LK 0.1 Modul 3 - Kalkulus dan Trigonometri (Suci Nabilah Ulfah)

(1)

LK 0.1 : Lembar Kerja Belajar Mandiri Nama : Suci Nabilah Ulfah

Judul Modul MODUL 3

KALKULUS DAN TRIGONOMETRI Judul Kegiatan

Belajar (KB)

1. KB 1. FUNGSI TRIGONOMETRI

2. KB 2. FUNGSI, JENIS FUNGSI, DAN LIMIT FUNGSI 3. KB 3. TURUNAN DAN APLIKASI TURUNAN

4. KB 4. ANTITURUNAN, INTEGRAL, DAN APLIKASI INTEGRAL

N o

Butir Refleksi Respon/Jawaban 1 Garis besar materi

yang dipelajari

KB 1. FUNGSI TRIGONOMETRI 1. Identitas Fungsi Trigonometri

a. Definisi Dasar Nilai Fungsi Trigonometri

b. Aturan Sinus dan Cosinus 1) Aturan sinus

2) Aturan cosinus

c. Periode dan Amplitudo Fungsi Trigonometri a. Periode

Sebuah fungsi 𝑓 dikatakan periodik jika terdapat sebuah bilangan positif 𝑝 sehingga 𝑓(𝑥 + 𝑝) = 𝑓 (𝑥) ∀𝑥∈𝐷𝑓. Nilai 𝑝 terkecil disebut periode.

b. Amplitudo

Jika suatu fungsi periodik 𝑓 mencapai sebuah minimum dan maksimum maka kita dapat mendefinisikan Amplitudo (𝑨) sebagai setengah jarak vertikal dari titik maksimum dan minimum pada grafik 𝑓.

2. Invers Fungsi Trigonometri

Syarat cukup suatu fungsi mempunyai invers adalah fungsi tersebut injektif (satu-satu).

Teorema 1.5

Jika 𝑓 merupakan fungsi yang benar-benar monoton naik atau turun pada domainnya maka 𝑓 mempunyai invers.

a. Invers Fungsi Sinus

(2)

b. Invers Fungsi Cosinus

c. Invers Fungsi Tan

d. Identitas Invers Fungsi Trigonometri

3. Rumus Jumlah dan Selisih Fungsi Trigonometri a. Identitas Jumlah dan Selisih Sudut

b. Identitas Sudut Ganda

c. Identitas Setengah Sudut

d. Identitas Jumlah Fungsi Trigonometri

e. Identitas Perkalian Fungsi Trigonometri

KB 2. FUNGSI, JENIS FUNGSI, DAN LIMIT FUNGSI 1. Fungsi, Jenis Fungsi dan Operasi pada Fungsi

a. Pengertian Fungsi

Dipunyai himpunan 𝐴 dan 𝐵. Suatu fungsi 𝑓 dari himpunan 𝐴 ke 𝐵 merupakan pasangan terurut 𝑓⊂ 𝐴 × 𝐵 sedemikian sehingga memenuhi:

(3)

b. Jenis Fungsi

1) Jenis fungsi yang diklasifikasikan menurut sifatnya

a) Fungsi injektif b) Fungsi surjektif c) Fungsi bijektif

2) Jenis fungsi yang diklasifikasikan menurut sifat kemonotonannya

a) Fungsi naik b) Fungsi turun 3) Jenis fungsi aljabar

a) Fungsi polinomial b) Fungsi rasional c) Fungsi irrasional 4) Jenis fungsi transenden

a) Fungsi trigonometri

b) Fungsi invers trigonometri (siklometri) c) Fungsi logaritma asli

d) Fungsi eksponensial e) Fungsi hiperboliks 5) Jenis fungsi khusus

a) Fungsi dengan nilai mutlak (modulus) b) Fungsi ganjil/genap

c) Fungsi periodik d) Fungsi tangga e) Dll

c. Operasi pada Fungsi

Suatu cara untuk membangun suatu fungsi baru adalah dengan menjumlah, mengurangi, mengalikan, atau membagi fungsi-fungsi yang diketahui.

2. Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

Kadang-kadang dua fungsi digabung tidak menggunakan operasi-operasi aljabar yang telah dikenal, akan tetapi dengan cara fungsi kedua didefinisikan pada daerah hasil fungsi pertama. Fungsi yang dihasilkan dengan cara ini dinamakan fungsi komposisi.

3. Limit Fungsi

a. Barisan dan Limit Barisan

Barisan adalah suatu fungsi yang domainnya adalah himpunan bilangan bulat positif atau bilangan asli ( 𝑁) atau himpunan bagiannya.

b. Limit Fungsi Nilai lim lim

x → c f(x)₌_𝐿 maksudnya adalah jika 𝑥 mendekati tetapi tidak sama dengan 𝑐, maka 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿.

c. Limit Fungsi Trigonometri 1) Teorema 2.8

(4)

2) Teorema 2.9

3) Teorema 2.10

4. Limit Sepihak

Limit kiri atau limit kanan suatu fungsi di suatu titik dinamakan limit sepihak.

a. Definisi Limit Kanan

b. Definisi Limit Kiri

5. Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga a. Limit Tak Hingga

b. Limit di Tak Hingga 6. Kekontinuan Fungsi

a. Definisi Kekontinuan Fungsi

Dipunyai fungsi f:I → R, dan c∈I. Fungsi f dikatakan kontinu di titik c jika dan hanya jika limx → c f(x)=f(c).

b. Syarat Fungsi Dikatakan Kontinu

KB 3. TURUNAN DAN APLIKASI TURUNAN 1. Definisi dan Rumus-rumus Turunan Fungsi

a. Definisi Turunan

b. Teorema-teorema Turunan 1) Turunan dari fungsi konstan

(5)

2) Turunan dari penjumlahan dan perkalian fungsi dengan konstanta

3) Turunan dari perkalian dan pembagian fungsi

4) Turunan dari xⁿ

5) Turunan dari fungsi trigonometri

c. Aturan Rantai

Aturan rantai didasari dari turunan fungsi komposisi.

2. Turunan Fungsi Implisit dan Fungsi Invers a. Turunan Fungsi Implisit

Menentukan turunan dari 𝑦 dari suatu fungsi implisit dilakukan dengan melakukan proses penurunan pada kedua ruas dan gunakan teorema turunan yang sesuai.

b. Turunan Fungsi Invers

Syarat suatu fungsi mempunyai invers adalah fungsi tersebut adalah fungsi injektif dan domain dari fungsi inversnya adalah Range dari fungsi semula.

3. Aplikasi Turunan a. Nilai Ekstrim

(6)

b. Kemonotonan Grafik Fungsi

c. Kecekungan Grafik Fungsi

d. Masalah Maksimum dan Minimum

KB 4. ANTITURUNAN, INTEGRAL, DAN APLIKASI INTEGRAL

1. Antiturunan

a. Konsep Antiturunan

Antiturunan merupakan balikan dari turunan.

Proses mencari antiturunan fungsi disebut juga dengan pengintegralan tak tentu.

Definisi antiturunan. Dipunyai F:I → Rdan f:I → R . Jika F^'(x)=f(x) untuk setiap x∈Imaka F disebut suat antiturunan f pada selang I.

b. Teorema Penggantian dan Integral Parsial 1) Penggantian

Teorema penggantian merupakan balikan dari aturan rantai dalam materi turunan yang didasari dari turunan fungsi kompisisi.

2) Integral parsial

c. Teknik Pengintegralan

1) Diperoleh dari Turunan Maupun Integral 2) Integral Fungsi Trigonometri

3) Integral Fungsi Rasional 2. Notasi Sigma dan Jumlah Riemann

a. Deret dan Notasi Sigma

Deret dan notasi sigma sebelum membahas tentang jumlah Riemann hingga integral tertentu. Teorema yang sering digunakan, khususnya dalam perhitungan integral tertentu melalui limit jumlah Riemann.

b. Jumlah Riemann

(7)

3. Integral Tertentu a. Integral Tertentu

Integral tertentu sebagai limit jumlah Riemann.

b. Teorema-teorema Integral Tertentu

Definisi integral tertentu dari fungsi 𝑓 pada selang [ 𝑎, 𝑏] dapat diperluas untuk kasus 𝑏 = 𝑎 atau 𝑎 > 𝑏 y ang didefinisikan sebagai berikut.

4. Aplikasi Integral

a. Luas Daerah pada Bidang Datar

1) Dipunyai D adalah daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi 𝑓 dengan 𝑓(𝑥) ≥ 0 untuk semua 𝑥∈ [𝑎, 𝑏], 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, dan sumbu X. Jika L adalah luas daerah D, maka L=

∫

a b

f(x)dx

2) Dipunyai D adalah daerah yang dibatasi dua grafik fungsi 𝑓 dan 𝑔 dengan 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) untuk semua 𝑥∈ [𝑎, 𝑏], 𝑥 = 𝑎, dan 𝑥 = 𝑏. Jika L adalah luas daerah D, maka L=

∫

a

b

[

^f⁽^x⁾⁻^g⁽^x⁾

]

^dx

b. Volume Benda Putar 1) Metode Cakram

Dipunyai fungsi f kontinu pada selang [𝑎, 𝑏].

Misalkan daerah D dibatasi oleh grafik 𝑓, sumbu 𝑋, 𝑥 = 𝑎, dan 𝑥 = 𝑏 diputar dengan poros sumbu 𝑋 akan membangun suatu benda putar.

2) Metode Cincin

Misalkan daerah D dibatasi oleh grafik fungsi 𝑔 dan ℎ dengan 𝑔(𝑥) ≥ ℎ(𝑥) pada [𝑎, 𝑏], 𝑥 = 𝑎, dan 𝑥 = 𝑏. Akan ditentukan volume benda yang terjadi jika daerah D diputar terhadap sumbu 𝑋. 3) Metode Sel Silinder (Kulit Tabung)

Dipunyai daerah 𝐷 yang dibatasi grafik fungsi kontinu 𝑓 dengan 𝑓(𝑥) ≥ 0 pada selang [𝑎, 𝑏], garis 𝑥 = 𝑎, garis 𝑥 = 𝑏, dan sumbu 𝑋. Akan ditentukan volume benda yang terjadi jika daerah 𝐷 diputar terhadap sumbu Y.

(8)

c. Panjang Busur Suatu Grafik Fungsi

Dipunyai fungsi 𝑓 kontinu pada selang [𝑎, 𝑏]. Akan dihitung panjang busur grafik 𝑓 dari titik (𝑎, 𝑓(𝑎)) sampai titik (𝑏, 𝑓(𝑏)).

d. Luas Permukaan Benda Putar

Dipunyai D adalah daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi kontinu 𝑓 pada selang [𝑎, 𝑏] diputar mengelilingi sumbu 𝑋. Akan dihitung luas permukaan benda yang terjadi.

2 Daftar materi yang sulit dipahami di modul ini

KB 1. FUNGSI TRIGONOMETRI 1. Membuat grafik fungsi trigonometri

2. Menerapkan konsep trigonometri pada masalah konstektual

KB 2. FUNGSI, JENIS FUNGSI, DAN LIMIT FUNGSI 1. Menentukan limit fungsi trigonometri

2. Memahami kekontinuan fungsi

KB 3. TURUNAN DAN APLIKASI TURUNAN 1. Memahami turunan fungsi dan fungsi invers 2. Menerapkan aplikasi turunan

1. Memahami integral parsial

2. Menerapkan metode aplikasi integral pada volume benda putar

3 Daftar materi yang sering mengalami miskonsepsi

KB 1. FUNGSI TRIGONOMETRI 1. Grafik Fungsi Trigonometri

2. Konsep Trigonometri pada Masalah Konstektual KB 2. FUNGSI, JENIS FUNGSI, DAN LIMIT FUNGSI 1. Limit Fungsi Trigonometri

KB 3. TURUNAN DAN APLIKASI TURUNAN 1. Turunan Fungsi dan Fungsi Invers

2. Aplikasi Turunan

1. Integral Parsial

2. Metode Aplikasi Integral pada Volume Benda Putar