Metode Grafik. Sistem dan Bidang Kerja. Langkah-langkah Metode Grafik. Metode Grafik Program Linear Taufiqurrahman 1

(1)

LINEAR PROGRAMMING

METODE GRAFIK

Metode Grafik

• Setelah membuat

formulasi model matematika,

langkah selanjutnya dalam penerapan program linear

untuk mengambil keputusan adalah menentukan

pemecaham dari model.

• Karena

hubungannya

linear,

beberapa

model

pemecahan dapat di ilustrasikan secara grafik.

• Metode grafik terbatas untuk model-model yang hanya

mempunyai dua variabel, yang dapat digambarkan

dalam dua dimensi grafik.

6623

6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman 22

Sistem dan Bidang Kerja

Sistem untuk menyatakan hubungan antara aljabar (model matematika) dan geometri (grafik) adalah bidang yang dibagi menjadi empat bidang oleh sumbu tegak (absis) dan sumbu datar (ordinat). Bidang tersebut dikenal sebagai kuadran.

6623

6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman 33

Langkah-langkah Metode Grafik

1. Gambarkan model batasan (fungsi kendala) sebagai persamaan pada grafik, kemudian dengan mempertimbangkan ketidaksamaan batasan, tunjukkan daerah memenuhi kendala (DMK).

2.1. Gambarkan fungsi tujuan, lalu geser menjauh dari titik awal (0,0) ke titik solusi yang optimal.

3.1. Selesaikan persamaan-persamaan pada titik solusi untuk menemukan nilai solusi yang optimal.

Atau:

2.2. Selesaikan persamaan-persamaan pada titik tiap sudut untuk memperoleh nilai solusi pada tiap sudut.

3.2. Masukkan nilai-nilai ke dalam fungsi tujuan untuk menentukan kumpulan nilai yang menghasilkan nilai Z yang optimal.

6623

(2)

Menentukan Titik Koordinat

• Misal: X1+ 2X2≤ 40

• Ubah pertidaksamaan (≤) menjadi persamaan (=), maka: X1+ 2X2= 40

• Mencari nilai X1dan X2dengan

mengasumsikan salah satu variabel bernilai 0 (nol). – Jika X1= 0, maka: (0) + 2X2= 40 2X2= 40 X2= 20 – Jika X2= 0, maka: X1+ 2(0) = 40 X1= 40

• Jadi titik koordinatnya adalah:

X1= 40 dan X2= 20 6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman 55 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 X1 X2 X1+ 2X2= 40

Menggambar Daerah Penyelesaian

• Persamaan (≤)  misal: X1+ 2X2≤ 40 6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman 66 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 X1 X2 • Persamaan (≥)  misal: X1+ 2X2≥ 40 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 X1 X2 X1+ 2X2≤ 40 X1+ 2X2≥ 40 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 X1 X2 • Persamaan (=)  misal: X1+ 2X2= 40 X1+ 2X2= 40

Daerah Memenuhi Kendala (DMK)

• Persamaan (≤), misal:  X1+ 2X2≤ 40  4X1+ 3X2≤ 120 6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman 77 • Persamaan (≥ dan =)  X1+ 2X2≥ 40  X1 = 40  X2= 40 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 X1 X2 DMK 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 X1 X2 • Persamaan (≥), misal:  X1+ 2X2≥ 40  4X1+ 3X2≥ 120 DMK 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 X1 X2 DMK

Fungsi Batasan Bertanda

“Lebih Besar Atau Sama Dengan ()”

A C B 2X1= 8 4 6 5 6X1+ 5X2= 30 5 3X2= 15 Daerah feasible X2 0 X1 Contoh : Batasan ketiga (6X1 + 5X2  30) diubah ketidaksamaannya menjadi 6X1 + 5X2  30

8 8 6623

(3)

Fungsi Batasan Bertanda “Sama Dengan (=)”

X2 X1 2X1= 8 0 4 2 4 6 3X2= 15 5 A C 6X1+ 5X2= 30 B 9 9 6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman

Contoh #2 – 1 Metode Grafik

• Fungsi Tujuan :

Maksimalkan Z

40 X

11

50X

22

• Fungsi Kendala :

6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman 1010

(1) Tenaga kerja

(1) Tenaga kerja ::

X

11

++

2X

22

≤

40

40 (2) Tanah liat

(2) Tanah liat

::

4X

11

++

3X

22

≤

120

120 (3) Non

(3) Non--negatif

negatif ::

X

₁₁

;;

X

₂₂

≥

0

0 Solusi Grafik Contoh #2 – 1

1. Menggambar fungsi kendala (Langkah 1)

6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman 1111 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 X1 X2 4X1+ 3X2≤ 120 X1+ 2X2≤ 40 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 X1 X2 DKM A B C

Solusi Grafik Contoh #2 – 1

2. Menggambar garis fungsi tujuan (Langkah 2.1)

6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman 1212 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 X1 X2 A B C 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 X1 X2 A B C 800 = 40X1+ 50X2 1200 = 40X1+ 50X2 1600 = 40X1+ 50X2 (Berada di luar DMK) 800 = 40X1+ 50X2 Titik Optimal

(4)

0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 X1 X2

Solusi Grafik Contoh #2 – 1

3. Menyelesaikan persamaan-persamaan pada titik solusi untuk nilai solusi optimal (Langkah 3.1)

6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman 1313 A B C 4X1+ 3X2 = 120 X1B X2B X₁+ 2X₂= 40 X1+ 2X2 = 40 X1= 40 − 2X2 4X1+ 3X2 = 120 4X1= 120 − 3X2 X1 = 30 − (3X2/4) 40 − 2X2= 30 − (3X2/4) 5X2/4 = 10 X2= 8 ⇛ X2B X1= 40 − 2X2 X1= 40 − 2(8) X1= 24 ⇛ X1B

Solusi Grafik Contoh #2 – 1

2. Menyelesaikan persamaan-persamaan pada titik tiap sudut untuk memperoleh nilai solusi pada tiap sudut. (Langkah 2.2)

6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman 1414 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 X1 X2 A B C X1= 0 X2= 20 24 8 XX12= 30= 0 X1= 24 X2= 8

3. Masukkan nilai-nilai ke dalam fungsi tujuan untuk

menentukan kumpulan nilai yang menghasilkan nilai Z yang optimal. (Langkah 3.2)

•Pada titik A → Z = 1000 •Pada titik B → Z = 1360 •Pada titik C → Z = 1200

•Maka solusi optimal adalah pada titik B dengan laba $1360

Contoh #2 – 2 Metode Grafik

6623

6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman 1515 • X1= jumlah pupuk SG yang dibeli

• X2= jumlah pupuk CQ yang dibeli

Variabel

Keputusan

• Minimalkan Z = 6X1+ 3X2

• Z = total biaya pemupukan • 6X1= harga/biaya dari SG • 3X2= harga/biaya dari CQ

Fungsi

Tujuan

• 2X1+ 4X2≥ 16 (kendala nitrogen) • 4X1+ 3X2≥ 24 (kendala fosfat) • X1; X2≥ 0 (kendala non-negatif)

Fungsi

Kendala

Solusi Grafik Contoh #2 – 2

6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman 1616 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 X1 X2 DKM 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 X1 X2 DKM A B C X1B X2B X1= 0 X2= 8 X1= 8 X2= 0 X1= X1B X2= X2B

(5)

Solusi Grafik Contoh #2 – 2

• Pada titik B, koordinat X₁dan X₂adalah: 2X₁+ 4X₂= 16 *2 4X₁+ 8X₂= 32 4X₁+ 3X₂= 24 *1 4X₁+ 3X₂= 24 5X2= 8 X₂= 8/5 ≈ 1,6 → X_2B 6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman 1717 2X₁+ 4X₂ = 16 2X₁+ 4(1,6) = 16 2X₁= 16 − 6,4 X₁= 4,8 → X_1B

Solusi Grafik Contoh #2 – 2

6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman 1818 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 X1 X2 DKM A B C 4,8 1,6 X1= 0 X2= 8 X1= 8 X2= 0 X1= 4,8 X2= 1,6 • Pada titik A → Z = 48 • Pada k B → Z = 33,6 • Pada k C → Z = 24 • Maka solusi optimal terletak

pada titik C dengan total biaya $24

Latihan #3 – 1

Perusahaan sepatu membuat 2 macam sepatu. Yang pertama merek I1, dgn

sol karet, dan merek I2dgn sol kulit. Diperlukan 3 macam mesin. Mesin 1

membuat sol karet, mesin 2 membuat sol kulit, dan mesin 3 membuat bagian atas sepatu dan melakukan assembling bagian atas dengan sol. Setiap lusin sepatu merek I₁ mula-mula dikerjakan di mesin 1 selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan di mesin 3 selama 6 jam. Sedang untuk sepatu merek I2tidak diproses di mesin 1, tetapi pertama kali

dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian di mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari mesin 1 adalah 8 jam, mesin 2 adalah 15 jam, dan mesin 3 adalah 30 jam. Sumbangan terhadap laba setiap lusin sepatu merek I1=Rp.30.000 sedang merek I2=Rp.50.000. Masalahnya adalah

menentukan berapa lusin sebaiknya sepatu merek I₁ dan merek I₂ yang dibuat agar bisa memaksimumkan laba.

19 19 6623

6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman

Solusi Latihan #3 – 1 (Bentuk Tabel)

Merek

Mesin

I

₁

(x

₁

)

I

₂

(x

₂

)

_Maksimum

Kapasitas

1

2

0

8

2

0

3

15

3

6

5

30 Sumbangan laba

3

5

20 20 6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman

(6)

Solusi Latihan #3 – 1 (Bentuk Matematis)

• Maksimumkan Z = 3x

₁

+ 5x

₂

• Batasan (constrain)

(1)

2X

₁



8 (2)

3X

₂



15 (3) 6X

₁

+ 5X

₂



30 Solusi Latihan #3 – 1

Fungsi Batasan (1) -> 2 X

1



8

x₂ x₁ 2X₁= 8 0 4 Gambar tersebut merupakan bagian yang memenuhi batasan-batasan: X₁0, X₂0, dan 2X₁8 2X₁8 dan X₁0, X20 22 22 6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman

Solusi Latihan #3 – 1 (Fungsi Batasan/All)

B C C 2X₁= 8 4 6 5 6X₁+ 5X₂= 30 D A A Daerah Daerah feasible feasible x2 x₁ 0 3X2= 15 5 23 23 6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman

Solusi Latihan #3 – 1 (Titik Optimal)

6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman 2424 B C 2X1= 8 4 6 5 6X1+ 5X2= 30 D A Daerah feasible X2 X1 0 3X2= 15 5 Titik A:

Pada titik ini nilai X1 = 4; X2 = 0 Nilai Z = 3(4) + 0 = 12 Titik B:

X1 = 4. Substitusikan batasan (3), maka 6(4) + 5X2 = 30.

Jadi nilai X2 = (30 –24)/5 = 6/5. Nilai Z = 3(4) + 5(6/5) =18

Titik C:

X2 = 5. Substitusikan batasan (3), maka 6X1 + 5(5) = 30.

Jadi nilai X1 = (30 –25)/6 = 5/6. Nilai Z = 3(5/6) + 5(5) = 27,5 Titik D:

Pada titik ini nilai X2 = 5; X1 = 0 Nilai Z = 3(0) + 5(5) = 25

(7)

Latihan #3 – 2

Produk yang dihasilkan oleh sebuah perusahaan

adalah meja dan kursi. Dengan Bahan mentah dalam

satu minggu yang tersedia adalah sebanyak 10

gelondong kayu dan jumlah jam kerja buruh yang

tersedia adalah 36 jam kerja. Informasi mengenai

penggunaan sumber daya dan hara jual per unit,

dijelaskan dalam table dibawah ini :

25 25 6623

6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman

Jenis Produk Kebutuhan sumber daya Harga

($/unit) Buruh(jam/unit) Bahan(kg/unit) Meja Kursi 6 6 1 2 4 5 • Dengan melihat kepada informasi diatas, berapakah jumlah Meja dan Kursi yang

harus dihasilkan agar keuntungan yang didapat perusahaan maksimum? • Variabel keputusan

X1 = Jumlah Meja yang dihasilkan X2 = Jumlah Kursi yang dihasilkan • Fungsi Tujuan

Jumlah keuntungan yang di dapat adalah sebesar :

2 1 5X 4X Z   26 26 6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman

Solusi Latihan #3 – 2 (Sistem Kendala)

a. Kendala Jam Kerja

b. Kendala Bahan Baku

c. Jumlah X1, X2 yang harus dihasilkan 36 6 6 X ₁  X ₂ 

10

2

₂ 1



X



X

0 ;

0

2 1



X

Solusi Latihan #3 – 2 (Kendala)

6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman 2828 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X2 X1 DMK A B C X1= 6 X2= 0 X1= 0 X2= 5 30 6X 3X 36 6X 6X 3 1 10 2X X 36 6X 6X 2 1 2 1 2 1 2 1          

Titik temu antara Kendala 1 dengan Kendala 2 :

3X1= 6 X1= 2 X1+ 2X2= 10 2 + 2X2= 10 2X2 = 8 X2= 4

(8)

Solusi Latihan #3 – 2 (Titik Optimal)

• Pada titik A → X

₁

= 6 ; X

₂

= 0 ; Z = 24

• Pada titik B → X

₁

= 2 ; X

₂

= 4 ; Z = 28

• Pada titik C → X

₁

= 0 ; X

₂