Diskusi 1 Metode Grafik.docx - Spada UNS

Perhatikan Model Matematika Berikut!

Meminimumkan W = 100x + 100y + 70z Terhadap pembatas :

2x + 2y + z ≤ 20 y + 2z ≥ 15 2x + y + 2z = 20 x,y,z ≥ 0

a. Apakah model matematika di atas merupakan permasalahan program linier? Jelaskan pendapat anda?

Jawab :

Ya, model matematika di atas merupakan permasalahan program linier karena memnuhi syarat untuk memenuhi permasalahan program linear, yakni :

 Memiliki fungsi tujuan (objective function) yaitu “meminimumkan W = 100x + 100y + 70z”

 Memiliki batasan atau kendala (constrains) 2x + 2y + z ≤ 20

y + 2z ≥ 15 2x + y + 2z = 20

 Memiliki batasan kenonnegatifan x,y,z ≥ 0

 Pada fungsi tujuan dan batasan berbentuk linier

 Adanya pengoptimalan fungsi tujuan terhadap batasan dimana keduanya berbentuk linier. Hal ini ditunjukan oleh kata “meminimumkan”

b. Apakah metode grafik dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan tersebut?

Mengapa?

Jawab :

Bisa, model matematika diatas dapat diselesaikan dengan menggunakan metode grafik. Hal ini dikarenakan model matematika di atas merupakan permasalahan linear dan permasalahan linear dengan 3 variabel dapat diselesaikan dengan metode grafik apabila ada minimal satu batasan yang berupa persamaan, yakni 2x + y + 2z = 20

c. Apabila permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode grafik, maka carilah penyelesaian optimal dari permasalahan tersebut dengan metode grafik!

Jawab :

Meminimumkan W = 100x + 100y + 70z Terhadap pembatas

2x + 2y + z ≤ 20 ...(1) 2x + y + 2z = 20 ...(3) y + 2z ≥ 15 ...(2) x,y,z ≥ 0 ...(4)

 Memanipulasi batasan (3) 2x + y + 2z = 20

y = 20-2x-2z

 Substitusi batasan (3) pada fungsi tujuan Meminimumkan W = 100x + 100y + 70z

W = 100x + 100 (20-2x-2z) + 70z W = 100x – 200x – 200z + 70z + 200 W = -100x – 130z + 200

 Substitusi batasan (3) pada batasan (1) 2x + 2y + z ≤ 20

2x + 2 (20 - 2x-2z) + z ≤ 20 2x + 40 - 4x - 4z + z ≤ 20 -2x – 3z ≤ 20 – 40 -2x – 3z ≤-20

2x + 3z ≥ 20 ...(*)

 Substitusi batasan (3) pada batasan (2) y + 2z ≥ 15

20 – 2x - 2z + 2z ≥ 15 20 – 2x ≥ 15 -2x ≥ 15 – 20 -2x ≥ -5

2x ≤ 5 ...(**)

 Kenonnegatifan X ≥ 0

Y ≥ 0

Substitusi batasan (3) 20-2x-2z≥ 0

2x + 2z ≤ 20 ...(***) Z ≥ 0

MENGGAMBAR GRAFIK

 Batasan 1 2x + 3z ≥ 20

x 0 10

z 20/3 0

(0,20/3) (10,0)

 Batasan 2 2x ≤ 5 X ≤ 5

2

 Kenonnegatifan 2x + 2z ≤ 20

x 0 10

Z 10 0

(0,10) (10,0)

TITIK EKSTRIM

 Titik potong batasan 1 dan batasan 2 2x + 3z ≥ 20

2x ≤ 5 X= 5

2 2. 5

2 + 3z = 20 5 + 3z = 20 Z = 5

Jadi titik potongnya ( 5 2,5¿

 Titik Potong batasan 2 dan kenonnegatifan X ≤ 5

2 2x + 2z ≤ 20 X= 5

2 2. 5

2 + 2z = 20 2z = 15 z = 15

2 Jadi titik potongnya ( 5

2,15 2 ¿

W minimun = -1100 tercapai di titik (x,z) = (0,10) atau W optimum terjadi di (x,y,z) = (x, 20-2x-2z, z)

= (0, 0, 10)

Titik Ekstrim (x,z) Meminimumkan W ¿2000−100x−130z A (0, 20

3 ) W ¿2000−100(0)−130 ( 20

3 ¿ = 3400

3 =1133,3 B ( 5

2,5¿ W ¿2000−100

(

⁵2

)

^{−130(5)=1100}

C ( 5 2,15

2 ¿ W ¿2000−100

(

⁵2

)

^−130(152 ) = 775 D (0,10) W ¿2000−100(0)−130(10)=700