamaan dan perbedaan antara dua segitiga yang sebangun dan dua segitiga yang kongruen.

R

P Q

C

A B

Ga m ba r 1 .2 1

Gambarlah lima pasang segitiga sebarang yang sisi-sisi bersesuaiannya sama panjang (s.s.s). Ukurlah besar sudut-sudut yang bersesuaian dari setiap pasang segitiga. Selidikilah apakah besar sudut yang bersesuaian dari setiap pasang segitiga tersebut sama besar? Dapatkah dinyatakan bahwa jika sisi-sisi yang bersesuaian dari dua segitiga

sama panjang maka dua segitiga tersebut kongruen? Tuliskan hasil penyelidikanmu pada selembar kertas, kemudian kumpulkan pada gurumu.

F

D

E °

M

K

(27)

tersebut, kamu akan memperoleh hubungan

EF

=

LM

,

E

=

L

, dan

F

=

M

.

Dengan demikian, pada

DEF

dan

KLM

berlaku

(i)

DE

=

KL

,

EF

=

LM

,

DF

=

KM

;

(ii)

D

=

K

,

E

=

L

,

F

=

M.

Hal ini menunjukkan bahwa

DEF

dan

KLM

memenuhi

sifat dua segitiga yang kongruen. Jadi,

DEF

KLM

.

Uraian tersebut memperjelas sifat berikut.

Jika dua sisi yang bersesuaian dari dua segitiga sama

panjang dan sudut yang diapitnya sama besar (s.sd.s) maka

kedua segitiga itu kongruen.

c. D u a Su du t y a n g Be r se su a ia n Sa m a Be sa r da n Sisi y a n g Be r a da di An t a r a n y a Sa m a Pa n j a n g ( sd.s.sd)

Amati Gambar 1.23. Pada gambar tersebut

G

=

X

,

H

=

Y

, dan

GH

=

XY

. Ukurlah besar

I

dan

Z

, panjang

GI

dan

XZ

, serta panjang

HI

dan

YZ

. Dari hasil pengukuran

tersebut, kamu akan memperoleh hubungan

I

=

Z

,

GI

=

XZ

, dan

HI

=

YZ

.

Dengan demikian, pada

GHI

dan

XYZ

berlaku

(i)

G

=

X

,

H

=

Y

, dan

I

=

Z

;

(ii)

GH

=

XY

,

HI

=

YZ

, dan

GI

=

XZ

.

GHI

dan

XYZ

memenuhi sifat dua segitiga yang kongruen. Jadi,

GHI

XYZ

.

Berdasarkan uraian tersebut, dapatkah kamu menemukan

sifat berikut?

Jika dua sudut yang bersesuaian dari dua segitiga sama

besar dan sisi yang berada di antaranya sama panjang

(sd.s.sd) maka kedua segitiga itu kongruen.

d. D u a Su du t y a n g Be r se su a ia n Sa m a Be sa r da n Sisi y a n g Be r a da di H a da pa n n y a Sa m a Pa n j a n g ( sd.sd.s)

Amati Gambar 1.24. Pada gambar tersebut,

A

=

X

,

B

=

Y

, dan

BC

=

YZ

. Ukurlah besar

C

dan

Z

, panjang

AB

dan

XY

, serta panjang

AC

dan

XZ

. Dari hasil pengukuran

tersebut, kamu akan memperoleh hubungan

C

=

Z

,

AB

=

XY

, dan

AC

=

XZ

.

I

G° H

Z

X° Y

C

A B

Z

X Y

Buatlah 3 pasang segitiga sebarang. Setiap pasang segitiga memiliki sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Ukurlah panjang sisi yang bersesuaian. Apakah dapat disimpulkan bahwa jika sudut-sudut yang bersesuaian sama besar maka dua segitiga tersebut kongruen? Coba selidiki adakah syarat yang lain agar dua segitiga tersebut kongruen? Tuliskan hasil penyelidikanmu pada kertas terpisah. Kemudian, kumpulkan pada gurumu.

Ga m ba r 1 .2 3

(28)

Dengan demikian, pada

ABC

dan

XYZ

berlaku

(i)

A

=

X

,

B

=

Y

, dan

C

=

Z

;

(ii)

AB

=

XY

,

BC

=

YZ

, dan

AC

=

XZ

.

ABC

dan

XYZ

memenuhi

sifat dua segitiga yang kongruen. Jadi,

ABC

XYZ

.

Berdasarkan uraian tersebut, dapatkah kamu menemukan

sifat berikut?

Jika dua sudut yang bersesuaian dari dua segitiga sama

besar dan satu sisi sekutu kedua sudutnya sama panjang

(sd.sd.s) maka kedua segitiga tersebut kongruen.

Con t oh 1 .8

1. Amati Gambar 1.25.

Selidikilah apakah ABC kongruen dengan PQR?

Jelaskan. Penyelesaian:

Kedua segitiga tersebut memenuhi sd.s.sd sehingga ABC

kongruen dengan PQR. 2. Amati gambar di samping.

PQRS adalah jajar genjang dengan salah satu diago nalnya QS. Selidikilah apakah PQS dan RSQ

kongruen? Jelaskan. Penyelesaian:

Pada jajargenjang, sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar sehingga PQ = SR, PQ // SR, dan PS = QR, PS // QR. Selanjutnya, QS adalah diagonal sehingga QS = SQ.

Dengan demikian, sisi-sisi yang bersesuaian dari PQS dan

RSQ sama panjang (s.s.s). Jadi, PQS dan RSQ kongruen.

3. Amati trapesium siku-siku PQRS pada gambar berikut.

PQ = 5 cm, SR = 3 cm, dan PS = 3 cm.

Selidikilah apakah PSR

kongruen dengan PRQ? Penyelesaian:

Jika PSR dan PRQ kongruen

maka haruslah PS = PR dan SR = RQ karena PSR = PRQ

(siku-siku).

PR = ( )2 ₍( ₎)2 ₌ ₃2 ₃₃2 _{= 3} ₂

Jadi, PR ≠ PS.

B

A 70 _{8 cm}50° _C

°

R

P

Q

50°

70°

8 cm

Ga m ba r 1 .2 5 S

P

R

Q

S R

Q P

Lukislah masing-masing dua segitiga yang memenuhi syarat:

a. s. s. s

b. s. sd. s

c. sd. s. sd

d. sd. sd. s

(29)

sisi-sisi yang bersesuaian dari PSR dan PRQ tidak sama panjang. Jadi, PSR dan PRQ tidak kongruen.

3 . Pa n j a n g Ga r is da n Be sa r Su du t da r i Ba n gu n Ge om e t r i

Konsep segitiga kongruen dapat digunakan untuk menghitung

panjang garis dan besar sudut dari bangun datar, seperti

jajar genjang, belahketupat, dan layang-layang. Sebelum

menghitung panjang garis dan besar sudut dari bangun

geometri, pelajarilah uraian berikut.

Gambar 1.26 memperlihatkan segitiga siku-siku

ABC

. Jika dibuat garis dari titik sudut

B

ke hipotenusa

AC

sedemikian rupa sehingga

ABT

= 30°, diperoleh

ATB

= 180° – (30° + 30°) = 120°

BTC

= 180° –

ATB

= 180° – 120° = 60°

BCT

= 180° – (

BAT

+

ABC

)

= 180° – (30° + 90°) = 60°

CBT

=

ABC

–

ABT

= 90° – 30° = 60°

Amati bahwa:

t

BAT

=

ABT

= 30° sehingga

ABT

samakaki, dalam

hal ini

AT

=

BT

;

t

CBT

=

BCT

=

BTC

= 60° sehingga

BTC

samasisi,

dalam hal ini

BT

=

BC

=

CT.

Dengan demikian,

AT

=

BT

=

BC

=

CT

. Amati bahwa

AT

=

CT

sehingga

BT

merupakan garis berat

ABC

.

Oleh karena

AC

=

AT

+

CT

maka

AC

=

BC

+

BC

= 2

BC

atau

AC

=

BT

+

BT

= 2

BT

.

Uraian tersebut memperjelas Sifat 1 dan Sifat 2 dari

segitiga siku-siku bersudut 30° seperti berikut.

Sifat 1

Panjang garis berat segitiga siku-siku bersudut 30°

yang ditarik dari titik sudut siku-siku sama dengan

panjang setengah hipotenusanya.

Sifat 2

Panjang sisi terpendek dari segitiga siku-siku

bersudut 30° sama dengan panjang setengah

hipotenusanya.

H a l Pe n t in g

Istilah-istilah penting yang kamu temui pada bab ini adalah

• kesebangunan • kekongruenan • skala

• perbandingan sisi

• perbandingan sudut

B A

T

30°

C

Ga m ba r 1 .2 6

Ca t a t a n

Garis berat segitiga adalah garis yang melalui salah satu titik tengah sisi segitiga dan titik sudut di hadapan sisi itu.

Sia pa Be r a n i?

Perhatikan gambar berikut.

A B

C D

E

F G H

J I

(30)

Con t oh 1 .9

1. Amati Gambar 1.27(a). Jajargenjang ABCD terbentuk dari dua segitiga siku-siku yang kongruen, yaitu ADC

dan CBA. Jika AC = 12 cm, tentukan panjang semua sisi jajargenjang tersebut.

Penyelesaian:

Pelajarilah Gambar 1.33(b).

BA = 2 CB sifat 2

CBA siku-siku di C sehingga berlaku hubungan (BA)2_{= (}_AC₎2_{+ (}_CB₎2

(2CB)2_{= 12}2_{+ (}_CB₎2

4(CB)2_{= 144 + (}_CB₎2

3(CB)2_{= 144}

CB = 4 3

Dengan demikian, BA = 2CB = 2 4 3 = 8 3. Oleh karena ADC CBA maka

AD = CB = 4 3 cm dan DC = BA = 8 3 cm.

2. Amati Gambar 1.28(a). Pada gambar tersebut, AB = 6 cm,

BC = 3 cm, DC = 4 cm, DBC = 53°, dan DB = DA = 5 cm. Tentukanlah besar DAB.

A

D

B

C

B

3 cm

4 cm

3 cm 3 cm

5 cm

A

D

C

53°

E

Penyelesaian:

t 1BEBHBNCBSUFSTFCVUABD adalah segitiga samakaki. Tarik garis tinggi ABD yang me lalui titik D hingga memotong AB di E seperti pada Gambar 1.28(b). t 0MFI LBSFOB ABD segitiga samakaki dan DE garis

tingginya maka AE = EB. Adapun DEB siku-siku di E,

EB = 3 cm, dan DB = 5 cm.

(DE)2 _{= (}_DB₎2_{– (}_EB₎2_{= 5}2_{– 3}2_{= 25 – 9 = 16} DE = 4 cm.

t 4FLBSBOHBNBUJDEB dan DCB.

DC = DE = 4 cm

CB = EB = 3 cm

DB = DB = 5 cm (berimpit)

Oleh karena itu, DEB kongruen dengan DCB, akibatnya

30° 60°

12 cm

C

A B

a

b 12 cm

C

A B

D

60°

Ga m ba r 1 .2 7

1. Dari selembar karton, buatlah dua model bangun yang kongruen dengan ukuran bebas seperti pada gambar berikut.

A

B

2. Guntinglah bangun B menurut garis putus-putus.

3. Acaklah potongan-potongan bangun B.

4. Susun dan tempelkan potongan-potongan tersebut hingga menutupi bangun A.

5. Pertanyaan:

a. Apakah

potongan-potongan bangun B dapat disusun menyerupai bangun A?

(31)

t DEB kongruen dengan DEA karena

ED = ED = 4 cm (berimpit)

DB = DA = 5 cm

EB = EA = 3 cm

Jadi, DAB = DBE = 53°.

Te s Kom pe t e n si 1 .3

1. Pada gambar berikut, KLM diputar

setengah putaran pada titik tengah MK,

yaitu titik O. Akibatnya, KLM dan

bayangan nya, yaitu MNK kongruen.

L _M

O

N K

a. Tentukan pasangan sisi yang sama

panjang.

b. Tentukan pasangan sudut yang sama

besar.

c. Berbentuk apakah bangun KLMN?

D

A C

B

ABCD adalah belah ketupat dengan salah

satu diagonal nya BD. Dari gambar tersebut

diperoleh ABD kong ruen dengan CBD.

a. Tentukanlah pasangan sisi yang

sama panjang.

b. Tentukanlah pasangan sudut yang

sama besar.

S

R P

Q

PQRS adalah layang-layang dengan

sumbu simetri nya QS. Dari gambar

tersebut diperoleh PQS kongruen

dengan RQS.

a. Tentukanlah pasangan sisi yang

sama panjang.

b. Tentukanlah pasangan sudut yang

sama besar.

4. Pada gambar berikut, PQ dan RS sama

panjang dan sejajar.

O

S

Q P

R

Buktikan bahwa POQ kongruen dengan

SOR.

5. Pada gambar berikut, KLMN adalah

persegi panjang dengan kedua diago

(32)

9. Tentukan panjang: a. AE;

b. EB; d. AD; e. BC. c. ED;

A

C

E B

D

Diketahui:

AB = BD, = , dan AE ฀BC.

a. Buktikan bahwa ABC kongruen dengan BED.

b. Jika BC = 10 cm dan CD = 1

3BD,

tentukanlah panjang garis DE dan luas BED.

D

E

A B

C

100°

ABCD ada lah tra pe sium samakaki. Jika BC // ED dan AE = ED, tentukan

besar: a. EBC; b. EDC; c. BED; d. AED; e. EAD; f. ADE.

A C

D

E O F

N M

K

O

L

a. Buktikan bahwa KLM kongruen dengan MNK.

b. Tentukan pasangan segitiga lain yang kongruen dari gam bar tersebut. 6. Pada gambar berikut, ABCD adalah

trape sium samakaki dengan kedua garis dia -gonal nya berpotongan di titik O.

D C

A

O

B

a. Buktikan bahwa DAC kong ruen dengan CBD.

b. Tentukan pasangan segitiga lain yang kongruen dari gambar tersebut. 7. Pada gambar berikut, BC = CD = CE,

ABF = 50°, dan BF // CE. Tentukan besar:

a. BCE;

b. CDE

c. CED; d. CBE; e. BEC.

Untuk soal nomor 8 dan 9, perhatikan gambar berikut dengan DC = 8 cm dan ED = EB.

D

A _E _B

C

30º

60º

8. Tentukan besar: a. BED; b. AED; c. DBC; d. BDC; e. ADE; f. BCD.

D F

A

E

(33)

a. Tentukan pasangan-pasangan segitiga kongruen yang terdapat dalam belah-ketupat ABCD.

b. Jika BD = 32 cm, DC = 20 cm, dan

FC = 1

3OF, tentukan luas BDF.

13. Amati gambar berikut dengan saksama.

A B

C

D

E

Diketahui BCD = BAD dan AB = CD