Soal Dan Pembahasan Bab Vektor

(1)

Bab 3 Vektor

Bagian A

1. Sebuah benda dipindahkan 12 kaki ke barat dan 5 kaki ke utara. Berapa besar dan arah resultan perpindahan?

Jawab:

Perhatikan gambar berikut:

Dari gambar didapatkan bahwa besar perpindahan = 122+52 =13kaki. tan θ = 5/12 Î θ = 22,620 diukur dari barat ke utara

2. tentukan resultan empat perpindahan berikut: 9 m ke timur, 13 m ke utara, 2 m ke barat, dan 11 mke selatan.

Jawab:

Dari gambar kita peroleh resultan perpindahan = 72+22 = 53 m

3. tentukan besar dan arah resultan 3 perpindahan 5 mil ke barat, 3 mil keutara, dan 10 mil kearah barat laut.

perpindahan 5 kaki ke utara 5 kaki ke barat θ perpindahan 11m ke selatan 13m ke utara 9m ke timur 7m 2m 2m ke barat

(2)

Jawab: Perhatikan gambar!

Kita gunakan koordinat Cartesian:

Untuk 5 mil ke barat: r1 = 5 i

Untuk 3 mil ke utara: r2 = 3 j

Untuk 10 mil ke barat laut: r3 = -5 2 i + 5 2 j R = r1 + r2 + r3 R = (5-5 2) i + (3 + 5 2) j 2 2 (5 5 2) (3 5 2) R= − + + = 10,281 mil (3 5 2) tan (5 5 2) θ = + − Î θ = 101,62 0

dari barat ke utara

4. sebuah pesawat terbang 200 mil dalam arah membentuk sudut 25 diukur dari 0 selatan ke barat. Tentukan komponen peprindahan pesawat dalam arah selatan dan arah barat.

Jawab:

Perhatikan gambar berikut ini:

5 mil ke barat 3 mil ke utara

(3)

Komponen ke barat = 200 sin 250 = 84,52 mil Komponen ke selatan = 200 cos 250 = 181,26 mil

5. carilah komponen horizontal dan vertical sebuah vektoryang panjangnya 40 N dan membentuk sudut 25 dengan aah horizontal. 0

Jawab:

Perhatikan gambar dibawah ini:

Komponen horizontal = 40 N cos 250 = 36,25 N Komponen vertikal = 40 N sin 250 = 16,9 N

6. sebuah mobil bergerak 30 km ke timur, kemudian 12 km keselatan dan selanjutnya 14 km ke barat dengan waktu total 40 menit. Tentukan jarak yang ditempuh, perpindahan,laju rata-rata dan kecepatan rata rata mobil tersebut. Jawab:

40 menit = 2/3 jam

Perpindahannya adalah: 162+122 =20 km Jarak yang di tempuh: 30 + 12 + 14 = 56 km

250 selatan barat 40 N 30 km 12 km 14 km pepindahan 16 km 12 km 250

(4)

Kelajuan rata-rata: jarak/waktu = 56

2 3 = 84 km/jam Kecepatan rata-rata: perpindahan/waktu = 20

2 3 = 30 km/jam

7. seorang anak berjalan 2500 m ke barat selama 35 menit, 1000 m ke selatan selama 10 menit, kemudian 500 m ke timur selama 5 menit. Tentukan jarak tempuh anak tersebut, perpindahan, laju rata-rata, dan kecepatan rata-ratanya. Jawab:

Jarak total = 2500 + 1000 + 500 = 4000 m Perpindahan = 10002+20002 = 2236 m

Waktu total = 50 menit = 3000 s

Kelajuan rata-rata = jarak total/waktu = 4000/3000 = 1,34 m/s Kecepatan rata-rata = perpindahan/waktu = 2236/3000 = 0,745 m/s

8. tiga orang pemain bola melakukakn tackling bola secara bersamaan dengan gaya masing masing 100 N ke utara, 120 N membentuk sudut 20 diukur dari timur 0 keutara, dan 80 N membentuk sudut 35 diukur dari utara ke barat. Tentukan 0 resultn ketiga gaya tersebut.

x y F1 = 100N F2 = 120 N F3 = 80 N 200 350 perpindahan 2500m 2000m 500m 1000m

(5)

Jawab: F1 = 100 N j F2 = (120 cos 200) N i + (120 sin 200) N j F2 = 112,76 N i + 41,04 N j F3 = -(80 cos 350) N i + (80 sin 350) N j F3 = -65,53 N i + 186,92 N j R = F1 + F2 + F3 R = 47,23 i + 186,92 j R = 47, 232+186,922 = 192,79 N

9. tentukan resultan dari gaya berikut: 50 N dengan membentuk sudut 30 terhadap 0 sumbu +X, gaya 80 N dengan membentuk sudut 135 terhadap sumbu +X, dan 30 0 N dengan membentuk sudut 240 terhadap sumbu +X. 0

jawab: F1 = (50 cos 300) N i + (50 sin 300) N j = 25 3 N i + 25 N j F2 = (80 sin 1350) N i + (80 sin 1350) N j = 40 2 N i + 40 2 N j F3 = (30 cos 2400) N i + (30 sin 2400) N j = -15 N i - 15 3 N j R = F1 + F2 + F3 R = 84,87 N i + 55,58 N j R = 84,872 +55,582 = 101,45 N

10. dua helikopter lepas landas (take off) dari tempat pendaratan yang sama. Salah satu helicopter berada pada posisi 10 km dengan sudut 45 diukur dari barat ke 0 selatan, sedangkan helikopte kedua berada pada posisi 6 km dengan membentuk sudut 45 diukur dari timur keselatan. Tentukan perpindahan helikopter kedua 0 relatif tehadap helikopter pertama.

Jawab:

Vector perpindahan relatif = {6 cos450 - (-10 cos 450)} i + {6 sin 450 – 10 sin 450}j 450 ₄₅0 Perpindahan relatif S U T B

(6)

= 11,3 i - 2,83 j

Perpindahan relatif = 11, 32+2,832 = 11,6 km

11. sebuah motor Boat yang memiliki laju 9 mil/jam menyebrangi sungai yang mmiliki kecepatan arus 2 mil/jam. Arah mana ang harus diambil oleh motor boat agar lintasannya tegak lurus terhadap sungai? Dalam kondisi gerak tersebut, berapakah laju motor boat diukur dari daratan?

Jawab:

Laju arus terhadap tanah, vat = 2 mil/jam

Laju perahu terhadap arus, vpa = 9 mil/jam

2 sin 9 12,84 at pa v v α α = = = D

Perahu harus diarahkan dalam arah 12,840 + 900 = 102,840 2 2 2 2 9 2 8, 77mil/jam pt pa at v = v +v = − =

12. seorang pilot mengarahkan pesawatnya keselatan dengan laju 270 km/jam relatif terhadap udara. Setelah satu jam, pilot mendapatkan bahwa pesawat telah berada di atas bandara dengan posisi 240 km kearah selatan dan 70 km kearah timur, relatif terhadap posisi satu jam sebelumnya. Tentukan: (a). kecepatan angin; (b). arah yang harus dipilih agar pesawat tepat begerak kea rah selatan.

v

pa

v

pt

(7)

Jawab:

Perhatikan gambar dibawah ini

Jarak tempuh = 2402+702 = 250 km

Kelajuan pesawat terhadap angin, vpa = 270 km/jam

Kelajuan pesawat terhadap tanah vpt = 250 km/1 jam = 250 m/jam

Kelajuan angin, va = ?

2 2

a pt pa

v = v −v = 2502−2702 Î hasil imajiner, sepertinya data pada soal salah

13. arus sungai mengalir kearah selatan dengan laju 1 mil/jam. Seorang laki-laki mengayuh sampan ke arah barat dengan laju 3 mil/jam relative terhadap air. Tentukan laju sampan relative terhadap tanah.

Jawab: 2 2 2 2 1 3 10mil/jam pt a pa v = v +v = + =

14. sebuah bola dilemparkan dari sebuah mobil yang sedang bergerak dengan

Jawab:

Bola akan mempunyai komponen kecepatan pada arah vertical dan horizontal:

2 2

14 20

bt

v = + = 24,41 m/s

15. sebuah pesawat dengan laju terhadap udara 150 mil/jam bermaksud bergera ke timur. Angin memiliki kelajuan 40 mil/jam dengan membentuk sudut 30 diukr 0 dari arah timur ke utara. Dalam arah mana peawat harus diarahkan agar

gerakannya tepat kearah timur? Berapa laju pesawat erhadap tanah? Jawab:

Soal dapat dilukiskan dengan gambar seperti dibawah ini:

va = laju angin

vpt = laju pesawat terhadap tanah

vpa = laju pesawat terhadap angina

agar pesawat bergerak ke timur, komponen kecepatan va dan vpa pada harus saling

menghilangkan, maka: va sin 300 = vpa sin θ

(

)

2 2 2 2 1 1 40 sin 0,13 2 2 150 7, 67 2 cos (30 ) 40 150 (2 40 150) cos 37, 67 183, 3 mil/jam a pa pt a pa a pa v v v v v v v θ θ θ = = × = = = + + + = + + × × = D D D

v

a

v

pa

v

pt timur 300 θ

(9)

16. sebuah helikopter memiliki kecepatan terhadap udara 40 knot dengan membentuk sudut 35 diukur dari barat ke utara. Kecepatan angina adalah 20 knot ke arah 0 timur. Tentukan kecepatan helikopter terhadap tanah.

Jawab:

vhu = kecepatan helikopter terhadap udara

vht = kecepatan helikopter terhadap tanah

vu = kecepatan udara

sudut antara vector vhu dan vu = θ = 1800 – 350 =1450

( )

2 2 2 2 2 cos145 40 20 (2 40 20) cos 145 26, 25 knot ht hu u hu u v = v +v + v v = + + × × = D D

17. sebuah pesawat memiliki kecepatan 500 knot terhadap udara dengan arah

membentuk sudut 20 diukur dar timur keselatan. Jika udara memiliki kecepatan 0 80 knot dengan arah membentuk sudut 60 diukur dari timur keutara, berapakah 0 kecepatan pesawat terhadap tanah?

Jawab:

u 800

(10)

( )

2 2 2 2 2 cos 8 80 500 (2 80 500) cos 80 519,89 knot pt u pu u pu v = v +v + v v = + + × × = D D

18. sebuah kapal bergerak kearah timur dengan laju 30 km/jam relative terhadap tanah. Anngin bertiup dari arah utara ke selatan dengan laju 10 km/jam. Berapakah kecepatan asap yang keluar dari cerobong kapal relative terhadap kapal.

Jawab:

va = kecepatan angina

vuap = kecepatan uap

v’uap = kecepatan uap bila tidak ada angin

,2 2 2 2 v 30 10 31, 63 km/jam uap = vuap+va = + =

19. sebuah kapal bergerak kearah timur dengan laju 25 km/jam. Saat itu angin bertiup dengan laju 10 km/jam dengan arah membentuk sudut 0

45 diukur dari selatan ke barat. Berdasarkan pengamatan dikapal, kea rah manakah uap yang dihasilkan akan bergerak? Berapa laju uap tersebut terhadap kapal?

v

uap

V’

uap

v

a S U T B

(11)

Jawab:

Sudut antara vector v’u dan vector vangin adalah 450

vu = kecepatan uap

v’u = kecepatan uap bila tidak ada angina

,2 2 2 2 v cos 45 25 10 2 25 10 cos 45 32,84 km/jam u = vu + +va v vu a = + + × × = D D

20. seorang pilot mencoba mempertahankan arah pesawat ke sebuah bandara di sebelah barat. Laju pesawat terhadap udara 600 mil/jam. Jika angin bertiup dengan kecepatan 100 mil/jam dengan arah membentuk sudut 40 diukur dari 0 selatan ke barat, kemanakah moncong pesawat harus diarahkan? Berapa laju pesawat relatif terhadap tanah?

Jawab:

Dengan Vpt = kecepatan pesawat terhadap tanah, Vpu = kecepatan pesawat terhadap udara B U T S Vpu Vangin Vpt Vpu Vpt _V angin 500 500 θ θ

v’

u

v

angin

v

u

(12)

Gunakan aturan sinus: sin 50 sin pu angin v v θ = D 600 100 sin 50D =sinθ θ =7, 33D

Moncong pesawat harus diarahkan sebesar 7,330 diukur dari barat ke utara Laju pesawat relative erhadap tanah, vpt adalah:

2 2 2 2 2 cos (50 ) 600 100 2 600 100 cos (57, 33) pt pu angin pu angin pt v v v v v v θ = + + + = + + ⋅ ⋅ ⋅ D 659,375 pt v = km/jam Bagian B

1. besaran-besaran beikut merupakan besaran scalar, kecuali….. a. kelajuan b. jarak c. energi d. gaya e. volum jawab:

jawabanya adalah gaya. Gaya merupakan besaran yang memiliki arah. Oleh karena itu gaya merupakan besaran vector

jawaban: A

2. dua buah vektor masing-masing besarnya 6 satuan dan 8 satuan. Sudut antara kedua vektor tersebut 0

90 . Resultan vektor adalah….. a. 10 satuan b. 14 satuan c. 16 satuan d. 20 satuan e. 24 satuan Jawab: 2 2 6 8 2(6 8) cos 90 R= + + × D

(13)

R = 10 satuan

Jawaban: A

3. vector A besarnya 6 satuan dan vector B besarnya 5 satuan. Bila sudut yang dibentuk oleh vektor A dan vektor B adalah 60 , maka selisih antara kedua vektor 0 adalah…. a. 45 satuan b. 41 satuan c. 30 satuan d. 21 satuan e. 11 satuan Jawab: 2 2 2 cos R= A +B − AB θ 2 2 6 5 2(6 5) cos 60 R= + − × D 31 R= satuan

Catatan: Jawaban tidak ada didalam pilihan

4. besar vektor A = 3 satuan dan besar vektor B = 4 satuan. Bila vektor satuan (A+B) = 5 satuan, maka sudut antara vektor A dan B adalah ……

a. 300 b. 450 c. 600 d. 730 e. 900 Jawab: 2 2 (A+B)= A +B +2ABcosθ 2 2 5= 3 +4 +2(3 4) cos× θ θ = 900 Jawaban: E

5. kelompok vektor satuan dibawah ini semuanya memiliki sudut apit 900 kecuali…..

a. 3, 4, dan 5 b. 6, 8, dan 10 c. 4, 5, dan 8

(14)

d. 9, 12, dan 15 e. 12, 16, dan 20 Jawab:

Kita dapat menggunakan persamaan berikut untuk menguji kelompok vector manakah yang memiliki sudut apit 900:

2 2

R= A +B dikarenakan cos 900 = 0

Uji semua nilai yang diberikan, dan kita dapatkan yang tidak memiliki sudut apit 900 adalah opsi (c) yakni, 4, 5, dan 8

Jawaban: C

6. dua buah vektor masing-masing 10 satuan kekanan dan 5 satuan kekiri bekerja pada sebuah benda. Supaya benda itu tidak bergerak, maka diperlukan vector…..

a. 10 satuan ke kanan b. 15 satuan ke kiri c. 5 satuan ke kanan d. 5 satuan ke kiri e. Nol Jawab:

Jika tidak ada gayatambahan, maka benda akan bergerak kearah kanan oleh karena gaya sebesar 5 satuan (hasil selisih dari dua vector gaya yang bekerja pada benda). Oleh karena itu, agar benda tidak bergerak, dibutuhkan gaya sebesar 5 satuan kearah kiri.

Jawaban: D

7. perhatikan gambar dibawah ini. Besar komponen dalam arah sumbu X dan sumbu

Fx1 = 4 cos 450 = 2 2

Fx2 = 6 cos 300 = 3 3

Komponen gaya pada sumbu y adalah:

Fy1 = 4 sin 450 = 2 2

Fy2 = 6 sin 300 = 3

Komponen pada sumbu x mempunyai arah yang berlawanan

Sedangkan komponen pada sumbu y akan saling menjumlahkan (karenan mempunyai arah yang sama), maka

(

3 3 2 2

)

x

F = − dan F_y = +

(

3 2 2

)

Jawaban: A

8. besar vector A adalah 20 satuan dan membentuk sudut 450 terhadap sumbu X positif. Besar komponen vector tersebut dalam sumbu X dan sumbu Y adalah……

a. A_x= 20 satuan, A = 20 satuan _y b. A_x= 20 2 satuan, A = _y 20 2 satuan c. A_x= 10 satuan, A_y= 10 satuan d. A_x= 10 2 satuan, A_y= 10 2 satuan e. A_x= 10 3 satuan, A_y= 10 2 satuan Jawab: Ax = 20 cos 450 = 10 2 satuan y A = 20 sin 450 = 10 2 satuan Jawaban: D

(16)

a. 10 N b. 20 N c. 30 N d. 40 N e. 70 N Jawab: F1 = 30 N Î -15 3 i +15 j F2 = 10 N Î 10 j F3 = 30 N Î 15 3 i +15 j R = F1 + F2 + F3 = 40 N j R = 40 N Jawaban : D

10. resultan dari tiga vektor dibawah ini adalah……

a. 3,0 satuan b. 5,0 satuan c. 5 5 satuan d. 10 satuan e. 10 3 x y 30 N 30 N 300 600 10 N x y 5 satuan 5 satuan 600 10 satuan 300

(17)

Jawab:

F1 = 5 cos 600 i – 5 sin 600 j = 2,5 i - 2,5 3 j F2 = 10 sin 300 i +10 cos 300 j = 5 i +5 3 j F3 = -5i R = F1 + F2 + F3 = 2,5 i +2,5 3 j R =

(

)

2 2 2, 5 + 2, 5 3 = 5 satuan Jawaban: B

11. dua buah vector yaitu F1 dan F2, membentuk sudut 105

0

satu sama lain. Resultan dari kedua vector tersebut membentuk sudut 60 0 terhadap vector F2. bila besar F2 = 8 satuan, maka besar vector F1 adalah…..

a. 10 satuan b. 6 satuan c. 4 6 satuan d. 2 2 satuan e. 6 satuan x y F1 = 5 satuan F3 = 5 satuan 600 F2 = 10 satuan 300

(18)

Jawab:

Gunakan aturan sinus:

1 2 1 sin 60 sin 45 1 ₃ 2 8 1 ₂ 2 3 8 2 6 8 4 4 6 satuan F F F = = × = = = D D Jawaban: C

12. perhatikan gambar vektor disamping ini. Resultan dari dua vektor tersebut adalah….. a. 3 satuan b. 6 satuan c. 8 satuan d. 10 satuan B A 600 3 8 x y 600 450 R F2 F1 450 600 F2 R F1

(19)

e. 11 satuan Jawab: A = 3 i B = 3 i +8 j R = A + B = 6 i +8 j R = 62+82 =10 satuan Jawaban: D

13. sebuah benda berada diatas lantai yang licin. Benda terseut ditarik oleh seuah gaya sebesar 20 N yang membentuk sudut 60 terhadap permukaan lantai. Bila 0 massa benda diabaikan, maka besar gaya yang harus diberikan agar benda tidak terangkat adalah….. a. 20 3 N b. 20 2 N c. 20 N d. 10 3 N e. 10 2 N Jawab: F = 20 N sin 600 = 10 3 N

Gaya yang diberikan harus sama dengan 10 3 N

Jawaban: D

14. tiga buah vector A, B, dan C bekerja pada sebuah benda tak bermassa (lihat gambar). Besar vector resulta R dalamarah sumbu X dan sumbu Y adalah…..

x y B = 5 satuan C = 5 600 A =10 300 1500

(20)

a. Rx = 5 3 satuan, Ry = 5 2 satuan b. Rx = 0 satuan, Ry = 5 satuan c. Rx = 5 3 satuan, Ry = -5 2satuan d. Rx = 5 satuan, Ry = 10 satuan e. Rx = -5 3 satuan, Ry = 15 satuan Jawab: A = 10 cos 300 i + 10 sin 300 j = 5 3 i + 5 j B = -5 sin 600 i -5cos 600 j = -2,5 3 i – 2,5 j C = 5 cos 1500 i + 5 sin 1500 j = -2,5 3 i + 2,5 j R = A + B + C = 5 j Rx = 0 satuan Ry = 5 satuan Jawaban: B

15. tedapat vektor A, B, dan C. besar vektor A = 6 satuan dan besar vektor C = 5 satuan. Bila A + B = 2C dan sudut yang dibentuk antara vektor A dan B adalah 900, maka besar vektor B adalah…..

a. 4 satuan b. 6 satuan c. 8 satuan d. 10 satuan e. 25 satuan Jawab: A + B = 2C

A2 + B2 = 4C2 Î karena sudut antara A dan B adalah 900 36 + B2 = 4 ×25

B = 8 satuan Jawaban : C

16. tedapat vector A, B, dan C. besar vector B = 10 N dan besar vector C = 20 N. bila

A + B = C dan sudut antara vector A dan C adalah 300, maka besar antara vector

(21)

a. 300 b. 450 c. 900 d. 600 e. 1200 Jawab:

Ganbar diatas dapat diganbar ulang menjadi seperti dibawah ini:

Gunakan aturan cosinus: sin (150 ) sin 30 sin (150 ) sin 30 20 1 1 10 2 150 90 60 C B C B θ θ θ θ = − − = = × = − = = D D D D D D D Jawaban: D B C A 300 θ A C θ 300 1500-θ B

(22)

17. sebuah benda ditarik ke kanan dengan gaya 30 N dan membentuk sudut 370 terhadap permukaan lantai. Besra dan arah vector yang harus diberikan agar benda tidak berherak adalah….

a. 24 N ke kanan b. 24 N kek kiri c. 18 N ke kanan d. 18 N kek kiri e. 18 N keatas Jawab:

Gaya horizontal yang bekerja = 30 N cos 370 = 24 N ke kanan

Maka gaya yang harus diberikan agar benda tidak bergerak adalah 24 N ke arah kiri

Jawaban: B

18. spmb 2002

ditentukan dua buah vector yang sama besar, yaitu F. bila perbandingan antara jumalah dan selisih antara kedua vector sama dengan 3 , maka sudut yang dibentuk oleh kedua vector itu adalah…..

a. 300 b. 370 c. 450 d. 600 e. 1200 Jawab: 2 2 2 2 2 2 cos 3 2 2 cos 1 cos 3(1 cos ) 3 3cos F F F F θ θ θ θ θ + = − + = − = − 4 cos 2 1 cos 2 60 θ θ θ = = = D Jawaban: D 19. umptn 2000

kompas yang ada pada sebuah pesawat terbang menunujukan kea rah utara. Pesawat itu bergerak dengan kecepatan 240 km/jam. Bila ada angina yang bertiup dengan kecepatan 100 km/jam dari barat ke timur, maka laju pesawat relative terhadap bumi adalah……

a. 160 m/s

(23)

c. 340 km/jam d. 260 km/jam e. 140 km/jam Jawab:

vpu = kecepatan pesawat terhadap udara

vpt = kecepatan pesawat terhadap tanah

vu = kecepatan udara 2 2 2 2 240 100 260 km/jam pt pu u v = v +v = + = Jawaban: D

20. sebuah perahu menyeberangi sungai selebar 180 m dan kecepatan arusnya 4 m/s. perahudiarahkan menyilang tegak lurus terhadap sungai dengan keepatan 3m/s. setelah tiba diseberang sungai, perahu tela menempuh jarak sejauh…..

pu

(24)

vpa = kecepatan perahu terhadap arus

vpt = kecepatan perahu terhadap tanah

va = kecepatan arus 2 2 2 2 4 3 5 m/s lebar sungai jarak tempuh 5 jarak tempuh 180 300 m 3 pt a pa pa pt v v v v v = + = + = = = × = Jawaban: C