BAB 6 LEBIH LANJUT TENTANG GRAFIK DAN DIGRAF
6.1. Jalur Eulerian dan Sirkuit Eulerian
Lintasan dalam suatu graf adalah lintasan Euler jika setiap sisi pada graf muncul sebagai sisi pada lintasan tepat satu kali. Lintasan Euler tertutup adalah lintasan Euler. Suatu graf dikatakan graf Euler jika memiliki sirkuit Euler. Ada definisi analog dalam kasus digraf.
Gagasan sirkuit Euler pertama kali muncul dari masalah jembatan Konigsberg yang terkenal (Contoh 5.1.1), yang menanyakan apakah seseorang dapat melintasi ketujuh jembatan di kota, melewati setiap jembatan tepat satu kali, dan kembali ke lokasi awal. Dalam rangka menunjukkan bahwa tidak mungkin untuk melakukannya, Euler menghasilkan teknik yang, diyakini secara universal, melahirkan teori graf. Jelas bahwa masalah dapat diselesaikan jika model grafnya (lihat Gambar 5.6) adalah graf Euler. Teorema berikut menyelesaikan pertanyaan ini.
TEOREMA 6.1.1
Graf terhubung G tanpa loop adalah Euler jika dan hanya jika derajat setiap simpul genap.
Bukti:
Setiap sirkuit Euler di G meninggalkan setiap simpul sebanyak yang ia masuki. Jadi setiap simpul dari G genap. Sebaliknya, misalkan G adalah graf terhubung yang setiap simpulnya genap. Kami membuktikan bahwa G adalah Euler dengan benar-benar membangun sirkuit Euler di dalamnya. Ada beberapa algoritma untuk konstruksi ini. Untuk detailnya, lihat Genap (1979). Kami mengadopsi prosedur berikut, di mana sirkuit "disambung," sampai kami benar- benar mendapatkan sirkuit Euler. Mulai dari sembarang simpul v. Lintasi sisi-sisi yang berbeda dari G sampai kita kembali ke v. Hal ini tentu saja mungkin karena setiap simpul genap. Biarkan C1 menjadi sirkuit yang diperoleh. Jika sirkuit ini berisi semua tepi grafik, kita selesai. Jika tidak, hapus semua tepi sirkuit ini dan semua simpul berderajat 0 dari G untuk mendapatkan subgraf terhubung H1 di mana setiap simpul juga genap. Selanjutnya, karena G terhubung, ada simpul u yang sama untuk sirkuit C1 dan subgraf H1. Sekarang mulai dari u dan dapatkan rangkaian C2 dengan melintasi tepi subgraf yang berbeda. Perhatikan bahwa kedua sirkuit tidak memiliki tepi yang sama, meskipun mereka mungkin memiliki simpul yang sama. Jika v = u, kedua sirkuit dapat digabungkan untuk membentuk sirkuit C3 yang diperbesar. Lihat Gambar 6.1(a). Jika v dan u berbeda, misalkan P dan Q adalah dua jalur sederhana yang berbeda antara v dan u yang terdiri dari sisi-sisi dari C1 . Kemudian P, Q, dan C2 disambung bersama untuk membentuk rangkaian baru C3, seperti pada Gambar 6.1(b). Jika sirkuit yang diperbesar ini memiliki semua sisi G, kita simpulkan bahwa itu adalah Euler. Jika tidak, kita lanjutkan sampai diperoleh rangkaian yang memiliki semua sisi G.
Matematika Diskrit (Dr Agus Wibowo)
Gambar 6.1 Sirkuit euler
Gambar 6.2 Sirkuit euler
Untuk mengilustrasikan prosedur ini, mari kita coba membuat sirkuit Euler untuk graf G dari Gambar 6.2 di mana sisi-sisinya diberi label setiap kali ada banyak sisi. Mulai dari simpul 1, misalkan kita memiliki rangkaian C1, yang terdiri dari {1, 2}, {2, 3}, e3, e2, e1, dan {6, 1}.
Menghapus semua tepi rangkaian ini dari G dan kemudian menghapus semua simpul dengan derajat nol, kita mendapatkan subgraf H1 seperti pada Gambar 6.3 dan kita melihat bahwa simpul 3 adalah umum untuk subgraf dan rangkaian C1. Dimulai dari simpul 3 pada subgraf ini, kita mendapatkan rangkaian C2 yang terdiri dari e4, e5 , dan {5, 3}. Kemudian kita sambung kedua rangkaian tersebut untuk mendapatkan rangkaian C3 yang terdiri dari {1, 2}, {2, 3}, semua rusuk C2, e3, e2, e1, dan {6, 1}. Sirkuit baru ini juga bukan Eulerian, meninggalkan kita dengan subgraf baru H2 seperti pada Gambar 6..4. Titik 2 adalah umum untuk subgraf ini dan C3 dan kami memiliki sirkuit C4 di H2 yang terdiri dari {2, 5}, e6 , dan {6, 2}. Akhirnya, kita sambung C4 dan C3 untuk mendapatkan rangkaian Euler dari G yang terdiri dari {1, 2}, {2, 5}, e6 , {6, 2}, {2, 3}, e4, e5, {5, 3 }, e3, e2, e1, dan {6, 1}.
Menemukan sirkuit Euler dengan metode ini bisa jadi membosankan, terutama dalam grafik besar. Prosedur berikut, yang dikenal sebagai algoritma Fleury, tidak terlalu rumit: Mulai dari sembarang simpul dan hapus tepi segera setelah dilalui. Juga, jangan pernah
Matematika Diskrit (Dr Agus Wibowo)
menyeberangi jembatan jika Anda bisa membantunya. Jika kita dapat kembali ke titik awal setelah menghapus semua sisi, sirkuitnya adalah Euler dan kita menyimpulkan bahwa grafiknya juga Euler. Misalnya, pada Gambar 6.2 kita mulai dari 2 dan melintasi sepanjang {2, 3}, {3, 5}, {5, 2}, {2, 1}, dan {1, 6} dan berhenti di 6. Jika kita menghapus semua sisi yang dilalui, kita mendapatkan subgraf seperti pada Gambar 6.5, di mana kita mulai dari 6 tetapi kita tidak mengikuti e7 karena ini adalah jembatan. Jadi kita melintasi sepanjang e1, e2 , dan e3 , mencapai 3. Setelah tepi ini dihapus, e4 menjadi jembatan yang terpaksa kita lewati, dan dengan cara yang sama, kita menyeberangi jembatan e5, e6 dan akhirnya {6, 2}. Pada tahap ini kita memiliki sirkuit Euler.
Gambar 6.3 Simpul 3 adalah umum untuk subgraf dan rangkaian C1
Gambar 6.4 Subgraf baru H2
Matematika Diskrit (Dr Agus Wibowo)
Gambar 6.5 Jika dihapus sisi yang dilalui akan mendapat subgraf baru
Catatan: Kehadiran loop di sebuah simpul sama sekali tidak mempengaruhi keberadaan sirkuit Euler. Misalkan G adalah sembarang graf terhubung dan misalkan G′ adalah subgraf yang diperoleh setelah menghapus semua loopnya. Maka G adalah Euler jika dan hanya jika G′
adalah Euler. Kecuali dinyatakan lain, kami berasumsi bahwa semua graf dan digraf dalam sisa bab ini adalah loopless.
Karakterisasi graf dengan jalur Euler sekarang dapat dengan mudah diperoleh sebagai berikut.
TEOREMA 6.1.2
Graf non-Euler terhubung G tanpa loop memiliki lintasan Euler jika dan hanya jika memiliki tepat dua simpul ganjil.
Bukti:
Jika G memiliki lintasan Euler dari u ke v, u dan v keduanya ganjil dan karena lintasan ini melewati setiap simpul dan melintasi setiap sisi satu kali, setiap simpul lainnya pasti genap.
Sebaliknya, misalkan G terhubung dengan tepat dua simpul ganjil, u dan v. Sekarang u dan v bertetangga atau tidak. Dalam kasus sebelumnya biarkan e menjadi tepi di antara mereka.
Hapus e untuk mendapatkan graf G′ (dengan paling banyak dua komponen) di mana setiap simpulnya genap. Jika G′ terhubung, dapatkan sirkuit Euler di dalamnya mulai dari u dan kemudian sambungkan tepi e ke sirkuit ini untuk mendapatkan jalur Euler antara u dan v. Jika G′ memiliki dua komponen, biarkan komponen yang berisi u menjadi G1 dan komponen yang mengandung v menjadi G2. Tentu saja, kedua komponen ini adalah Eulerian. Sekarang dapatkan sirkuit Euler dari u di komponen pertama dan sirkuit Euler dari v di komponen kedua.
Kemudian jalur yang terdiri dari tepi sirkuit pertama, tepi (sebenarnya, jembatan) e, dan tepi sirkuit kedua merupakan jalur Euler antara u dan v. Akhirnya, jika u dan v tidak bertetangga di G, buat busur e yang menghubungkannya, menghasilkan grafik baru H, yang Eulerian.
Dapatkan sirkuit Euler di H dari u di mana tepi terakhirnya adalah e. Jika kita menghapus e, kita memiliki jalur Euler di G dari u ke v. Ini melengkapi buktinya.
Kami sekarang menyatakan hasil analog dalam kasus digraf. Untuk bukti langsung teorema ini, pembaca dirujuk ke Behzad et al. (1979).
TEOREMA 6.1.3
Digraf terhubung lemah memiliki sirkuit Euler berarah jika dan hanya jika derajat masuk setiap simpul sama dengan derajat keluarnya.
TEOREMA 6.1.4
Matematika Diskrit (Dr Agus Wibowo)
Digraf terhubung lemah tanpa sirkuit Euler berarah memiliki lintasan Euler berarah jika dan hanya jika derajat masuk setiap simpul sama dengan derajat keluarnya kecuali untuk dua simpul u dan v sedemikian sehingga derajat keluar u sama dengan derajat masuk ditambah satu dan derajat masuk v sama outdegree ditambah satu.