BAB 2 KOMBINATORIK
2.4. Lebih Lanjut tentang Permutasi dan Kombinasi
Matematika Diskrit (Dr Agus Wibowo)
Contoh 2.3.5
(a) Banyaknya cara mengalokasikan 43 siswa ke dalam 7 asrama yang berbeda sehingga dua asrama pertama mendapat masing-masing 5 siswa, tiga berikutnya masing-masing mendapatkan 6 siswa, asrama keenam mendapat 7 siswa, dan asrama ketujuh mendapat 8 siswa adalah:
(b) Banyaknya cara membagi 43 siswa menjadi 7 kelompok sehingga terdapat 5 siswa dalam setiap 2 kelompok, 6 siswa dalam setiap 3 kelompok, 7 siswa dalam satu kelompok, dan 8 siswa dalam satu kelompok adalah
Matematika Diskrit (Dr Agus Wibowo)
TEOREMA 2.4.1
Jika X adalah himpunan kardinalitas n, maka jumlah r-koleksi dari X adalah C(r + n – 1, n – 1), di mana r adalah sembarang bilangan bulat positif.
Bukti:
Misal X = {1, 2, 3, . . . , n}. Biarkan u menjadi r-koleksi dari X di mana 1 berulang x1 kali, 2 berulang x2 kali, . . . , dan N berulang xn kali. Koleksi-r ini dapat direpresentasikan sebagai:
dimana notasi i ⋯ i berarti simbol i berulang sebanyak xi kali. Demikian pula, biarkan v menjadi r-koleksi lain di mana 1 berulang y1 kali, 2 kali y2 kali, . . . , dan n mengulangi yn kali. Kemudian:
dimana notasi i ⋯ i berarti simbol i berulang y2 kali. Perhatikan bahwa pada representasi u maupun pada representasi v terdapat celah antara 1 dan 2, celah antara 2 dan 3, . . . , jarak antara (n – 1) dan n. Pada setiap representasi terdapat (n – 1) gap. Yang membedakan satu r- koleksi dari yang lain adalah di mana titik-titik kosong ini berada dalam representasi yang khas.
Setiap representasi memiliki r simbol dan (n – 1) celah. Jadi setiap representasi dapat dianggap sebagai himpunan r + n – 1 lokasi berbeda. Semua n – 1 kosong adalah identik.
Alokasi dari (n – 1) blanko ini ke (r + n – 1) lokasi mendefinisikan r-koleksi. Jadi jumlah r-koleksi yang berbeda sama dengan banyaknya cara untuk mengalokasikan (n – 1) objek yang identik ke (r + n – 1) lokasi yang berbeda sehingga setiap lokasi menerima paling banyak satu objek.
Angka ini adalah C(r + n – 1, n – 1), seperti yang kita lihat di Bagian 1.3.
Contoh 2.4.1
Misal X = {a, b, c, d}. Jumlah total 5 pilihan dari X adalah C(5 + 4 – 1, 4 – 1) = 56. Teorema berikut adalah versi setara dari Teorema 1.4.1.
TEOREMA 2.4.2
(a) Jumlah solusi yang berbeda dalam bilangan bulat nonnegatif dari persamaan linier (dalam n variabel) x1 + x2 + ⋯ + xn = r adalah C(r + n – 1, n – 1).
(b) Banyaknya penyelesaian berbeda dalam bilangan bulat tak negatif dari pertidaksamaan linier (dalam n variabel) x1 + x2 + ⋯+ xn ≤ r adalah C(r + n, n).
(c) Banyaknya suku pada ekspansi multinomial dari (x1 + x2 + ⋯+ xn)r adalah C(r + n – 1, n – 1).
Bukti:
(a) Setiap solusi xi = si (i = 1, 2, , n) dalam bilangan bulat tak negatif sesuai dengan kumpulan r elemen (dari himpunan X yang terdiri dari n variabel) di mana xi mengulang si kali, di mana si r, dan sebaliknya. Banyaknya himpunan tersebut adalah C(r + n – 1, n – 1) menurut Teorema 1.4.1.
(b) Misalkan y adalah variabel nonnegatif sehingga x1 + x2 + ⋯ + xn + y = r. (y disebut variabel slack.) Kita sekarang memiliki persamaan linier dalam (n + 1) variabel.
Penyelesaian bilangan bulat tak negatif dari persamaan di (n + 1) variabel adalah solusi
Matematika Diskrit (Dr Agus Wibowo)
bilangan bulat tak negatif dari pertidaksamaan dalam n variabel, dan sebaliknya. Jadi bilangan yang dibutuhkan adalah C(r + n, n).
(c) Setiap suku dalam ekspansi dapat dianggap sebagai produk dari n variabel di mana jumlah eksponen variabel adalah r. Oleh karena itu, jumlah suku dalam pemuaian sama dengan jumlah kumpulan r elemen dari himpunan X yang terdiri dari n variabel yang memungkinkan pengulangan.
Contoh 2.4.2
Di asrama sarjana ada beberapa mahasiswa baru, mahasiswa tahun kedua, junior, dan senior.
(a) Dalam berapa cara sebuah tim yang terdiri dari 10 siswa dapat dipilih untuk mewakili asrama?
(b) Dalam berapa cara sebuah tim yang terdiri dari 10 orang dapat dipilih sedemikian rupa sehingga memiliki paling sedikit satu mahasiswa baru, paling sedikit satu mahasiswa tingkat dua, paling sedikit dua junior, dan paling sedikit dua senior?
Bukti:
(a) Jika p,q,r, dan s adalah banyaknya siswa dari setiap kelas dalam tim tersebut, maka banyaknya cara tim tersebut dapat dipilih adalah sama dengan banyaknya solusi dalam bilangan bulat tak negatif dari persamaan p+q +r+s=1. Jadi jawabannya adalah C(13,3)
= 286.
(b) Dalam hal ini p > 0, q > 0, r > 1, dan s > 1. Tulis p = p′ + 1, q = q′ + 1, r = r′ + 2, dan s = s′
+ 2. Jadi banyaknya cara akan sama dengan banyaknya penyelesaian bilangan bulat tak negatif dari persamaan p′ + q′ + r′ + s′ + 6 = 10 dan jawabannya adalah C(7, 3) = 35.
Masalah Alokasi di Pengaturan Umum
Kami sekarang mempertimbangkan masalah mengalokasikan r objek identik ke n lokasi berbeda sehingga setiap lokasi dapat menampung sebanyak mungkin objek yang diperlukan.
Dalam berapa banyak cara kita dapat mencapai ini? Jika jumlah benda yang ditempatkan di lokasi i adalah xi (di mana i = 1, 2, . . , n), setiap solusi dari persamaan x1 + x2 + ⋯ + xn = r dalam bilangan bulat tak negatif sesuai dengan cara mengalokasikan r objek ini ke n lokasi, dan sebaliknya. Jadi ada cara C(r + n – 1, n – 1) untuk menempatkan r objek identik di n lokasi berbeda. Kami menggabungkan pengamatan ini dengan Teorema 1.4.1 dan 1.4.2 untuk membuat pernyataan berikut:
TEOREMA 1.4.3 Diketahui:
L = Banyaknya cara memilih r elemen (dengan pengulangan) dari suatu himpunan yang memiliki n elemen
M = Banyaknya cara mengalokasikan r objek identik ke n lokasi berbeda
N = Jumlah solusi dalam bilangan bulat tak negatif dari persamaan x1 + x2 + ⋯ + xn = r Kemudian:
L = M = N = C(r + n – 1, n – 1)
Kami sekarang merangkum empat kasus permutasi dan kombinasi (tanpa atau dengan pengulangan) dari r elemen dari satu set n elemen yang berbeda dan menafsirkan hasil ini sebagai dua model penghitungan sebagai berikut.
Matematika Diskrit (Dr Agus Wibowo)
Model pemilihan
Banyaknya cara memilih r elemen dari himpunan n elemen adalah:
1. P(n, r) jika elemen yang dipilih berbeda dan urutan pemilihannya penting.
2. C(n, r) jika elemen yang dipilih berbeda dan urutan pemilihannya tidak penting.
3. nr jika elemen yang dipilih belum tentu berbeda dan urutannya penting.
4. C(r + n – 1, n – 1) jika elemen yang dipilih belum tentu berbeda dan ordonya tidak penting.
Model alokasi
Banyaknya cara mengalokasikan r objek ke n lokasi berbeda adalah:
1. P(n, r) jika objeknya berbeda dan tidak ada lokasi yang dapat mengambil lebih dari satu objek.
2. C(n, r) jika objeknya identik dan tidak ada lokasi yang dapat mengambil lebih dari satu objek.
3. nr jika objeknya berbeda dan tidak ada batasan jumlah objek di suatu lokasi.
4. C(r + n – 1, n – 1) jika objeknya identik dan tidak ada batasan jumlah objek di suatu lokasi.
Kesimpulan ini dapat diringkas dalam Tabel 2.1.
Kami menyimpulkan bagian ini dengan teorema berikut, yang merangkum berbagai kasus alokasi yang dipertimbangkan sejauh ini.
TEOREMA 2.4.4
(a) Jika r paling banyak n, kumpulan r objek yang berbeda dapat dialokasikan ke n lokasi, sehingga tidak ada lokasi yang dapat menerima lebih dari satu objek dengan cara P(n, r).
(b) Sekumpulan r objek berbeda dapat dialokasikan ke n lokasi dengan nr cara jika tidak ada batasan jumlah objek yang dapat diterima oleh suatu lokasi.
(c) Jika r paling banyak n, kumpulan r objek identik dapat dialokasikan ke n lokasi sehingga tidak ada lokasi yang dapat menerima lebih dari satu objek dengan cara C(n, r).
(d) Kumpulan r objek identik dapat dialokasikan ke n lokasi sehingga lokasi f mendapatkan setidaknya pi objek dalam cara C(r – p + n – 1, n – 1), di mana p = p1 + p2 + ⋯ + hal.
(Teorema 1.4.3 adalah kasus khusus ketika setiap pi adalah 0.)
(e) Misalkan ada k jenis objek sehingga tipe i memiliki ni objek (i = 1, 2, . . , k). Objek yang termasuk dalam tipe yang sama adalah identik dan dua objek yang termasuk dalam dua tipe yang berbeda tidak identik. Kemudian objek n1 + n2 + ⋯ + nk ini dapat dialokasikan ke n lokasi sehingga tidak ada lokasi yang dapat menerima lebih dari satu objek dengan cara P(n; n1 n2, . . , nk ).
(f) Kumpulan n1 + n2 + ⋯ + nk objek yang berbeda dapat dialokasikan ke k lokasi sehingga lokasi i menerima tepat ni objek (i = 1, 2, . . , k) di C(n; n1 n2, . . , nk ) cara.
(g) P(n; n1, n2, . . . , nk ) = C(n; n1 n2, . . , nk ) = P(n, r)/[(n1!)(n2!) . . . (nk !)] dimana n1 + n2 +
⋯ + nk = r.
Matematika Diskrit (Dr Agus Wibowo)
Tabel 2.1 Rangkuman kasus alokasi yang dipertimbangkan sejauh ini