Perhatikan Model Matematika berikut ini.
Meminimumkan W = 100x + 100y + 70z Terhadap batasan 2x + 2y + z ≤ 20
y + 2z ≥ 15 2x + y + 2z = 20 x, y, z ≥ 0
a. Apakah model matematika di atas merupakan permasalahan program linier?
Jelaskan pendapat anda!
Jawab:
Ya, model matematika di atas merupakan permasalahan program linier tiga variabel karena memiliki fungsi tujuan dan fungsi batasan dimana fungsi-gungsi tersebut berbentuk linier atau berpangkat satu pada variabel-variabelnya.
Adapun fungsi tujuannya : Meminimumkan W = 100x + 100y + 70z Fungsi batasan : 2x + 2y + z ≤ 20
y + 2z ≥ 15 2x + y + 2z = 20 x, y, z ≥ 0
b. Apakah metode grafik dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan tersebut? Mengapa?
Jawab:
Ya, permasalahan tersebut dapat diselesaikan menggunakan metode grafik karena terdapat fungsi batasan yang berbentuk persamaan yaitu pada batasa ke- 3 : 2x + y + 2z = 20 dimana fungsi ini akan dimanipulasi/ diubah menjadi y = 20 – 2x – 2z.
Kemudian disubstitusikan fungsi y ke pertidaksamaan pada batasan yang lain.
Sehingga akan terbentuk program linier dua variabel.
c. Apabila permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode grafik, maka carilah penyelesaian optimal dari permasalahan tersebut dengan metode grafik!
Jawab:
Meminimumkan W = 100x + 100y + 70z Terhadap batasan (1) 2x + 2y + z ≤ 20
(2) y + 2z ≥ 15 (3) 2x + y + 2z = 20 (4) x, y, z ≥ 0
Memanipulasikan bentuk batasan (3) 2x + y + 2z = 20
y = 20 – 2x – 2z
Substitusikan y ke fungsi tujuan dan fungsi batasan (1), (2), (4) Fungsi tujuan W = 100x + 100y + 70z
W = 100x + 100 (20 – 2x – 2z) + 70z
W = 100x + 2000 – 200x – 200z + 70z W = 2000 – 100x – 130z
(1) 2x + 2y + z ≤ 20
2x + 2 (20 -2x – 2z) + z ≤ 20 2x + 40 – 4x – 4z + z ≤ 20 40 – 2x – 3z ≤ 20
-2x – 3z ≤ -20 ≈ 2x + 3z ≥ 20 (2) y + 2z ≥ 15
20 – 2x – 2z + 2z ≥ 15 20 – 2x ≥ 15
-2x ≥ -5 ≈ 2x ≤ 5 ≈ x ≤ 5 2
(4) x ≥ 0 z ≥ 0 y ≥ 0
20 – 2x – 2z ≥ 0
-2x – 2z ≥ -20 ≈ 2x + 2z ≤ 20
Model matematika dalam 2 variabel Meminimumkan W = 2000 – 100x – 130z Terhadap batasan (1) 2x + 3z ≥ 20
(2) x ≤ 5 2
(3) 2x + 2z ≤ 20 ; x ≥ 0 ; z ≥ 0
Buat grafik (1) 2x + 3z ≥ 20
x 0 10
z 20
3 0 (2) x ≤ 5
2 (3) 2x + 2z ≤ 20
x 0 10
z 10 0
Identifikasi nilai optimal / ekstrim nya
- Mencari koordinat titik B yang merupakan titik potong dari pertidaksamaan (1) dan (2)
2x + 3z = 20 2 ( 5
2
)
+ 3z = 20 5 + 3z = 203z = 15 z = 5 jadi, B ( 5
2,5¿
- Mencari koordinat titik C yang merupakan titik potong dari pertidaksamaan (3) dan (2)
2x + 2z = 20 2 ( 5
2
)
+ 2z = 205 + 2z = 20 2z = 15 z = 15
2 jadi, C (5
2,15 2 ) - Mencari nilai optimal
Titik Ekstrim (x,z) Fungsi tujuan meminimumkan W = 2000 – 100x – 130z A (0, 20
3
)
W = 2000 – 100 (0) – 130 ( 203 ¿
=2000 – 866,667 = 1133,3333
B ( 5
2,5¿ W = 2000 – 100 ( 5
2 ) – 130 (5) = 2000 – 250 – 650
= 1100 C (5
2,15
2 ) W = 2000 – 100 ( 5
2 ) – 130 ( 15 2 ) = 2000 – 250 – 975
= 775
D (0, 10) W = 2000 – 100 (0) – 130 (10)
= 2000 – 1300 = 700
Dari tabel di atas, dapat diketahui nilai W minimum adalah 700 di titik D (0,10) atau W minimum terjadi di (x, y, z) = (x, 20 – 2x – 2z, z) = (0, 0, 10)
