kinematika analisis vektor

SMA MAARIF NU PANDAAN

BAHAN AJAR FISIKA KLS XI SEMESTER 1

KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR

G R A V I T A S I

GAYA GESEKAN

E L A S T I S I T A S

USAHA DAN ENERGI

KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR

1.Perkalian Titik ( Dot Product )

2. Perkalian Silang ( Cross Product )

i . i = 1 j . j = 1 k . k = 1

i . j = j . i = 0 i . k = k . i = 0 j . k = k . j = 0

i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

i x j = k j x i = - k

j x k = I k x j = - i

k x i = j i x k = - j

1. Jika diketahui : P = – 6 i + 3 j + 4 k

Q = 7 i + 8 j – 2 k

Tentukan : a) P . Q b) P x Q

2. Jika diketahui : A = 3 i – 4 j – 5 k

B = 2 i + 6 j – 2 k

Tentukan : a) A . B b) A x B

VEKTOR SATUAN

Vektor yang nilainya satu satuan

x

i A_x

y A_y A

j

A_x=A_xi A_y=A_yj



A = A

_x

+ A

_y

A = A

_x

i + A

_y

j

A = A cos i + A sin j ^{ }

SMA MAARIF NU PANDAAN

VEKTOR POSISI

Suatu vektor yang menyatakan posisi dari suatu titik

x y

z

i j

k O

P (x, y, z)

r

r = OP = x i + y j + z k

     

2 2

2

2 2

2

z y

x r

r

zk yj

xi r

r

















y

z

i j

k O

Q (x_Q, y_Q, z_Q)

r_Q

x

r_P

r_PQ

P (x_P, y_P, z_P)

Vektor Posisi Titik Q Relatif Terhadap titik P

r

_PQ

= PQ = OQ - OP = r

_Q

– r

_P

r

_PQ

= (x

_Q

-x

_P

) i + (y

_Q

-y

_P

) j + (z

_Q

-z

_P

) k



_{Q P}

 

² _{Q P}

 

² _{Q P}



²

PQ

PQ

r x x y y z z

r       

Besar/Nilai

Vektor r

_PQ

SMA MAARIF NU PANDAAN

1. Sebuah bola kasti bergerak pada bidang xy. Koordinat x dan y bola tersebut dinyatakan oleh persamaan x = 18t dan y = 4t – 5t² dengan x dan y dalam meter serta t dalam sekon. Tuliskan persamaan vektor posisi r dengan menggunakan vektor satuan i dan j !

2. Posisi partikel sebagai fungsi waktu dinyatakan oleh persamaan

vektor posisi r (t) = ( at² + bt ) i + ( ct + d ) j dengan a, b, c, dan d adalah konstanta yang memiliki dimensi yang sesuai. Tentukanlah : (a) vektor perpindahan partikel tersebut antara t=1 s dan t=2 s serta (b) besar/nilai perpindahannya

3. Posisi suatu partikel sebagai fungsi waktu dinyatakan oleh

persamaan vektor posisi r (t) = ( 10t ) i + (4t + t²) j + (6t – t²) k

meter dalam selang waktu antara t=1 s dan t =2 s. Tentukan : (a) vektor perpindahan partikel dan (b) nilai/besar perpindahannya

SMA MAARIF NU PANDAAN

Menentukan Persamaan Posisi Suatu Benda

( Partikel yang Sedang Bergerak )

0 1

0 0

1

0

t t

t t

x x

x x _t



 





X₀ = posisi / kedudukan awal benda (m) X₁ = posisi / kedudukan akhir benda (m) t₀ = waktu awal / mula-mula (s)

t₁ = waktu akhir (s)

CONTOH SOAL

Sebuah bola menggelinding di atas lantai dalam selang waktu 60 s.

(1)

Bola bergerak seperti ditunjukkan grafik berikut :

10 20 30 40 50 60 4

8 6 10 12

x (m)

t (s)

Tentukan

persamaan posisi

bola tersebut !

SMA MAARIF NU PANDAAN

CONTOH SOAL (2)

Sebuah benda bergerak dalam selang waktu 1 s

pada

posisi 5 m, kemudian benda berpindah pada posisi 10 m

dalam selang waktu 3 s.

a) Buatlah grafik untuk pernyataan di atas b) Tentukan persamaan posisinya

^C)

Tentukan posisi benda tersebut pada saat t = 5

sekon

^

^

^

^

^

^

^

^

^

t k j z

t i y

t v x

t

k z j

y i

v x

k z j

y i

x r

dt dr t

v r

dt dx t

v x



 



 



 











 













 

 

 

 











k v j

v i

v

v ^  _x  _y  _z

Persamaan Vektor

Kecepatan

Nilai / Besar Kecepatan

2 2

2

z y

x

v v

v

v

^

  

t k j v

t i v

t a v

t

k v j

v i

a v

k v j

v i

v v

dt dv t

a v

y z x

z y

x

z y

x



 



 



 











 













 

 









k a j

a i

a

a

^



_x



_y



_z

2 2

2

z y

x

a a

a

a

^

  

Persamaan Vektor

Percepatan

Nilai / Besar

Percepatan

CONTOH SOAL

1. Posisi suatu benda berada pada x₁ = ( 4t + 2 ) m dan x₂ = ( 2t³ ) m dengan persamaan posisi x = ( x₁ i + x₂ j ) m. Tentukan :

a. kecepatan dalam selang waktu t = 1 s sampai t = 3 s b. persamaan umum vektor kecepatan sebagai fungsi waktu

2. Persamaan kecepatan sebuah partikel adalah v = ( v_x i + v_y j ) m/s dengan v_x = ( 2t ) m/s dan v_y = ( 1 + 3t² ) m/s. Tentukan :

a. percepatan dalam selang waktu t = 0 sampai t = 2 s

b. persamaan umum vektor percepatan sebagai fungsi waktu

3. Posisi suatu benda yang bergerak memenuhi persamaan r = 2t² – 5t + 8 dengan r dalam meter dan t dalam sekon. Tentukan :

a. posisi benda setelah 5 s c. percepatan benda setelah 5 s b. kecepatan benda setelah 5 s d. percepatan benda setelah 10 s

LOGO LOGO

t v  x

t

x v _t x ^t  ⁰

 v _t . t  x _t  x ₀ s  x _t  x ₀

www.themegallery.com

LOGO

t a  v

t v a

_t

v

^t



⁰



t a v

v _t  ₀  _t t a v

v _t  ₀  .

2 0

0

.

2 . t 1 a t v

x

x

_t

  

2 0

0

.

2 . t 1 a t v

x

x

_t

  

2

0

.

2

. t 1 a t v

s  

v

_t

: kecepatan benda saat t sekon v

₀

: kecepatan awal

x

_t

: posisi / kedudukan akhir benda x

₀

: posisi / kedudukan awal benda a

_t

: percepatan benda saat t sekon s : jarak / perpindahan

t : selang waktu

LOGO LOGO

1.Sebuah mobil bergerak lurus dengan kecepatan 10 m/s dan mendapat percepatan tetap sebesar 1,5 m/s

²

. Tentukan : a) kecepatan benda

setelah 10 sekon b) kecepatan benda setelah menempuh jarak 100 m

2. Sebuah partikel berada pada posisi 25 m dari titik acuan,kemudian bergerak sehingga

posisinya menjadi45 m. Jika partikel bergerak memerlukan waktu selama 10 s, hitunglah

berapa kecepatan tetap partikel tersebut !

LOGO

3. Sebuah kereta melaju dengan kecepatan 15 m/s, kemudian gerak dari kereta diperlambat disebabkan adanya pengereman, setelah direm selama 5 sekon kecepatan kereta menjadi 5 m/s. Hitunglah percepatan kereta api tersebut ?

4. Sebuah benda bergerak pada lintasannya dengan persamaan posisi x_t = 4t³ – 3t² + 2t + 5 dimana x dalam km dan t dalam jam Tentukan : a) Persamaan kecepatan

b) Kecepatan benda setelah 4 jam

Perpaduan antara GLB & GLBB

 Persamaan kecepatan awal (v

₀

)





sin cos

0 0

0 0

v v

v v

y x





 Persamaan kecepatan sesaat

gt v

v

v v

y x









 sin cos

0 0

j v

i v

v ^ ₀  _{0 x}  _{0 y}

j v

i v

v ^  _x  _y

LOGO LOGO

 Besarnya perpindahan



Persamaan posisi

2

2 y

x

R  



Persamaan titik tertinggi ( Y atau H )



₀



²

2 sin

g Y v

H 



 g

T _H v ₀ sin 





Persamaan titik terjauh( R atau X )

g X v

R

₀ ²

sin 2 



 g

T _R ² v ₀ ^sin 



2 0

0

2 sin 1

cos

gt t

v y

v x











SMA MAARIF NU PANDAAN

v

₀

= kecepatan awal

g = percepatan gravitasi ( g=10 m/s

²

) H=Y = tinggi maksimum

R=X = jarak jangkauan maksimum

T

_H

= waktu yang diperlukan untuk mencapai jarak tertinggi

T

_R

= waktu yang diperlukan untuk mencapai jarak terjauh

= sudut elevasi



www.themegallery.com

LOGO

Sebuah bola ditendang ke udara sehingga lintasannya

berbentuk parabola,bila kecepatan awal bola 30 m/s

dan sudut elevasinya 30

⁰

, tentukan :

a) komponen-komponen vektor kecepatan awal b) persamaan vektor kecepatan awal

c) ketinggian maksimum

d) waktu yang diperlukan untuk mencapaititik tertinggi

1

SMA MAARIF NU PANDAAN

Sebuah anak panah lepas dari busurnya dengan

kecepatan awal 20 m/s dan sudut elevasinya 45

⁰

.

Tentukan : a) posisi benda dalam arah horisontal

dan arah vertikal

b) besar / nilai perpindahan anak panah

c) jarak terjauh yang dicapai anak panah

d) waktu yang diperlukan untuk mencapai

titik terjauh

2

Sebuah pesawat terbang menukik ke bawah dengan

kecepatan tetap 400 m/s membentuk sudut 30

⁰

dengan

garis horisontal. Pada ketinggian 880 m dari tanah

Pesawat menjatuhkan bom. Tentukan :

a)Komponen-komponen vektor kecepatan awal

b)Persamaan vektor kecepatan awal c) Waktu yang diperlukan bom untuk

mencapai tanah

3

1.Lintasan linier 2.Lintasan sudut

3.Periode 4.Frekuensi

5.Kecepatan linier 6.Kecepatan sudut 7.Percepatan linier 8.Percepatan sudut

9.Percepatan sentripetal

10.Gaya sentripetal

1. Diketahui vektor-vektor : A = 2 i + 8 j + 7 k dan B = 9 i – 3 j – 2k Tentukan : a) A . B b) A x B

2. Sebuah benda bergerak pada bidang xy, dimana koordinat x dan y benda tersebut dinyatakan oleh persamaan x = (10 t + 2 t²) m dan y = (2 t³ + t²) m a) Tuliskan persamaan vektor posisi r menggunakan vektor satuan I & j b) Tentukan posisi benda ketika benda bergerak selama 1,5 sekon

3. Sebuah benda bergerak dalam selang waktu 2 sekon pada posisi 10 m.

Kemudian benda berpindah pada posisi 20 m dalam selang waktu 6 sekon.

a) Nyatakan kalimat di atas dalam bentuk grafik b) Tentukan persamaan posisinya

c) Tentukan posisi benda pada saat t = 10 sekon

SMA MAARIF NU PANDAAN

4. Posisi suatu benda berada pada x₁ = ( 2 t⁴ + 3 t³ + t² ) m dan x₂ = ( t⁵ + 4 t⁴ ) m, dengan persamaan posisi x = (x₁ i + x₂ j ) m Tentukan : a) persamaan vektor kecepatan sebagai fungsi waktu

b) kecepatan benda setelah bergerak 2 sekon

c) persamaan vektor percepatan sebagai fungsi waktu d) percepatan benda setelah bergerak 3 sekon

5. Sebuah benda bergerak lurus dengan kecepatan awal 25 m/s dan mendapat percepatan tetap sebesar 5 m/s².

Tentukan : a) kecepatan benda setelah 15 sekon

b) jarak yang ditempuh oleh benda tersebut