MAKALAH
BILANGAN GANJIL DAN GENAP BESERTA SIFATNYA Mata Kuliah : Bilangan dan Operasi pada Bilangan
Dosen Pengampu : Dr. Riyadi, M.Si.
Oleh :
1. Alya Farhanah Gindy K7123019 2. Anggita Ramadhani K7123025 3. Annisa Nur Laela K7123030
KELAS 1 A
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR FAKUTAS ILMU KEGURUAN DAN PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
2023A. BILANGAN GANJIL
Bilangan ganjil adalah bilangan yang jika dibagi 2 memiliki sisa 1.Contohnya jika kita punya bilangan 22 di bagi 2 akan menghasilkan 11 tanpa sisa. Sedangkan 23 jika dibagi 2 akan menghasilkan 11 sisa 1. Bilangan ganjil dituliskan dengan bentuk rumus 2k-1 atau dapat ditulis dengan 2k+1 dengan k sembarang bilangan bulat. Jumlah dua bilangan ganjil atau penjumlahan (2k-1)+(2k+1) yanghasilnya adalah 4k-2=2(2k-1). Misalkan 2k- 1=m, maka bentuk terakhir dapatditulis sebagai 2m. Dimana ini merupakan rumus dari bilangan genap. Jadi, dapatdisimpulkan bahwa jumlah dua bilangan ganjil berapapun akan menghasilkan dua bilangan genap.
B. BILANGAN GENAP
Bilangan genap adalah suatu bilangan yang habis dibagi dua. Dengan demikian 0 termasuk bilangan genap, karena 0 habis dibagi dua. Bilangan genapdapat dituliskan dengan bentuk rumus 2k, dengan k sembarang bilangan bulat. Jumlah dua bilangan genap artinya penjumlahan dari (2k)+(2k) hasilnya adalah4k=2(2k). Misalnya 2k=n, maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai 2n, dimanaini merupakan rumus untuk bilangan genap. Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah dua bilangan genap berapapun akan menghasilkan bilangan genap.
C. HUBUNGAN BILANGAN GANJIL DAN GENAP a) Jumlah Bilangan Ganjil dan Genap
Jumlah dua bilangan yang satu adalah bilangan ganjil, dan yang satunya adalah bilangan genap, artinya penjumlahan dari (2k-1)+2k) yang hasilnya adalah 4k- 1- 2(2k)-1. Misalkan 2k-a, maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai 2a-1. dimana ini merupakan rumus untuk bilangan ganjil. Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah dua bilangan dengan yang satu bilangan ganjil dan yang satu adalah bilangan genapakan menghasilkan bilangan ganjil.
b) Perkalian Antara Bilangan Ganjil
Perkalian antara bilangan ganjil dengan bilangan ganjil artinya perkalian antara(2k- 1)X(2k-1). Dimana hasilnya adalah -4k 1. Hasil terakhir dapat ditulis sebagai 20
-2k1. Misalnya ( -2k-a, maka bentuk 2a+1 adalah rumus bilangan ganjil. Sehingga hasil kali antara bilangan ganjil dengan bilangan ganjil adalah bilangan ganjil.
c) Perkalian Dua Bilangan Genap
Perkalian antara bilangan genap dengan bilangan genap. artinya perkalian antara (2k)X(2k). Dimana hasilnya adalah Hasil terakhir dapat ditulis sebagai 2( ). Misalkan ()=b, maka bentuk 2b adalah rumus untuk bilangan genap.
d) Perkalian Antara Bilangan Ganjil dengan Bilangan Genap
Perkalian antara bilangan ganjil dengan bilangan genap, artinya perkalian antara (2k- 1)(2k). Dimana hasilnya adalah -2k. Hasil terakhir dapat ditulis sebagai 20 -k).
Misalnya. -k-a, maka didapatkan 2a, dan bentuk 2a adalah rumus untuk bilangan genap. Sehingga hasil kali antara bilangan ganjil dengan bilangan genap adalah bilangan genap.
e) Kuadrat dari Bilangan Ganjil
Kuadrat dari bilangan ganjil artinya perkalian antara (2k-1)X(2k-1). Dimana hasilnya adalah -4k+1. Hasil terakhir dapat ditulis sebagai 2( -2k)+1. Misalnya (-2k)-a, maka bentuk 2a+1 adalah rumus untuk bilangan ganjil. Schingga kuadrat dari bilangan ganjil adalah bilangan ganjil.
f) Kuadrat dari Bilangan Genap
Kuadrat dari bilangan genap artinya perkalian antara (2k)(2k). Dimana hasilnya adalah Hasil terakhir dapat ditulis sebagai 2(). Misalkan -b, maka bentuk 2b adalah rumus untuk bilangan genap. Sehingga kuadrat dari bilangan genap adalah bilangan genap.
D. SIFAT SIFAT BILANGAN GANJIL DAN GENAP
Bilangan ganjil dan bilangan genap adalah dua jenis bilangan yang memiliki sifat-sifat yang berbeda:
1. Bilangan Ganjil:
- Bilangan ganjil adalah bilangan yang tidak habis dibagi oleh 2.
Contohnya : 3:2 = 1 sisa 1
- Representasi umumnya adalah 2n + 1, di mana n adalah bilangan bulat.
Contonya : 2n + 1 2(2) + 1 = 5 - Contoh bilangan ganjil: 1, 3, 5, 7, 9, dst.
2. Bilangan Genap:
- Bilangan genap adalah bilangan yang habis dibagi oleh 2 tanpa sisa.
Contohnya : 4 : 2 = 2 tanpa sisa
- Representasi umumnya adalah 2n, di mana n adalah bilangan bulat.
Contonya : 2n => 2(2) = 4
- Contoh bilangan genap: 2, 4, 6, 8, 10, dst.
Sifat-sifat khusus bilangan ganjil dan genap meliputi:
- Penjumlahan dan Pengurangan:
- Penjumlahan dua bilangan ganjil selalu menghasilkan bilangan genap.
Contohnya : 3 + 3 = 6, 6 adalah bilangan genap
- Penjumlahan dua bilangan genap menghasilkan bilangan genap.
Contohnya : 4 + 4 = 8, 8 adalah bilangan genap
- Penjumlahan bilangan ganjil dan genap selalu menghasilkan bilangan ganjil.
Contonhnya : 4 + 3 = 7, 7 adalah bilangan ganjil
- Perkalian dan Pembagian:
- Perkalian dua bilangan ganjil selalu menghasilkan bilangan ganjil.
Contohnya : 3 x 3 = 9, 9 adalah bilangan ganjil
- Perkalian dua bilangan genap menghasilkan bilangan genap.
Contohnya : 4 x 4 = 8, 8 adalah bilangan genap
- Pembagian bilangan ganjil dengan bilangan ganjil atau bilangan genap dengan bilangan genap menghasilkan bilangan ganjil.
Contonhya : 12 : 4 = 3, 3 adalah bilanagan ganjil 9 : 3 = 3
- Pembagian bilangan genap dengan bilangan ganjil menghasilkan bilangan genap.
Contonhya : 24 : 3 = 8, 8 adalah bilangan genap.
- Operasi Kuadrat:
- Kuadrat bilangan ganjil selalu menghasilkan bilangan ganjil.
Contonhya : 32 = 9, 9 adalah bilangan ganjil - Kuadrat bilangan genap menghasilkan bilangan genap.
Contohnya : 22 = 4 , 4 adalah bilangan genap.
- Sifat Bilangan Prima:
- 2 adalah bilangan prima genap, sedangkan bilangan prima lainnya (kecuali 2) adalah bilangan ganjil.
Contohnya : 1,3,5,7,11,d dll.
- Pola:
- Saat meninjau deret bilangan, pola bilangan ganjil dan genap bergantian. Misalnya, dalam deret alamiah, 1, 2, 3, 4, 5, ..., bilangan ganjil dan genap bergantian.
Contohnya : 6,7,8,9,10,11, dst.
Ini adalah beberapa sifat umum bilangan ganjil dan genap. Sifat-sifat ini sering digunakan dalam matematika untuk menyelesaikan berbagai jenis masalah.
E. PEMBUKTIAN BILANGAN GANJIL DAN GENAP
Pembuktian bahwa setiap bilangan bulat adalah either (2k) (bilangan genap) atau (2k+1) (bilangan ganjil) dengan (k) merupakan bilangan bulat, bisa dilakukan dengan menggunakan konsep divisibilitas.
a. Pembuktian untuk Bilangan Genap:
Untuk membuktikan bahwa setiap bilangan genap dapat dituliskan sebagai (2k), di mana (k) adalah bilangan bulat, kita tahu bahwa bilangan genap adalah kelipatan dari 2. Oleh karena itu, kita bisa tulis bilangan genap sebagai (2k), di mana (k) adalah bilangan bulat apa pun. Ini memastikan bahwa setiap bilangan genap dapat diwakili dalam bentuk (2k).
b. Pembuktian untuk Bilangan Ganjil:
Untuk membuktikan bahwa setiap bilangan ganjil dapat dituliskan sebagai (2k+1), kita dapat menggunakan fakta bahwa bilangan ganjil adalah bilangan yang tidak habis dibagi oleh 2.
Kita tahu bahwa bilangan ganjil dapat ditulis dalam bentuk (2k+1), di mana (k) adalah bilangan bulat. Untuk membuktikan ini, kita bisa menggunakan kontradiksi.
Misalkan ada bilangan ganjil yang tidak dapat dituliskan sebagai (2k+1), di mana (k) adalah bilangan bulat. Artinya, ada bilangan ganjil (n) yang tidak memenuhi (n = 2k+1). Tetapi jika (n) bukan (2k+1), maka (n) harus (2k+2), karena bilangan ganjil berturut-turut selalu berjarak 2.
Namun, (2k+2) adalah bilangan genap, dan kita tahu bahwa (n) adalah bilangan ganjil. Oleh karena itu, kita telah mencapai kontradiksi, yang berarti asumsi bahwa ada bilangan ganjil yang tidak dapat dituliskan dalam bentuk (2k+1) adalah salah.
Dengan demikian, setiap bilangan ganjil dapat dituliskan dalam bentuk (2k+1), di mana (k) adalah bilangan bulat. Ini menunjukkan bahwa setiap bilangan bulat adalah either (2k) (bilangan genap) atau (2k+1) (bilangan ganjil).
