Jurnal Humaniora. Sains, dan Pengajaran - Repository UM

(1)

EZEZIE

IEE ZI7IT

T7NZTT TAIT E

E7T T,T77 )

EI'I EE'Z

TZTIIETE ITE

TE7

0O z ue nu er JO L uO N 'I I/

·u X

n[o

f

(2)

nq s131

up q uB uap ye nsa s B u s py.ry u) et7la y-u ea y n ee ue pya ua d se u

up

eyB ue yp us pn r r qu ad s ue

'a p 'u en ur upn q s pe d u nu ) de gas

yy

14

£

aL

'£

66 I/AI/

SHAM/

da

69

y A 0u Ou

$MAMA

40 JM YS uEY 48 s8 p.1q

£66 l

ud y y e[a s u vy q.ra uz p

fp 8u a4 up 'su ps 'uo um uun umr y

:Is VA ONI

I6 L6 L9 XI S 'LL SL uo L9 da aL

eq emn s

tS /A

Bu

XY

ed ny qn mn q up r

eq e.In g um nsn y

e[

sy

AA

s.

Au

su es up ese u s epn y8 4

wu va4 ya

su es ue p e se sp ue

y4 L

ys n v mp vusy pad

(SHAMD ) P

'O d'W MO

!AM

II H 'S I(

(SMAAD ) P

'u r M In pq v 4

(V SIN ) o oq [p H ou o[(

sq

Pd

(W)

ou oK ms o1 of (

(V SI

v N) 'u yp ns ou on

; o6 1a$

J04

4(

4 (V S{

N) ou e.id ns SI (J

o44

mp y 8u pu nf ua4

·sa y oK

eu ns s.(

un

Pd

i@

uu nK uAM EA(

pH

'p pd u[r e

vos

Q

su e.14

up syv pa Bup un fua J

'u

Pd'

epy yu y . r(

8u pu nua 4 vm ay

su es ue p s eu eg se pn ye 4 u ya (

qu r Bu n88 um ua

0O

ue

z

nu er

4O 'j uO

'II N

I/A

·ur

X

n[o

up up fvu a up

p 'su 'vu ps

ou muu

pvu nyf

mf

8Z

£t

-t

S8

NS 0

SI

(3)

Is ye pe ue e

fu eje p u ey e D ue ue e[e ja qu ad ne eyu ep 's ue s 'eoueu u

6u ep yq ip ue fu eq ue fu d eu n6 sp uy ue py ua d-u epy ua d u ey pys eu ue u )e de p e Kun lue es

ue se Id su ue yu oq uro u e de p yu y pe umn f u eyp eu oy ue fu ep ue ue pn u-u ep n

so ys

@ed s e ng ys no du oy I@

po y ue p ' eu ure p e ye aua

pe uo ne uno ps ue n]

'u en [ue jo yo g ue p np ed re p e re oe s 1 ro oy ne nd -n epn a u ee ore buaa

'o peo jd d s j p ue uo eo rd dy uo neo np oe ay]

'e ueo ey ss yje uy 'u epu ey so ue

ue Ia ey Oe N u oe I ue fu eq ue ue Qu eu e (u eny yo uo d u ou ) s py ss iye ue [s eu ueed e

eK uy ue ua u ue re y ye

ey _L 1f eq je eju eu eq ue p y ue uo u je fu es fu eK 'u ue s e yee fse n

ee pn g ue ue qn oa de pe ua ) ue ure ue uo d ue p '6 up9 so ue y ue je ero 'u eu nsuc y

[@ g I 8IN de pe uo ) j oe y u eje uo fu ea un ef uo 'e ys nu ey se sy ye u-y e4 ue fu npu ea

ue p 'I se py ou eg 'u ny n4 'u ee [e ye

~e uo ja y u epe p f upo mn os no e[

ey ed un yn r ue yn pnpay

ye uo o4 ue ed ep ue a u ee y~

uu a e ed 's in uo y s ef np ue uo qu o mn ye ya

xue ^nreua ûe u ê] êu ^fu ^ns ôp ^)u ^{g s,} ûe ^0e

^Jo

ê ^pe ^{o Du} ^du ûo ûo ôys ^{e 'u} ôu ^de ûe ^sy âs ûs ûo

!s eu ue ed ea uyp ue s e eq ein s e umn sn y e Ke fiyy se ys oyu n u ep eu nu a)

~u dues ,

'e Ku uye ] es es un dn eu ua fe y 16 6u 1 ue nn 6yo ed

ere qo q ue p ue yys eu Ip fue l

ue my jo ua d u ou ue p u en ro uo d ps eu [e ye ed ne q j en unip 6u

ay eK

e

'Iu 1s 1 1pe

eK un [ue yo s ysi pe ep ed je nu yp ue ye Ke dn ip ue ye 'u 1

sp a

ue pe p e nun ip je de p u njo q f ue K j oy py [e ye ye

p]

Ku eq os ue yyq yo yp Su e e Kuru e

'Is er ue p s yo jo s s es od pn je yo u u eye )e s u nu ey jo y[

e 9 ] y eu eq es sy ep e

uea,

ay yn se u ~ ue K ja pe ue juu

'u nf Ije y Is yp o e pe eq

uo de s u ep 'e y 'u en ue

ue r

n

ne f u nu ee s u eje p ij ey ef n u en qe yp tu

! j eu nr ue re [e yo qur ea ne e/u ep ue yyp pu@

's ue s 'e ou eu n4 fu ep iq ip ue pro uo d uo u ue p ue nyjo ua d ps eu -[ys eu se yu ruo

»

ue p s ey ijq nd ep our ue ye dn eu [S ON I pe uIn p e eq emn s e un sn y e Ke [A se ys au n

su es ue p es eu eg se yn ye 4 uo jo 0O ue z nu er 'I Jo uO N 'II I/A X a un jo A 'IS A\O N

eu yq e) se e e se ny eu ey Du ex ue [[v eIp eH -e y d eon e]

in yn s [n d 'u eyyu jn pur eu pv

HV LN VO V N

I V¥

8S P + S8 0 N SS

0I

I

0z

Dm

'I

ur

HO

'IH

O

IA X a un oA 'ISY AO

\I

(4)

t9 -9 uo L

uys

In

ey

eqa N ^{o er} ^qoy ^[e

ue e.

ers nu eyy ys es y ye u-y e ue fu np uuy o ue p 's ey ou eg 'u nm

SL -9

ue

9

eyu mn y n Aue y

eys au op uf Ip ue e[

oy ef eu ea»y

uun yn H uu ere p f uro no sn o e[

ey e u nx nH ue yn pnpe y

L9 pe -9

ou ptM uek

ns ns ue ue jp yn po se yu rs oyg in jej au ns ngs

[s eu

~u a ue oe p yp Ye ue e ue je de pu o ue je yf uu

eed a

09 -L

6u

G

a[n pM ue py ns

ue jn fu eja ye g u ep np ed ia 1 e eo es yo ey ne pn d-n epn ue eyo efu aa

t

OS

Iu

i

pre Mo os 1M eg eu ne w e a

es ys ue ure ue ue ue yje yf uu oy ee d ie fe es

sjn ue y se fn p ue uo qu e n ero u y ue )p ua us os sy ue de eu a

-9

£

€

eys

uI

ye 7K s3

dn oyo 4 p es o6 ng pu e s uo me pedx_

uo ys uo uo du op up ee Jo Jo Ae ua g ,s ue pns

G€ un -

ey

DS

oe _ f np peo uo dy od oe e u pu sp dy oyjd pe uo ] u au pp se os uo

87

£Z -t pu l

e[r e4

!M g e os ys uer

su y e uD ip ere nfn uo w :e ueo ey ss je u

£L ou -L

os e

ue pu ey so ue p u ema ey -o eN uo eL ue fu eq ue ue

IS I H VL 4V

oz

en ue r 'L

4O uO

'II

N

IA uun X

jo

up pfv up Bua

p 'su 'pu ps

ou muu pvu nf

mf

8Z

£t

-t

S8

0 N

SS

I

(5)

80 1 - 96

96 - 98

fp Je

� 4e

Ol

� U

sa ys ed s e n ys ye du oy porn

pm seu pu

uo s»e a 10 [e 1 1 au +e qys do su oy ue fe y in re e

uu es ey e»e Ks eyy eK ep ng ue ue qn o de pe ue ] u eur eu eua

oA npeMsry

60 un 0 ue ) a qu op uo ed nq ey ue sn ye a s eu sa ys na

e,

fu ee yy s eu so ys n Ip sn se y yp ns :1D y9 so ue y u eee.

a

pe Mo [in

nqr

s

(e uuu ey9 -9 L) eu ue

»9 oA eo ue o e uo ne uo

;s ue ._

ue fs ue uy4 Su eur

uo un su oy

I[@

de

eIN

pe ue ) Y oo ue je ue fu e un efu a

oz

ue nu er Jo

'j

uO N 'I II/A\

Y · un jo A

pup fvu

a up p 'su

'pu ps ou vuu

pmu ny

nf

ZS

t-t

S8

0 N

SS

I

(6)

122 INOVASI, Volume XVIII, Nomor 1, Januaris

MODEL KOMPETISI DUA SPESIES

Rustanto Rahardi

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan I/mu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Malang

Abstract : The populations x(t) and y(t) ^{at time} t of two species that

compete for the same food supply can governed with the system. Using te

logistic model for the growth of a single species, let's assume that in the

absence of species y, population x is governed by an equation of the for-

dx/dt

= x(a, -b,x),

and, similarly, that in the absence of species ^r

population y governed by dy/dt

=

y(a, -by). In this paper we discuss

models the evolution of the two populations in a competing species system ^cf

differential equations where both species are present and competing for ^te

same food, the effect is to decrease their rate of growth. Generally we

cannot explicitly solve the nonlinear system, however, by studying the

equalitative properties of the solutions, we can obtain useful informator about certain trajectories. Specially, we will try to determine how the solutions

behave near a critical point. That solution of the system can be graph, so .e

get informations about behavior of them.

Kata kunci : kompetisi, solusi keseimbangan, titik-titik keseimbangan bidang fase

PENOAHULUAN

Suatu ekosistem terdiri dari beberapa spesies. Karena beberapa faktor

see

keterbatasan tempat, keterbatasan bahan makanan, pengaruh lingkungan, dan sang

lainnya, spesies-spesies itu mengalami persaingan. Persaingan itu terjadi art

mempertahankan kehidupan, melestarikan jenisnya, dan bisa saja untuk alasan-aizsa

lainnya. Setiap spesies makhluk hidup saling berinteraksi antar individu maupun am

populasi (Baconnier et all, 1993).

Dalam persaingan itu, spesies- spesies yang terlibat akan mengalami beberapa perlakuan. Paling sedikit ada dua spesies yang bersaing dalam satu populasi dimana keduanya bersaing dalam ha! apapun. Terkadang dua spesies itu tidak hanya dalam satu populasi saja, tetapi juga dalam satu ekosistem, misal- nya dalam satu ekosistem di hutan, hari- mau bersaing dengan singa dalam rantai makanannya, dalam suatu ekosistem di kolam ikan air tawar, ikan mujair bersaing dengan ikan tombro dalam ha!

tempat dan makanan, dan masih banyak contoh lainnya.

Pada suatu saat kedua st es

yang bersaing itu mengalami bebe

keadaan naik turun populasi a

kepadatannya. Ada saatnya sala sa

dari kedua spesies yang bersang jumlahnya naik dan ada kalanya jra

nya juga turun, dan tidak dipungir

a

saatnya kedua spesies yang bersang

m

dalam keadaan seimbang. Aturan sen

bang dalam hal ini adalah keadaa dra

na populasi atau kepadatan kedua

em

spesies itu sama-sama naik,

sama-sarm

turun, atau sama-sama dalam kea

yang stabil atau tetap.

Tulisan ini membahas suat me-

del populasi atau kepadatan dua ^ye

(7)

Ip

^p x= 'w) 'q- -r )( (c

. 1 p/

xp en uuo u

fu eK eu ead ue eu es ro d ue p re jn u

epy 'e ure ro d ue ip en y ep ed uo pyo fe n

ue p ue ye ue yn ju eu au yn ju )

eu ee d u ep en y yp upy Du nu Du e ys njo s

en ue

ss s

ije ue bu

ue eu

ye epy eye u

'j ef eu ye pn sn re u s en do d e uo re y 4

fu ep yq ue p e ue ad u ep en y e pe d y p

-y up ue ye dn ouu se e yp eu ead ue fu eq

-uu os oy sn jo s e

~ga y 'e ue q u eyp eu od

( Z:;, I:;,

Zq _ Z:;, lq

I:;,

Zq _

lq )

(z

·in

)'

-q

Do

r old

-

ue ep e 1n qe s

-a

ML )

ep e e

0=

x!

(x

(q o-

'f -

'0

=(

('o -x 'q - ') x

su

en e6

p ue fu oo do d ypn ne s

ue '( p 0'q /' ) '(

q/v

'(

o)

0'0 )

my ef

sn jo p s pe Ku nd ua u 1 nq es1 a) es

!S

o=

;x-Z:;, (

-

tfZq

Zo)tf

-

}

'0

=(

x' '-

') -

x

ue eur es +a d u as s u oyo ro dyp ed ep

e6 6u uo

0=

s

mp [(p

ue

0=

p

mp ]p

ue fu op ue yn uo yp je de

u

p {In ]

-Y1 1L ue fu eq ue se y y up ue fu op eyo p

Su e ys njo s-[

sn

s u jo

oyo od ip ue ye 'o se ]

6u ep yq sys yje ue ue fu op ue yye so re s!p

nq as a) se nd od n [e r e np oy ey f

(/vH LH Od

3S VH SY A) 4 O NV aI NV a (L NIO d

wn rH 8I7 IO ) N VO NV

&W I3 SY MIL IL

se e Ip (l ) 1p ouu ue je p u ee ue sa d

en po y ep ed te de

ro

s

--

,K q-- CD

ue fu op ue ye eK up

so f

ys od s ym un

ue

Ax!

p

x'q o-

-

ue x'p

fu op ue ye je Ku Ip

x so ys od s y nu n ue un quu ne d eyf un

eu nyu ye 'Iu y ys

!p uo y u ey ese pg Je

~a u

'q

ue

'q

p ny ns eK ue qpy e '(

Gd ne e

xx

uip )

uo s e uu ip ue yye ye d e y pe uo Is

-I0 do 1d ue ye se nd od eu eq ys uun se

ue yyp efip ed ep eu es 6u e sa ys od s

eu e u ef ue sa d u ey fu ep os ef

'o

ou

ue p ' ny ns ue ye qpy e~

uo

tu

ur je u '4 x

ue ye

d o ye

y je uo ys yo do id ue ye ys epn do d

eu eq su ns

ue e

yyp e[yp ed ep sa ys

-ed s e ue ue fu es yo a e ue s D ue sa ys

-o ds eu e u ef ue sro d e pe ue yu eq ue p

so ys

eu ods

e u ef ue sJe d e pe eK ue qpy e

'e ue s 6u e u eu ey eu ue ye u s oys ed s

en

y e pa

Ku ue

~u ny fu y u ep so ys ed s e pe d

6u nu ef

q S ya

ue js od eu esu oy ue y

-e dn re

'o

u ue p '

q''

'

q'p '

ue 'p

~u ep

Z:;, ( r

tfZq _

zv)tf

-

=

IP

I

ôs êy îp

_:: ^p

^{p u} ^ee ^ue

^x=

^ef ^{u u} ^ye ^{s u}

^-')

^ue ^)sy

^x'q

^ue

^'-

^{e ue}

⁽⁴

^Du ês êu îp êD ^qu ^(�·�) ^-re

-re d u ey nq ora du aur yn un ys ya du oy oq

fu eK so ys ods z u ep 1 n pye unm ny ep ed

() f ue

() p

x se pn do d e 66 uu as

se

d u do

emn yn ue p s en do d

ue un qu no d e er- ee r e re ue ip

(a ou ere d) is 0d o1d eu es uo

¥ y =

ue p '(

6u nu ef aq

eq eu

) y en

np np uo d s epn do d

= d

'(s eq aq oq eu en ) m

= pye I

ue fu op

mp

4rr (s zoo

z

^pou ^je ês»ad êu ûe ^jyp âra ^rsu ^pe ⁾ ^ny êuI ^'K

yn jua

uue q

re p ue yys ard ya yp ed ep 6u ef

yp np

d s ua

en do d u eu nq uun ad nfe y u eyy s

-u ns ef uo u uu eye p e ue ure feq os

IS IL 34 NO

»H 38 ON VA

SIS dS VY

IL YN 3L YN 13

00O N

1n q

-o sa

ue ] D

q f s»a

ue K s oys od s s uo f e np

-e y u ee pe

y n da

ee is ejn do d u ey se ue s

-o da ro u e de p 6 ue K y e16 ne ns ue y

-re qu ef fu ou je

p n de

qa s/

ue eur es yo d

uuo sys ue bu eq uuo sa y YI/

-YI N) ue[

oI

-o

ue dip

ye

p 'u ue

ee ure syo d uu as s n es

ue fu op so is od s D us eu -f us eu ym un ue

-e pe

y n do

ee ys epn do d yo pou -o po u ue y

-re qu ef ue yp y D ue se q 6 ue f sa ys ed s

sa £I

g m sad

nq sa duu oy pa

'p

po

are

ue

y

ou sm H

(8)

124 INOVASI, Volume XVIII, Nomor I, Januari 2 Dari persamaan (1.3), kita lihat bahwa

pada kuadran pertama, tanda untuk dx/dt positif apabila

a, - bx-

qy > 0

dan negatif apabila a, -

bx-

qy ^<0.

Konsekuensinya x(t), naik sepanjang

trayektori di bawah garis

a, -bx-cy

⁼⁰ ^dan ^menurun

sepanjang trayektori di atas gas

tersebut (lihat Gambar 1.1 al

Pernyataan yang sama yaitu y(t ^al

sepanjang trayektori di bawah gas

a, -b,y-cgx

=0 dan menurun sear-

jang trayektori di atas garis tersebut

a

Gambar 1.1 b)

!

• j

--+

2'-''x-:'?

ill

1 Perubahan x (b) Perubahan y

Gambar 1.1 Daerah di mana populasi naik atau turun

Dari kedua grafik di atas, ada 4 kemungkinan yang terjadi. Di bawah ini

adalah 4 grafik kemungkinan dengan

titik-titik yang ditebali adalah titik-titik kritis, garis hitam tipis didefenisikan jika dx I dt

=

0 dan garis hitam tebal

didefenisikan jika dy/dt=0,

lg=

Gambar 1.2. Sistem arah (yaitu

4

mengindikasikan variabel x dan

masing-masing naik atau turur

berdasarkan analisis yang diilustrasikar dalam Gambar 1.1.

"

III

I

alb1 a2c?

(a) Spesies

y

tetap hidup dan spesies x

mati

al cl

ae? alb1

(b) Spesies x tetap hidup dan spesies

y

mati

(9)

spu Y {I/

) p je yo pu euu 8 u eo ep ue p

ejn uuyp uye ] f ue f ue p 'oo

«-

4m 1

un

(q y

'p g) sny

y

pe ya pu eu

ue ro ep ue p ye jn up opy oK 'g e11 ue p

y n ye ue fe

z

q ip efu eu eu ea d

ue pe ny tf eq uo u D ue '(s nn d-s nn d

su e6 ue

~u op ue ye quu e~

up ) sy ue

»

-e de s n qo syp Du e ue

~e qu od eu ny

ne ns ep e e ue s 1

poqr g e

~u aq

eK

[s eu ue yu oq uo u (

zt

o)

eq uue 9

uue pe p s ns ey ys ens ny ym un sys ye uy

<

oo

4n 1

)u n

'q

(0

/

'o

sn )

uy { te yo pu ou eu e)

-ro d u ep en y u ep re nuu p D ue K u o

-yo en en uo s 's ye

~ e eoos

'qy 'o

pe yo pu au

so x

ys od s s epn do

ey d u

-6 ue po s pe uu u ey e

eu f

ue eq

py nf

-u nu our (q

eq ) z

uue 9 u eje p s ns ey

se ns npy ue p eu es Su e s ys je uY z

<-

oo

4m 1

('q

un

/0 )

sIy y

{pg pje yo pu ou eu eu ad ue pe ny ue p

en uuyp uo pyo fe n e nu os 's erf ere

q/' -gs

n

pe yo pu au fu eK sep nd od

ue fu op pe yo pp

so f

ys od s e yf pe u

ue ye

so x

so ds 'jn ys od (0 )4 ue p

(0 )x sej nd od pe e te juu ef un d e py

ey ay 'e Ku se yf

ereo uu

unm os

nu ou

eu es -e ure s u

eK eye

ue np

() oy

6 ue p

(z) x se pn do d e np ey '[I I u eo ep ue p

te nuu p e yu

II ey

ue oe p I p s ee ra

np ns ep ed

q

( /p p) my

eu eK

s[u y

{In ) pJ eYo pu ou sn eu ef fu uo s 'e Ku

-+6 ue ro qo uo u e de p y ep n u opy eK en

K nq un s ep ed

mp

p=

/xp

ey yr

'f"

ex

»

ue p s ee ay Me e6 ea

sn re u II ue oe p ep ed uo pye f

-en

eK us uo ny es uo y 7 nq es

su ya

ef

ep ed

pp 0=

4p eu are y upy

~u nu

ye pn ef ue s eu eu fu '[e eK qa

uue yu su e6 fu eye qo s y

eq p u

ure oq

ue

() ye

6 ne e '[

ee y u

ep ep ed ye p

de e) ue quu ea q ue

() ye

x e[e s

upy Ou nu eu ore y ue j]

oe p I

eq p p

e)

uue yu su e6 ue fu op ue fu oo d1a q

ue ye ye pn tu t uo pyo

eu en

eq

ue yy eu ad ue qu eu eq sn

() re

f

ue y~

ue po s u nmn uo

(7) uu

ps x epn do d '[

y

ue re ep ep ea 'II ue Je ep ey ye ra fa q

ue ye () ( C'(

7)x ) opy ae n ' npy e

ed ere qe q e pe a u eq ue

ue eq

x p

se jn do d e ye u 'e uu eje p ip ep ese q

(K r)=(

(o) (0) ue 6u p 'I ue re ep ue p

ye jn uup ey r ( e) z eq ue o u eje p

sn se y s en sn py ue p e pn u e py ue ju ey 'L

:u e~

ue ya 1a y

1?

;

^✓

• _,

Î Î Î Î Î

^'

4

so se ds ys od uo y u ep ose y f ue

ue pyq

fe

z

yg eq ue 9

. dn ·.

piu de e e ue np

ye ay

p

ue fu du ep ra q d npi 4 (p ) de ja

un f

dn ee

so x

ys od me

eje s u

s (o )

{ IF

I9

1def«A

.. t '

:

sa

sI

sad s vn q s ad uo y pa po 'p re ue y o ue sm y

(10)

126 INOVASI, Volume XVDJ, Nomor 1, Januari 2010

(a, /b,,

0). Dengan kata lain, untuk

beberapa populasi awal, spesies x

mati ketika populasi spesies y

mendekati a,lb,. Untuk populasi

awal yang lain, spesies y mati ketika

populasi spesies x mendekati

a, /b,.

4. Terakhir, analisis dari ilustrasi kasus dalam Gambar 1.2 (d) menunjukkan

bahwa setiap trayektori dalam

kuadran pertama sama-sama menuju

titik kritis P yang telah dirumuskan

dalam persamaan (1.2), yang mana

populasi x() ^dan y(t) mendekati

populasi keseimbangan

ab,- a,c

_z='-

a,b- a¢,

bb, - cc, bb, -cc,

Sebagai bahan ilustrasi konsep di atas, perhatikan contoh dari sistem berikut.

4^dt

.54-,]»

² ^•

dy -

{ y)

^(1.4)

--3

1--

-2xy.

dt 3

Sesuai dengan teori analisis diatas,

perhatikan bahwa x dan y merepre-

sentasikan dua spesies yang berkom- petisi memperebutkan sumber yang sama. Secara lengkap sistem ini dapat dijelaskan sebagai mana berikut ini.

dx

/dt menyatakan laju populasi spesies

x dalam kurun waktu tertentu,

dy I di menyatakan laju populasi spesies

y dalam kurun waktu tertentu,

xy

dalam kedua persamaan berarti

kedua jenis spesies ini saling mempengaruhi dalam persaingannya, sebagai

contoh

xy

dalam persamaan (1) berarti

populasi spesies y mempengaruhi po-

pulasi x dan kedua jenis spesies ini

bersaing untuk beberapa sumber, dan

2xy

dalam persamaan (2) berarti popu-

lasi spesies x mempengaruhi populasi

y dan kedua jenis spesies ini bersaing

untuk beberapa sumber. Oleh karena itu

suku

.xy

maupun

2.xy

adalah negatif.

Masing-masing xx maupun y

dalam sistem (1.4) menunjukkan bahwa ada persaingan interen dalam masing- masing spesies. Selesaian dari kedua persamaan tersebut hanya akan dibahas pada kuadran pertama sebagaimana dijelaskan di atas bahwa secara rea jumlah spesies tidak negative.

Pertama, kita tentukan titik-titi seimbangnya dari ruas kanan kedua persamaan pada sistem (1.4) sama

dengan nol kemudian menentukan r

dan y dari sistem persamaan

{-5]-s- 34-) ^-2s- ^o

Persamaan ini dapat ditulis kembai dalam bentuk

{x(2-x-y)=0,

y63-y-2r)=0.

Persamaan pertama dipenuhi jika x

=

atau 2-x-y

=

^{0 ,} ^dan ^persamaar

kedua dipenuhi jika y

=

⁰ ^ate

3-y-2x=0.

Kasus pertama untuk x

=

^{0 dar}

persamaan pertama disubstitusikan da

lam persamaan kedua diperoleh y =

atau y

=

33, sehingga titik keseimbanger

dalam kasus ini adalah (0,0), dan (0,3)

Kasus kedua untuk 2 - x-y ⁼

atau x=2- y dari persamaan pertama

disubstitusikan dalam persamaan kedua

yaitu

y(3- y-

2(2- y))

=

0, diperoler

y=0 atau y = I, sehingga titik kesei-

bangan dalam kasus ini adalah (2,0) dar (1,1). Jadi titik-titik keseimbangannya

adalah (0,0), (0,3) (2,0) dan (1,1).

Diagram bidang fase dapat a- awali dengan mensketsa arah traye- torinya. Sebagaimana di atas kita aka-

menganalisa trayektori pada kuadran

yang dibatasi oleh garis

2-

x - y

=

dan garis 3-

y - 2.x =

^{0 .}

(11)

ue bu eq

-uu os oy XI)h ] ue

mes

p ue je s n[n uo u

sn jo s su e6 en ues eu

eq ue yp eu e

SL eq ue o

ju '( ]

se )

sod s en p

so du oy ua ss (o se ] f ue piq ) u opy oe n

de y~

uo p e reoe s e uyo u y nu n u ey eu nf yp

ed ep

p u!

eq l

ue 9 ep ed sys ije uY

(€

'o ) n ee '(' ) '(o 'Z )

ue fu eq uuyo so y XI) n]

ey n[n ua u

ue ye sn yo s y e6 ey eu [ u ero ep

ep ed pe e ys yp uo y u ey uo qIp ey

«

⁾ r ^('o

ue bu eq uue so y yI ] oy n[n uo u

ue ye ys nyo s y ye 1 ey eu [[[

ue oe p

ep ed pe e ys ip uo y u ey ue qip ey

«

y ^z) ^(o

ue ue quu es

I]

oy

ay n[n uo u

ue ye ys njo s y ye f ey eu [ u ero ep

ep ed pe e ys yp uo y u ey ue qyp ey

«

yf ^Z) ^(0' ^ee ^{) n} ^'o ^(€

ue fu eq ue so y

oy y)

n[n ua u

ue ye ys njo s y e1f eye

ue u [

ro ep

ep ed ee ys yp uo y u ey ua qyp ey

«

^du f ^epn ^{q u} ^ue ^.e

sa y

uo jo ro dip je de p tu t os e;

~u epi q ep ed

't i e quu e9 ep ed sys yye ue ue ye se pio

(t ) uo srs uo pyo

tr'

eL 4e qu ep

1u l

ue eq Ip

I t'

eq ue 9 e ue ue fe qs

L) ('

,(

uue pe p s adu oy ue sys ue p o se y f ue pyq

uue fe ip uo py of en es jo ys ip ue pe de p

ey eu

eq £L

ue o u ey es ep ro g

(t L) uo sys yn un un mm ne e yr eu rs epn do d u ed ey ue

£I oe 4e quu e9

xz-

0=

se f-g

o= eq

x-

f-

z

se eq

su e~

ue fu op

ue f

je p u eu eq no (q ) su e6 ue uo p

uuer x

ep ue ue qn o (e )

x

LI

:5

• l

+--

X

-- ---,, -- -- --,

:

sa sad

na

s sa du oy pa po

'p ru e¥

ou esm y

(12)

128 INOVASI, Volume XVIII, Nomor 1, Januari 201

05 15 2 25 3J

Gambar 1.5 Bidang fase sistem kompetisi dua spesies (1.4) •

Sebagai contoh apabila beberapa

kondisi awal diberikan, maka grafik

solusi akan jelas menuju ke titik

keseimbangan. Perhatikan Gambar •

=

untuk beberapa kondisi awal yang

diberikan.

3 F

25 E

D 2 15

f

1.5 _C

B

e 5 i 15 ? 25 3) 35

Gambar 1.6 Beberapa solusi khusus dari sistem (1.4) dengan kondisi awal masing- masing A(0.1,0.1), B(1,0.1), C(3.7,0.3), D(0.5,2.1), E(2,2.5), dan F(1.3,3).

Sesuai dengan teori analisis

Gambar 1.4 yang telah dikembangkan,

maka secara rinci dapat diuraikan

sebagaimana berikut ini.

»

Titik A(0.1,0.1) terletak pada

derah l akhirnya menuju ke titik keseimbangan (0,3).

»

Titik B(1,0.1) terletak pada derah

I akhirnya menuju ke titik

keseimbangan (2,0).

»

Titik C(3.7,0.3) terletak pada

derah II akhirnya menuju ke titik keseimbangan (2,0).

»>

Titik D(0.5,2.1) terletak pada

derah Ill akhirnya menuju ke titik keseimbangan (0,3).

»

Titik E(2,2.5) terletak pada derah

IV akhirnya menuju ke titik

keseimbangan (2,0).

»

Titik F(1.3,3) terletak pada derah

IV akhirnya menuju ke titik

keseimbangan (0,3).

GRAFIK x(t) DAN y(t)

Dari uraian bidang fase di atas

ternyata tidak semua informasi tentan perilaku kedua spesies dapat diketatu dengan mudah. Dalam sketsa tersebut tidak dapat terlihat bagaimana pengar.r variabel waktunya, sehingga tidak dapa diketahui seberapa cepat pertumbuhar populasinya. Dalam rangka memaham

semua solusi dari sistem kompetisi ^dus

spesies (1.4), hal penting yang pet diperhatikan adalah rata-rata perubahar

populasi keduanya bergantung pada r

dan y serta taklinear. Salah satu cara

untuk menentukan selesaian sistem tali-

linear ini adalah dengan metode numeri

dengan mengambil

x,

sebagai nilai awa

dari x dan

y,

sebagai nilai awal dari y

Nilai awal ini kemudian digunakan untui

menentukan awal dari dx

/dt

^dandy

I

dI

(proses perolehan solusi numerik di sir

(13)

•

$6

ue un d e 66 uu

un mn ue u eK uys epn do d eK uu ye ep ed

un ue u y eu epn ur-e jn () u f eM ue q e uI]

epy ue p '

=

[p

K

ue fu op ue re ns as ya q

() f ys nyo s {y e~

eu eq ue py nfu nu

-o u g L eq ue 9 u eje p u ep eg

=

g0

x

ue 6u op

(v L) so ys od s en p sya du oy uo )sy s

ue

() p

x Is njo s yu

z'

e9 L eq ue 9

..

.,

sIs Ije uY eK ue se j fu ep yq pe ue bu ou

ne

f e

ue p ys x fu ny ne K 'u es s ys njo s

ye 6 e ped ue yn ye pp ed ep ue eu e~

ue

~u eq ue s 1 nq es ie ys epn dod en pe y n fe ]

ue ye qu ef 6u ou Du e u ee uue sre

y

d

-yI ] uo jo ro dip je de p jn qo s±a ) u ee ue so d

-u ee ue so d ue p ef fu ua s [e Is ua re ]Ip

ue euu es red yn uoq uue je p a y s ne ua je u

eyeo es ue yyo po unip ed ep uue ss oya me s

uue ye p 6 ure se q S ue so ys ods su of en p

{m un se pn do d n [e ] e ue q u ey yn du 1s ip

ed ep se e i p u es eu eq uuo d u e

Nv In NIS

6u ep yq me s u ere p ue p x

sf un y-[s fu nj ys nyo s y uje 6 9

4e quu e9

npy e ue me

=

s 9

ue 1

ya )a s

[lq es dn piu eA un uy e e pe d Du e yy eu

sn

x a

so so ds Du ep es 'n pye ue ne s

9=

1 e es ep ed ue un d e Ku nu ye ef 6u u

un mn f so so ds uei pn uo y 'n pye M u em es

]

=

H=

1 du es eu eu es -e ue S

eK upe e K ue p

sa x

ys ed s ys ejn do d

eu eq me ue ip je de g eu es Du e

nq un s e pe

() d

f ue

(z) p

x sf un y u ep

ye 16 ue py n[u nu

6 ou

eq uue 9

0=

ue 6u op

(L ) so ys od s en p se du oy ua )sy s

ue p (7) f sn jo s yuJ gL e9

eq ue 9

8 9

Io

r

ue jsu oy eA uIs e]

-n do d n ee [q es eK uu ye ue p d np iu

sn

() e

x eu

eu

eq

r

eyy ue

'g

p

= o

r

ue fu op ue ye ns os ro

() q

x sn jo s y e6

eu eq ue py nfu nu

z

ou I eq ue 9

() f ue

() p

x

sn yo s-y sn jyo s s eu ys yo de uo yo odi p je de p

nq es e

-{1

ue ]

y6 un qn uf ua u u ef u

-o g e us na s u '( ep Kr ) '(

C'r )

ue

~u es ed -u e~

ue se d u ojo ro d e yy ed ep

1o pn

= op oo u u ef uo p eye u ' (·

)

ue

~u es ed e~

eq

go

os

=

"f ue

[=

p

uyd eyy ey [ 'u ou oo ef eq es eu ypy je ue

sn jo s se uo so de

» uo yo od ua u j ed ep

ye pn ejy y eu ore y Iu so ys ods en p 1s I

-e du oy ua )sy s I se ue so de r y uue ue uo u

yn un sn fe q d ny no Je re ny ap oo uu u ep

u

Yu auu nu op oo u e un fue je s (9 66 L

'Ije a p re uo uey a) apn s a poa u u eje pe

ue ye un

~up ed ep Du e yu ou nu op 0y

() ue () p x s~

un y en p u ep uyp re

fu eA ua sys ue p sn yo s ue x[s eu

~u au

uy pe e ysi pu oy yp er (e nd uo y u en ue q

ue fu op uor oro dip se e Ip (L ) uue sIs

sn yo s y

de

e16

e

ue ye se ue qtp ep n

sap

6I

sad s mn a s ad uo

apo y

'p eue r

ou esm y (

(14)

130 INOVASI, Volume XVIII, Nomor J, Januari 201 ^J

---·

bidang fase dapat dilakukan dengan

melihat kenyataan bahwa dx I dt > 0

berarti fungsi x naik dan jika dx /dt < 0

berarti fungsi x turun, demikian juga

dengan fungsi y .

DAFTAR PUSTAKA

Baconnier, P.F; Benchetrit, G; PAchot, P

and Demongeot, J. 1993. Entrain-

ment of The Respiratory Rhythr

A New Approach. Journal Theo-

Biology, 164: 149-162.

Blanchard, Paul., Devaney, Robert L 4

Hall, Glen R. 1998. Differenta

Equations. New York: Broois

Cole Publishing Company.

Murray, J.D. 2002. Mathematical Biol0g

Berlin Heidelberg: Springer

Verlag.

(15)

po un y e ey ue p y ens

o qy

(e ue re ue p y uo pe ye eye 6 e du e eur ey yjn ) s ue ep a s

ue p]

q

jn pn r e

7e nu ou (u ep ije ue d u ou ) s pu y-s ys yje [s ue

eu ja y1

¥

ey es n4 ey eg '

ue re s ue p u epn du 6 yg

ue se ue quu ed ue p [ys eH J

ue nyje ue d e po ey e

ue py jo ue d u en [n ue ee p u

ye sn de y

ue se ue qu ed '6 ue ye ye q Je e]

ys ue q 6u ue eK

nn ue pu ea p

po un y e je y u ye ep ns

o qy

(e ue je ue p y tu op ey e e re

~ e du e eu ey jn ) s ue eu a s

ep

; q In pn r e

je nu our ue pyyo ue eu d s

jo y¥

sI[n ue d q ee [fu n~

6u e yp elu ou eu un ue de ny s uu

nu ue p

ey pe ue re f6 ue ye d u eu py 6u nu oy ue p yo ye ys ef y ( eyd ey ) u

eyd fu ed

ue p se qe qye ue

p sijn ua d pe us ee uo

y ue ye dn re jo u

y¥

eu -g o /e ys Ip ue

~u p u py

!p

Su e pI 0A IJo so Io ue

6o d u ey eu n6 6u ou ue fu yne ep

yIp [e y/

¥

eK uy yje qe s u ep 's uf 6u se p e ue q

uue je p s ujn yp ye ns qe ey eu 'e ys au op es up eu eq uue ye jn p s

yp [e yp e

ey yp (u nu n a y y yy se ds ue p 'e ey 9-g pu ) ny ee ue y e

se q ( ee gz y

- 0 g) ye ns qe ue fu ep de y6 uey

'zy yp ez

uo s ue fu ue ep

uo

$M ey

souu ]

Jn mn u y nu eq ue p (u eu ere

oz- u

0 p L) se ay ue mn

;y yn

[s ed s

ue fu ep su f6 up es eu eq ne e e ys ou op up es eu ue eq

re p si jn yp ja y¥

ure ] I qa ue d n ee pe un f

ue yo ue yyq eyp ue ye ye pn ue p u ey yq eyp ue ure uun d

je oy q j

¥

ue re [e je quu e ne

e/u ep

ue ytp yp uo d ' su es 'e ou eu np Du ep yq yp spu r-s syje ue ue

ne [ey e

ue nyye ue d py se u u ep je y6 ue yp tu [e uin f u ere nu p e

6u yp jo eK

y¥

8Z

€- v9 80 NS SI

ue re [e fu o4 ue

'su p

es

'e oyu eu [e n4

umn p

IS VA ON I

HV YS VN NV L VH VS

H3I d

8S F-+ S8

SS 0 N

0I I

0z

um

ur

' o

uuo

y 'II

HAX

auu

njo

4 'I

SV

A

(16)

sIpn je ) e re 0s

ue yn ue uo qIp ue ye ue ys eu ue ye yo ue d n ee ue en ua d ue ps ed ey

ee 6l sa d 'L LS LL (1 9G CO ) u nd yn 'e eq en s G /A X 6u

ed ny

un yn Ip g 'e eq emn s e un sn y e eliyy se ys oyu n s ure s u ep es eu eg

se yn ye : 6u un Ku ed je uuey e e y u pyy p e Ku -g o / 1e ysi p u ep [o y

ue nd ue ] e pe d u ey ed ua yp 'S ue [u ed npe pe ] u nd ne e y oy od

6u en y 6 ue K u e]

je u u ep 'e qu ef 'o qe 1 e uu es en ue

~u op ye as yp

ef n[

sn eu eq ue

~ u ep ye qe ] e qu e~

ue eq ip ue yy eoy yp re qu ef

eu eu ue p jo qe se e yp ue yy eo pyp jo qe eu ey (u ey se u uu ere p u en n

ue fu op se ns es ) J ou ou ue p e uue u u oq yp sn re u e qu ef ue p [e qe L

ey es n e eg 6

ue jn du yg J

(1o n1 e ys y u eu mn qe y u ef uo p ye ns es ) u es eu eq uue d e

ue sijn dn y6 uiy

6u en

» n ee ue n[m ue p 6 ue ye ye q e e]

su eq Su e u en jn ue pu p od

8S F- S8 NS 0

0I

ST

nu 0z nr zo '1 uo

'I

auu

A

no4

'IS ,