LK 0.1 Modul 4 - Kombinatorika dan Statistika (Suci Nabilah Ulfah)

(1)

LK 0.1: Lembar Kerja Belajar Mandiri Nama: Suci Nabilah Ulfah

Judul Modul MODUL 4

KOMBINATORIKA DAN STATISTIKA

Judul Kegiatan Belajar (KB) 1. KB 1. KAIDAH PENCACAHAN, PERMUTASI DAN KOMBINASI

2. KB 2. TEORI PELUANG

3. KB 3. UKURAN PEMUSATAN DAN UKURAN PENYEBARAN

4. KB 4. PEMBELAJARAN KOMBINATORIKA DAN STATISTIKA

N o

Butir Refleksi Respon/Jawaban 1 Garis besar materi yang

dipelajari

KB 1. KAIDAH PENCACAHAN, PERMUTASI DAN KOMBINASI

1. Kaidah Pencacahan dan Penjabaran Binom Newton

a. Aturan Pengisian Tempat (filling slots)

Misalkan ada 𝑛 tempat tersedia dengan 𝑘1 adalah banyaknya cara mengisi tempat pertama, 𝑘2 adalah banyaknya cara mengisi tempat kedua, dan seterusnya hingga 𝑘𝑛 adalah banyaknya cara mengisi tempat ke-𝑛. Maka banyaknya cara mengisi tempat adalah 𝑘1 × 𝑘2 × 𝑘3 × … × 𝑘𝑛. Cara ini disebut sebagai aturan pengisian tempat dan sering disebut dengan kaidah perkalian.

b. Kaidah Perkalian

Berlaku bagi penyusunan atau pemilihan objek yang dilakukan beberapa tahap dan dilaksanakan sekaligus. Pada setiap tahap dimungkinkan beberapa cara (alternatif) penyusunan atau pemilihan.

c. Kaidah penjumlahan

Berlaku untuk tindakan pemilihan atau penyusunan dilakukan dalam beberapa tahap pemilihan atau penyusunan yang tidak dilaksanakan sekaligus, akan tetapi dilakukan berdasarkan salah satu tahap.

2. Permutasi

Definisi dari notasi faktorial.

Untuk setiap 𝑛 bilangan asli, didefinisikan : 𝑛! = 1 × 2 × 3 × . .. × (𝑛 − 2) × (𝑛 − 1) × 𝑛.

Notasi 𝑛! dibaca 𝑛 faktorial.

Didefinisikan juga 1! = 1 dan 0! = 1.

a. Permutasi dari Unsur-unsur yang Berbeda Banyaknya permutasi 𝑟 obyek yang diambil

(2)

dari 𝑛 obyek berbeda, dengan 𝑟 ≤ 𝑛 adalah 𝑃𝑛 yang didefinisikan dengan : P_rⁿ= n !

(n−r)! b. Permutasi yang Memuat Beberapa Unsur

Sama

Banyaknya permutasi n unsur yang memuat k unsur yang sama, m unsur yang sama dan p unsur yang sama dengan 𝑘 + 𝑚 + 𝑝 ≤ 𝑛 ditentukan dengan rumus :

P= n ! k ! m ! p ! c. Permutasi Siklis

Misalkan tersedia n unsur yang berbeda.

Banyaknya permutasi siklis dari n unsur tersebut dirumuskan dengan :

𝑃(𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠) = (𝑛 − 1)!

3. Kombinasi Definisi.

Suatu kombinasi 𝑟 unsur yang diambil dari 𝑛 unsur yang tersedia (tiap unsur tersebut berbeda) adalah suatu pilihan dari 𝑟 unsur tadi tanpa memperhatikan urutannya. Banyaknya kombinasi 𝑟 unsur yang diambil dari 𝑛 unsur yang tersedia dengan 𝑟 ≤ 𝑛 dirumuskan dengan :

P_rⁿ= n ! (n−r)! r ! a. Kombinasi dengan Pengulangan b. Binom Newton

KB 2. TEORI PELUANG

1. Percobaan dan Peluang Suatu Kejadian

Jika ruang sampel S mempunyai anggota yang berhingga banyaknya dan setiap titik sampel mempunyai kesempatan untuk muncul yang sama, dan A suatu kejadian munculnya percobaan tersebut, maka peluang kejadian A dinyatakan dengan :

P(A)=n(A) n(S) P(A) = Peluang muncul A

n(A) = banyaknya titik sampel kejadian A

n(S) = banyaknya titik sampel pada ruang sampel S

2. Frekuensi Harapan (Fh)

Frekuensi harapan suatu kejadian pada suatu percbaan adalah hasil kali peluang dengan

(3)

frekuensi percobaan A, dinyatakan dengan rumus: 𝐹ℎ(𝐴) = 𝑃(𝐴) 𝑥𝑛

3. Kepastian dan Kemustahilan

Peluang suatu kejadian mempunyai nilai 0 £ P £ 1, artinya jika P = 0 maka kejadian dari suatu peristiwa adalah mustahil atau tidak pernah terjadi, dan jika P = 1 maka suatu peristiwa pasti terjadi.

4. Komplemen dari Suatu kejadian

Jika AC menyatakan komplemen dari kejadian A, maka : P(A^C) = 1 – P(A)

5. Kejadian Majemuk

a. Prinsip Inklusi Eksklusi

Misalkan S adalah suatu himpunan

terhingga dengan A dan B sembarang dua himpunan bagian dari S. Maka untuk mencacah banyaknya unsur di dalam A𝖴B, kita dapat melakukannya dengan mencacah banyaknya unsur himpunan A dan himpunan B − A dan kemudian menjumlahkannya.

Karena|B – A| = |B| - |AÇB| maka |AÈB| = |A| + |B|

- |AÇB|

b. Peluang Kejadian yang Saling Lepas

Dua kejadian disebut saling lepas jika irisan dari dua kejadian itu merupakan himpunan kosong, atau dapat ditulis kejadian A dan B saling lepas jika A Ç B = Æ.

Dari sifat peluang 𝑃 (𝐴 È 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)– 𝑃(𝐴 Ç𝐵), jika A dan B lepas maka A Ç B = Æ, sehingga 𝑃(𝐴 Ç 𝐵) = 0, diperolah 𝑃 (𝐴 È 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵).

c. Peluang Bersyarat

Jika A dan B adalah dua kejadian dalam ruang sampel S dan P(A) ¹ 0, maka peluang bersyarat dari B yang diberikan A didefinisikan sebagai

P(B

|

^A)=P(A ∩ B) P(A)

d. Kejadian Saling Bebas (Stokastik)

Jika A dan B merupakan dua kejadian yang saling bebas maka peluang kejadian A dan B adalah: P(A Ç B) = P(A) x P(B)

1) Fungsi Distribusi Peluang Seragam Diskret

2) Fungsi Distribusi Peluang Binomial 3) Fungsi Distribusi Peluang Hipergeometri

(4)

KB 3. UKURAN PEMUSATAN DAN UKURAN PENYEBARAN

1. Distribusi Frekuensi

a. Penyusunan Distribusi Frekuensi b. Penggambaran Distribusi Frekuensi

1) Histogram 2) Poligon 3) Ogive

2. Ukuran Pemusatan

a. Mean dan Mean Terbobot 1) Data tidak dikelompokkan

Mean dari sekumpulan observasi adalah jumlah semua observasi dibagi banyak observasi.

Jika suatu sampel berukuran n dengan elemen x₁, x₂, … ….., x_nmaka mean sampel adalah

(

^x1+x₂+…+x_n

)

n atau

2) Data dikelompokkan

Data dikelompokkan adalah sekumpulan data yang telah disederhanakan dalam bentuk distribusi frekuensi.

Mean dari data yang dikelompokkan adalah

b. Median

Median dari sekumpulan data adalah nilai yang berada di tengah dari sekumpulan data itu setelah diurutkan menurut besarnya.

1) Data yang tidak dikelompokkan Jika banyaknya data ganjil maka

Jika banyaknya data genap maka

2) Data yang dikelompokkan

(5)

c. Kuartil

Kuartil dari sekumpulan data adalah nilai- nilai yang membagi empat secarasama dari sekumpulan data itu setelah diurutkan menurut besarnya.

1) Data yang tidak dikelompokkan 2) Data yang dikelompokkan

Untuk mengitung kuartil data yang telah dikelompokkan dalam bentuk distribusi frekuensi digunakan cara interpolasi, dengan menganggap bahwa data yang jatuh pada suatu interval letaknya tersebar merata dalam interval itu.

a) Rumus menghitung kuartil

d. Modus

1) Data tidak dikelompokkan

Modus adalah nilai yang paling sering muncul.

e. Hubungan mean, median, dan modus 3. Ukuran Penyebaran/ Dispersi

a. Jangkauan

Jangkauan adalah selisih data terbesar dan terkecil.

b. Deviasi rata-rata

Deviasi rata-rata adalah harga rata-rata penyimpangan tiap data terhadapmeannya.

Besar perbedaaan antara data dan meannya adalah harga mutlaknya.

Misalnya x₁, x₂, … ….., x_n adalah sekumpulan data dengan mean x , maka deviasi rata-ratanya:

(6)

Deviasi rata-rata untuk data yang dikelompokkan, dihitung dengan rumus:

c. Variansi dan Deviasi Standar (Simpangan Baku)

Deviasi standar (simpangan baku) sampel didefinisikan sebagai akar positif dari variansi sampel, yaitu : s=

√

^s²

Deviasi standar sampel didefinisikan sebagai akar positif dari variansi sampel, yaitu:

KB 4. PEMBELAJARAN KOMBINATORIKA DAN STATISTIKA

1. Istilah Pengetahuan Faktual, Konseptual, Prosedural, dan Metakognitif untuk Tingkat SMA/MA/SMALB/Paket C

a. Faktual

Faktual adalah pengetahuan teknis dan spesifik, detail dan kompleksberkenaan dengan ilmu pengetahuan, teknologi, seni, dan budaya terkait dengan masyarakatdan lingkungan alam sekitar, bangsa, negara, kawasan regional, dan internasional.

b. Konseptual

Konseptual adalah terminologi/istilah dan klasifikasi, kategori, prinsip, generalisasi, teori,model, dan struktur yang digunakan terkait dengan pengetahuan teknis dan spesifik, detail dan kompleks berkenaan dengan ilmu pengetahuan, teknologi, seni, dan budaya terkait dengan masyarakat dan lingkungan alam sekitar, bangsa, negara,

(7)

kawasan regional, dan internasional.

c. Prosedural

Prosedural adalah pengetahuan tentang cara melakukan sesuatu atau kegiatan yang terkait dengan pengetahuan teknis, spesifik, algoritma,metode, dan kriteria untuk menentukan prosedur yang sesuai berkenaan dengan ilmu pengetahuan, teknologi, seni, dan budaya, terkaitdengan masyarakat dan lingkungan alam sekitar, bangsa, negara, kawasan regional, dan internasional. sekitar, bangsa, negara, kawasan regional, dan internasional.

d. Metakognitif

Metakognitif adalah pengetahuan tentang kekuatan dan kelemahan diri sendiri dan menggunakannya dalam mempelajari pengetahuan teknis, detail, spesifik, kompleks, kontekstual dan kondisional berkenaan denganilmu pengetahuan, teknologi, seni, dan budaya terkait dengan masyarakatdan lingkungan alam sekitar, bangsa, negara, kawasan regional, dan internasional.

2. Arti 4C (Communication, Collaborative, Critical Thinking, dan Creativity)

a. Communication (komunikasi)

Komunikasi adalah sebuah kegiatan mentransfer sebuah informasi baik secaralisan maupun tulisan. Namun, tidak semua orang mampu melakukan komunikasi dengan baik. Terkadang ada orang yang mampu menyampaikan semua informasi secara lisan tetapi tidak secara tulisan ataupun sebaliknya.

b. Collaborative (Kolaborasi)

Kolaborasi adalah kemampuan berkolaborasi atau bekerja sama, saling bersinergi, beradaptasi dalam berbagai peran dan tanggungjawab; bekerja secara produktif dengan yang lain; menempatkan empati pada tempatnya; menghormati perspektif berbeda.

c. Creativity and Innovation (Kreativitas dan Inovasi)

Kreativitas dan inovasi adalah kemampuan untuk mengembangkan, melaksanakan, dan

(8)

menyampaikan gagasan-gagasan baru kepada yang lain; bersikap terbuka dan responsif terhadap perspektif baru dan berbeda.

3. Problem Based Learning (PBL)

Problem Based Learning (PBL) adalah suatu model pembelajaran yang menghadapkan siswa pada masalah nyata sehingga diharapkan siswa dapat menyusun pengetahuannya sendiri, menumbuhkembangkan inkuiri dan keterampilan tingkat tinggi, memandirikan siswa, serta meningkatkan kepercayaan dirinya.

4. Discovery Learning (DL)

Model discovery merupakan pembelajaran yang menekankan padapengalaman langsung dan pentingnya pemahaman struktur atau ide-ide penting terhadap suatu disiplin ilmu, melalui keterlibatan siswa secara aktif dalam pembelajaran.

5. Project Based Learning (PjBL)

Project Based Learning adalah sebuah model atau pendekatan pembelajaran yang inovatif, yang menekankan belajar kontekstual melalui kegiatan- kegiatan yang kompleks

6. Literasi

Literasi atau melek matematis didefinisikan sebagai kemampuan seseorang individu merumuskan, menggunakan, dan menafsirkan matematika dalam berbagai konteks.

7. Penguatan Pendidikan Karakter (PPK)

Program Penguatan Pendidikan Karakter (PPK) adalah program pendidikan di sekolah untuk memperkuat karakter siswa melalui harmonisasi olah hati, olah rasa, olah pikir, dan olah raga dengan dukungan pelibatan publik dan kerja sama antara sekolah, keluarga, dan masyarakat.

a. Religius b. Integritas c. Mandiri d. Nasionalis e. Gotong Royong 8. Pembelajaran

a. Silabus

1) Identitas satuan pendidikan 2) Identitas kelas

(9)

3) Alokasi waktu 4) Tema/konteks 5) Kompetensi inti 6) Kompetensi dasar 7) IPK

8) Materi pokok

9) Kegiatan pembelajaran 10) Penilaian

11) Alokasi waktu 12) Sumber belajar b. RPP

1) Satuan pendidikan 2) Mata pelajaran 3) Kelas/semester 4) Materi pokok 5) Alokasi waktu

6) Kompetensi inti (KI)

7) Kompetensi dasar (KD) dan indikator pencapaian kompetensi (IPK)

8) Tujuan pembelajaran 9) Materi pembelajaran

10) Model, pendekatan dan metode pembelajaran

11) Media, alat dan bahan 12) Sumber pembelajaran

13) Langkah-langkah pembelajaran (pendahuluan, kegiatan inti, penutup) 14) Penilaian

15) Materi remedial dan pengayaan 2 Daftar materi yang sulit

dipahami di modul ini

KB 1. KAIDAH PENCACAHAN, PERMUTASI DAN KOMBINASI

1. Binom Newton

KB 2. TEORI BILANGAN

1. Fungsi Distribusi Peluang Binomial 3 Daftar materi yang sering

mengalami miskonsepsi

KB 1. KAIDAH PENCACAHAN, PERMUTASI DAN KOMBINASI

1. Binom Newton

KB 2. TEORI BILANGAN

1. Fungsi Distribusi Peluang Binomial