Latihan TEKNIK KIMIA

Nama :

NIM :

Kelas : TEKNIK KIMIA (A)

21. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva dengan fungsi y = x² – 4x, sumbu-x, dan garis x = -1.

Jawab dan pembahasan

Adapun luas daerah yang dimaksud dapat dilihat pada Gambar 8.6, yaitu yang disebelah kiri dari kurva pada interval -1 ≤ x ≤ 0. Adapun daerah yang dimaksud dapat diketahui dengan terlebih dahulu menggambar grafik dari fungsi parabolanya. Berikut langkah yang dilakukan untuk menggambar skets parabola.

Titik potong dengan sumbu-x, maka y = 0:

0 = x² – 4x x (x - 4) = 0 x = 0, atau x =4

Sehingga koordinat titik potong dengan sumbu- x diperoleh (0, 0) dan (4, 0) Titik potong dengan sumbu- y, maka x = 0:

Untuk x = 0 diperoleh y = 0, sehingga koordinat titik potong pada sumbu-y (0, 0).

Koordinat titik puncak parabola ditentukan dari rumus:

xp = - b

2a = −4 2. 1 = 2

Untuk x = 2, diperoleh koordinat puncak, yp = (2)² – 4.2 = -4 sehingga koordinat titik puncak (2, -4)

Grafik akan terbentuk dengan menghubungkan koordinat titik-titik denagn garis lengkung. Kemudian batasan untuk x, yaitu x = -1 dan x =0

Jadi, luasnya dapat ditentukan berikut ini.

L =

¿¿

∫

−1 0

¿ x² – 4x )dx =

|

¹3x³–2x²

|

−1 0

=

(

¹3(0)³–2(0)²

)

^–

−1¿² 1

3(−1)³–2(¿)

¿

= 0 –

(

⁻¹3 −2

)

^{= 7}3 satuan luas Jadi luas daerah yang terarsir seperti gambar adalah 7

3 satuan luas

22. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x³ - 3x² – x + 3, sumbu- x dan garis x

= 2

Jawab dan pembahasan

Sebelum menentukan luas daerah yang ditanyakan, maka terlebih dahulu digambar grafik yang dimaksud sehingga daerah yang dimaksud jelas terlihat.

Berikut langkah menggambar grafik fungsi y = x³ – 3x² –x +3 : Titik potong denagn sumbu- x maka y= 0:

0 = x³ – 3x² – x +3 (x+1)(x-1)(x-3) = 0

Maka diperoleh x= -1 atau x= 1 atau x= 3, sehingga koordinat titik potong dengan sumbu- x adalah

(-1, 0), (1, 0), dan (3, 0).

Titik potong dengan sumbu- y, maka x = 0:

y = 0 – 0 – 0 + 3, diperoleh y = 3.

Sehingga koordinat titik potong denagn sumbu- y adalah (0, 3) dan skets garfikpun dapat digambar.

Selanjutnya dapat ditentukan luas daerah yang dimaksud sebagai berikut.

Luas total daerah yang diarsir adalah:

L = L1 (-1 ≤ x ≤ 1) + L2 (1 ≤ x ≤ 2)

L =

¿¿

∫

−1 1

¿ x³ – 3x² – x + 3 ) dx -

¿¿

∫

1 2

¿ x³ – 3x² – x + 3 ) dx

Untuk luasan yang kedua, karena daerah yang diarsir berada di bawah sumbu-x, maka tandanya bernilai negatif.

L =

¿¿

∫

−1 1

¿ x³ – 3x² – x + 3 ) dx -

¿¿

∫

1 2

¿ x³ – 3x² – x + 3 ) dx =

|

^x4⁴– x³−x²

4+3x

|

−1 1

–

|

^x4⁴– x³−x² 4+3x

|

1

2

= 4-(- 7

4 ) = 23

4 satuan luas Jadi luas daerah yang terarsir adalah 23

4 satuan luas

Pada contoh berikut ini akan diberiakn bagaimana cara menentukan luas dari suatu daerah yang dibatasi oleh dua buah kurva.

23. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x² dan garis y = 2 – x.

Jawab dan pembahasan

Pertama sekali digambar terlebih dahulu grafik kedua fungsi serta menentukan koordinat titik potongnya sebagai kondisi batas integral luasan.

Kedua fungsi dikatakan berpotongan apabila y1 = y2 (y1 fungsi parabola dan y2 fungsi garis maka) :

x² = 2-x

x² + x – 2 = 0 (x – 1) (x + 2) = 0 x = 1 atau x= -2

Untuk x = 1, maka y= 1 Untuk x= -2, maka y= 4

Sehingga koordinat titik potong adalah (1, 1) dan (-2, 4)

Sedangkan grafik parabola dan garis dapat digambar dengan cara seperti yang sudah dilakukan dia atas.

Berikut perhitungan luas daerah yang diarsir dengan menggunakan rumus:

L =

¿

∫

a b

¿ g(x) – f(x) } dx Catatan:

g(x) adalah fungsi yang letaknya di atas daerah yang diarsir dan f(x) adalah fungsi yang letaknya di bawah daerah yang diarsir (jika terhadap x).

L =

¿¿

∫

a b

¿ (2 – x) – x² )dx =

|

^2x−x2²−x³ 3

|

−2

1

=

[

^{2(1)−(1)22−(1)33}

]

^-

[

^{2(2)−(−2)2 2−(−2)3 3}

]

^{= 92} satuan luas

24. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh fungsi parabola y² = 4x dan fungsi garis 4x – 3y – 4 = 0.

Jawab dan pembahasan

Awal sekali ditentukan terlebih dahulu koordinat titik potong sebagai berikut:

Dari y² = 4x, maka x= 1

4 y² dan substitusi ke persamaan garis:

4

(

¹4 y²

)

– 3y – 4 = 0 y² – 3y – 4 = 0 (y - 4)(y + 1) = 0 Y= 4 atau y= -1, maka:

Untuk y= 4 diperoleh x = 1

4 ( 4 )² = 4 dan untuk y= -1 diperoleh x= 1

4 ( 1 )² = 1

4

Sehingga koordinat titik potong adalah (4, 4) dan

(

¹4,−1

)

Berikut garfik kedua fungsi.

Berikut ini akan dilakukan menghitung luas daerah yang dimaksud dengan dua kondisi batas, yaitu kondisi batas terhadap sumbu-x dan sumbu-y.

Kondisi batas sumbu-x:

Jika kondisi batas terhadap sumbu-x, maka ada dua daerah luasan yang terbentuk (Gambar 8.9a) dan luas total adalah penjumlahan kedua luasan tersebut.

Persamaan parabola: y² = 4x y = ±

√

^4x

Persamaan garis: 4x – 3y = 4 y = 4

3 x – 4 Luas daerah total:

L = Luas-1 + Luas-2

Luas-1 = integral fungsi atas (parabola) dikurangkan dengan fungsi bawah (garis).

Daerah-1 kondisi batasnya 0 ≤ x ≤ 1 4

Luas-2 = integral fungsi atas (parabola) dikurangkan dengan fungsi bawah (garis).

Daerah-2 kondisi batasnya 1

4 ≤ x ≤ 4, maka:

L =

∫

0 1 4

[ √

^4x−(−

√

^4x)

]

^{dx +}

∫

1 4

4

[ ^√

^4x−

⁽

^43x−43

⁾ ]

^dx

= 2

∫

0 1 4

√

^{4x dx +}

∫

1 4 4

dx

( ^√

^4x−43x+4

3

)

^{dx = 4}

∫

0 1 4

x

1

2 dx +

∫

1 4

4

(

^2x12−43x+4 3

)

^dx

=

|

^4.23x32

|

0 1

4

|

^{+34 x32−23 x2+43 x}

|

⁴¹₄

= 4

[

²³

⁽

¹⁴

⁾

³²

]

⁺

{ ^[

^{43(4)32−32(4)2+43(4)}

^]

⁻

^[

⁴³

⁽

¹⁴

⁾

³²⁻²³

⁽

¹⁴

⁾

²⁺⁴³

⁽

¹⁴

^{) ]} }

= 125

24 satuan luas Kondisi batas sumbu-y:

Jika kondisi batas terhadap sumbu-y (Gambar 8.8b), maka ada sebuah luasan saja yang terbentuk dalam interval -1 ≤ x ≤ 4, sehingga persamaan dimunculkan dalam fungsi x dalam varuabel-y.

Persamaan parabola: y² = 4x atau x = y² 4 s Persamaan garis: 4x – 3y = 4 atau x = 3y+4

4 Sehingga luas daerah:

L =

∫

−1

4

(

^3y4⁺⁴−y²

4

)

^dy=14

∫

−1 4

(

3y=4−y²

)

dy = 1

4

[

^{32 y2+4y−13 y3}

]

−1 4

=

4¿³ 3

2(4)²+4(4)−1 3¿−1

4

{

³2(−1)²+4(−1)−1 3(−1)

}

1 4¿

= 125

24 satuan luas

Jadi, baik dengan cara-1 ataupun dengan cara-2 akan menghasilkan luasan daerah yang sama.

25. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh fungsi garis y = x + 1 dan fungsi garis y = 3 – x.

Jawaban :

Daerah luasan yang dimaksud akan dapat ditentukan dengan terlebih dahulu menggambar grafik dari kedua fungsi. Adapun grafik yang terbentuk seperti gambar berikut ini.

Dari kedua fungsi dan dengan menyamakan kedua fungsi seperti berikut.

y1 = y2 x + 1 = 3 – x 2x = 2 x = 1

dan untuk x = 1 diperoleh y = 2, jadi koordinat potong ( 1,2 ).

Dengan mengambil kondisi batas dalam arah x, maka luasan yang terbentuk ada dua luasan ( lihat Gambar Grafik fungsi garis ) yaitu untuk kondisi batas -1 ≤ x ≤ 1 dan 1 ≤ x

≤ 3.

Maka luas total daerah yang diarsir adalah :

A =

(x+1)dx+

∫

1 3

(3−x)dx=¿

(

¹2x²+x

)

^∨−1¹

∫

−1 1

¿

+

(

^3x−12x²

)

^∨31

=

(

¹2(1)²+1

)

⁻

(

¹2(−1)²−1

)

⁺

(

³⁽³⁾⁻¹2(3)²

)

⁻

(

³⁽¹⁾⁻¹2(1)¹

)

⁼⁴satuanluas .

Dengan mengambil kondisi batas dalam arah y, maka luasan yang terbentuk seperti Gambar Grafik fungsi garis untuk kondisi batas 0 ≤ y ≤ 2.

Persamaan garis menjadi, x = 1 – y dan x = 3 – y sehingga luas : A =

∫

0 2

[

^{(3−y)−(y−1)}

]

^dy=

∫

0 2

(4−2y)dy=4y−y ² …….= 4.2 – 2² = 4 satuan luas

26. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh fungsi lingkaran x² + y² = 4 pada kuadran pertama.

Jawaban :

Awal sekali dilakukan penggambaran grafik sehingga diketahui daerah mana yang dimaksud oleh soal. Grafik adalah lingkaran dengan titik pusat ( 0,0 ) dan jari-jari 2 satuan, sehingga grafiknya seperti di bawah.

Luas daerah dirumuskan : A =

∬

R

❑

dydx dengan kondisi batas R; 0 ≤ x ≤ 2; 0 ≤ x ≤

√

^{4−x 2}

Sehingga persamaan luas daerah dapat dituliskan :

A =

∫

0

❑

dydx=

∫

0 2

y∨¿

√

^4−x2

0

∫

0 2√^4−x2

¿

dx =

∫

0 2

√

^4−x2dx

Hasil integral ini dapat diperoleh dengan melakukan permisalan sebagai berikut.

Missal : x = 2 cosӨ , maka dx = -2 sinӨdӨ ,

Dan kondisi batas, untuk x = 0, diperoleh 0 = 2 cosӨ , maka Ө = 90⁰ = 1 2 π Sehingga bentuk soal menjadi :

2

(¿sinθ).(−2 sinθ dӨ)

∫

π 2 0

√

^{4−4 cos2Ө.(−2 sinθ dӨ)=}

∫

π 2 0

¿

∫

π 2 0

√

^{4−4 cos2Ө.(−2 sinθ dӨ)=−4}

∫

π 2 0

sin²ӨdӨ=−4

(

⁻¹2 sinθcosθ+1 2θ

)

^∨0π

2

= -4

(

^0−π4

)

=π satuanluas

Dengan menggunakan rumus, luas seperempat lingkaran dapat ditentukan dengan rumus : A = 1

4

(

π r²

)

=1

4

(

π .2²

)

=π satuanluas .

27. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y =sin x, sumbu –x, dan garis x = 0, serta x = 2π

Jawaban :

Awal sekali gambar grafik fungsi sinus –x seperti berikut ini.

Daerah yang dibatasi oleh kurva y = sin x, sumbu –x, garis x = 0, dan x = 2π ada dua luasan yaitu di bagian sebelah atas ( 0 ≤ x ≤ π ) dan bawah sumbu –X π ≤ x ≤ 2π.

Untuk luas bagian atas :

L1 =

π 0

cosπ−cos¿=−(−1−1)=2satuanluas

¿

¿ x∨ ¿

0=−¿

x dx=cos¿ sin¿

∫

0 π

¿

Untuk luas bagian bawah :

L2 = -

π

cos 2π−cos¿=

[

1−(−1)

]

=2satuanluas

∫

π 2π

sinx dx=cosx∨2π π =¿

Jadi luas total daerah terarsir adalah 2 + 2 = 4 satuan luas.

28. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = sin x, y = cos x, garis x = 0, dan x = 2π

Jawaban :

Berikut grafik kedua fungsi.

Kemudian titik potong dapat ditentukan sebagai berikut.

ysin = ycos

sinx = cosx sinx

cosx=tanx=1

Sehingga nilai x yang memenuhi adalah 45^o

(

^π4

)

^{dan 225o}

(

⁵4^π

)

dan nilai x inilah yang menjadi batasan x. dari grafik terlihat ada 3 buah luasan yang harus dihitung satu persatu dan kemudian akan dijumlahkan.

Luas daerah -1

(

^{0≤ x ≤π}4

)

L1 =

∫

0 π 4

(cosx−sinx)=sinx+cosx∨π 4 0

=

(

^sinπ4+cosπ

4

)

^{−(sin 0+cos 0)}

=

(

¹2

√

²⁺¹

2

√

²

)

^−(0−1)=

^√

^{2 -1}

Luas daerah -2

(

^π4≤ x ≤5π 4

)

L2 =

∫

π 4 5π

4

(sinx−cosx) = -cos – sinx | 5π

4 π 4

=

(

^−cos54^π−sin5π

4

)

⁻

(

^−cosπ4−sinπ 4

)

=

(

¹2

√

²⁺¹

2

√

²

)

⁻

(

⁻2¹

√

²⁻¹

2

√

²

)

⁼²

^√

² satuan luas.

Luas daerah -3

(

⁵4^π≤ x ≤2π

)

L3 =

∫

5π 4 2π

(cosx−sinx)=sinx+cosx∨

2π 5π 4

=(sin2π+cos 2π)−

(

^sin54^π+cos5π 4

)

= (0+1)−

(

⁻¹2

√

²⁻¹

2

√

²

)

⁼¹⁺

^√

²

Jadi luas total daerah yang diarsir adalah :

L=L₁+L₂+L₃=(

√

^2−1)+(2

√

²⁾⁺⁽¹⁺

√

²⁾⁼⁴

√

² satuan luas.