BAB. I
RELASI DAN FUNGSI
Dalam matematika modern, Relasi dan Fungsi digunakan untuk menunjukkan hubungan setiap elemen Domain dengan setiap elemenRange yang membentuk pasangan bilangan berurut.
Hubungan himpunan X = {x1, x2, x3, x4} dan Y = {y1, y2, y3, y4} akan merupakan Relasi dengan X sebagai Domain dan Y sebagai Range, yang ditulis sebagai R: X → Y. Jika setiap x X dapat dipetakan ke setiap y Y.
Hubungan himpunan X = {x1, x2, x3, x4} dan Y = {y1, y2, y3, y4} akan merupakan Fungsi dengan X sebagai Domain dan Y sebagai Range, yang ditulis sebagai F: X → Y. Jika dan hanya jika (jikka) satu x X dapat dipetakan ke satu y Y.
1.1 RELASI :
XY
R: X Y menghasilkan himpunan pasangan berurut :
A = {(x1,y1), (x1,y3), (x2,y2), (x3,y1), (x3,y3), (x4,y2), (x4,y4)}
1.2 FUNGSI :
X Y F: X Y menghasilkan himpunan pasangan berurut:
A = {(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), (x4,y4)}
Dalam pembahasan matematika ekonomi, hubungan antara variabel-variabel ekonomi dinyatakan sebagai suatu fungsi, misalnya hubungan antara jumlah permintaan sejenis
x1
x2
x3
x4
y1
y2
y3
y4
x1
x2
x3
x4
y1
y2
y3
y4
barang (Qd) dan harganya (P) → Qd = f(P), hubungan antara pengeluaran konsumsi (C) dan pendapatan (Y) → C = f(Y), hubungan total cost (TC) dan jumlah produksi (Q) → TC = f(Q).
1.2.1 ENIS-JENIS FUNGSI
1. Berdasarkan bentuk operator dalam persamaannya, jenis fungsi terdiri dari fungsi aljabar dan fungsi transeden.
1 FUNGSI ALJABAR adalah fungsi yang memuat operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, penarikan akar, dan perpangkatan.
2 Fungsi aljabar dapat diklasifikasikan menjadi fungsi rasional bulat, fungsi rasional pecahan, dan fungsi irrasional.
3 Fungsi rasional bulat juga disebut fungsi polinom atau fungsi berpangkat banyak, yang ditulis sebagai f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + . . . + an-1x + andimana n adalah bilangan bulat non negatif dan a0,a1, a2, . . . adalah bilangan real tidak sama dengan nol.
Misal:
Fungsi polinom berderajat tiga: f(x) = 3x3 + 5x2 - 2x - 1 yang merupakan fungsi kubik.
Fungsi polinom berderajat dua: f(x) = 9x2 + 3x - 15 yang merupakan fungsi kuadrat.
Fungsi polinom berderajat satu: f(x) = 75x + 150 yang merupakan fungsi linear.
1.2.2. Fungsi rasional pecahan:
r qx px
c bx ) ax
x (
f 22
1. Fungsi irrasional: f(x) = √ (2x + 5) atau ditulis f(x) = (2x + 5)1/2
2. FUNGSI TRANSENDEN yaitu fungsi non aljabar, seperti : Fungsi goneometri : f(x) = 2 sin 3x + 12
Fungsi logaritma : f(x) = 5log3x Fungsi eksponensial : f(x) = 12x Fungsi siklometri : f(x) = arc sin x
3.Berdasarkan letak variabelnya, fungsi terdiri dari fungsi eksplisit dan fungsi implisit.
1.3 FUNGSI EKSPLISIT adalah fungsi yang seluruh variabelnya dipisahkan oleh tanda "="
menjadi ruas kiri dan ruas kanan, misalnya y = 8x2 + 32
1.4 FUNGSI IMPLISIT adalah fungsi yang seluruh variabelnya terletak dalam ruas yang sama, misalnya y - 8x2 = 32
1.2.3 FUNGSI KOMPOSISI (COMPOSITE FUNCTION)
Fungsi komposisi (composite function) disebut juga sebagai fungsi majemuk, yaitu fungsi yang diperoleh dengan mensubstitusikan fungsi lain ke dalamnya.Jika diketahui y
= f(x) dan x = g(z) maka fungsi komposisinya adalah y = f[g(z)]
Contoh : Jika f(x) = x2 - x -1 dan g(x) = x - 1 maka fungsi komposisi f[g(x)] adalah : f[g(x)] = [g(x)]2 - [g(x)] -1
= (x - 1)2 - (x - 1) - 1 = x2 -3x + 1
1.2.4 FUNGSI INVERS
Fungsi invers adalah fungsi yang diperoleh dengan mempertukarkan domain dan range fungsi asal, jikka fungsi asal merupakan fungsi satu-satu.Jika fungsi asal adalah y = f(x), maka fungsi inversnya adalah x = f-1(y) atau x = f-1[f(x)].
Contoh : Jika diketahui fungsi asal adalah f(x) = 2x -1, maka fungsi inversnya adalah : y = 2x -1
2x = y +1 x = (y + 1)/2 f-1(y) = (y + 1)/2
BAB.II FUNGSI LINEAR
2.1. KONSTANTA DAN VARIABEL
Dalam matematika murni (pure mathematics) maupun matematika terapan (applied matematics) dikenal dua jenis besaran, yaitu konstanta dan variabel.
Konstanta adalah besaran yang nilainya tetap.Misalnya f(x) = 4 dengan grafiknya sebagai berikut : f(x)
4 f(x) = 4 0 x
Konstanta terdiri dari konstanta mutlak yang nilainya tidak bisa berubah sama sekali misalnya dalam f(x) = 4, dan konstanta parameter yang nilainya bisa berubah tergantung kondisi misalnya dalam f(x) = c
Variabel adalah besaran yang nilainya berubah-ubah, misalnya dalam f(x) = x + 4 dengan grafik sebagai berikut:f(x)
f(x) = x + 4
4
0 x
Berdasarkan nilainya, variabel terdiri dari variabel diskrit dan varibel kontinu.Variabel diskrit (discrete variable) adalah variabel yang nilainya diperoleh dari hasil menghitung (counting) dan hanya dapat dinyatakan dengan bilangan bulat (integer).
Variabel kontinu (continue variable) adalah variabel yang nilainya diperoleh dari hasil mengukur (measurement) dan dapat dinyatakan dengan bilangan bulat maupun bilangan desimal.
Dalam persamaan garis lurus :(x/a) + (y/b) = 1x dan y menunjukkan variabel, a dan b menunjukkan konstanta parameter, dan 1 menunjukkan konstanta mutlak.
Dalam persamaan luas suatu lingkaran : A = r2 menunjukkan konstanta mutlak, sedangkan A dan r menunjukkan variabel.
Dalam persamaan Total Revenue (TR) yang merupakan fungsi dari Quantity (Q) : TR = 150QTR dan Q menunjukkan variabel, sedangkan 150 menunjukkan konstanta mutlak.
Dalam persamaan Total Cost (TC) yang merupakan fungsi dari biaya tetap (fixed cost) dan biaya variabel (variable cost) : TC = + QTC dan Q menunjukkan variabel, sedangkan dan menunjukkan konstanta parameter.
CATATAN :Dalam matematika ekonomi, penulisan variabel biasanya menggunakan huruf pertama dari variabel bersangkutan, seperti P untuk Price, Q untuk Quantity, TC untuk Total Cost, TR untuk Total Revenue, C untuk Consumption, I untuk Investment, Y untuk Income, G untuk Government expenditure, S untuk Saving, T untuk Tax, X untuk Export, M untuk Import, dan sebagainya. Penulisan konstanta parameter menggunakan huruf Yunani, seperti α, β, δ, λ, μ dan seterusnya.Nilai untuk variabel maupun konstanta biasanya berupa bilangan real, yang terdiri dari bilangan rasional dan irrasional.
GRAFIK FUNGSI LINEAR
Suatu fungsi linear dapat digambarkan grafiknya dalam kordinat kartesian yang memiliki sumbu horisontal sebagai sb-x dan sumbu vertikal sebagai sb-y.
Grafik fungsi linear akan berbentuk garis lurus yang memiliki kemiringan (slope) dan intersep.y
y = f(x)
0 x
Intersep menunjukkan titik potong grafik garis lurus dengan sumbu vertikal, sedangkan kemiringan (slope) garis lurus menunjukkan arah (direction) dari garis lurus tersebut.
Secara implisit, fungsi linear dinyatakan dengan persamaan Ax + By + C = 0
Secara eksplisit, fungsi linear dinyatakan dengan persamaan y = mx + cdimana m adalah koefisien arah yang menunjukkan kemiringan grafik fungsi tersebut dan c adalah konstanta yang menunjukkan intersepnya.
y
y = mx + c y2 B
y1 A C c
0 x1 x2 x
Karena AC = x2 - x1 dan BC = y2 - y1, maka kemiringan garis lurus tersebut merupakan tangent sudut CAB, yaitu :
1 2
1 2
x x
y m y
Jika m positif (m > 0), maka kemiringan garis lurus menunjukkan arah menaik.
Sebaliknya jika m negatif (m < 0), maka kemiringan garis lurus menunjukkan arah menurun.
2.2. MENENTUKAN PERSAMAAN FUNGSI LINEAR
Persamaan garis yang melalui dua titik, misalkan A (x1, y1) dan B(y1, y2) ada pada suatu garis lurus, maka persamaan garis yang melalui dua titik tersebut adalah :) x x x ( x
y y y
y 1
1 2
1
1 2
y = m(x - x1) + y1
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3, 4) dan (-5, 2) :Jika (x1, y1) = (3, 4) dan (x2, y2)= (-5, 2) maka persamaan garis tersebut adalah : )
x x x ( x
y y y
y 1
1 2
1
1 2
(x 3)
3 5
4 4 2
y
4y - 16 = x - 3 → x - 4y + 13 = 0 atau y = (1/4)x + 13
Persamaan garis melalui titik (a, 0) dan (0, b) adalah :Jika (x1, y1) = (0, b) dan (x2, y2)= (a, 0) maka persamaan garis tersebut adalah : )
x x x ( x
y y y
y 1
1 2
1
1 2
(x 0)
0 a
b b 0
y
(y/b) - 1 = - x/a → x/a) + (y/b) = 1
Persamaan garis yang melalui (0, 6) dan (4, 0) adalah (x/4) + (y/6) = 1 atau 3x + 2y - 12 = 0
Persamaan garis melalui (x1, y1) dan memiliki kemiringan sebesar m adalah:y - y1 = m(x - x1)
Tentukan persamaan garis yang melalui (-1, 2) dan memiliki kemiringan m = -4.y - 2 = -4(x + 1) → 4x + y + 2 = 0 atau y = -4x – 2 SOAL-SOAL LATIHAN :
1. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui (0, 5) dan memiliki kemiringan m = 3, kemudian gambarkan grafiknya.
2. Tentukan persamaan garis lurus melalui (-1, 3) dan memiliki kemiringan m = -1, kemudian gambarkan grafiknya.
3. Jika diketahui A(1, 5) dan B(3, 4), maka tentukan kemiringan dan persamaan garis AB.
4. Suatu perusahaan angkutan besi beton menentukan biaya angkut berdasarkan persamaan linier C = a + bQ dimana C adalah total biaya angkut (Rp) dan Q adalah jumlah barang terangkut (ton). Jika untuk mengangkut 8 ton diperlukan biaya Rp 820.000, - Sedangkan untuk 16 ton besi beton diperlukan biaya Rp 1.620.000,- maka tentukanlah persamaan biaya angkut besi beton tersebut.
5. Perusahaan sepatu X menyewa sebuah toko Rp 750.000,- per bulan ditambah 3% dari hasil penjualan per bulan di toko tersebut. Jika penjualan bulan September lalu sebesar Rp 50.000.000,- maka tentukan persamaan biaya sewa dan jumlah sewa yang harus dibayar perusahaan kepada pemilik toko untuk bulan September.
6. Diketahui harga obral sejenis barang elektronik adalah 60% dari harga asal ditambah biaya pemeliharaan sebesar Rp 50.000,- . Jika harga obral diketahui sebesar Rp 950.000,- maka tentukanlah persamaan harga obral barang tersebut dan harga asalnya.
2.3.HUBUNGAN ANTARA DUA GARIS LURUS
Diketahui dua persamaan linier y = m1 + c1 dan y = m2 + c2. Secara grafik, hubungan kedua persamaan tersebut akan menunjukkan :1. Berpotongan tegak lurus, jika m1. m2 = -1 2. Berpotongan sembarang, jika m1 m2 dan c1 c2
3. Sejajar, jika m1 = m2 dan c1 c2
4. Berimpit, jika m1 = m2 dan c1 = c2
2.4JARAK DUA TITIK PADA BIDANG
Jika dua titik A(x1, y1) dan B (x2, y2) membentuk garis AB sebagai berikut : yB
A
0 x Maka jarak garis AB adalah AB (x2x1)2(y2y1)2
Tentukanlah jarak garis AB, jika A(8, 5) dan B(3, -7).12 2 2
1
2 x ) (y y )
x (
AB → AB (38)2(75)2 → AB = 13 SOAL-SOAL LATIHAN :
1. Tentukan bentuk hubungan dua garis lurus dari : (a) Persamaan 2x + 6y - 4 = 0 dan -3x + y - 4 = 0 (b) Persamaan 2x + y + 4 = 0 dan 2x + 6y - 4 = 0 (c) Persamaan 2x + 6y - 4 = 0 dan 4x + 12y - 8 = 0 (d) Persamaan 2x + 6y - 4 = 0 dan x + 3y - 9 = 0
2. Tentukan persamaan garis melalui titik potong garis 2x + y - 3 = 0 dengan sb-x dan tegak lurus terhadap garis 3x + 4y + 6 = 0.
3. Tentukanlah koordinat titik potong dua persamaan berikut : (a) y = -x + 3 dan y = 3x – 5
(b) 3x - 4y + 6 = 0 dan x - 2y - 3 = 0 (c) 2x - 3y + 3 = 0 dan 4x - 6y + 12 = 0
4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong 2x + y - 3 = 0 dengan x - y = 0 dan sejajar dengan 3x + 4y + 6 = 0.
5.
6. Panitia pertandingan bola basket antar universitas menetapkan harga karcis per orang untuk mahasiswa dan umum masing-masing adalah Rp 1.000 dan Rp 2.500. Pada pertandingan babak final terjual 860 lembar karcis dengan jumlah uang masuk Rp 1.340.000. Tentukanlah jumlah mahasiswa dan umum yang menonton pertandingan final tersebut.
7. Tentukan nilai konstanta a dalam persamaan garis y = ax + 2 agar sejajar dengan garis yang melewati (2, 4) dan (3, 1).
8. Umur seorang ayah pada dua tahun yang lalu adalah 6 kali umur anaknya. Setelah 18 tahun kemudian, umur ayah menjadi dua kali umur anaknya. Berapakah umur anak dan ayah tersebut sekarang.
9. Hitunglah jarak antara titik asal dengan garis y + x = 2
10. Jika A(x, 4) dan B(5,7), maka tentukan nilai x sehingga jarak AB = 5.
BAB.III
APLIKASI FUNGSI LINEAR DALAM BISNIS EKONOMI
3.1. FUNGSI PERMINTAAN
Jumlah permintaan suatu barang (Qd) merupakan fungsi dari harga barang itu sendiri (P), pendapatan yang dapat dibelanjakan (Yd), harga barang substitusi (Ps), selera (T), dan sebagainya.Qd = f(P, Yd, Ps, T, . . . )
Hubungan fungsional tersebut dengan menggunakan persamaan dapat dituliskan sebagai:Qd = 0 - 1P + 2Yd + 3Ps + 4T + . . .
Untuk keperluan penggambaran kurva permintaan dan sesuai dengan hukum permintaan, maka suatu fungsi permintaan dinyatakan sebagai Qd = f(P) dan persamaan permintaannya dituliskan sebagai Qd = 0 - 1P dan kurva permintaan adalah sebagai berikut:P
Qd = f(P) 0 Q
Jika harga suatu barang naik, maka jumlah permintaan terhadap barang tersebut akan turun, demikian sebaliknya.
Suatu dealer jam tangan merk "X" hanya dapat menjual 10 unit jam tangan jika harganya US$ 80 per unit. Tetapi jika harganya US$ 60 per unit, maka dapat terjual sebanyak 20 unit. Tentukanlah persamaan permintaannya.3.2. FUNGSI PENAWARAN
Sebagaimana fungsi permintaan, untuk keperluan penggambaran kurva penawaran dan sesuai dengan hukum penawaran, maka fungsi penawaran dinyatakan sebagai Qs = f(P) dan persamaan penawarannya Qs = 0 + 1P dengan kurva penawaran sebagai berikut:
P
Qs = f(P)
0 Q
Jika harga suatu barang naik, maka jumlah penawarannyaakan naik, demikian sebaliknya.
Suatu toko kamera merk "Y" akan menyediakan 50 unit kamera untuk dijual pada saat harganya US$ 50 per unit. Sedangkan pada saat harganya US$ 75 per unit, toko tersebut akan menyediakan sebanyak 100 unit kamera. tentukanlah persamaan penawarannya.3.3. KESEIMBANGAN PASAR (MARKET EQUILIBRIUM)
Keseimbangan pasar suatu barang menunjukkan tingkat harga yang mengakibatkan jumlah permintaan sama dengan jumlah penawarannya (Qd = Qs).
Secara grafik, keseimbangan pasar tercapai pada titik potong kurva permintaan dan kurva penawarannya.Pada titik E tercapai Qd = Qs → QeP
D S Pe E
0 Qe Q 1
Tentukan keseimbangan pasar suatu barang yang mempunyai persamaan permintaan dan penawaran adalah Qd = 10 - 5P dan Qs = 3 + 2P
3.3.1PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDI TERHADAP KESEIMBANGAN PASAR.
Pengenaan pajak terhadap sejenis barang akan mengakibatkan harganya menjadi lebih mahal, sehingga kurva penawaran akan bergeser ke kiri atas, yang menghasilkan keseimbangan pasar yang baru.
Sebaliknya pemberian subsidi terhadap sejenis barang akan mengakibatkan harganya menjadi lebih murah, sehingga kurva penawaran akan bergeser ke kanan bawah, yang menghasilkan keseimbangan pasar yang baru.
P S’ P
S S S’
P’ E’ P E P E P’ E’
0 Q 0 Q
PENGARUH PAJAK TERHADAP KESEIMBANGAN PASARPENGARUH SUBSIDI TERHADAP KESEIMBANGAN PASAR
PAJAK (TAX)
Pajak merupakan pungutan yang ditarik pemerintah (negara) terhadap wajib pajak tanpa mendapat balas jasa langsung. Ada dua jenis pajak berdasarkna cara penarikannya, yaitu pajak langsung dan pajak tidak langsung.
Pajak langsung adalah pajak yang langsung dipungut dari wajib pajak tanpa fihak perantara, seperti Pajak Penghasilan (PPh), Pajak Bumi dan Bangunan (PBB), Pajak Kekayaan, Pajak Kendaraan, Pajak Perusahaan, dan sebagainya.
Pajak tak langsung adalah pajak yang tidak langsung dipungut dari wajib pajak, tetapi melalui wajib pungut yang selanjutnya disetorkan kepada pemerintah (negara), seperti Pajak Pertambahan Nilai (PPn), Pajak Penjualan, Pajak Tontonan, Cukai, Pajak Barang Mewah, dan sebagainya.
Pajak tak langsung seperti PPn dan cukai akan berpengaruh langsung terhadap harga yang ditawarkan oleh produsen sebagai akibat pembebanan pajak terhadap konsumen, sehingga akan mengubah fungsi penawaran dan keseimbangan pasar.
Diketahui fungsi permintaan dan penawaran suatu barang adalah P = 12 – 2Q dan P = 3 + Q, jika pemerintah mengenakan pajak tetap (pajak spesifik) sebesar T = 3, maka tentukan: (1) Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah ada pajak, (2) Besarnya pajak per unit yang
ditanggung produsen dan konsumen, (3) Total pajak yang ditanggung produsen dan konsumen, (4) Total pajak yang diterima pemerintah (negara), (5) Gambarkan kurvanya Jawab:
(1) Keseimbangan pasar sebelum pajak → 12 – 2Q = 3 + Q → 3Q = 9 → Q = 3 dan P = 3 + 3 = 6
Jadi keseimbangan pasar sebelum pajak tercapai pada P = 6 dan Q = 3 Keseimbangan pasar sesudah pajak:
Fungsi penawaran sesudah pajak adalah P = (3 + Q) + 3 → P = 6 + Q Sehingga 12 – 2Q = 6 + Q → 3Q = 6 → Q’ = 2 dan P’ = 6 + 2 = 8 Jadi keseimbangan pasar sesudah pajak tercapai pada P’ = 8 dan Q’ =2
(2) Besarnya pajak per unit yang ditanggung produsen adalah: tp = 6 – (3 + 2) = 1
Sedangkan besarnya pajak per unit yang ditanggung konsumen adalah: tk = 3 – 1 = 2 atau tk = 8 – 6 =2
(3) Total pajak yang ditanggung produsen dan konsumen: Tp = 2(1) = 2 dan Tk = 2(2) = 4 (4) Total pajak yang diterima pemerintah: TG = 2(3) = 6
P
S’
12
S
8 E’
6 E 5
0 2 3 6 Q 3
3..3.2 PAJAK PERSENTASE (PAJAK PROPORSIONAL)
Pajak persentase atau pajak proporsional adalah pajak yang dikenakan terhadap suatu barang yang diperhitungkan sebesar persentase (%) yang tetap dari hasil penerimaannya. Pajak persentase dituliskan sebagai t%, dengan pajak sebesar t% maka harga penawaran akan bertambah sebesar t% dari harga penawaran sebelumnya.
Jika harga penawaran sebelum pajak adalah P = f(Q) dan ada pajak sebesar t%, maka harga penawaran sesudah pajak adalah P’ = (100 + t)% f(Q) atau P’ = (100 + t)% P
Untuk menentukan pajak per unit setelah kena pajak sebesar t% adalah:
𝑡 𝑝𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡 = 𝑡%(𝑃) = 𝑡%
(100 + 𝑡)% 𝑃′
Contoh soal:
Diketahui fungsi permintaan dan penawaran sejenis barang: P = 8 – ½Q dan P = 2 + 2Q, jika terhadap barang tersebut dikenakan pajak proporsional sebesar 20%. Tentukan (1) Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah ada pajak, (2) besarnya pajak per unit, (3) besarnya pajak per unit yang masing-masing ditanggung oleh konsumen dan produsen, (4) Total pajak yang ditanggung konsumen dan produsen, (5) Total pajak yang diterima pemerintah, (6) Gambarkan kurvanya.
Jawab:
(1) Keseimbangan pasar sebelum pajak:
8 – ½Q = 2 + 2Q → 5/2 Q = 6 → Q = 2.4 dan P = 6.8
Jadi keseimbangan pasar sebelum pajak tercapai pada P = 6.8 dan Q = 2.4 Fungsi penawaran sesudah pajak: P = 1.2(2 + 2Q) → P = 2.4 + 2.4Q Keseimbangan pasar sesudah pajak:
8 – ½ Q = 2.4 + 2.4Q → 2.9Q = 5.6 → Q = 1.93 dan P = 7.03
Jadi keseimbangan pasar sesudah pajak tercapai pada P’ = 7.03 dan Q’ = 1.93 P S’
S
8 7.03 E’
E
6.8
-10 1.93 2.4 16 Q
13 (2) Besarnya pajak per unit:
𝑡 𝑝𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡 = 𝑡%(𝑃) = 𝑡%
(100+𝑡)% 𝑃′→𝑡 =0.21.2 7.03 = 1.17
(3) Besarnya pajak per unit yang ditanggung konsumen dan produses: tk = 7.03 – 6.8 = 0.23 dan tp = 1.17 – 0.23 = 0.94 atau tp dicari dengan mensubstitusikan Q’ = 1.93 ke dalam fungsi penawaran P = 2 + 2Q → P = 2 + 2(1.93) = 5.86 → tp = 6.8 – 5.86 = 0.94
(4) Total pajak yang ditanggung masing-masing oleh konsumen dan produsen:
Tk = 0.23 x 1.93 = 0.4439 dan Tp = 0.94 x 1.93 = 1.8142.
(5) Total pajak yang diterima pemerintah: TG = 0.4439 + 1.8142 = 2.2581 atau TG = 1.17 x 1.93 = 2.2581
Catatan: Jika pajak yang dibebankan sebagai pajak spesifik (pajak tetap), maka bagian pajak yang ditanggung konsumen lebih besar daripada pajak yang ditanggung produsen. Sebaliknya, jika pajaknya merupakan pajak proporsional (pajak persentase), maka bagian pajak yang ditanggung konsumen lebih kecil daripada bagian pajak yang ditanggung produsen.
3.3.3 SUBSIDI
Subsidi adalah bantuan yang diberikan pemerintah kepada produsen, sehingga harga yang ditawarkan sesuai dengan keinginan pemerintah dengan harga lebih murah daripada harga semula. Subsidi akan mengubah fungsi penawaran dan keseimbangan pasar.
Jika fungsi penawaran terhadap suatu barang sebelum subsidi adalah P = f(Q) dan ada subsidi terhadap barang tersebut sebesar s, maka fungsi penawaran sesudah subsidi adalah P = f(Q) – s
Diketahui fungsi permintaan dan penawaran sejenis barang adalah P = 10 – ½ Q dan P = 4 + 2Q, jika pemerintah memberikan subsidi terhadap barang tersebut sebesar s = 2. Tentukan keseimbangan pasar sebelum dan sesudah subsidi, kemudian gambarkan kurvanya.
Jawab:
Keseimbangan pasar sebelum subsidi: 10 – ½ Q = 4 + 2Q → 5/2 Q = 6 → Q = 2.4 dan P = 8.8 Jadi keseimbangan pasar tercapai pada P = 8.8 dan Q = 2.4 →E(8.8; 2.4)
Keseimbangan sesudah subsidi: Fungsi penawaran P’ = (4 + 2Q) – 2 → P’ = 2 + 2Q
10 – ½ Q = 2 + 2Q → 5/2 Q = 8 → Q = 3.2 dan P = 8.4, jadi keseimbangan pasar yang baru tercapai pada P’ = 8.4 dan Q’ = 3.2 →E’(8.4; 3.2)
P
10 S
10 S’
8.8 E 8.4 E’
-2 -1 0 2.4 3.2 Q 3.4 ANALISIS TITIK IMPAS (BREAK-EVEN ANALYSIS)
Titik impas (break-even point) tercapai pada saat TC = TR Total cost (TC) → TC = FC + VC
FC (fixed cost) adalah semua biaya yang dikeluarkan sebelum dihasilkan output (Q) atau biaya-biaya yang dikeluarkan untuk membeli fixed capital (modal tetap) seperti bangunan pabrik, mesin dan peralatan, kendaraan, dan sebagainya. Dalam jangka pendek besarnya FC bersifat tetap (fixed) atau tidak ditentukan oleh jumlah output → FC ≠ f(Q). Dalam jangka panjang FC juga berubah karena adanya peningkatan skala ekonomi (economic of scale).
VC (variabel cost) adalah biaya-biaya yang dikeluarkan ketika produksi mulai menghasilkan output atau biaya-biaya yang dikeluarkan untuk membeli bahan baku (raw material) dan bahan penolong (auxiliary goods), energi listrik dan BBM, sehingga besarnya VC ditentukan oleh jumlah output (Q)→ VC = f(Q).
TR (total revenue) adalah semua penerimaan dari hasil penjualan output, sehingga besarnya ditentukan oleh jumlah output (Q) → TR = f(Q)
Secara spesifik, TC dan TR dirumuskan dengan persamaan berikut:
TC = k + PQ TR = P’Q
P dalam TC menunjukkan biaya produksi per unit P’ dalam TR menunjukkan harga jual per unit
Secara grafik, titik impas digambarkan sebagai berikut:
Rp TR
TC
BEP
FC
0 Q* Q (unit)
Pada tingkat produksi sebesar Q* tercapai BEP → TR = TC →π = 0 Sebelum BEP →π< 0 (rugi) dan sesudah BEP →π> 0 (untung)
Soal-Soal:
1. PT. XYZ memproduksi sejenis barang elektronik, pada tingkat penjualan sebesar 10.000 unit perusahaan mendapat laba sebesar Rp 1.000.000.000,- dengan biaya tetap sebesar Rp 3 milyar. Jika diketahui harga barang elektronik tersebut per unitnya sebesar Rp 1000.000,-, maka:
a) Tentukan fungsi Total Revenue (TR), Total Cost (TC), dan Variabel Cost (VC) b) Tentukan Break Even Point (BEP)
c) Bila perusahaan tersebut menjual produknya sebanyak 6.000 unit, apakah perusahaan mengalami kerugian atau untung?
d) Gambarkan grafiknya
2. Suatu perusahaan harus mengeluarkan biaya sebesar Rp 250 juta meskipun belum berproduksi, tetapi bila perusahaan berproduksi sebanyak 400 ribu unit maka biaya variabelnya sebesar Rp 200 juta. Jika produksi perusahaan tersebut mencapai 1.250.000 unit, maka akan diperoleh keuntungan sebesar Rp 50 juta.
a) Tentukan harga jual per unit barang produksi perusahaan tersebut b) Tentukan fungsi TC, TR, dan BEP
c) Hitung keuntungan pada tingkat produksi 2.500.000 unit d) Gambarkan grafiknya
Jawab:
1. Diketahui: Pada penjualan Q = 10.000 →π = 1.000.000.000 dengan FC = 3.000.000.000 Harga jual P = 1.000.000
a) Fungsi Total Revenue: TR = PQ →TR = 1.000.000 Q
Fungsi Total Cost: TC = FC + VC → TC = 3.000.000.000 + VC
Pada saat Q = 10.000→π = TR – TC → 1.000.000.000 = 10.000.000.000 – TC
TC = 9.000.000.000 → TC = 3.000.000.000 + VC → 9.000.000.000 = 3.000.000.000 + VC VC = 6.000.000.000 → VC = PQ →6.000.000.000 = P 10.000 → P = 600.000
Jadi VC = 600.000 P dan TC = 3.000.000.000 + 600.000 Q b) Break-Even Point (BEP) → tercapai pada saat TR = TC
1.000.000 Q = 3.000.000.000 + 600.000 Q → 400.000 Q = 3.000.000.000 → Q = 7.500 Jadi BEP tercapai pada Q = 7.500
c) Pada saat Q = 6.000→ TR = 1.000.000 x 6.000 = 6.000.000.000 dan TC = 3.000.000.000 + 600.000(6.000) = 6.600.000.000
jadi TR < TC, sehingga pada saat Q = 6.000 perusahaan mengalami kerugian d) Grafiknya:
Rp TR = 1.000.000Q
TC = 3.000.000.000 + 600.000Q
BEP
FC = 3.000.000.000
0 7.500 2. Diketahui:
Pada saat Q = 0 → FC = 250.000.000 dan pada saat Q = 400.000 → VC = 200.000.000 Pada saat Q = 1.250.000 →π = 50.000.000
a) VC = PQ → 200.000.000 = P 400.000 → P = 500 Jadi TC = 250.000.000 + 500Q
Pada Q = 1.250.000 →π = TR – TC → 50.000.000 = TR – (250.000.000 + 500(1.250.000)) TR = 925.000.000 → TR = PQ →925.000.000 = P 1.250.000 → P = 740
Jadi harga jual per unit: P = Rp 740.-
b) Fungsi Total Cost: TC = 250.000.000 + 500Q Fungsi Total Revenue: TR = 740Q
Break-Even Point: TR = TC → 740Q = 250.000.000 + 500Q → 240Q = 250.000.000 BEP → Q = 1.041.666,67
c) Keuntungan pada Q = 2.500.000 →π = TR – TC TR = 740 x 2.500.000 = 1.850.000.000
TC = 250.000.000 + 500 x 2.500.000 = 1.500.000.000
Jadi keuntungannya: π = 1.850.000.000 – 1.500.000.000 = Rp 350.000.000 d) Grafiknya:
Rp TR = 740Q
TC = 250.000.000 + 500Q
BEP
FC = 250.000.000
0 1.041.666.67 Q
MATEMATIKA EKONOMI PETERNAKAN
DR. IR. I KETUT SUKADA,M.Si
LABORATORIUM EKONOMI FAKULTAS PETERNAKAN
UNIVERSITAS UDAYANA
KATA PENGANTARA
Diktat ajar ini merupakan ilmupengetahuan Matematika yang memiliki aplikasi dalam penurunan perhitungan rumus-rumus Ilmu Ekonomi Peternakan
Hasil dari tinjauan kepustakaan ini juga disajikan atau dibuat dalam bentuk power point, guna untk menyederhanakan dan mempersingkat secara cepat pemahaman mahasiswa Fakultas Peternakan Universitas Udayana tentang ilmu Ekonmi Peternakan
Penulisan diktat ini tentu hanyalah merupakan sebagian kecil dari ilmu ekonomi peternakan yang begitu luasnya. Namun demikian pemahaman mahasiswa akan menjadi lebih luas dan komprehensip setelah beberapa diktat rumus-rumus ekonomi yang lainya dapat dipahami dan dirangkum semuanya menjadi satu sesuai dengan satuan kredit semester yang diperlukan oleh mahasiswa.
Pembuatan bahan ajar ini sudah tentu masih memerlukan penyempurnaan dari waktu kewaktu mengingat perkembangan ilmu pengetahuan ekonomi selalu berkembang sesuai dengan perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi yang semakin pesat.
Akhirnya penulis mengucapkan terimakasih bagi para pembaca, semoga karya yang sederhana ini yang diambil dari beberapa tulisan para akhli yang membidangi ilmu matematika ekonomi dapat bermanfaat bagi yang memerlukan.
Dr. Ir. I Ketut Sukada.M.Si
