KESEBANGUNAN. Matematika

(1)

____________ Matematika| _{http://www.syarifatun28.wordpress.com}

1

KESEBANGUNAN

A. Gambar Berskala, Foto, dan Model Berskala

Gambar berskala, foto, dan model berskala banyak digunakan dalam bidang matematika, arsitektur, geografi, dan lain-lain.

Seorang arsitek yang akan membuat gedung bertingkat misalnya, harus membuat gambar berskala atau model berskala (maket). Dengan gambar atau model berskala ia dapat merancang tata ruang dan bentuk bangunan yang megah.

1. Skala pada Peta

Gambar berskala sering disebut peta atau denah. Dengan peta kita dapat memperkirakan jarak antara kota satu dengan kota yang lain.

Perbandingan antara ukuran pada peta dengan ukuran dalam keadaan sebenarnya disebut skala. Misalnya, suatu peta menggunakan skala 1 : 500.000 artinya 1 cm pada peta mewakili 500.000 cm atau 5 km dalam keadaan sebenarnya.

Contoh:

Jarak antara Waikabubak dengan Waingapu pada peta (skala 1 : 2.460.000) adalah 4 cm. Berapakah jarak sebenarnya?

Jawab:

Skala 1 : 2. 460.000 atau 1 cm mewakili 24,6 km. Jarak sebenarnya adalah 4  24, 6 km = 98, 4 km.

Contoh:

Jarak antara dua kota pada peta 2 cm. Jarak sebenarnya antara kedua kiota itu 60 km. Tentukan skala peta tersebut!

Jawab:

Jarak pada peta 2 cm.

Jarak sebenarnya 60 km = 6.000.000.

Skala peta adalah 2 : 6.000.000 = 1 : 3.000.000. Contoh:

Jarak sebenarnya antara kota P dan kota Q adalah 75 km. Tentukan jarak antara kota P dan kota Q pada peta, jika peta tersebut menggunakan skala 1 : 5.000.000 Jawab:

(2)

2

Skala 1 : 5.000.000 berarti 1 cm mewakili 50 km. Jarak sebenarnya 75 km.

Jarak pada peta = 1,5 cm

Jadi, jarak antara kota P dan kota Q pada peta adalah 1, 5 cm. Latihan 1

1. Pada peta yang berskala 1 : 1.500.000 jarak antara kota P dan Q adalah 5 cm. Tentukan jarak sebenarnya antara kota P dan Q!

2. Kota A dan b pada peta berjarak 3,5 cm. Jika jarak sebenarnya antara kota A dan B adalah 14 km, tentukan skala peta itu!

3. Jarak sebenarnya antara kota X dan Y adalah 150 km. Tentukan jarak antara X dan Y pada peta yang berskala 1 : 2.500.000!

4. Kota A dan B pada peta berjarak 4,5 cm. Pada peta yang sama jarak kota P dan Q adalah 5 cm. Jika jarak sebenarnya antara kota P dan Q adalah 70 km, tentukan jarak sebenarnya antara kota A dan B!

2. Menentukan Ukuran Foto atau Model dan Ukuran Sesungguhnya

Foto termasuk gambar berskala. Ukuran foto tidak selalu lebih kecil daripada keadaan sebenarnya. Pada mikroskop misalnya, bayangan (gambar) dari jasad renik dapat diperbesar hingga ribuan kali sehingga memudahkan untuk diamati. Untuk keperluan reklame kadang-kadang foto dibuat lebih besar dari keadaan benda sebenarnya.

Pada foto, setiap ukuran dalam keadaan sebenarnya diperkecil atau diperbesar dengan perbandingan yang sama. Oleh karena itu, setiap ukuran pada foto dengan ukuran yang bersesuaian dalam keadaaan sebenarnya mempunyai perbandingan ukuran yang sama.

Contoh:

Lebar rumah dan tinggi jendela pada foto berturut-turut adalah 6 cm dan 1,3 cm. Lebar rumah sebenarnya adalah 6 m. Berapakah tinggi jendela sebenarnya? Jawab:

Misalnya, tinggi jendela sebenarnya adalah t. untuk memudahkan perhitungan kita buat tabel berikut ini.

(3)

3

Pada Foto Sebenarnya Lebar Rumah Tinggi Jendela 6 cm 1,3 cm 6 m = 600 cm t

Jadi, tinggi jendela sebenarnya adalah 130 cm. Contoh:

Model suatu mobil panjangnya 25 cm dan tingginya 10 cm. Jika tinggi mobil sebenarnya 1,5 m, berapakah panjang mobil sebenarnya?

Jawab:

Misalnya panjang mobil sebenarnya x

Sebenarnya Pada Model Panjang mobil Tinggi mobil x 1,5 m 25 cm 10 cm

Jadi, panjang mobil sebenarnya 3,75 m. Latihan 2

1. Pada layar televisi tinggi sebatang pohon 9 cm dan tinggi rumah di sampingnya 6 cm. Jika tinggi pohon sebenarnya 15 m, berapakah tinggi rumah sebenarnya?

2. Suatu pesawat udara panjang badannya 24 m dan panjang sayapnya 32 m. Jika pada model panjang sayapnya 12 cm, hitunglah panjang badan model tersebut!

3. Suatu gedung bertingkat panjangnya 45 m, lebar 9 m, dan tinggi 27 m. Jika panjang model gedung itu 50 cm, tentukan lebar dan tinggi model tersebut!

(4)

4

B. Bangun-Bangun yang Sebangun 1. Syarat Dua Bangun yang Sebangun

Gambar di atas menunjukkan dua trapesium yang sebangun. Sisi AB bersesuaian dengan sisi PQ

Sisi AD bersesuaian dengan sisi PS Sisi BC bersesuaian dengan sisi QR Sisi DC bersesuaian dengan sisi SR Perhatikan bahwa:

AB : PQ = 12 : 6 = 2 : 1

AD : PS = √ √ √ √ DC : SR = 6 : 3 = 2 : 1

Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa CB : SR = 2 : 1.

Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian antara trapesium ABCD dengan trapesium PQRS mempunyai perbandingan yang sama. AB : PQ = AD : PS = DC : SR = 2 : 1.

Sudut A bersesuaian dan sama besar dengan sudut P. Sudut B bersesuaian dan sama besar dengan sudut Q.

D 6 cm C A 12 cm B 3 cm 6 cm P Q R S

(5)

5

Sudut C bersesuaian dan sama besar dengan sudut R. Sudut D bersesuaian dan sama besar dengan sudut S.

2. Menghitung Panjang Salah Satu Sisi yang Belum Diketahui dari Dua Bangun yang Sebangun

Sisi-sisi yang bersesuaian pada dua bangun yang sebangun adalah sebanding, artinya mempunyai perbandingan yang sama. Dengan pengertian tersebut, dapat dihitung panjang salah satu sisi yang belum diketahui dari dua bangun yang sebangun.

Contoh:

Pada gambar di samping, diketahui jajargenjang APQR sebanyak dengan jajargenjang ABCD. Tentukan panjang sisi PQ!

Jawab: CD = 18 cm, QR = 12 cm BC = 15 cm, PQ = x CD = QR = BC : PQ Atau

Jadi, panjang sisi PQ adalah 10 cm.

Jadi, dua bangun dikatakan sebangun jika memenuhi dua syarat: a. Sisi-sisi yang bersesuaian sebanding.

b. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

D A C B Q R x 12 cm P 18 cm 15 cm

(6)

6

Latihan 3 1.

Perhatikan gambar di atas!

Buktikan bahwa persegi panjang PQRS sebangun dengan persegi panjang BCSA!

2.

Persegi panjang ABCD sebangun dengan persegi panjang FGHE. Hitunglah panjang AB!

C. Segitiga-Segitiga yang Sebangun 1. Syarat Dua Segitiga Sebangun

Perhatikan gambar!

Segitiga ABC kita kalikan dengan faktor skala 2 dari titik M. Dengan demikian jarak titik A’ (bayangan dari A) terhadap M adalah dua kali jarak A terhadap M demikian pula titik B’ dan C’

Jadi,  A’B’C’ merupakan hasil dilatasi dari  ABC dengan faktor 2 terhadap titik pusat M, sehingga  A’B’C’ sebangun dengan  ABC.

M A B C A’ C’ B’ S C R P Q A B 6 cm 8 cm 12 cm 4 cm D C A B H G E F 12 cm 7 cm 3 cm

(7)

7

Apabila kita ukur dengan mistar kita peroleh: A’B’ AB A’B’ bersesuaian dengan AB B’C’ BC B’C’ bersesuaian dengan BC A’C’ AC A’C’ bersesuaian dengan AC

Pada dua segitiga yang sebangun, sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama.

Apabila kita ukur sudut-sudutnya, kita peroleh:  A’  A,  A’ bersesuaian dengan  A

 B’  B,  B’ bersesuaian dengan  B  C’  C,  C’ bersesuaian dengan  C

Pada dua segitiga yang sebangun, sudut-sudut yang bersesuaian besarnya sama.

Contoh:

Dari gambar di samping, buktikan bahwa  ABC sebangun dengan  DFE. Sebutkan sisi-sisi yang bersesuaian! Jawab: Pada  ABC,  C = 90 - 60 = 30 Pada  DEF,  F = 90 - 30 = 60 Jadi,  C =  E  B =  F

Sisi AB bersesuaian dengan DF. Sisi AC bersesuaian dengan DE. Sisi BC bersesuaian dengan EF.

Syarat dua segitiga sebangun adalah sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama atau sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

C B A Q P



 ABC sebangun dengan  DEF

(8)

8

2. Menghitung Panjang Salah Satu Sisi Segitiga yang Belum Diketahui dari Dua Segitiga yang Sebangun

Dengan pengertian bahwa pada dua segitiga yang sebangun, sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama, maka dapat dihitung salah satu sisi segitiga yang belum diketahui.

Contoh:

Pada segitiga ABC yang sebangun dengan segitiga DBE seperti gambar di samping, tentukan panjang sisi DE!

Jawab: Misal panjang DE = x DE bersesuaian dengan AC DB bersesuaian dengan AB Jadi, cm

3. Menggunakan Segitiga-Segitiga Sebangun untuk Menentukan Perbandingan Ruas Garis pada Segitiga

Gambar di bawah memperlihatkan bahwa titi A, B, C, dan D terletak pada satu garis lurus dengan perbandingan AB : BC : CD = 1 : 2 : 5.

Kita dapat menentukan perbandingan-perbandingan yang lain misalnya, AC : CD = (1 + 2) : 5 = 3 : 5 AC : BD = (1 + 2) : (2 + 5) = 3 : 7 C C D 6 cm x B A 2 cm A 1 A 2 A 5 A

(9)

9

AB : BD = 1 : (2 + 5) = 1 : 7

Dengan cara yang sama kita dapat menentukan perbandingan ruas garis pada segitiga-segitiga yang sebangun.

Contoh:

Pada gambar di samping,  ABE sebangun dengan  ACD. BE : CD = 1 : 3 Tentukan: a. AB : AC b. AB : BC Jawab: a. AB : AC = BE : CD =1 : 3 b. AB : AC = 1 : 3 Jadi, BC = 3 – 1 =2 Dengan demikian AB : BC = 1 : 2

4. Menyelesaikan Soal Cerita yang Berkaitan dengan Kesebangunan Contoh:

Untuk membuat sebuah pesawat terbang, dibuat model dengan ukuran panjang badan 9 cm dan panjang sayap 12 cm. Jika panjang badan pesawat sebenarnya 42 m, berapakah panjang sayap sebenarnya?

Jawab:

Model pesawat sebangun dengan pesawat sebenarnya. Panjang model bersesuaian dengan panjang pesawat.

Panjang sayap model bersesuaian dengan panjang sayap pesawat. Misal panjang sayap sebenarnya x, maka:

Jadi, panjang sayap sebenarnya 56 m.

C D A B E 3 1

(10)

____________ Matematika| _{http://www.syarifatun28.wordpress.com} 10 C A D E B C A D B A C D B E 3 1 Latihan 4

1. Dalam  ABC dan  KLM,  A = 42,  B = 83,  M = 55 dan  L = 83. Buktikan bahwa  ABC sebangun dengan  KLM.

Tulislah sisi-sisi yang bersesuaian!

2. Pada gambar di samping segitiga ABC siku-siku di A. DE tegak lurus BC. AC = 6 cm, DE = 3 cm, dan AB = 8 cm

a. Buktikan bahwa  ABC sebangun dengan  DBE! b. Hitunglah panjang BD!

3.

4. Pada gambar di samping,  ABE sebangun dengan  ACD. Tentukan:

a. BE : CD b. AE : ED

5. Sebuah foto yang lebarnya 6 cm dan tingginya 9 cm diperbesar sehingga tingginya menjadi 81 cm. Berapakah lebar foto setelah di perbesar?

6. Sebuah tongkat tingginya 2 m dan panjang bayangannya 1,5 m. Pada saat yang sama bayangan suatu pohon panjangnya 4,5 m. Tentukan tinggi pohon itu!

(Matematika 3 Kurikulum SLTP 1994, Jakarta, 1999)

Pada  ABC, AD adalah garis tinggi.

Dengan sifat-sifat kesebangunan buktikan bahwa:

CA2_{= CD  CB}

BA2_{= BD  BC}