SET TEORI DAN LOGIKA
Pengantar Teori Himpunan
Suatu himpunan P adalah himpunan bagian nyata dari Q jika (1) P adalah himpunan bagian dari Q dan (2) paling sedikit ada satu anggota dari Q yang bukan merupakan anggota dari P. Kelas C(X) dari himpunan bagian dari himpunan tersebut himpunan X disebut partisi dari (1) C(X) merupakan disjoint berpasangan, dan (2) gabungan himpunan-himpunan dalam C(X) adalah himpunan X.
Fungsi dan Hubungan
Menurut definisinya, pada setiap pasangan terurut dalam relasi dari A ke B, elemen pertama adalah elemen dalam A dan elemen kedua adalah . Dalam digraf yang mewakili hubungan ini akan terdapat panah dari a dan b dan dari b ke a.
Bukti Induktif dan Definisi Rekursif
Bilangan bulat positif habis dibagi 5 secara rekursif, kita mempunyai definisi rekursif yang terdiri dari tiga bagian berikut :. Jika sekarang kita mendefinisikan f(i) = ri untuk setiap i di S, aturan f adalah fungsi yang domainnya adalah himpunan bilangan bulat tak negatif.
Bahasa logika
Jadi, berapapun nilai kebenaran p dan q, paling tidak salah satu dari dua proposisi majemuk p → q dan q → p selalu benar. Kalimat majemuk “p jika dan hanya jika q”, dilambangkan dengan p q, merupakan konjungsi antara kalimat majemuk p → q dan kalimat majemuk q → p.
Catatan dan Referensi
Pokok bahasan yang menyusun dan menyederhanakan proposisi majemuk yang dibangun dari proposisi lain dan memperoleh nilai kebenarannya disebut kalkulus proposisi. Masalah pemenuhan proposisi komposit p adalah masalah (1) menemukan apakah terdapat nilai kebenaran komponen atom p sehingga p benar, dan (2) memperoleh proposisi atom yang benar dan proposisi atom yang salah, jika ada. , yang membuat proposisi gabungan itu benar.
Latihan
Buktikan bahwa himpunan semua bilangan bulat positif ekuivalen dengan himpunan semua bilangan bulat positif genap. a) Jika f dan g merupakan suntikan, maka f∘ g adalah suntikan. Tentu saja, jika a konsisten dengan b modulo m, maka b konsisten modulo m. b) a ≡ b (mod m) jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat k sehingga a = b + km.
KOMBINATORIK
Dua Aturan Perhitungan Dasar
Permutasi
Permutasi lingkaran dan cincin Contoh 2.2.2. a) Banyaknya cara membuat peniti yang meletakkan 5 batu tersebut secara mendatar tentu saja adalah 5!. Secara khusus, jika setiap grup memiliki tepat satu objek, maka t = P(n, r), yang merupakan banyaknya permutasi suatu himpunan dengan n elemen.
Kombinasi
Misalnya, jika A masalahnya adalah mencari banyak cara untuk membagi A menjadi (1) dua himpunan bagian sedemikian rupa sehingga yang satu mempunyai 2 elemen dan yang lainnya 4 elemen atau (2) dua himpunan bagian sedemikian rupa sehingga masing-masing mempunyai 3 elemen atau (3) ) tiga himpunan bagian sehingga masing-masing mempunyai 2 elemen, dan seterusnya. Namun ketika subset dalam sebuah partisi memiliki kardinalitas yang sama, kita perlu memperhatikan situasi di mana terjadi pengulangan.
Lebih Lanjut tentang Permutasi dan Kombinasi
Jadi banyaknya r koleksi yang berbeda sama dengan banyaknya cara membagi (n – 1) objek identik menjadi (r + n – 1) lokasi berbeda sehingga setiap lokasi menerima paling banyak satu objek. Kami menyimpulkan bagian ini dengan teorema berikut, yang merangkum berbagai kasus alokasi yang dibahas sejauh ini. a) Jika r paling banyak n, r kumpulan objek yang berbeda dapat dialokasikan ke n lokasi, sehingga tidak ada lokasi yang dapat menerima lebih dari satu objek dengan cara P(n, r).
Prinsip Pigeonhole
Jadi dengan menerapkan prinsip umum merpati dengan k = 3, maka jumlah kelereng yang dipilih paling sedikit. Matematika Diskrit (Dr. Agus Wibowo). a) Jika m merpati ditempatkan pada n kandang merpati, maka paling sedikit satu kandang mempunyai lebih dari k merpati, dimana k adalah lantai (m – 1)/n.
Prinsip Inklusi
Kita dapat menganggap (i), (ii), dan (iii) juga sebagai aturan inklusi-eksklusi yang melibatkan satu himpunan bagian, dua himpunan bagian, dan tiga himpunan bagian dari suatu himpunan dengan N elemen. Untuk setiap elemen x di X dan untuk setiap himpunan bagian A dari a) Misalkan x tidak berada di salah satu dari n himpunan.
Ringkasan Hasil dalam Kombinatorika
Banyaknya partisi dalam himpunan r elemen sehingga setiap partisi mempunyai n himpunan tak kosong adalah S(r, n). Banyaknya partisi dalam suatu himpunan dengan r elemen sehingga setiap partisi mempunyai paling banyak n himpunan tak kosong adalah S(r, n) + S(r, n – 1) + ⋯+ S(r, 1).
Catatan dan Referensi
Himpunan kardinalitas n dapat dipartisi menjadi suatu kelas yang terdiri dari himpunan bagian p1, masing-masing dengan kardinalitas n1, himpunan bagian p2, masing-masing dengan kardinalitas n2, . . , dan pk mengelompokkan setiap kardinalitas nk dalam {n!)/{[(p1!)(n1!)p1][(p2!))(n2!)p2]. Banyaknya cara untuk menetapkan r objek berbeda ke n lokasi sehingga setiap lokasi menerima paling sedikit satu objek adalah (n!) • S(r, n).
Latihan
Dengan mengalikan polinomial biasa, kita melihat bahwa koefisiennya adalah 6. c) Jika r (r adalah banyaknya cara untuk memilih r objek dalam suatu permasalahan kombinatorial tertentu (atau, lebih umum, banyaknya penyelesaian suatu permasalahan kombinatorial), biasa fungsi pembangkit untuk soal kombinatorial ini adalah deret pangkat a0 + a1x + a2x2 + a3x3. Metode yang lebih efisien (rekursif) yang dikenal dengan metode Horner (atau metode Newton) hanya memerlukan n perkalian dan n penjumlahan. a) Jika f(n) adalah jumlah perkalian , yang diperlukan untuk mengevaluasi polinomial berderajat n pada suatu titik, memperoleh hubungan rekursif untuk f(n).
MENGHASILKAN FUNGSI
Pendahuluan
Jika ar adalah banyaknya cara memilih r kelereng dari kumpulan kelereng merah, biru, dan putih sehingga banyaknya kelereng merah yang terpilih paling banyak dua, banyaknya kelereng biru yang terpilih paling banyak tiga, dan banyaknya kelereng biru yang dipilih paling banyak tiga. kelereng putih yang dipilih paling banyak empat, maka ar adalah koefisien xr pada fungsi pembangkitan g(x) = (1 + x + x2)(1 + x + x2 + x3)(1 + x + x2 + x3 + x4 ). Demikian pula, koefisien xr dalam g(x) adalah banyaknya penyelesaian bilangan bulat non-negatif a + b + c = r, dengan a paling banyak 2, b paling banyak 3, dan c paling banyak 4.
Fungsi Pembangkit Biasa
Dari fungsi pembangkit tertentu, dimungkinkan untuk membangun fungsi pembangkit baru untuk pilihan ar yang berbeda, dan ini adalah isi dari teorema berikut, yang pembuktiannya kita tinggalkan sebagai latihan. Jika g(x) adalah fungsi pembangkitan ar dan h(x) adalah fungsi pembangkitan br, maka:. e) xg′(x) adalah fungsi pembangkit untuk rar, dimana g′(x) adalah turunan dari g(x) terhadap x.
Fungsi Pembangkit Eksponensial
Seperti halnya fungsi pembangkit biasa, kita mengambil pangkat ketiga dari polinomial (mewakili tiga warna berbeda), dan pangkat variabel dalam polinomial tersebut adalah 1, 2, dan 3, yang berarti banyaknya cara kelereng warna tertentu yang dapat muncul dalam tata letak adalah 1, 2, atau 3. Perbedaan penting di sini adalah, tidak seperti fungsi pembangkit normal, koefisien xr dalam polinomial adalah l/(r!) dan penyelesaian masalahnya adalah kombinasi koefisien xr/(r!) dalam fungsi generator eksponensial.
Catatan dan Referensi
Matematika Diskrit (Dr. Agus Wibowo). dalam suatu permutasi, maksimumnya sama dengan banyaknya kemunculan huruf dalam kata tersebut. a) Banyaknya r-permutasi adalah koefisien xr/r. Jika x menyatakan banyaknya orang yang ditugaskan dalam suatu ruangan, maka x paling sedikit satu dan paling banyak 6, dan terdapat 4 ruangan.
Latihan
Jika an adalah jumlah simpanan pada akhir tahun ke-n, dapatkan rasio pengulangan untuk a jika (a) bunganya sederhana dan (b) bunganya dimajemukkan setiap tahunnya. a) Jika a0 adalah setoran awal, maka ak ditambahkan ke ra0 pada akhir tahun jika bunganya sederhana. Jika f(n) adalah banyaknya perkalian yang diperlukan untuk mencari hasil kali dua matriks n × n, terbukti f(n) = nr, dimana r = log 7.
HUBUNGAN PERULANGAN
Pendahuluan
Kita akan mempelajari teknik untuk menyelesaikan jenis hubungan berulang tertentu nanti di bagian ini. Relasi perulangan seperti yang kita lihat di sini adalah rumus rekursif (lihat bagian 3 Bab 0) untuk menghitung jumlah cara untuk mengeksekusi suatu prosedur yang melibatkan n objek, dalam kaitannya dengan jumlah cara untuk mengeksekusinya dengan objek yang lebih sedikit.
Hubungan Perulangan Homogen
Sekarang setiap subgrup dari Satu-satunya cara kita bisa mendapatkan subgrup X yang berisi n adalah dengan mengasosiasikan n dengan subgrup kelas A.
Hubungan Perulangan Tidak Homogen
Seperti sebelumnya, an = un + vn, dengan un adalah solusi parsial homogen dan vn adalah solusi spesifik.
Hubungan Perulangan dan Fungsi Pembangkit
Analisis Algoritma
Untuk mengalikan dua bilangan, kita dapat menggunakan algoritma bagi-dan-taklukkan yang lebih efisien sebagai berikut. Turunkan algoritma bagi dan taklukkan untuk mendapatkan matriks produk AB dan temukan kompleksitas algoritma ini.
Catatan dan Referensi
Latihan
Pada Gambar 5.7 kita mempunyai turnamen yang terdiri dari empat pemain di mana pemain yang diwakili oleh node 2 adalah pemenangnya. Pohon biner pada Gambar 7.2 diperoleh untuk kode awalan yang diberikan setelah menemukan node yang sesuai.
GRAFIK DAN DIGRAF
Pendahuluan
Pada Gambar 5.19 kita mempunyai graf terhubung tak terjembatani di (a), dengan pohon merentang DFS di (b), yang simpul-simpulnya diberi label dengan tepat.
Matriks Adjacency dan Matriks Insidensi
Bergabung dalam Grafik
Jika A adalah matriks ketetanggaan suatu graf, maka entri (i,j) pangkat ke-k (k 1) dari A adalah jumlah k-jalur antara simpul i dan simpul j. Ketujuh sisi yang disorot adalah sisi-sisi dari graf tersebut. Pohon rentang DFS, seperti ditunjukkan pada Gambar 5.18.
Orientasi Grafik yang Kuat
Sekarang mari kita cari kompleksitas komputasi algoritma DFS menggunakan contoh yang baru saja dibahas. Perhatikan bahwa setiap sisi {i, j} di mana i < j dapat diperiksa dalam arah maju dari i ke j atau dalam arah mundur dari j ke i.
Catatan dan Referensi
Jadi jika ada m sisi, maka akan ada paling banyak 2 m probe dan akan ada n simpul untuk diberi label.
Latihan
Sejauh ini belum ada yang membuktikan bahwa ada masalah di NP yang tidak ada di P. Misalnya, pertimbangkan masalah keputusan p di NP sehingga (1) sejauh ini tidak ada algoritma polinomial yang diperoleh untuk menyelesaikan setiap contoh p, dan (2) sejauh ini tidak ada bukti bahwa p ada di NPC.
LEBIH LANJUT TENTANG GRAFIK DAN DIGRAF
Jalur Eulerian dan Sirkuit Eulerian
Jika G′ terhubung, ambil rangkaian Euler di dalamnya yang dimulai dari u dan kemudian hubungkan tepi e ke sirkuit ini untuk mendapatkan jalur Euler antara u dan v. Digraf yang terhubung lemah memiliki sirkuit Euler berarah jika dan hanya jika derajat masukan setiap simpul sama dengan derajat keluarannya.
Pengkodean dan Digraf de Bruijn
Banyaknya baris baris i pada M adalah derajat keluar dari simpul Ai, dan banyaknya kolom pada kolom j adalah derajat masuk dari Aj. Jika huruf pertama dan huruf terakhir sama, maka jumlah baris sama dengan jumlah kolom semua huruf, dan jumlah baris huruf awal kurang satu dari frekuensinya.
Jalur Hamiltonian dan Siklus Hamiltonian
Jadi persoalannya ialah: Adakah terdapat integer positif k (k < n – 1) sehingga graf tersebut adalah Hamiltonian jika darjah setiap nod sekurang-kurangnya k. Matematik Diskret (Dr. Agus Wibowo). mudah, yang lebih kurang sama dengan keputusan dalam kes graf. a) Digraf bersambung kuat dengan n nod ialah digraf Hamiltonian jika (darjah u + darjah v) sekurang-kurangnya 2n – 1 untuk setiap pasangan nod u dan v supaya tiada lengkok dari u ke v dan dari v ke u .
Aplikasi Siklus Hamiltonian
Pada Contoh 5.1.4 kita mendefinisikan turnamen sebagai digraf sederhana yang mana untuk setiap pasangan simpul v dan w terdapat busur dari v ke w atau dari w ke v, tetapi tidak keduanya. Jika terdapat busur di G′ dari v ke v1 atau dari vn ke v, maka G′ mempunyai jalur Hamiltonian berarah dan kita selesai.
Pewarnaan Verteks dan Planaritas Grafik
Suatu graf disebut graf planar jika graf tersebut dapat digambarkan sedemikian rupa sehingga tidak ada dua sisi yang berpotongan kecuali pada satu titik. Selama lebih dari 100 tahun diperkirakan bahwa tidak ada kartu yang membutuhkan lebih dari empat jenis kartu, namun tidak ada bukti nyata yang muncul.
Catatan dan Referensi
Latihan
Misalkan T adalah pohon yang merentang pada graf terhubung G dan misalkan C dan D masing-masing merupakan siklus dan memotong grup di G. a) Tidak ada sisi yang sama antara C dan D atau terdapat banyak sisi yang sama di antara keduanya. Artinya A adalah subgrup dari B dan sekaligus B adalah subgrup dari A. Misalkan x adalah elemen sembarang dari B. Kasus 1: Misalkan x tidak ada di A. Maka x ada dalam variasi simetris A dan .
POHON DAN APLIKASINYA
Definisi dan Sifat-sifat
Pernyataan kita berikutnya adalah bahwa sembarang graf asiklik G = (V, E) dengan n simpul dan (n – 1) sisi yang terhubung adalah sebuah pohon. Matematika Diskrit (dr Agus Wibowo). terdiri dari tepi baru dan jalur sederhana unik di T antara v dan w. Sebaliknya, jika G adalah graf asiklik sehingga ketika dua simpul yang tidak bertetangga dihubungkan oleh sebuah sisi baru, maka graf yang dihasilkan mempunyai tepat satu siklus, maka G adalah sebuah pohon.
Pohon Spanning
Teorema kita terbukti jika kita membuat korespondensi satu-satu antara N′ dan himpunan pohon berlabel berbeda dengan n simpul. Jadi korespondensi satu-satu antara N′ dan himpunan pohon berlabel berbeda dengan n simpul dibuat untuk membuktikan teorema tersebut.
Pohon Biner
Jika T adalah pohon biner dan jika derajat keluaran dari simpul v adalah 2, maka v mempunyai dua turunan - turunan kiri dan turunan kanan. Jika T adalah pohon biner sembarang, maka dimungkinkan untuk menetapkan kunci ke node T sehingga T adalah pohon pencarian biner.
Catatan dan Referensi
Latihan
Jadi e adalah sisi dalam siklus fundamental C(f). 3) Misalkan C(e′) adalah siklus fundamental pada e′ yang merupakan tali busur yang tidak berada di D(e). (2) jika f adalah sisi mana pun dalam siklus ini selain e, maka f adalah sisi dari T yang mendefinisikan himpunan potongan unik D(f) sehingga e adalah sisi dalam himpunan potongan ini; dan (3) jika e′ adalah sisi dari T bukan di C(e), yang mendefinisikan himpunan potongan unik D(e′), maka e bukan sisi di D(e′).
MASALAH POHON RENTANG
Lebih lanjut tentang Spanning Trees
Jika T adalah sembarang pohon merentang di G = (V, E), menghapus setiap sisi di T akan membuat T terputus-putus dengan membuat dua subpohon dengan himpunan simpul W dan W′ sehingga D(W, W′) adalah himpunan bagian dari G. Sangat ada kemungkinan bahwa pohon Steiner minimal yang diberi subset W yang sesuai adalah pohon merentang minimal di G.
Algoritma Kruskal’s Greedy
Pohon merentang T adalah pohon merentang minimum (MST) jika bobot T tidak melebihi bobot pohon merentang lainnya di G. Jika bobot sisi lain di C tidak melebihi bobot e, maka terdapat a pohon merentang minimal dimana e bukan merupakan suatu sisi.
Algoritma Prim’s Greedy
Dalam keadaan ini, masuk akal untuk menyimpulkan bahwa kompleksitas algoritma Kruskal adalah O(m log m) dalam kasus terburuk. Jadi, dalam kasus terburuk, kompleksitas algoritma Prim adalah dua kali jumlah bilangan asli pertama (n – 2), yaitu HAI(n2).
Perbandingan Dua Algoritma
Catatan dan Referensi
Latihan
Masalah keputusan p adalah NP-hard jika setiap masalah di NP dapat diubah menjadi polinomial. Sekarang proposal membuktikan bahwa masalah keputusan (sesuai dengan masalah optimasi) di NPC untuk semua tujuan praktis menghilangkan kemungkinan memperoleh algoritma yang efisien untuk menyelesaikan setiap contoh masalah optimasi.
MASALAH JALUR TERPENDEK
Pendahuluan
Masalah jalur terpendek sebenarnya merupakan masalah yang paling mendasar dan juga merupakan masalah yang paling umum dalam optimasi kombinatorial. Kami membatasi perhatian kita pada dua jenis masalah: (1) masalah menemukan jalur terpendek dari sebuah node v ke node lain w, dan (2) masalah menemukan jalur terpendek dari suatu node ke node lainnya.
Algoritma Dijkstra
Banyak masalah optimasi yang dapat dirumuskan dan diselesaikan sebagai masalah jalur terpendek jenis ini, dan banyak masalah kompleks dalam riset operasi dapat diselesaikan dengan prosedur yang memanggil algoritma jalur terpendek sebagai subrutin. Menurut Goldman (1982), algoritma jalur terpendek yang dikembangkan oleh Departemen Transportasi AS digunakan secara rutin miliaran kali per tahun.
Algoritma Floyd-Warshall
Sangat mudah untuk melihat bahwa ada ikatan antara (3, 5) dan (6, 5) untuk dimasukkan ke dalam pohon dan kita hanya dapat mengambil salah satunya. Prosedur untuk memperbarui matriks A (dikenal sebagai operasi rangkap tiga) melibatkan paling banyak (n – l)2 perbandingan dan jumlah penambahan yang sama untuk setiap iterasi, sedangkan prosedur untuk memperbarui matriks P tidak melibatkan pekerjaan apa pun.
Perbandingan Dua Algoritma
Catatan dan Referensi
Latihan
Jika suatu permasalahan mempunyai algoritma polinomial, maka jelas bahwa masalah pengambilan keputusan yang bersangkutan juga mempunyai algoritma polinomial. Pertimbangkan masalah keputusan yang contohnya adalah sebagai berikut: "Apakah bilangan bulat positif n merupakan bilangan komposit?" Jika n besar, kita tidak dapat menjawab pertanyaan ini dengan mudah.
Masalah ddan Instalasinya
Ukuran Instalasi
Algoritma untuk Memecahkan Masalah
Secara sepintas, kami menyebutkan bahwa ada masalah-masalah yang terdefinisi dengan baik dalam matematika yang tidak ada algoritmanya. Masalah paling terkenal yang belum terselesaikan dalam ilmu komputer adalah masalah penghentian: jika program komputer dilengkapi dengan data masukan, apakah program tersebut akan berhenti.
Kompleksitas Algoritma
Dengan kata lain, ini adalah masalah pengambilan keputusan, dan kita tidak tahu apakah ini akan sulit atau tidak. Untuk menunjukkan bahwa suatu permasalahan p terdapat pada NPC, harus dibuktikan bahwa (1) p terdapat pada NP dan (2) setiap permasalahan pada NP dapat ditransformasikan secara polinomial menjadi p.
Notasi “BIG OH” Atau O(.)
Masalah Mudah dan Masalah Sulit
Jadi konsensus di antara para ilmuwan komputer adalah mengatakan bahwa suatu masalah akan mudah jika ada algoritma polinomial yang akan menyelesaikan setiap masalah. Jadi ketika tidak ada algoritma polinomial yang diketahui untuk memecahkan suatu masalah, kita harus menyelidiki masalah tersebut dengan semangat ini.
Kelas P dan Kelas NP
Sebaliknya jika kita dapat menentukan bahwa suatu masalah tertentu pada NP tidak ada pada P, kita tidak perlu bersusah payah mencari algoritma yang efisien untuk menyelesaikannya. Perhatikan bahwa soal-soal sebelumnya dalam teori graf ada di NP karena mudah untuk memverifikasi jawabannya.
