LEMBAR KEGIATAN PESERTA DIDIK LEMBAR KEGIATAN PESERTA DIDIK
(LKPD) (LKPD)
LIMIT FUNGSI ALJABAR LIMIT FUNGSI ALJABAR
LEMBAR KEGIATAN PESERTA DIDIK LEMBAR KEGIATAN PESERTA DIDIK
(LKPD) (LKPD)
LIMIT FUNGSI ALJABAR LIMIT FUNGSI ALJABAR
ROHMAN
ROHMAN
1.
1. Diketahui fungsiDiketahui fungsi f f yang ditentukan denganyang ditentukan dengan
(()) = = 48 48 44
a.
a. Tentukan nilai fungsi f(x) dari setiapTentukan nilai fungsi f(x) dari setiap x x yang diberikan yang diberikan x
x 2,9 2,9 2,99 2,99 2,999 2,999 3 3 3,001 3,001 3,3,01 01 3,13,1 f(x)
f(x) .... .... .... .... ... ... .... .... .... .... .... .... ...
b.
b. Tuliskan domain fungsi f (atauTuliskan domain fungsi f (atau
) dengan notasi pembentuk himpunan!) dengan notasi pembentuk himpunan!Jawab
Jawab : : ...
2.
2. Diketahui fungsi rasionalDiketahui fungsi rasional
(()) = = − − − −
, , jelaskan jelaskan apakah apakah semuasemua ∈ ∈ ℝℝ
merupakan merupakan domain fungi g dan sebutkan alasannya?domain fungi g dan sebutkan alasannya?
Jawab
Jawab : : ...
Waktu:
Waktu:
20 menit 20 menit
DEFINISI DAN EKSISTENSI LIMIT FUNGSI ALJABAR DI
DEFINISI DAN EKSISTENSI LIMIT FUNGSI ALJABAR DI SUATU TITIKSUATU TITIK
Satuan
Satuan Pendidikan Pendidikan : SMA: SMA Mata
Mata Pelajaran Pelajaran : : MatematikaMatematika Wajib
Wajib Kelas/Semester
Kelas/Semester : : XI/GenapXI/Genap
Anggota Kelompok:
Anggota Kelompok:
1.
1. ...
2.
2. ...
3.
3.
...
...
4.
4. ...
Tujuan:
Tujuan:
Melalui pengerjaan LKPD 1 ini,
Melalui pengerjaan LKPD 1 ini, siswa diharapkan secara intuitif dapat:siswa diharapkan secara intuitif dapat:
1.
1. mendefinisikan arti limit fungsi aljabar di suatu titmendefinisikan arti limit fungsi aljabar di suatu titik.ik.
2.
2. menentukan eksistemenentukan eksistensi limit fungsi nsi limit fungsi aljabar di suatu titik.aljabar di suatu titik.
Petunjuk:
Petunjuk:
1.
1. Awali dan akhiri kegiatan pengerjaan LKPD ini dengan doa.Awali dan akhiri kegiatan pengerjaan LKPD ini dengan doa.
2.
2. Isilah titik-titik/jawablah pertanyaan bertahap untuk menemukan suatu hal baru.Isilah titik-titik/jawablah pertanyaan bertahap untuk menemukan suatu hal baru.
3.
3. Gunakan literatur dari buku maupun internet.Gunakan literatur dari buku maupun internet.
4.
4. Kerjakan dalam diskusi kelompok.Kerjakan dalam diskusi kelompok.
Mari ingat kembali tentang fungsi ! Mari ingat kembali tentang fungsi !
LEMBAR KEGIATAN PESERTA DIDIK (LKPD 1)
LEMBAR KEGIATAN PESERTA DIDIK (LKPD 1)
Diketahui fungsi
Diketahui fungsi
∶ ℝ ∶ ℝ → ℝ → ℝ
ditentukan oleh ditentukan oleh (()) = 2 1 = 2 1
dengan domain dengan domain ==
{{|| ∈ ℝ ∈ ℝ}}
. Selidikilah apakah. Selidikilah apakah (()) = 2 1 = 2 1
untuk untuk
mendekati 3 mempunyai limit/tidak! mendekati 3 mempunyai limit/tidak!Tahapan penyelidikian:
Tahapan penyelidikian:
1.
1. Tentukan nilaiTentukan nilai
(3) (3)
((33)) = = ⋯⋯
2.
2. Pilihlah sebarang nilaiPilihlah sebarang nilai x x disekitar 3 dan subtitusikan kedisekitar 3 dan subtitusikan ke
() ()
. Kemudian tuliskan dalam . Kemudian tuliskan dalam tabel yang tersedia secara berurutan.
tabel yang tersedia secara berurutan.
Tabel 1. Nilai pendekatan
Tabel 1. Nilai pendekatan
() ()
untuk setiap nilai untuk setiap nilai
mendekati 3 dari kiri mendekati 3 dari kiri (yang lebih kecil dari(yang lebih kecil dari 3 atau 3 atau x < 3)x < 3)
2 2 ...... ...... 2,82,8 ...... ...... 2,99992,9999()
()
...... ...... .........
...... .........
Tabel 2. Nilai pendekatan
Tabel 2. Nilai pendekatan
() ()
untuk setiap nilaiuntuk setiap nilai
mendekati 3 mendekati 3 dari dari kanankanan (yang lebih besar(yang lebih besar dari 3 atau dari 3 atau x > x > 3)3)
3,0001 ...3,0001 ... ... 3,53,5 ... ... 44()
()
...... ...... .........
...... .........
3.
3. Buat tabel fungsiBuat tabel fungsi f(x) f(x) berdasarkan tahapan 1-2. berdasarkan tahapan 1-2.
Tabel 3. Nilai pendekatan
Tabel 3. Nilai pendekatan
() ()
untuk setiap nilai untuk setiap nilai
di 3 dan sekitar 3 di 3 dan sekitar 3
22 ...... ...... 2,82,8 ...... 2,99992,9999 ......
...... 3,0001 3,0001 ... ... 3,5 3,5 ...... ...... 44()
()
...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... ... ... ... ...... ...... ......4.
4. Perhatikan hubungPerhatikan hubungan nilai an nilai pendekatan pada tabel dpendekatan pada tabel dengan grafik fungsiengan grafik fungsi f(x) f(x) Gambar 1. Grafik fungsi
Gambar 1. Grafik fungsi Pada tabel dan grafik di samping, terlihat jikaPada tabel dan grafik di samping, terlihat jika memasukkan nilai mendekati 3 dari kiri (nilainya ... dari memasukkan nilai mendekati 3 dari kiri (nilainya ... dari 3) akan menghasilkan nilai
3) akan menghasilkan nilai f(x) f(x) mendekati... dan jika mendekati... dan jika masukkan nilai
masukkan nilai x x mendekati 3 dari kanan (nilainya...dari mendekati 3 dari kanan (nilainya...dari 3) akan menghasilkan nilai
3) akan menghasilkan nilai f(x) f(x) mendekati... Sehingga mendekati... Sehingga diperoleh bahwa jika
diperoleh bahwa jika x x mendekati ... dari kiri maupun kanan, mendekati ... dari kiri maupun kanan, maka fungsi
maka fungsi f(x) f(x) mendekati... mendekati...
5.
5. Jika kata mendekati disimbolkan dengan sebuah panahJika kata mendekati disimbolkan dengan sebuah panah ((
→) →)
maka pernyataan di atas dapat kita tulis: maka pernyataan di atas dapat kita tulis:
→→... dan... dan(2 1 ) (2 1 )
→→............6.
6. ApabilaApabila x x mendekati ... dari kiri maupun kanan maka mengasilkan bilangan.... Kita dapat mendekati ... dari kiri maupun kanan maka mengasilkan bilangan.... Kita dapat mengubah pernyataan ini ke dalam bentuk:
mengubah pernyataan ini ke dalam bentuk:
...→...
...→... ((... ...)) =... =...
SITUASI 1 SITUASI 1
Tuliskan secara Tuliskan secara berurut dari nilai berurut dari nilai x yang terkecil x yang terkecil
Tuliskan secara Tuliskan secara berurut dari nilai berurut dari nilai x yang terkecil x yang terkecil
7.
7. Kita baca: limit Kita baca: limit fungsi ... untukfungsi ... untuk
mendekati ... sama dengan ... mendekati ... sama dengan ...8.
8. Analisa hasil limit kiri dan liAnalisa hasil limit kiri dan limit kanan dari tabel maupun grafik.mit kanan dari tabel maupun grafik.
Limit kiri: dari kiri
Limit kiri: dari kiri x x mendekati 3, nilai limitnya mendekati ... atau mendekati 3, nilai limitnya mendekati ... atau lliimm (...(...)...) ...
...
...
...
...
=
=
−
→ −
→
Limit kanan: dari kanan
Limit kanan: dari kanan xx mendekati 3, nilai limitnya mendekati ... atau mendekati 3, nilai limitnya mendekati ... atau ...
...
...) ...) (...
(...
lliimm
...
...
...
...
=
=
+
→ +
→
Karena nilai limit kiri (
Karena nilai limit kiri ( << / / == / / >> ) nilai limit kanan, maka fungsi ) nilai limit kanan, maka fungsi
(()) = 2 1 = 2 1
untuk x untuk xmendekati 3 (
mendekati 3 (mempunyaimempunyai // tidak mempunyaitidak mempunyai) limit.) limit.
Diketahui fungsi g rasional ditentukan oleh
Diketahui fungsi g rasional ditentukan oleh
(()) = = − − − − , , ≠ ≠ 11
dengan domain dengan domain ==
|| ∈ ℝ ∈ ℝ,, ≠ 1 ≠ 1
. Selidikilah apakah. Selidikilah apakah(()) = = − − − −
untuk untuk
mendekati 1 mempunyai limit mendekati 1 mempunyai limit atau tidak !atau tidak !
Tahap penyelidikan : Tahap penyelidikan : 1.
1. Tentukan nilaiTentukan nilai
(1)
(1)
((11)) = = ⋯⋯
2.
2. Pilihlah sebarang nilaiPilihlah sebarang nilai x x disekitar 1 kemudian subtitusikan kedisekitar 1 kemudian subtitusikan ke
() ()
..Tabel 1. Nilai pendekatan
Tabel 1. Nilai pendekatan
() ()
untuk setiap nilaiuntuk setiap nilai
mendekati 1 dari kiri mendekati 1 dari kiri (yang lebih kecil dari(yang lebih kecil dari 1 atau 1 atau x < x < 1)1)
0 0 ...... ...... ...... 0,90,9 ...... ......()
()
...... ...... .........
...... .........
Tabel 2. Nilai pendekatan
Tabel 2. Nilai pendekatan
() ()
untuk setiap nilaiuntuk setiap nilai
mendekati 1dari kanan mendekati 1dari kanan (yang lebih besar(yang lebih besar dari 1 atau dari 1 atau x > x > 1)1)
... ... ...... 1,11,1 ...... ...... ...... 22()
()
...... ...... .........
...... .........
3.
3. Buat tabel dan grafik fungsiBuat tabel dan grafik fungsi g(x)g(x) berdasarkan tahapan 1-2. berdasarkan tahapan 1-2.
Tabel 3. Nilai pendekatan
Tabel 3. Nilai pendekatan
() ()
untuk setiap nilai untuk setiap nilai
di 1 dan sekitar 1 di 1 dan sekitar 1
00 ...... ...... ...... 0,90,9 ...... ......
...... 1,1 1,1 ... ... ...... ...... 22()
()
...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... ... ... ... ...... ...... ......SITUASI 2 SITUASI 2
Tuliskan secara Tuliskan secara berurut dari nilai berurut dari nilai x yang terkecil x yang terkecil
Tuliskan secara Tuliskan secara berurut dari nilai berurut dari nilai x yang terkecil x yang terkecil
4.
4. Perhatikan hubungPerhatikan hubungan nilai an nilai pendekatan pada tabel dpendekatan pada tabel dengan grafik fungsiengan grafik fungsi g(x)g(x) Gambar 2. Grafik fungsi g(x)
Gambar 2. Grafik fungsi g(x) Pada tabel dan grafik di atas, terlihat nilaiPada tabel dan grafik di atas, terlihat nilai mendekati 1 dari kiri (nilainya ... dari 1) akan mendekati 1 dari kiri (nilainya ... dari 1) akan menghasilkan nilai
menghasilkan nilai g(x)g(x) mendekati... dan masukkan mendekati... dan masukkan nilai
nilai x x mendekati 1 dari kanan (nilainya...dari 1) mendekati 1 dari kanan (nilainya...dari 1) akan menghasilkan nilai
akan menghasilkan nilai g(x)g(x) mendekati... Sehingga mendekati... Sehingga diperoleh bahwa jika
diperoleh bahwa jika x x mendekati ... dari kiri maupun mendekati ... dari kiri maupun kanan, maka fungsi
kanan, maka fungsig(x)g(x) mendekati... mendekati...
5.
5. Jika kata mendekati disimbolkan dengan sebuah panahJika kata mendekati disimbolkan dengan sebuah panah ((
→) →)
maka pernyataan di atas dapat kita tulis: maka pernyataan di atas dapat kita tulis:
→→ ... dan... dan − − − −
→→ ............6.
6. ApabilaApabila x x mendekati ... dari kiri maupun kanan maka mengasilkan bilangan.... Kita dapat mendekati ... dari kiri maupun kanan maka mengasilkan bilangan.... Kita dapat mengubah pernyataan ini ke dalam bentuk :
mengubah pernyataan ini ke dalam bentuk :
...→...
...→... ((... ...)) = ... = ...
Kita baca: limit
Kita baca: limit fungsi ... untukfungsi ... untuk
mendekati ... sama dengan ... mendekati ... sama dengan ...7.
7. Analisa hasil limit kiri dan liAnalisa hasil limit kiri dan limit kanan dari tabel maupun grafik.mit kanan dari tabel maupun grafik.
Limit kiri: dari kiri
Limit kiri: dari kiri x x mendekati 1, nilai limitnya mendekati ... atau mendekati 1, nilai limitnya mendekati ... atau lliimm (...(...)...) ...
...
...
...
...
=
=
−
→ −
→
Limit kanan: dari kanan
Limit kanan: dari kanan xx mendekati 1, nilai limitnya mendekati ... atau mendekati 1, nilai limitnya mendekati ... atau ...
...
...) ...) (...
(...
lliimm
...
...
...
...
=
=
+ +
→
→
Karena nilai limit kiri (
Karena nilai limit kiri (<< / / == / />>) nilai limit kanan, maka fungsi) nilai limit kanan, maka fungsi
(()) = = − − − −
untuk untuk
mendekati 1 (mendekati 1 (mempunyaimempunyai / / tidak mempunyaitidak mempunyai) limit.) limit.Dipunyai fungsi
Dipunyai fungsi hh yang ditentukan olehyang ditentukan oleh
ℎℎ(()) = = 11,, > > 11
, , ≤ ≤ 11
dengan domaindengan domain ==
{{|| ∈ ℝ ∈ ℝ}}
. Selidikilah apakah. Selidikilah apakahℎℎ(()) = = 11,, > 1 > 1
, , ≤ ≤ 11
untukuntuk
mendekati 1 mempunyai mendekati 1 mempunyai limit atau tidak!limit atau tidak!
Tahap penyelidikan:
Tahap penyelidikan:
1.
1. Tentukan nilaiTentukan nilai
ℎ(1) ℎ(1)
ℎℎ((11)) = = ⋯⋯
2.
2. Pilihlah sebarang nilaiPilihlah sebarang nilai x x di sekitar 1 kemudian subtitusikan kedi sekitar 1 kemudian subtitusikan ke
ℎ() ℎ()
..Tabel 1. Nilai pendekatan
Tabel 1. Nilai pendekatan
ℎ() ℎ()
untuk setiap nilaiuntuk setiap nilai
mendekati 1 dari kiri mendekati 1 dari kiri (yang lebih kecil dari(yang lebih kecil dari 1 atau 1 atau x < x < 1)1)
0 0 ...... ...... ...... 0,90,9 ...... ......ℎ()
ℎ()
...... ...... .........
...... .........
Tabel 2. Nilai pendekatan
Tabel 2. Nilai pendekatan
ℎ() ℎ()
untuk setiap nilaiuntuk setiap nilai
mendekati 1 dari kanan mendekati 1 dari kanan SITUASI 3SITUASI 3
Tuliskan secara Tuliskan secara berurut d
berurut dari nilai ari nilai xx yang terkecil yang terkecil
(yang lebih besar
(yang lebih besar dari 1 atau dari 1 atau x > x > 1)1)
... ... 1,11,1 ...... ...... ...... ...... 22ℎ()
ℎ()
...... ...... .........
...... .........
3.
3. Buat tabel dan grafik fungsiBuat tabel dan grafik fungsi h(x)h(x) berdasarkan tahapan 1-2. berdasarkan tahapan 1-2.
Tabel 3. Nilai pendekatan
Tabel 3. Nilai pendekatan
ℎ() ℎ()
untuk setiap nilai untuk setiap nilai
di 1 dan sekitar 1 di 1 dan sekitar 1
...
......
... ... ... ...
......
... ... ... ... ... ... ... ...
ℎ()
ℎ()
...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... ... ... ... ...... ...... ......Gambar 2. Grafik fungsi
Gambar 2. Grafik fungsi
ℎ() ℎ()
Pada tabel dan grafik di samping, terlihat nilaiPada tabel dan grafik di samping, terlihat nilai mendekati 1 dari kiri (nilainya ... dari 1) akan mendekati 1 dari kiri (nilainya ... dari 1) akan menghasilkan nilaimenghasilkan nilai g(x)g(x) mendekati... dan masukkan nilai mendekati... dan masukkan nilai x x mendekati 1 dari kanan (nilainya...dari 1) akan mendekati 1 dari kanan (nilainya...dari 1) akan
menghasilkan nilai
menghasilkan nilai h(x)h(x) mendekati... Sehingga diperoleh mendekati... Sehingga diperoleh bahwa jika
bahwa jika x x mendekati ... dari kiri maupun kanan, maka mendekati ... dari kiri maupun kanan, maka fungsi
fungsi h(x)h(x) mendekati... mendekati...
4.
4. Jika kata mendekati disimbolkan dengan sebuah panahJika kata mendekati disimbolkan dengan sebuah panah ((
→)
→)
maka pernyataan di atas dapat kita tulis:
maka pernyataan di atas dapat kita tulis:
→→... dan... danℎ() ℎ()
→→............5.
5. ApabilaApabila x x mendekati ... dari kiri maupun kanan maka mendekati ... dari kiri maupun kanan maka mengasilkan bilangan.... Kita dapat mengubah mengasilkan bilangan.... Kita dapat mengubah pernyataan ini ke dalam bentuk:
pernyataan ini ke dalam bentuk:
...
...
...) ...) (...
(...
lliimm
...
...
...
...
=
=
→
→
Kita baca: limit fungsi ... untuk
Kita baca: limit fungsi ... untuk
mendekati mendekati ... sama dengan ...... sama dengan ...
6.
6. Analisa hasil limit kiri dan liAnalisa hasil limit kiri dan limit kanan dari tabel maupun grafik.mit kanan dari tabel maupun grafik.
Limit kiri: dari kiri
Limit kiri: dari kiri x x mendekati 1, nilai limitnya mendekati ... atau mendekati 1, nilai limitnya mendekati ... atau lliimm (...(...)...) ...
...
...
...
...
=
=
−
→ −
→
Limit kanan: dari kanan
Limit kanan: dari kanan xx mendekati 1, nilai limitnya mendekati ... atau mendekati 1, nilai limitnya mendekati ... atau ...
...
...) ...) (...
(...
lliimm
...
...
...
...
=
=
+ +
→
→
Karena nilai limit kiri (
Karena nilai limit kiri (<< / / == / / >>) ) nilai limnilai limit kanan, it kanan, maka maka fungsifungsi
ℎℎ(()) = = 11,, > , , ≤ > 11 ≤ 11
untukuntuk
mendekati 1 (mendekati 1 (mempunyaimempunyai / / tidak mempunyaitidak mempunyai) limit.) limit.Tuliskan secara Tuliskan secara berurut dari nilai berurut dari nilai x yang terkecil x yang terkecil
1.
1. Definisi/Pengertian dari limit fungsi aljabar:Definisi/Pengertian dari limit fungsi aljabar:
Misalkan f adalah sebuah fungsi
Misalkan f adalah sebuah fungsi
∶ ℝ ∶ ℝ → ℝ → ℝ
; L dan ; L dan ∈ ℝ ∈ ℝ
. Maka:. Maka:L L x x f f
a a x x
=
=
→
→ (( ))
lliimm jika dan hanya jika ... jika dan hanya jika ...
2.
2. Suatu fungsiSuatu fungsi
() ()
untuk x mendekati untuk x mendekati
dikatakan menpunyai limit jika ... dikatakan menpunyai limit jika ...dan
dan ...
AYO MENYIMPULKAN AYO MENYIMPULKAN
1.
1. Definisi limit fungsi aljabar di suatu titikDefinisi limit fungsi aljabar di suatu titik
2.
2. Suatu fungsi dikatakan memiliki nilai limit di titikSuatu fungsi dikatakan memiliki nilai limit di titik x x jika: jika:
Waktu:
Waktu:
20 menit 20 menit SIFAT-SIFAT LIMIT FUNGSI DI SUATU TITIK
SIFAT-SIFAT LIMIT FUNGSI DI SUATU TITIK Satuan
Satuan Pendidikan Pendidikan : SMA: SMA Mata
Mata Pelajaran Pelajaran : : MatematikaMatematika Wajib
Wajib Kelas/Semester
Kelas/Semester : : XI/GenapXI/Genap
Anggota Kelompok:
Anggota Kelompok:
1.
1. ...
2.
2. ...
3.
3.
...
4.
4. ...
Tujuan:
Tujuan:
Melalui pengerjaan LKPD 2 ini,
Melalui pengerjaan LKPD 2 ini, siswa diharapkan dapat menemukan sifat-sifat limit fungsisiswa diharapkan dapat menemukan sifat-sifat limit fungsi aljabar di suatu titik
aljabar di suatu titik secara intuitif.secara intuitif.
Petunjuk:
Petunjuk:
1.
1. Awali dan akhiri kegiatan pengerjaan LKPD ini dengan doa.Awali dan akhiri kegiatan pengerjaan LKPD ini dengan doa.
2.
2. Isilah titik-titik/jawablah pertanyaan bertahap untuk menemukan suatu hal baru.Isilah titik-titik/jawablah pertanyaan bertahap untuk menemukan suatu hal baru.
3.
3. Gunakan literatur dari buku Gunakan literatur dari buku maupun internet.maupun internet.
4.
4. Kerjakan dalam diskusi kelompok.Kerjakan dalam diskusi kelompok.
Mari ingat kembali tentang definisi dan eksistensi limit fungsi aljabar di suatu titik Mari ingat kembali tentang definisi dan eksistensi limit fungsi aljabar di suatu titik
LEMBAR KEGIATAN PESERTA DIDIK (LKPD 2)
LEMBAR KEGIATAN PESERTA DIDIK (LKPD 2)
KEGIATAN 2
KEGIATAN 2
(Sifat-sifat limit fungsi aljabar secara intuitif)(Sifat-sifat limit fungsi aljabar secara intuitif)
(Limit fungsi konstan) (Limit fungsi konstan)
Diketahui fungsi konstan f, g, dan
Diketahui fungsi konstan f, g, dan h ditentukan olehh ditentukan oleh
(()) = = 2, 2, (()) = 3, = 3, ℎ ℎ(()) = = 15 15
..1.
1. Isilah nilai fungsi untuk setiap x yang diberikan.Isilah nilai fungsi untuk setiap x yang diberikan.
Nilai
Nilai
(()) = = 22
untuk sebaranuntuk sebaran x x sekitar 3 sekitar 3
22
2,2 2,2
2,5 2,5
2,9 2,9
2,99 2,99
2,999 2,999
...
33
...
3,001 3,001
3,01 3,01
3,1 3,1
3,5 3,5
44
(()) = = 22
...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......Nilai
Nilai
(()) = = 3 3
untuk sebaranuntuk sebaran x x sekitar 4 sekitar 4
33
3,2 3,2
3,5 3,5
3,9 3,9
3,99 3,99
3,999 3,999
...
4 4
...
4,001 4,001
4,01 4,01
4,1 4,1
4,5 4,5
55
(()) = 1 = 1
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...Nilai
Nilai
ℎℎ(()) = 15 = 15
untuk sebaranuntuk sebaran
sekitar -3sekitar -3
4 4
3,9 3,9
3,5 3,5
3,1 3,1
3,001 3,001
...
3 3
...
2,99 2,99
2,8 2,8
2,5 2,5
2,1 2,1
2,01 2,01
2 2
ℎℎ(()) = 10 = 10
...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.
2. Amatilah baris nilai fungsi, apakah adaAmatilah baris nilai fungsi, apakah ada nilai fungsi yang muncul dan dekat nilai fungsi yang muncul dan dekat dengan nilai tertentu selain nilai dengan nilai tertentu selain nilai konstan?
konstan?
3.
3. Nyatakan Nyatakan pendekatan pendekatan nilai nilai f(x) f(x) konstankonstan untuk setiap sebaran x menggunakan untuk setiap sebaran x menggunakan notasi limit.
notasi limit.
(i)
(i)
lim lim → → 2 = 2 =
......(ii)
(ii)
lim lim → → ((……)) = =
... ...(iii) (iii) ........
4.
4. Jadi,Jadi,
ikaika() () = =
konstan, c konstan, c∈ ∈ ℝℝ
, serta, sertax mendekati c maka notasi limit x mendekati c maka notasi limit
konstan dituliskan ...konstan dituliskan ...(Sifat 1).
(Sifat 1).
1.
1. Diketahui fungsi f(x) = x dan x mendekati 4, 2, dan -6. Lengkapilah tabel berikut!Diketahui fungsi f(x) = x dan x mendekati 4, 2, dan -6. Lengkapilah tabel berikut!
Nilai limit untuk f(x) untuk sebaran nilai x
Nilai limit untuk f(x) untuk sebaran nilai x di sekitar 4di sekitar 4
3,3 3,3
2,5 2,5
... ... ... ...
...
44
...
... ... ... ...
3,5 3,5
44
()
()
...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......Sebaran x Sebaran x Sebaran x
Sebaran x
() ()
Sifat 1 Sifat 1
Sifat 2
Sifat 2
Nilai limit untuk f(x) untuk sebaran nilai x di sekitar 2 Nilai limit untuk f(x) untuk sebaran nilai x di sekitar 2
1,3 1,3
1,5 1,5
...... ...... ...... .........
22
...
...... ...... ...... ......2,8 2,8
33()
()
...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......Nilai limit untuk f(x) untuk sebaran nilai x di sekitar -6 Nilai limit untuk f(x) untuk sebaran nilai x di sekitar -6
6,8 6,8
6,5 6,5
6,1 6,1
...... .........
6 6
...... ...... ......5,99 5,99
5,5 5,5
5 5
()
()
...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......2.
2. matilah nilai f(x) untuk setiap nilaimatilah nilai f(x) untuk setiap nilai mendekati
mendekatix atau x atau x → x → c, apakah c, apakah ada nilaiada nilai f(x) mendekati suatu bilangan selain c itu f(x) mendekati suatu bilangan selain c itu sendiri
sendiri ? ? .... .... mengapa?mengapa?
...
...
3.
3. Nyatakan Nyatakan pendekatan pendekatan nilai nilai f(x) f(x) = = x x untukuntuk setiap
setiap sebaran sebaran x x menggunakan menggunakan notasinotasi limit.
limit.
i) i)
lim lim
→
→ ==
....
....
ii)
ii)
→ → lim lim … = … =
.. ... ...iii) iii)
.. ... ...
4.
4. Secara induktif, untuk setiap nilai xSecara induktif, untuk setiap nilai x mendekati bilangan c, maka nilai f(x) mendekati bilangan c, maka nilai f(x) mendekati f(c) = c,
mendekati f(c) = c, ditulis ...ditulis ...
(Sifat 2) (Sifat 2)
1.
1. Lengkapilah perhitungan numerik 2f(x), 3f(x), -f(x) untuk nilai x disekitar 3Lengkapilah perhitungan numerik 2f(x), 3f(x), -f(x) untuk nilai x disekitar 3
2,5 2,5
2,7 2,7
2,9 2,9
2,99 2,99
2,999 2,999
...
33
...
3,001 3,001
3,01 3,01
3,1 3,1
3,5 3,5
3,8 3,8
(()) = =
...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......2
2(()) = = 2 2
...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......3
3(()) = = 3 3
...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......
(()) = =
...... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...2.
2. Amatilah baris satu s.d empat yang menunjukan nilai pendekatan f(x) untuk x→3.Amatilah baris satu s.d empat yang menunjukan nilai pendekatan f(x) untuk x→3.
3.
3. Nampak nilai pendekatan 2f(x) adalah ... kali lipat nilai pendekatan f(x), Nampak nilai pendekatan 2f(x) adalah ... kali lipat nilai pendekatan f(x), Nampak nilai pendekatan 3f(x) adalah ... kali lipat nilai pendekatan f(x), Nampak nilai pendekatan 3f(x) adalah ... kali lipat nilai pendekatan f(x), Nampak nilai pendekatan -f(x) adalah ... kali lipat nilai pendekatan f(x), Nampak nilai pendekatan -f(x) adalah ... kali lipat nilai pendekatan f(x),
Gambarkan grafik fungsi
Gambarkan grafik fungsi f fdi sinidi sini
Sifat 3
Sifat 3
4.
4. Tuliskan menggunakan notasi limitTuliskan menggunakan notasi limit
lim
⟶ lim
⟶ 2 2(()) = =
2 2……
lim
⟶ lim
⟶ 3 3(()) = =
.... ....lim
⟶ lim
⟶ (()) = =
.... ....Sehingga, secara induktif dapat dikatakan
Sehingga, secara induktif dapat dikatakan
→ → lim lim .() = ... lim .() = ... lim → → () ()
,, ∈ ℝ ∈ ℝ
(Sifat 3) (Sifat 3)1.
1. Diketahui fungsiDiketahui fungsi
(()) = =
,,(()) = 2, = 2,
lengkapilah nilai fungsiberdasarkan sebaran lengkapilah nilai fungsiberdasarkan sebaran nilainilai x x di sekitar 1 di tabel berikut. di sekitar 1 di tabel berikut.
0,2 0,2
0,5 0,5
0,9 0,9
0,99 0,99
0,999 0,999
...
11
...
1,001 1,001
1,01 1,01
1,1 1,1
1,5 1,5
1,8 1,8
(()) = = 22
...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......(()) = 2 = 2
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... (()) ( () )
...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......2.
2. Amatilah nilai limit dari masing-masing fungsi f(x), g(x), dan f(x)+g(x)Amatilah nilai limit dari masing-masing fungsi f(x), g(x), dan f(x)+g(x) 3.
3. Apakah limit f(x)+g(x) menyatakan penjumlahan dari limit f(x) dan limit g(x)? ....Apakah limit f(x)+g(x) menyatakan penjumlahan dari limit f(x) dan limit g(x)? ....
4.
4. Nampak bahwa (i) Nampak bahwa (i)
⟶ ⟶ lim lim (()) = lim = lim ⟶ ⟶ = =
.... ....(ii)
(ii)
⟶ ⟶ lim lim (()) =……….= =……….=
.... ....(iii)
(iii)
⟶ ⟶ lim lim (((()) (())) = lim ) = lim ⟶ ⟶ (( 2 2) = ) =
.... ....5.
5. Berdasarkan fakta tersebut, ditulisBerdasarkan fakta tersebut, ditulis
⟶ ⟶ lim lim (((()) (())) = lim ) = lim ⟶ ⟶ (( 22) )
==
... + ... + ...==
... + ... + ...6.
6.
Secara induktif dapat dituliskanSecara induktif dapat dituliskan
lim lim
⟶
⟶ (((()) (())) = ) =
... ... (Sifat .... (Sifat 4).4).1.
1. Bagaimana sifat limit penjumlahan denganBagaimana sifat limit penjumlahan dengan
(())
negatif atau negatif atau (())
??2.
2.
⟶ ⟶ lim lim [[ (()) ( ((())))]] = =
... ... ... (sifat 4)(sifat 4)lim
⟶ lim
⟶ [[ (()) (()])] ==
... . (sifat 3(sifat 3))==
...Jadi, Jadi,
lim lim
⟶
⟶ [[ (()) (()])] = =
...(Sifat (Sifat 5)5)Sifat 4 Sifat 4
Sifat 5
Sifat 5
1.
1. Dipunyai fungsiDipunyai fungsi
(()) = =
dan dan(()) = 2 1 = 2 1
, serta sebaran nilai, serta sebaran nilai x x di sekitar 2 yang di sekitar 2 yang ditampilkan melalui tabel berikut. Lengkapilah nilai fungsi f(x), g(x), dan f(x).g(x)!ditampilkan melalui tabel berikut. Lengkapilah nilai fungsi f(x), g(x), dan f(x).g(x)!
1,7 1,7
1,8 1,8
1,9 1,9
1,99 1,99
1,999 1,999
...
22...
2,001 2,001
2,01 2,01
2,1 2,1
2,2 2,2
2,3 2,3
(()) = =
...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......(()) = 2 1 = 2 1
...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... (()).() .()
...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......2.
2. Amatilah pendekatan setiap nilai fungsiAmatilah pendekatan setiap nilai fungsi f, g, f, g, dan ( dan ( f.g f.g) untuk) untuk
→ 2 → 2
3.
3. Operasi apa yang menyatakan hubungan limit f(x) dan g(x) terhadap limit fungsiOperasi apa yang menyatakan hubungan limit f(x) dan g(x) terhadap limit fungsi f(x).g(x)?
f(x).g(x)?
4.
4. Nampak bahwa (i) Nampak bahwa (i)
⟶ ⟶ lim lim (()) = lim = lim ⟶ ⟶ ==
... ...(ii)
(ii)
⟶ ⟶ lim lim (()) = lim = lim ⟶ ⟶
.... = ... = ....(iii) (iii)
lim lim
⟶
⟶ (((())..(())) = lim ) = lim ⟶ ⟶
... ( ... ) = ...
... ( ... ) = ...
5.
5. Sehingga dari fakta tersebut, ditulisSehingga dari fakta tersebut, ditulis
⟶ ⟶ lim lim (((())..(())) = ) =
...= lim
= lim ⟶ ⟶ … . lim … . lim ⟶ ⟶ ( ( …… ………) …)
= lim
= lim ⟶ ⟶ ……... l. liimm ⟶ ⟶ ( ( …… …… …) …)
Secara induktif dapat dituliskan
Secara induktif dapat dituliskan
⟶ ⟶ lim lim (((())..(())) = ) =
...(Sifat 6). ...(Sifat 6).1.
1. Dipunyai fungsiDipunyai fungsi
(()) = 4 2 = 4 2
,,(()) = 2 1 = 2 1
, serta sebaran nilai, serta sebaran nilai x x di sekitar 1 yang di sekitar 1 yang ditampilkan melalui tabel berikut. Lengkapilah nilai fungsi f(x), g(x), danditampilkan melalui tabel berikut. Lengkapilah nilai fungsi f(x), g(x), dan
() ()
()
()
!!
0,7 0,7
0,8 0,8
0,9 0,9
0,99 0,99
0,999 0,999
...
11...
1,001 1,001
1,01 1,01
1,1 1,1
1,2 1,2
1,3 1,3
(()) = 4 = 4 22
...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......(()) = 1 = 1
...... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... (())
()
()
...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......Sifat 6 Sifat 6
Sifat 7
Sifat 7
2.
2. Amatilah pendekatan setiap nilai fungsiAmatilah pendekatan setiap nilai fungsi f, g, f, g, dan dan
untuk untuk → → 11
3.
3. Operasi apa yang menyatakan hubungan limit f(x) dan g(x) terhadap limit fungsiOperasi apa yang menyatakan hubungan limit f(x) dan g(x) terhadap limit fungsi
() ()
()
()
??4.
4. Nampak bahwa (i) Nampak bahwa (i)
⟶ ⟶ lim lim (()) = lim = lim ⟶ ⟶
.... = ... = ....(ii)
(ii)
⟶ ⟶ lim lim (()) = lim = lim ⟶ ⟶
.... = ... = ....(iii)
(iii)
⟶ ⟶ lim lim () () () () = lim = lim ⟶ ⟶ …… ……
= .... = ....5.
5. Sehingga dari fakta tersebut, ditulisSehingga dari fakta tersebut, ditulis
lim lim
⟶
⟶
() ()
()
()
= lim = lim
⟶
⟶
………. ……….
……….
……….
== lim lim lim ⟶1 ⟶1 lim ……. …….
⟶1
⟶1 ……… ………
== ………….. ………….. …………. ………….
..6.
6. Secara induktif dapat dituliskanSecara induktif dapat dituliskan
⟶ ⟶ lim lim () () () () = =
... ... (Sifat 7).(Sifat 7).lim
⟶ lim
⟶ [[ (()])] = lim = lim ⟶ ⟶
[ ...[ ... ... ] (gunakan konsep eksponen)] (gunakan konsep eksponen) nn
==
... ... ... (gunakan sifat 6)(gunakan sifat 6) n==
[ [ ... ... ]]nn n Jadi,Jadi,
⟶ ⟶ lim lim [[ (()])] = =
... ...Sifat 8
Sifat 8
Misalkan
Misalkan () () ,, () () adalah fungsi yang mempunyai limit pada x mendekati adalah fungsi yang mempunyai limit pada x mendekati cc ,, dengan
dengan kk dan dan cc adalah bilangan real serta adalah bilangan real serta n n adalah bilangan bulat positif, maka adalah bilangan bulat positif, maka berlaku sifat-sifat limit
berlaku sifat-sifat limit ::
1.
1. ⟶ ⟶ lim lim == ……… ………
2.
2. ⟶ ⟶ lim lim == ………. ……….
3.
3. ⟶ ⟶ lim lim [[ ∙ () ∙ ()]] = = ……….. ………..
4.
4. ⟶ ⟶ lim lim [[ () () ±± () ()]] = = ………... ………...
5.
5. ⟶ ⟶ lim lim [[ () () ∙ () ∙ ()]] = = ……….. ………..
6.
6. ⟶ ⟶ lim lim () () () () = = ………. ………. dengan dengan ……….. ……….. ≠ 0 ≠ 0
7.
7.
lim lim
⟶
⟶ [[ () ()]] = = ……….. ………..
8.
8. lim lim () () == ……… ………
AYO MENYIMPULKAN AYO MENYIMPULKAN
Prasyarat 1 Prasyarat 1
Faktorkanlah bentuk-bentuk berikut!
Faktorkanlah bentuk-bentuk berikut!
1.
1.
1 1
2.
2.
2 8 2 8
3.
3.
8 15 8 15
4.
4.
2
2 33 11
5.
5.
3 3 55 22
Jawab:
Jawab:
1.
1. …… 2.
2. …… 3.
3.
… …
4.
4.
… …
5.
5.
… …
Prasyarat 2 Prasyarat 2
Tentukanlah bentuk sekawan dari bentuk- Tentukanlah bentuk sekawan dari bentuk- bentuk berikut!
bentuk berikut!
1.
1.
√ √ 22
2.
2.
√ √ 33 √ √ 55
3.
3.
√ √ 22 √ √ 99
4.
4.
√ √ 11 √ √ 2 5 2 5
5.
5.
√ √ 99 √ √ 7 7
Jawab:
Jawab:
1.
1.
… …
2.
2.
… …
3.
3.
… …
4.
4.
… …
5.
5.
… …
Waktu:
Waktu:
20 menit 20 menit MENENTUKAN NILAI LIMIT FUNGSI DI SUATU TITIK MENENTUKAN NILAI LIMIT FUNGSI DI SUATU TITIK Satuan
Satuan Pendidikan Pendidikan : SMA: SMA Mata
Mata Pelajaran Pelajaran : : MatematikaMatematika Wajib
Wajib Kelas/Semester
Kelas/Semester : : XI/GenapXI/Genap
Anggota Kelompok:
Anggota Kelompok:
1.
1. ...
2.
2. ...
3.
3.
...
...
4.
4. ...
Tujuan:
Tujuan:
Melalui pengerjaan LKPD 3 ini,
Melalui pengerjaan LKPD 3 ini, siswa diharapkan dapat menentukan limit fungsi aljabar siswa diharapkan dapat menentukan limit fungsi aljabar dengandengan strategi subtitusi
strategi subtitusi langsung, pemfaktoran, dan pendekatan sekawan.langsung, pemfaktoran, dan pendekatan sekawan.
Petunjuk:
Petunjuk:
1.
1. Awali dan akhiri kegiatan pengerjaan LKPD 3 ini dengan doa.Awali dan akhiri kegiatan pengerjaan LKPD 3 ini dengan doa.
2.
2. Isilah titik-titik/jawablah pertanyaan bertahap untuk menemukan suatu hal baru.Isilah titik-titik/jawablah pertanyaan bertahap untuk menemukan suatu hal baru.
3.
3. Gunakan literatur dari buku Gunakan literatur dari buku maupun internet.maupun internet.
4.
4. Kerjakan dalam diskusi kelompok.Kerjakan dalam diskusi kelompok.
Mari ingat kembali tentang pemfaktoran dan bentuk akar!
Mari ingat kembali tentang pemfaktoran dan bentuk akar!
LEMBAR KEGIATAN PESERTA DIDIK (LKPD 3)
LEMBAR KEGIATAN PESERTA DIDIK (LKPD 3)
Masalah 1 Masalah 1
Amatilah arah terbang dua ekor burung Amatilah arah terbang dua ekor burung menuju sangkar dari arah yang berbeda.
menuju sangkar dari arah yang berbeda.
Jika jejak kedua burung terbang tersebut Jika jejak kedua burung terbang tersebut identik dengan lintasan parabola identik dengan lintasan parabola
(()) = = 4 4
. . Jarak Jarak kedua kedua ekorekorburung semakin
burung semakin dekat dekat ke ke sangkar adalsangkar adalah ah 22 meter. Berapakah tinggi burung pada saat meter. Berapakah tinggi burung pada saat tiba dalam sangkar tersebut ?
tiba dalam sangkar tersebut ?
Penyelesaian:
Penyelesaian:
Diketahui:
Diketahui:
Lintasan terbang burung = Lintasan terbang burung =
……
Jarak kedua ekor burung semakin dekat ke sangkar = ...
Jarak kedua ekor burung semakin dekat ke sangkar = ...
Ditanya: tinggi burung pada saat tiba dalam sangkar (...)?
Ditanya: tinggi burung pada saat tiba dalam sangkar (...)?
Jawab:
Jawab:
(
( )
......)
44( ( ))
.........
...
)) ((
lliimm 22
...
...
+ +
=
=
→
→
x x f
x f
x
...
...
...
...
++=
=
KEGIATAN 1 ( Menentukan nilai limit fungsi aljabar dengan subtitusi ) KEGIATAN 1 ( Menentukan nilai limit fungsi aljabar dengan subtitusi )
Secara umum bentuk limit ditulis
Secara umum bentuk limit ditulis lliimm f f (( x x)) f f ((aa))
a a x x
=
=
→
→
Jika
Jika
() () = =
, maka, maka x x aa f f
