ISSN 1978 - 7227

Volume 1, Nomor 1, Juni 2007

ISSN 1978 - 7227

REGULARISASI SISTEM SINGULAR DENGAN OUTPUT UMPAN BALIK u = Fy + v (Regularization of a Singular System by Feedback Output u = Fy + v )

ELVINUS RICHARD PERSULESSY

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Pattimura Ambon Jl. Ir. M. Putuhena, Kampus Unpatti Ambon

ABSTRACT

(E,A,B,C,D) as a singular system is given. E, A, B and C are real constant matrices if E=I, I is a identify matrix, then (E,A,B,C) is a normal system. A unique solution of a singular system exists if (E,A) is regular. A singular system which is regular and the index is not more than one can be simplified to a normal system.

The regularization of a singular system by feedback output u = Fy + v is investigated in this paper.

Furthermore a sufficient and necessary condition of the existence of F such that (E, A+BFC) is regular and the index is not more than one is represented.

Keywords : singular system, regular system, normal system

PENDAHULUAN

Diberikan sistem linier singular time invariant

( ) ( ) ( )

( ) ^{t C x} ( ) ^t

y

t u B t x A t x E

=

+

! =

dengan variabel state

^x ( ) ^{t ∈ R}

ⁿ , variabel input

( ) ^{t R}

^m

u ∈

, variabel output

^y ( ) ^{t ∈ R}

^p,

^{E , A ∈ R}

^nxn,

R

nxm

B ∈

^,

^C ∈ ^R

^{pxn dan}

^m ≤ ⁿ

^,

p ≤ n

. Sistem (1) dapat ditulis sebagai

( ^{E , A , B , C} )

^.

Eksistensi dan ketunggalan penyelesaian dari sistem (1) terjamin jika matriks pencil

( ^{E, A} )

^regular,

yaitu terdapat skalar

α ∈ C

^sehingga

α E − A ≠ 0

^.

Menurut Dai (1989:7), kondisi yang diperlukan agar matriks

( ^{E, A} )

regular adalah dapat ditemukannya dua matriks tak singular

Q

dan

P

yang memenuhi

( )

(

2

)

1

, ,

1 n

n

I A diag QAP

N I diag QEP

=

=

dengan

n

₁

+ n

₂

= n , A

₁

∈ R

^{n1xn1 dan}

N ∈ R

^n2xn2

adalah matriks nilpoten berindeks

h

yaitu

0 ,

0

¹

≠

=

^h−

h

N

N

. Indeks sistem (1), dilambangkan dengan ind

( ^{E, A} )

, didefinisikan sebagai indeks matriks

N

^.

Diberikan umpan balik berbentuk v

Fy

u = + ...(3) Jika (3) disubsitusikan ke (1) diperoleh sistem

(

^{A BFC}

)

^{x Bv}

x

E!= + + ...(4) dengan matriks pencil

( ^E , ^A + ^BFC )

^.

Sistem (1) yang regular dan berindeks tidak lebih dari 1, mempunyai penyelesaian

( ) ( )

( )

^⎥_⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ t x

t P x t x

2

1 dengan

( )

^{( )}

( )

( ) ^{t B u}

x

d u B e x e t

x

^{At t A t}

2 2

0 1

0

1 ^{1 1}

,

−

=

+ ∫

=

^−τ

τ τ

dan syarat awal

x

1

( ) 0 = x

0^.

Selanjutnya akan ditinjau suatu kondisi yang menjamin eksistensi matriks

F

sehingga

( ^{E , A + BFC} )

^regular

dan ind

( E ^, A + BFC ) ≤ ¹

^.

LANDASAN TEORI

Jika

A

adalah matriks berukuran

mxn

^dengan

rank

r

_a maka terdapat

S

_A yaitu matriks yang kolom- kolomnya membangun ruang null

A

dan

S

_A merupakan matriks dengan rank kolom penuh. Untuk matriks

A

terdapat

R

dan

S

sedemikian sehingga

⎥ ⎦

⎤

⎢ ⎣

= ⎡

0 0

a

0 I

r

RAS

. Dapat dipilih

⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

−

− ra

n

A

S I

S

₁

0

. Defenisi 2.1 (Goldberg, 1991: 391)

Misalkan

A

matriks real berukuran

m n ×

^.

Bilangan real taknegatif

σ

disebut nilai singular dari matriks

A

jika ada vektor taknol

u R ∈

^mdan

v R ∈

ⁿ

sehingga

Av = σ u

^dan

A u

^T

= σ v

^.

Teorema 2.2 (Goldberg, 1991: 395)

Jika

A

matriks real berukuran

m n ×

maka terdapat matriks orthogonal

U R ∈

^{m m× dan}

V ∈ R

^{n n×}

sedemikian hingga

A USV =

T

dengan

S R ∈

^{m n×} berbentuk

(

^,0

) (

¹, , , , ,0, ,0^{2 3} _r

)

S diag= ∑ =diag σ σ σ K σ K

dimana

σ σ

₁

, , ,

₂

^K σ

_radalah nilai-nilai singular dari

A

. Lemma 2.3 (Chu et.al, 1998)

………..……….(1)

………..……….(2)

Barekeng

, Vol. 1, 2007 REGULARISASI SISTEM SINGULAR 33 Matriks pencil

( E A regular ^, )

^dan

^{ind E A} ( ^, ) ^{≤ 1}

jika dan hanya jika

[

^E

]

rank E AS = n

^.

Lemma 2.4 (Chu et.al, 1998)

Jika

E R ∈

^{n n× dan}

B R ∈

^{n m× dan}

^{rank B} ( ) ^{= r}

^b

^{≤ n}

maka terdapat matriks-matriks orthogonal

Q

,

U

dan

V

sedemikian hingga

1

21 22

0 0 0

0 0 0

UEV

⎡∑ ⎤

⎢ ⎥

=⎢∑ ∑ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

, ^{0 0}

0 0 0 UBQ B

⎡ ⎤

⎢ ⎥

=⎢∑ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

dengan ( )

22

b e b eb

r x r r r

E ∈ R

^{+ −} mempunyai rank kolom

penuh dan ( ) ( )

1 ^{eb b eb b}

r r x r r

R

^{− −}

∑ ∈

^,

∑ ∈

_B

R

^{r xrb b adalah}

matriks diagonal definit positif.

Regularisasi Sistem Singular dengan Output Umpan Balik u Fy v= + ^.

Jika

[ ]

r

eb

= rank E B

^, r_ec rank ^E C

= ⎡ ⎤⎢ ⎥

⎣ ⎦

, ^{rb=rank B}

( )

^dan

ebc 0 r rank E B

C

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

maka generalisasi dari Lemma 2.4 adalah Teorema 3.1

Diberikan

E R ∈

^{n n× ,}

B R ∈

^{n m× ,}

C R ∈

^{p n× .}

Terdapat matriks-matriks orthogonal

U

,

V

,

Q

dan

W

sedemikian hingga

1

21 2 23

31 33

41

0 0 0

0

0 0

0 0 0

0 0 0 0

UEV

⎡∑ ⎤

⎢∑ ∑ ∑ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

= ∑ ∑

⎢ ⎥

⎢∑ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

,

1 2 3

0 0 0 0 0 0 0 B UBQ B B

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

11 21

0 0

0 0 0

C

C

WCV C

⎡ ∑ ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

Dengan

∑ ∑ ∑

₁

,

₂

,

_C matriks yang masing-masing berukuran

( ^{r r x r r}

^eb

⁻

^b

) (

^eb

⁻

^b

)

^,

( r r r x r r r

^b

+

^ec

−

^ebc

) (

^b

+

^ec

−

^ebc

)

^dan

( ^r

^ebc

^{− r x r}

^eb

) (

^ebc

^{− r}

^eb

)

^,

^E

³³ matriks dengan rank baris penuh berukuran

( ^{r r}

^e

⁺

^ebc

^{− r}

^eb

^{− r x r}

^ec

) (

^ebc

^{− r}

^eb

)

^,

1 2 3

T T T

B B B

⎡ ⎤

⎣ ⎦

adalah matriks taksingular berukuran

b b

r x r

^{, dan}

⎡ ⎣ C

₁₁^T

C

₂₁^T

⎤ ⎦

adalah matriks berukuran

(

^{eb b}

) ^.

p x r − r

Bukti :

Diberikan

E R ∈

^{n n× ,}

B R ∈

^{n m× .}

Menurut Lemma 2.4, terdapat matriks-matriks orthogonal

ˆ ˆ ,

U V

^dan

Q

yang masing-masing berukuran

n x n

,

n x n

dan

m x m

sehingga

1

21 22

0 0

ˆ ˆ 0

0 0 0 UEV

⎡ ∑ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ∑ ∑ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

,

0 0

ˆ 0

0 0 UBQ

B

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ∑ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

dengan ( )

ˆ

22 ^{r x r r rb e b eb}

E ∈ R

^{+ −} matriks dengan rank kolom

penuh, ( ) ( )

1

eb b eb b

r r x r r

R

^{− −}

∑ ∈

^dan

∑ ∈

_B

R

^{r xrb b.}

Misalkan

V ˆ = ⎡ ⎣ V V ˆ

₁

ˆ

₂

⎤ ⎦

^dengan

V ˆ

¹

∈

^{n x r(eb−rb) ,}

( )

ˆ

2 ^{n x n reb rb}

V ∈

^{− + ,}

E ˆ = ⎡ ⎣ E ˆ

₂₂

0 ⎤ ⎦

^dan

B CV ˆ = ˆ

^{2 dengan}

( )

ˆ

^{r x n rb eb rb}

E ∈

^{− + dan}

B ˆ ∈

^{p x n r( −eb+rb).}

Menurut Lemma 2.4, terdapat matriks orthogonal

U

^*

berukuran

r x r

_{b b}^,

V

^{* matriks}

(

^{n r− eb+r x n rb}

) (

^{− eb+rb}

)

dan

W

matriks

pxp

sehingga

( ) ( ) ( )

2

* *

23 33

0 0

ˆ 0

0 0 0

T

T T T T T

V E U

⎡∑ ⎤

⎢ ⎥

=⎢∑ ∑ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

atau

2 23

* *

33

0

ˆ 0 0

0 0 0

U EV

∑ ∑

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ∑ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

( )

^*

( ) ( )

^*

0 0

ˆ 0

0 0

T T T T

V E U C

⎡ ⎤

⎢ ⎥

=⎢∑ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

atau ˆ ^* 0 0

0 0 0

WBV ⎡ ∑C ⎤

=⎢ ⎥

⎣ ⎦

dengan matriks

E

₃₃^T mempunyai rank kolom penuh dan berukuran

(

rankB x rankE rankB rank^ˆ

)

^{ˆ ˆ Eˆ}_ˆ

B

⎛ ⎡ ⎤⎞

⎜ + − ⎢ ⎥⎟

⎜ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎟

⎝ ⎠

matriks

∑

_C berukuran

rankB x rankB ˆ ˆ.

Jika diambil

( ) ( )

( )

1

2 1

ˆ ˆ ,

ˆ ˆ , ˆ

C

y rank E rank B B

z rank B y rank E y

= ⎡ ⎤⎢ ⎥−

⎢ ⎥⎣ ⎦

=

= −

maka

∑ ∈

₂ ^{y x y1 1 ,}

∑ ∈

C ^{z x zC C} adalah matriks-matriks diagonal definit positif dan

E

₃₃^T

∈

^{z x yC 2} matriks dengan rank kolom penuh.

Jadi, jika diambil

U diag I U I U = ( ^,

^*

^, ) ^ˆ

^dan

(

^*

)

ˆ ,

V V diag I V =

^maka

*

*

0 0 ˆ ˆ 0

0 0

0 0 0

I I

UEV U UEV

I V

⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎢ ⎥

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎢ ⎥

⎣ ⎦

1

1 21 2 23

* * *

21 31 33

41

0 0 0

0 0

ˆ ˆ 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0

U E U EV

⎡∑ ⎤

⎢ ⎥

⎡ ∑ ⎤ ⎢∑ ∑ ∑ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

=⎢ ⎥= ∑ ∑

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢∑ ⎥

⎣ ⎦

⎢ ⎥

⎣ ⎦

*

*

*

0 0

0 0 ˆ

0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0

0

0 0

B

B

I

UBQ U UBQ

I I

U I U

⎡ ⎤

⎢ ⎥

=⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=⎢ ⎥ ⎢∑ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤

⎢ ⎥

=⎢ ∑ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Karena

U

^* orthogonal dan

∑

_B taksingular maka

1

*

2 3 B

B

U B

B

⎡ ⎤

⎢ ⎥

∑ =⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

taksingular dan berukuran

r x r

_{b b}^.

Selanjutnya

11

*

21

0 0

ˆ 0

0 0 0

0

C

C

WCV WCV I

C V

⎡ ∑ ⎤

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

dengan ₁ ¹¹

21

ˆ C

WCV C

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

matriks berukuran

(

^{eb b}

)

p x r − r

^.

Karena

0

ˆ 0 ˆ 0

0 0 0

ebc

r rank E B C

U E B V

rank I C Q

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1

21 2

1 1

1

0 0 0

ˆ 0

0 0 0 0

ˆ ˆ 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 ˆ 0 0

ˆ

B

B

B

E E

rank

CV B

rank

B

rank rank rankB

⎡∑ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ∑ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡∑ ⎤

⎢ ∑ ⎥

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

= ∑ + ∑ +

maka

^z

^c

^{= rank B r ˆ =}

^ebc

⁻ ( ^r

^eb

^{− r}

^b

) ^{− r}

^b

^{= r}

^ebc

^{− r}

^eb

^.

Karena

1 21

0

ˆ ˆ

0 0

UEV E E

⎡ ∑ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

berakibat

1

ˆ

r

e

= rank ∑ + rank E

^.

Selanjutnya

rank E r rank ˆ =

_e

− ∑

₁

= r r

_e

−

_eb

+ r

_b

.

Diperoleh,

1 21

1

1

ˆ 0 ˆ

0 0

ˆ ˆ

0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ

ec

E U E

r rank rank V

C I C

E E

rank

CV B rank rank E

B

⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡∑ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

= ∑ + ⎡ ⎤⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

Akibatnya, ₁

ˆ .

ˆ

^{ec ec eb b}

rank E r rank r r r

B

⎡ ⎤ = − ∑ = − +

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

Jadi

⎣ ⎦

diperoleh

( )

1

ˆ ˆ

ˆ

ec eb b ebc eb ec b ebc

.

y rank E rank B B

r r r r r r r r

= ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ −

⎢ ⎥ ⎣ ⎦

= − + − + = + −

( )

2

ˆ

1

e eb b ec eb ebc

eb ec ebc

y rank E y

r r r r r r

r r r

= −

= − + − − +

= − −

Karakterisasi rank matriks

E BGC +

diberikan oleh teorema berikut.

Teorema 3.2

Jika

E R ∈

^{n n× ,}

B R ∈

^{n m× ,}

C R ∈

^{p n×} , maka untuk sebarang bilangan bulat

r

yang memenuhi

Barekeng

, Vol. 1, 2007 REGULARISASI SISTEM SINGULAR 35

{ }

min ,

eb ec ebc eb ec

r − r − r ≤ ≤ r r r

^ada 0

m x p

G ∈ R

sehingga

(

⁰

)

rank E BG C + = r

Atau, ekuivalen dengan

( )

{ rank E BGC G R + ^\ ∈

^{mx p}

} = S

^ebc

dimana

^S

^ebc

= { r r Z r r r ^| ∈ ^,

^eb

− −

^{ec ebc}

≤ ≤ r ^min ( r r

^{eb ec}

^, ) } ^.

Bukti :

Menurut teorema 3.1, untuk

E R ∈

^{n xn ,}

B R ∈

^{n m× ,}

C R ∈

p n^× terdapat matriks orthogonal

U

,

V

,

Q

dan

W

^sehingga

1

21 2 23

31 33

41

0 0 0

0

0 0

0 0 0

0 0 0 0

UEV

⎡∑ ⎤

⎢∑ ∑ ∑ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

= ∑ ∑

⎢ ⎥

⎢∑ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

; ¹

2 3

0 0 0 0 0 0 0 B UBQ B B

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

=⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

11 21

0 0

0 0 0 C C

WCV C

⎡ ∑ ⎤

=⎢ ⎥

⎣ ⎦

Untuk sebarang

G R ∈

^{m x p , misalkan}

1 2

3 4

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

T T

G G

G Q GW

G G

⎡ ⎤

= = ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

maka

( ) [ ]

[ ]

0 0 0

0

^{T T}

I I

rank E BGC rank E B

G C

I I

rank UEV UBQ

Q GW WCV

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

+ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1

21 1 1 11 1 2 21 2 23 1 1

31 2 1 11 2 2 21 33 2 1

41 3 1 11 3 2 21 3 1

0 0 0

ˆ ˆ ˆ 0

ˆ ˆ 0 ˆ 0

ˆ ˆ 0 ˆ 0

0 0 0 0

C C C

B G C B G C B G C

rank B G C B G C B G C

B G C B G C B G C

⎡ ∑ ⎤

⎢ ⎥

∑ + + ∑ ∑ +

⎢ ⎥

⎢ ⎥

= ⎢∑ + + ∑ + ⎥

⎢∑ + + ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Karena

∑

₁ ^dan

∑

₂ tak singular maka diperoleh

( )

1 2

33 2 1 3 1

0 0 0

0 0 0

0 0 ˆ 0

0 0 ˆ 0

0 0 0 0

C C

rank E BGC rank B G C B G C

⎡ ∑ ⎤

⎢ ∑ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

+ = ∑ +

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Menurut teorema 3.1,

rank ∑

₁

= r

_eb

+ r

_b ^dan

2 _{b ec ebc}

.

rank ∑ = r + r − r

Akibatnya,

( )

1 2 ^{33 2 1}

3 1

33 2 1 3 1

ˆ ˆ ˆ ˆ

C C

C

eb ec ebc

C

B G C rank E BGC rank rank rank

B G C B G C r r r rank

B G C

⎡∑ + ⎤

+ = ∑ + ∑ + ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡∑ + ⎤

= + − + ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Selanjutnya, ^{33 2 1 2} ₁

3 1 3

ˆ ˆ ˆ

ˆ

C

C C

B G C B

A G

B G C B

⎡ ∑ + ⎤ ⎡ ⎤

= + ∑

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎢ ⎥

⎣ ⎦

dengan

ˆ

³³

0 A ⎡ E ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

berukuran

( ^r

^ebc

^{− r x r}

^ec

) (

^ebc

^{− r}

^eb

) ^.

Karena

⎡ ⎣ B

₁^T

B

₂^T

B

₃^T

⎤ ⎦

^T

= U

^*

∑

_B ^dan

∑

^C

taksingular maka dipilih

( )

( )

* 1 1

1

1 * 1

0 0

ˆ ˆ

0 0 ˆ

B C

T

C

G U

X A

U X A

− −

− −

⎛⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎞

= ∑ ⎜⎜⎝⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦−⎢ ⎥⎟⎟⎠∑

⎛⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎞

=∑ ⎜⎜⎝⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦−⎢ ⎥⎟⎟⎠∑

Dengan (rebc r x rec) (ebc reb)

X R ∈

^{− −} adalah suatu matriks yang memenuhi

( )

0 ≤ i rank X = ≤ min r

_ebc

− r r

_ec

,

_ebc

− r

_eb

Akibatnya, dari (6), (7) dan ¹

2

X X X

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

diperoleh

( )

33 2 1

3 1

2 1 * 1

3

1

1 1

2 2 1 33

3 3 2

1 33

2

ˆ ˆ

0 0

ˆ ˆ

0 0 0 ˆ 0 0

ˆ

C C

T

B C C

B G C rank B G C

rank A B U

B X A

B B

rank A I B B X E

I B B X

X E rank A

X

− −

−

⎡∑ + ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎛ ⎡ ⎤ ⎛⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎞ ⎞

⎜ ⎟

= ⎜⎝ +⎢⎣ ⎥⎦∑ ⎜⎜⎝⎢ ⎥⎣ ⎦−⎢ ⎥⎣ ⎦⎟⎟⎠∑ ∑ ⎟⎠

⎛ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎞

⎜ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟

= ⎜⎜⎝ +⎢⎣ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎦⎢⎣ ⎥ ⎢⎦ ⎣ ⎥ ⎢⎦ ⎣ − ⎥⎥⎦⎟⎟⎠

⎡ − ⎤

= +⎢ ⎥

⎣ ⎦

rank X i

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

Akibatnya dari (8) dan (9) diperoleh =

( )

33 2 1 3 1

0 ˆ

ˆ

min ,

C C ebc ec ebc eb

B G C rank B G C

r r r r

⎡∑ + ⎤

≤ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

≤ − −

Dari (5), (10) dan misal

r rank E BGC = ( + )

diperoleh

( )

0 ≤ − r r

_eb

− r

_ec

+ r

_ebc

≤ min r

_ebc

− r r

_ec

,

_ebc

− r

_eb

Dengan kata lain,

( )

min ,

eb ec ebc ebc ec ebc eb

r + r r − ≤ ≤ r r − r r − r

Diberikan

1 11

0 0 0

0 0 0

ˆ 0 0

0 0 0

C

I V V I

C I

I

−

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

= ⎢− ∑ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

maka diperoleh :

…(5)

..(6)

………(7)

………(8)

………..………(9)

………(10)

1.

1 11

0 0 0

0 0 0

ˆ 0 0

0 0 0

C

I UEV UEV I

C I

I

−

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

= ⎢− ∑ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

1

21 2 23

31 33

41

0 0 0

0

0 0

0 0 0

0 0 0 0

⎡∑ ⎤

⎢∑ ∑ ∑ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

= ∑ ∑

⎢ ⎥

⎢∑ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

dengan

ˆ

_{21 21 23} ¹ ₁₁

E = E − E ∑

C⁻

C

dan

1

31 31 33 11

ˆ

C

E = E − E ∑

⁻

C

2.

1 11

0 0 0

0 0 0

ˆ 0 0

0 0 0

C

I WCV WCV I

C I

I

−

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

= ⎢− ∑ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

¹¹

21

0 0

0 0 0

C C

C

⎡ ∑ ⎤

=⎢ ⎥

⎣ ⎦

Selanjutnya

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

51 52 53 54

ˆ

A A A A

A A A A

UAV A A A A

A A A A

A A A A

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

=⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Teorema 3.3

Jika

[

EC

]

₀^EC

E AS

rank E AS B rank n

C

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥=

⎣ ⎦

dengan

S

_EC matriks yang kolomnya membangun ruang

null dari

E C

⎡ ⎤ ⎢ ⎥

⎣ ⎦

maka

A

₅₄ ^dan

1 14

31 34

41 44

54 21

ˆ

0 0 A E A E A A C

⎡∑ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

masing-masing matriks dengan baris penuh dan rank kolom penuh.

Bukti

Diketahui

^{rank E AS} [

^EC

^B ] ^{= n}

^{, maka}

1

1

1

1 14

21 2 23 24 1

31 33 34 2

41 44 3

54

ˆ ˆ

ˆ 0 0

ˆ ˆ 0 0

0 0 ˆ ˆ ˆ

0 0 0 0 0

ˆ 0 0

ˆ 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

.

EC

EC

EC

rank E AVV S B

V rank U E AVV S B I

Q rank UEV AVV S UBQ

A

E E A B

rank E E A B

E A B

A n

−

−

−

⎡ ⎤

⎣ ⎦

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎡ ⎤

= ⎣ ⎦⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤

= ⎣ ⎦

⎡∑ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ∑ ⎥

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

=

Karena

R = ⎡ ⎣ B

₁^T

B

₂^T

B

₃^T

⎤ ⎦

^dan

∑

¹ taksingular dengan rank r_b ^dan rank r_eb+r_b, maka diperoleh

1

54

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

rank R n

A

⎡∑ ⎤

⎢ ⎥=

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

atau

1 54

rank ∑ + rank A + rank R n =

^.

Akibatnya,

rank A

₅₄

= n r −

_eb ^atau

A

54 matriks dengan rank baris penuh, dengan

A

₅₄ matriks berukuran

( ^{n r x n r −}

^eb

) ( ⁻

^eb

)

^.

Karena diketahui

0 E AS

EC

rank n

C

⎡ ⎤

⎢ ⎥ =

⎣ ⎦

maka

1

1

1

1 14

21 2 23 24

31 33 34

41 44

54

21

ˆ ˆ 0

ˆ ˆ ˆ

0 0

0 0 0

ˆ ˆ ˆ

ˆ 0

0 0 0

ˆ 0

ˆ 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

EC

EC

EC

C

E AVV S rank C

U E AVV S V

rank W C I

UEV UAVV S rank WCV

A

E E A

E E A

rank E A

A

C

−

−

−

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎛ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎞

= ⎜ ⎜ ⎝ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎣ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ ⎥ ⎦ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎡ ⎤ ⎞

⎜ ⎟

= ⎢ ⎥

⎜ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎟

⎝ ⎠

⎡ ∑ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ∑ ⎥

⎢

= ⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎢ ∑

⎢ ⎢⎣ ⎦

. n

⎥

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎥

⎥ ⎥

=

Barekeng

, Vol. 1, 2007 REGULARISASI SISTEM SINGULAR 37 Karena

∑

₂ ^dan

∑

C ^{tak singular maka}

1 14

21 2 23 24

31 33 34

41 44

54

21

0 0 0

ˆ 0

ˆ 0 0

0 0 0 .

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

C

A

E E A

E E A

rank E A n

A C

⎡∑ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ∑ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥=

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ∑ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Akibatnya,

1 14

31 34

41 44 2 54 21

ˆ

0 0

C

b ec eb

A

E A

rank E A n rank rank A

C

n r r r

⎡∑ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥= − ∑ − ∑

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

= − − −

Karena matriks

1 14

31 34

41 44

54 21

ˆ

0 0 A E A E A A C

⎡∑ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

berukuran

( ^{n p r + +}

^eb

^{− − r}

^b

^{r x n r}

^ec

) ( ^{− −}

^b

^r

^ec

^{− r}

^eb

)

^maka

matriks tersebut merupakan matriks dengan rank kolom penuh.

Selanjutnya, kondisi yang menjamin eksistensi umpan balik

u Fy v = +

diberikan oleh teorema berikut.

Teorema 3.4

Diberikan

E

,

A R ∈

^{n n× ,}

B R ∈

^{n m× ,}

^{C R} ∈

^{p n× ,}

m n ≤

^,

p n ≤

maka terdapat

F R ∈

^{n p×} sedemikian sehingga

( E A BFC regular ^, + )

^dan

( ^{, _} ) ¹

ind E A + BFC ≤

jika dan hanya jika

[

E

] ₀

^E

^.

E

rank E AS B rank E AS n CS

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥ =

⎣ ⎦

Bukti

Menurut Lemma 2.3 :

( ^{E A BFC , +} )

regular dan ind

( ^{E A , + _ BFC} ) ^{≤ 1}

( )

( )

[ ] [ ]

( ⁰ )

E

E E

E E

rank E A BFC S n rank E AS BFCS n rank E AS BF CS n

⎡ ⎤

⇔ ⎣ + ⎦ =

⎡ ⎤

⇔ ⎣ + ⎦ =

⇔ + =

Menurut teorema 3.2, terdapat

F

sedemikian hingga memenuhi

^{rank E AS} ( [

^E

] ^{+ BF} [ ^{0 CS}

^E

] ) ^{= n}

ekuivalen dengan

[ ]

min ,

0

E EC

E

n rank E AS B rank E AS CS

⎛ ⎡ ⎤⎞

≤ ⎜ ⎢ ⎥⎟

⎣ ⎦

⎝ ⎠

...(11) dan

[ ]

0

0 0

.

EC E E E E

rank E AS B rank E AS

CS E AS B rank CS

n

+

⎡ ⎤

⎢ ⎥−

⎣ ⎦

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

≤

Dari (10) menyatakan bahwa

n rank E AS ≤ [

^EC

B ]

dan 0

E E

n rank E AS

CS

⎡ ⎤

≤ ⎢ ⎥

⎣ ⎦

.

Karena

E

berukuran

nxn

^maka

[

^EC

]

rank E AS B ≤n ^dan _. 0

E E

rank E AS n CS

⎡ ⎤

⎢ ⎥≤

⎣ ⎦

Terbukti bahwa

[

^E

]

₀ ^{E .}

E

rank E AS B rank E AS n CS

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥=

⎣ ⎦

KESIMPULAN

Dari pembahasan di atas dapat diambil kesimpulan sebagai berikut.

Untuk sistem singular

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Ex t ˆ Ax t Bu t y t Cx t

= +

=

dengan

E A R , ∈

^{n n× ,}

B R ∈

^{n m× ,}

C R ∈

^{p n× ,}

^{m n} ≤

^,

p n ≤

^dan

r

ec

≤ r

eb, berlaku :

terdapat matriks

F R ∈

^mxp sedemikian sehingga

( E A BFC regular ^, + )

^{, ind E A}

(

^{, +_BFC}

)

^≤1 jika dan

hanya jika

[

^EC

] ₀

^E

^.

E

rank E AS B rank E AS n CS

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥ =

⎣ ⎦

DAFTAR PUSTAKA

Chu, D. L., Chan, H. C., Ho, D. W. C. Regularization of Singular Systems by Derivative and Proportional Output Feedback SIAM J. Matrix Anal. Appl., 19 (1998), pp. 21-38.

Cullen, C. G. 1996. Matrices and Linear Transformations.

London : Addison-Wesley Publishing Company.

Dai, L. 1989. Singular Control Systems, Lecture Notes in Control and Information Sciences 118. Berlin : Springer-Verlag.

Goldberg, J. L. 1991. Matrix Theory with Application.

United States of America: McGraw-Hill Inc.

Olsder, G. J. 1944. Mathematical System Theory.

Netherlands : Delftse Uitgevers Maatschappij