Ketidakkompatibilitasan Persamaan Gelombang dengan Transformasi Galileo
(Suplemen Matakuliah Fisika Modern)
M. Ardhi K
Kelompok Riset Fisika Matematis Jurusan Fisika, FST UIN Walisongo
Andaikan ψ(x, t) merupakan fungsi gelombang yang memenuhi persamaan gelombang
−1 c2
∂2ψ
∂t2 +∂2ψ
∂x2 = 0. (1)
Pada artikel ini akan ditunjukkan bahwa persamaan gelombang (1) tidak kom- patibel dengan transformasi Galileo
˜
x=x−vt,
˜t=t. (2)
Andaikan pers.(1) berlaku untuk suatu kerangka acuanK(x, t), dan ada kerangka lain, katakanlah ˜K(˜x,˜t) yang bergerak dengan kecepatanv terhadap K. Jika persamaan gelombang (1) kompatibel dengan transformasi Galileo, maka melalui transformasi tersebut seharusnya akan diperoleh persamaan gelombang di ˜K seperti berikut ini
−1 c2
∂2ψ
∂t˜2 +∂2ψ
∂˜x2 = 0. (3)
Pada kenyataannya melalui transformasi Galileo pers.(1) berubah menjadi
−1 c2
∂2ψ
∂t˜2 +2v c2
∂2ψ
∂t∂˜ x˜+
1−v2 c2
∂2ψ
∂˜x2 = 0. (4) Hal ini menunjukkan bahwa persamaan gelombang (1) tidak kompatibel dengan transformasi Galileo.
Berikut ini akan ditunjukkan bagaimana mendapatkan pers.(4). Karena ψ
1
merupakan fungsi 2 peubah, yaknixdant, maka berlaku1
∂ψ
∂x = ∂ψ
∂˜x
∂x˜
∂x +∂ψ
∂˜t
∂˜t
∂x,
∂ψ
∂t = ∂ψ
∂˜x
∂x˜
∂t +∂ψ
∂˜t
∂˜t
∂t.
(5)
Karena
∂x˜
∂x = 1, ∂˜t
∂x = 0, ∂˜x
∂t =−v, ∂˜t
∂t = 1 (6)
maka diperoleh
∂ψ
∂x = ∂ψ
∂x˜,
∂ψ
∂t =−v∂ψ
∂x˜ +∂ψ
∂t˜.
(7)
Dengan menurunkan persamaan terakhir, diperoleh
∂
∂x
∂ψ
∂x
= ∂
∂x˜
∂ψ
∂˜x ∂x˜
∂x + ∂
∂t˜
∂ψ
∂x˜ ∂t˜
∂x (8)
dan
∂
∂t
∂ψ
∂t
=∂
∂t
−v∂ψ
∂x˜ +∂ψ
∂˜t
= ∂
∂t
−v∂ψ
∂x˜
+ ∂
∂t
∂ψ
∂t˜
=−v
∂
∂x˜
∂ψ
∂˜x ∂x˜
∂t + ∂
∂˜t
∂ψ
∂x˜ ∂˜t
∂t
+ ∂
∂x˜
∂ψ
∂˜t ∂˜x
∂t + ∂
∂˜t
∂ψ
∂˜t ∂˜t
∂t.
(9)
Kemudian dengan mensubstitusikan pers.(6) ke dalam pers.(8) dan pers.(9), diperoleh
∂2ψ
∂x2 = ∂
∂x
∂ψ
∂x
= ∂
∂x˜
∂ψ
∂x˜
= ∂2ψ
∂x˜2 (10)
dan
∂2ψ
∂t2 = ∂
∂t
∂ψ
∂t
=v2 ∂
∂˜x
∂ψ
∂˜x
−v∂
∂˜t
∂ψ
∂x˜
−v ∂
∂˜x
∂ψ
∂˜t
+ ∂
∂˜t
∂ψ
∂t˜
.
=v2 ∂
∂˜x
∂ψ
∂˜x
−2v∂
∂˜t
∂ψ
∂x˜
+ ∂
∂˜t
∂ψ
∂t˜
=v2∂2ψ
∂˜x2 −2v ∂ψ
∂t∂˜ ˜x+∂2ψ
∂˜t2
(11)
1silahkan merujuk pada buku Mary L. Boas,Mathematical Methods in The Physical Sci- ences, Bab 4 mengenai aturan rantai.
2
Akhirnya dengan memasukkan pers.(10) dan (11) ke dalam pers.(1) diperoleh
−v2 c2
∂2ψ
∂˜x2 +2v c2
∂ψ
∂˜t∂x˜ − 1 c2
∂2ψ
∂t˜2 +∂2ψ
∂˜x2 = 0 (12) atau dengan mengatur suku-sukunya diperoleh
−1 c2
∂2ψ
∂t˜2 +2v c2
∂ψ
∂t∂˜ x˜+
1−v2 c2
∂2ψ
∂˜x2 = 0 (13)
3
