MAKALAH GEOMETRI ANALITIK
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELIPS DAN APLIKASI ELIPS
Disusun Oleh :
1. Alfiatuz Zahroh (06020421032) 2. M. Aditya Sholihut T (06020421045) 3. Mutiea Ira Pradita (06020421047) 4. Nailul Izzah (06020421049) 5. Raihan Amrullah (06020421054)
Dosen Pengampu : Dr. Siti Lailiyah, M.Si.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN AMPEL SURABAYA 2022/2023
ii
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan rahmat-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “Persamaan Garis Singgung Elips dan Aplikasi Elips” ini guna memenuhi tugas mata kuliah Geometri Analitik.
Kami mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr. Siti Lailiyah, M.Si selaku dosen pengampu mata kuliah Geometri Analitik dan pihak-pihak yang telah membantu penyusunan makalah ini.
Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu, kami mengharpakan kritik dan saran yang membangun dari pembaca demi hasil yang lebih baik di masa mendatang. Kami berharap makalah ini bermanfaat bagi kita semua.
Surabaya, 22 November 2022
Tim Penyusun
iii DAFTAR ISI
SAMPUL ... i
KATA PENGANTAR ... ii
DAFTAR ISI ... iii
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang ... 1
B. Rumusan Masalah ... 1
C. Tujuan ... 1
BAB II PEMBAHASAN A. Persamaan Garis Singgung Elips Dengan Kemiringan Tertentu ... 2
B. Persamaan Garis Singgung Elips Jika Diketahui Titik Singgungnya ... 6
C. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Elips ... 11
D. Penerapan Persamaan Garis Singgung Elips ... 13
BAB III PENUTUP A. Kesimpulan ... 14
B. Saran ... 15
DAFTAR PUSTAKA ... 16
1 BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering dihadapkan oleh banyak persoalan yang berhubungan dengan Geometri Analitik, terutama dengan titik, garis, bidang, dan benda – benda ruang. Sehingga sangat diperlukan pemahaman terhadap hal – hal yang berhubungan dengan Geometri Analitik agar kita dapat menghadapi berbagai persoalan di kehidupan sehari-hari
Oleh karena itu dalam makalah ini kami membahas beberapa materi yang berhubungan dengan Geometri Analitik. Materi yang kami bahas yaitu Persamaan Garis Singgung Elips. Dengan adanya makalah ini diharapkan dapat membantu menghadapi persoalan yang berhubungan dengan Geometri Analitik terutama Persamaan Garis Singgung Elips di kehidupan sehari-hari
B. RUMUSAN MASALAH
1. Bagaimana persamaan garis singgung elips jika diketahui gradientnya?
2. Bagaimana persamaan garis singgung elips jika diketahui titik singgungnya?
3. Bagaimana persamaan garis singgung elips melalui titik di luar elips?
C. TUJUAN
1. Untuk mengetahui persamaan garis singgung elips jika diketahui gradientnya 2. Untuk mengetahui persamaan garis singgung elips jika diketahui titik singgungnya 3. Untuk mengetahui persamaan garis singgung elips melalui titik di luar elips
2 BAB II PEMBAHASAN
A. Persamaan Garis Singgung Elips Dengan Kemiringan Tertentu 1. Persamaan garis singgung elips dengan pusat (0,0)
Misal diberikan persamaan elips + = 1 dan garis singgung elips 𝑙 dengan kemiringan m, yang memiliki persamaan garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 dengan c parameter konstanta yang belum diketahui.
Untuk mendapatkan persamaan garis singgungnya, harus ditemukan nilai c.
Langkah-langkahnya yaitu:
a. Substitusikan persamaan 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 ke persamaan elips yaitu + = 1.
Sehingga akan menjadi:
𝑥
𝑎 +(𝑚𝑥 + 𝑐) 𝑏 = 1
b. Menyelesaikan operasi di ruas kiri. Sehingga akan menjadi:
𝑥 𝑏 + (𝑚𝑥 + 𝑐) 𝑎
𝑎 𝑏 = 1
c. Untuk mengkanselasi 𝑎 𝑏 dilakukan perkalian 𝑎 𝑏 untuk setiap ruas.
Sehingga akan menjadi:
𝑥 𝑏 + (𝑚𝑥 + 𝑐) 𝑎 = 𝑎 𝑏
d. Mengerjakan operasi (𝑚𝑥 + 𝑐) dan menyelesaikan segala operasi yang terdapat di persamaan, yaitu:
𝑥 𝑏 + (𝑚 𝑥 + 2𝑚𝑥𝑐 + 𝑐 )𝑎 = 𝑎 𝑏 𝑥 𝑏 + 𝑎 𝑚 𝑥 + 2𝑎 𝑚𝑐𝑥 + 𝑎 𝑐 = 𝑎 𝑏
e. Mengelompokkan konstanta 𝑥 dan memindahkan 𝑎 𝑏 ke ruas kiri . Sehingga menjadi:
3
(𝑏 + 𝑎 𝑚 )𝑥 + 2𝑎 𝑚𝑐𝑥 + 𝑎 𝑐 − 𝑎 𝑏 = 0 … … … … (1)
f. Substitusikan nilai a,b,c ke dalam rumus diskriminan. Karena garis 𝑙 merupakan garis singgung maka nilai diskriminan dari persamaan (1) adalah 0. Sehingga menjadi:
𝐷 = 0 𝑏 − 4𝑎𝑐 = 0
(2𝑎 𝑚𝑐) − 4(𝑏 + 𝑎 𝑚 )(𝑎 𝑐 − 𝑎 𝑏 ) = 0 4𝑎 𝑚 𝑐 − 4(𝑎 𝑏 𝑐 − 𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑚 𝑐 − 𝑎 𝑏 𝑚 ) = 0 4𝑎 𝑚 𝑐 − 4𝑎 𝑏 𝑐 + 4𝑎 𝑏 − 4𝑎 𝑚 𝑐 + 4𝑎 𝑏 𝑚 = 0
−4𝑎 𝑏 𝑐 + 4𝑎 𝑏 + 4𝑎 𝑏 𝑚 = 0 4𝑎 𝑏 (−𝑐 + 𝑏 + 𝑎 𝑚 ) = 0 g. Kedua ruas dibagi 4𝑎 𝑏 , sehingga menjadi:
−𝑐 + 𝑏 + 𝑎 𝑚 = 0 𝑏 + 𝑎 𝑚 = 𝑐 𝑐 = ± 𝑏 + 𝑎 𝑚
h. Substitusikan nilai c ke persamaan 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐. Sehingga didapatkan persamaan garis singgung dari persamaan elips + = 1 dengan gradien 𝑚 yaitu:
𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑏 + 𝑎 𝑚
Contoh Soal
Tentukan persamaan garis singgung ellips + = 1 dengan gradien 2 ! Penyelesaian :
Dari persamaan elips diketahui nilai 𝑎 = 8 dan 𝑏 = 3. Karena bentuk persamaan bakunya adalah + = 1 . Maka menggunakan rumus 𝑦 = 𝑚𝑥 ± √𝑏 + 𝑎 𝑚 . Sehingga :
𝑦 = 2𝑥 ± 8. 2 + 3 𝑦 = 2𝑥 ± √32 + 3
𝑦 = 2𝑥 ± √35
Jadi persamaan garis singgung dari + = 1 dengan gradien 2 adalah 𝑦 = 2𝑥 + √35 atau 𝑦 = 2𝑥 − √35
4
2. Persamaan Garis Singgung Elips Dengan Pusat (𝜶, 𝜷)
Misal diberikan persamaan elips ( ) +( ) = 1 dan garis singgung elips 𝑙 dengan kemiringan m, yang memiliki persamaan garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 dengan c parameter konstanta yang belum diketahui.
Untuk mendapatkan persamaan garis singgungnya, harus ditemukan nilai c.
Langkah-langkahnya yaitu:
a. Untuk persamaan garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 digunakan pada pusat (0,0) maka persamaan garis pada pusat (𝛼, 𝛽) adalah (𝑦 − 𝛽) = 𝑚(𝑥 − 𝛼) + 𝑐
b. Substitusikan persamaan ke dalam persamaan elips yaitu ( ) +( ) = 1.
Sehingga akan menjadi:
(𝑥 − 𝑎)
𝑏 +(𝑚(𝑥 − 𝛼) + 𝑐)
𝑎 = 1
c. Menyelesaikan operasi di ruas kiri. Sehingga akan menjadi:
(𝑥 − 𝑎) 𝑎 + (𝑚(𝑥 − 𝑎) + 𝑐) 𝑏
𝑎 𝑏 = 1
d. Untuk mengkanselasi 𝑎 𝑏 dilakukan perkalian 𝑎 𝑏 untuk setiap ruas.
Sehingga akan menjadi:
(𝑥 − 𝑎) 𝑎 + (𝑚(𝑥 − 𝑎) + 𝑐) 𝑏 = 𝑎 𝑏
e. Mengerjakan operasi (𝑚(𝑥 − 𝑎) + 𝑐) dan menyelesaikan segala operasi yang terdapat di persamaan, yaitu:
𝑎 (𝑥 − 𝑎) + (𝑚 (𝑥 − 𝑎) + 2𝑚𝑐(𝑥 − 𝑎) + 𝑐 )𝑏 − 𝑎 𝑏 = 0 𝑎 (𝑥 − 𝑎) + 𝑏 𝑚 (𝑥 − 𝑎) + 2𝑏 𝑚𝑐(𝑥 − 𝑎) + 𝑏 𝑐 − 𝑎 𝑏 = 0 f. Mengelompokkan konstanta (𝑥 − 𝑎) dan x. Sehingga menjadi:
5
(𝑎 + 𝑏 𝑚 )(𝑥 − 𝑎) + (2𝑏 𝑚𝑐)(𝑥 − 𝑎) + 𝑏 𝑐 − 𝑎 𝑏 = 0 … … … … . (2) g. Substitusikan nilai a,b,c ke dalam rumus diskriminan. Karena garis 𝑙 merupakan
garis singgung maka nilai diskriminan dari persamaan (2) adalah 0. Sehingga menjadi:
𝐷 = 0 𝑏 − 4𝑎𝑐 = 0
(2𝑏 𝑚𝑐) − 4(𝑎 + 𝑏 𝑚 )(𝑏 𝑐 − 𝑎 𝑏 ) = 0 4𝑏 𝑚 𝑐 − 4(𝑎 𝑏 𝑐 − 𝑎 𝑏 + 𝑏 𝑚 𝑐 − 𝑎 𝑏 𝑚 ) = 0 4𝑏 𝑚 𝑐 − 4𝑎 𝑏 𝑐 + 4𝑎 𝑏 − 4𝑏 𝑚 𝑐 + 4𝑎 𝑏 𝑚 = 0
−4𝑎 𝑏 𝑐 + 4𝑎 𝑏 + 4𝑎 𝑏 𝑚 = 0
h. Kedua ruas dibagi dengan (-4). Kemudian dibagi dengan 𝑎 𝑏 . Sehingga menjadi:
𝑎 𝑏 𝑐 − 𝑎 𝑏 − 𝑎 𝑏 𝑚 = 0 𝑐 − 𝑎 − 𝑏 𝑚 = 0
𝑐 = 𝑎 + 𝑏 𝑚 𝑐 = ± 𝑎 + 𝑏 𝑚
i. Substitusikan nilai c ke persamaan 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐. Sehingga didapatkan persamaan garis singgung dari persamaan elips ( ) +( ) = 1 dengan gradien 𝑚 yaitu :
(𝑦 − 𝛽) = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑎 + 𝑏 𝑚
Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis singgung elips dengan gradien 𝑚 seperti tabel berikut:
Persamaan Elips Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m 𝑥
𝑎 +𝑦
𝑏 = 1 𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑏 + 𝑎 𝑚
𝑥 𝑏 +𝑦
𝑎 = 1 𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑎 + 𝑏 𝑚
(𝑥 − 𝛼)
𝑎 +(𝑦 − 𝛽)
𝑏 = 1 (𝑦 − 𝛽) = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑏 + 𝑎 𝑚 (𝑥 − 𝛼)
𝑏 +(𝑦 − 𝛽)
𝑎 = 1 (𝑦 − 𝛽) = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑎 + 𝑏 𝑚
6 Contoh Soal
Tentukan persamaan garis singgung ellips ( ) +( ) = 1 yang sejajar dengan garis 𝑙 𝑥 + 2𝑦 = −12
Penyelesaian :
Dari persaman garis 𝑥 + 2𝑦 = −12 didapatkan 𝑚 = − . Karena garis 𝑙 sejajar 𝑙 maka 𝑚 = − . Kemudian substitusikan nilai 𝑚 kedalam rumus yang telah didapatkan, sehingga menjadi:
𝑦 + 5 = −1
2(𝑥 − 4) ± 16.1 4+ 5
𝑦 + 5 = −1
2(𝑥 − 4) ± √9 𝑦 + 5 = −1
2(𝑥 − 4) ± 3 Mengalikan kedua ruas dengan 2
2𝑦 + 10 = −(𝑥 − 4) ± 6 2𝑦 + 10 = −𝑥 + 4 ± 6
𝑥 + 2𝑦 = −6 ± 6
Jadi persamaan garis singgung ellips ( ) +( ) = 1 yang sejajar dengan garis 𝑙 𝑥 + 2𝑦 = −12 adalah 𝑥 + 2𝑦 = 0 atau 𝑥 + 2𝑦 = −12
B. Persamaan Garis Singgung Elips Jika Diketahui Titik Singgungnya 1. Persamaan Garis Singgung Elips Dengan Pusat (0,0)
a. Misal titik singgungnya adalah P dengan koordinat (𝑥 , 𝑦 ). Karena P merupakan titik pada elips maka berlaku
7 𝑥
𝑎 +𝑦
𝑏 = 1
𝑏 𝑥 + 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑏 … … … (1)
b. Terdapat titik lain yang juga berada pada elips yaitu Q (𝑥 , 𝑦 ) dan berlaku 𝑥
𝑎 +𝑦
𝑏 = 1
𝑏 𝑥 + 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑏 … … … (2)
c. Karena persamaan (1) dan (2) memiliki nilai sama yaitu 𝑎 𝑏 maka kedua persamaan dapat berlaku:
𝑏 𝑥 + 𝑎 𝑦 = 𝑏 𝑥 + 𝑎 𝑦 𝑏 𝑥 − 𝑏 𝑥 = 𝑎 𝑦 − 𝑎 𝑦
−𝑏 (𝑥 − 𝑥 ) = 𝑎 (𝑦 − 𝑦 )
−𝑏 (𝑥 + 𝑥 )(𝑥 − 𝑥 ) = 𝑎 (𝑦 + 𝑦 )(𝑦 − 𝑦 )
d. Jika kedua ruas dibagi oleh 𝑎 (𝑦 + 𝑦 ) dan (𝑥 − 𝑥 ), maka menjadi
−𝑏 (𝑥 + 𝑥 )
𝑎 (𝑦 + 𝑦 ) = (𝑦 − 𝑦 )
(𝑥 − 𝑥 )… … … (3)
e. Dari pertemuan sebelumnya diketahui bahwa 𝑚 =( )
( ) sehingga persamaan (3) menjadi:
−𝑏 (𝑥 + 𝑥 )
𝑎 (𝑦 + 𝑦 ) = 𝑚 … … … (4)
f. Dari persamaan (4) disubstitusikan ke dalam persamaan 𝑦 − 𝑦 = 𝑚(𝑥 − 𝑥 ) sehingga persamaan garis PQ:
𝑦 − 𝑦 =−𝑏 (𝑥 + 𝑥 )
𝑎 (𝑦 + 𝑦 ) (𝑥 − 𝑥 ) … … (5)
g. Jika P mendekati Q sedemikian hingga P berimpit dengan Q, maka 𝑥 = 𝑥 dan 𝑦 = 𝑦 dan PQ menjadi garis singgung di titik Q. Sehingga persamaan (6) menjadi:
𝑦 − 𝑦 =−𝑏 (𝑥 + 𝑥 )
𝑎 (𝑦 + 𝑦 ) (𝑥 − 𝑥 ) 𝑦 − 𝑦 =−𝑏 2𝑥
𝑎 2𝑦 (𝑥 − 𝑥 )
h. Kedua ruas dikali oleh 𝑎 2𝑦 , kemudian dibagi dengan 2, sehingga menjadi:
(𝑦 − 𝑦 )𝑎 𝑦 = −𝑏 𝑥 (𝑥 − 𝑥 ) 𝑎 𝑦 𝑦 − 𝑎 𝑦 = −𝑏 𝑥 𝑥 + 𝑏 𝑥
8
𝑎 𝑦 𝑦 + 𝑏 𝑥 𝑥 = 𝑎 𝑦 + 𝑏 𝑥 … … . . (7)
i. Dari persamaan (1) yaitu 𝑏 𝑥 + 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑏 maka persamaan (7) dapat menjadi
𝑏 𝑥 𝑥 + 𝑎 𝑦 𝑦 = 𝑎 𝑏 … … . (8)
j. Kemudian kedua ruas dibagi oleh 𝑎 𝑏 , sehingga persamaan (8) menjadi 𝑥 𝑥
𝑎 +𝑦 𝑦 𝑏 = 1
Jadi terbukti bahwa persamaan garis singgung pada elips dengan pusat (0,0) dengan titik singgungnya Q adalah
𝑥 𝑥 𝑎 +𝑦 𝑦
𝑏 = 1
Contoh Soal
Tentukan persamaan garis singgung pada elips + = 1 di titik (2,1) Penyelesaian:
a. Cek kedudukan titik pada elips dengan mensubstitusikan titik ke dalam persamaan:
𝑥 6 +𝑦
3 = 1 2
6 +1 3 = 1 4
6+1 3 = 1 2
3+1 3 = 1 1 = 1
Karena hasilnya ruas kiri dan kanan 1 sehingga dapat disimpulkan titik (2,1) berada pada elips.
b. Karena 6 > 3 maka menggunakan + = 1. Substitusikan titik pada +
= 1, sehingga menjadi:
2𝑥 6 +𝑦
3= 1 𝑥
3+𝑦 3= 1
9
c. Kedua ruas dikali kan oleh 3, sehingga menjadi 𝑥 + 𝑦 = 3
Jadi persamaan garis singgung pada elips + = 1 di titik (2,1) adalah 𝑥 + 𝑦 = 3
2. Persamaan Garis Singgung Elips dengan pusat (𝜶, 𝜷)
a. Jika dilakukan translasi hingga persamaan elips menjadi ( ) +( ) = 1, sehingga koordinat titik pusat elips yaitu
𝑥 = 𝑥 + 𝛼 → 𝑥 = 𝑥 − 𝛼 dan 𝑦 = 𝑦 + 𝛽 → 𝑦 = 𝑦 − 𝛽
b. Dan untuk titik singgungnya yaitu P (𝑥 , 𝑦 ) setelah dilakukan translasi koordinat titik singgungnya menjadi:
𝑥 = 𝑥 + 𝛼 → 𝑥 = 𝑥 − 𝛼 𝑦 = 𝑦 + 𝛽 → 𝑦 = 𝑦 − 𝛽
c. Dari persamaan sebelumnya yaitu + = 1, dapat disubstitusikan koordinat baru setelah dilakukan translasi. Sehingga persamaan garis singgungnya menjadi:
(𝑥 − 𝛼)(𝑥 − 𝛼)
𝑎 +(𝑦 − 𝛽)(𝑦 − 𝛽)
𝑏 = 1
10
Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis singgung elips dengan gradien 𝑚 seperti table berikut:
Persamaan Elips Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m 𝑥
𝑎 +𝑦
𝑏 = 1 𝑥 𝑥
𝑎 +𝑦 𝑦 𝑏 = 1 𝑥
𝑏 +𝑦
𝑎 = 1 𝑥 𝑥
𝑏 +𝑦 𝑦 𝑎 = 1 (𝑥 − 𝛼)
𝑎 +(𝑦 − 𝛽)
𝑏 = 1 (𝑥 − 𝛼)(𝑥 − 𝛼)
𝑏 +(𝑦 − 𝛽)(𝑦 − 𝛽)
𝑎 = 1
(𝑥 − 𝛼)
𝑏 +(𝑦 − 𝛽)
𝑎 = 1 (𝑥 − 𝛼)(𝑥 − 𝛼)
𝑏 +(𝑦 − 𝛽)(𝑦 − 𝛽)
𝑎 = 1
Contoh Soal
Tentukan persamaan garis singgung pada elips ( ) +( ) = 1 di titik (0, -2) Penyelesaian:
a. Cek kedudukan titik pada elips dengan mensubstitusikan titik ke dalam persamaan:
(0 + 1)
5 +(−2 − 2) 20 = 1 1
5+16 20= 1 1
5+4 5= 1 1 = 1
Karena hasilnya ruas kiri dan kanan 1 sehingga dapat disimpulkan titik (0, -2) berada pada elips.
b. Karena 20 > 5 maka menggunakan ( )( )+( )( )= 1.
Substitusikan titik pada ( )( )+( )( )= 1, sehingga menjadi:
(0 + 1)(𝑥 + 1)
5 +(−2 − 2)(𝑦 − 2)
20 = 1
𝑥 + 1
5 +(−4)(𝑦 − 2) 20 = 1
c. Untuk ( )( ) dapat disederhanakan (pembilang dan penyebut dibagi oleh 4) menjadi ( )
11 𝑥 + 1
5 +−𝑦 + 2 5 = 1 d. Kedua ruas dikali dengan 5, sehingga menjadi:
𝑥 + 1 − 𝑦 + 2 = 5 𝑥 − 𝑦 = 2
Jadi persamaan garis singgung pada elips ( ) +( ) = 1 di titik (0, -2) adalah 𝑥 − 𝑦 = 2
C. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Elips
Kita akan mencari persamaan garis singgung elips yang melalui titik 𝑇 (𝑥 , 𝑦 ) di luar ellips.
1. Misalkan persamaan ellips : + = 1 dan titik 𝐴(𝑥 , 𝑦 ) suatu titik singgung.
2. Persamaan di A adalah + = 1 karena titik A pada elips memenuhi : (𝑥′)
𝑎 +(𝑦′)
𝑏 = 1 … … … (1) 3. Karena garis singgung melalui T maka memenuhi :
𝑥′𝑥
𝑎 +𝑦′𝑦
𝑏 = 1 … … … (2) 4. Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh :
𝑏 (𝑥 ) + 𝑎 (𝑦 ) = 𝑎 𝑏 𝑏 (𝑥 𝑥 ) + 𝑎 (𝑦 𝑦 ) = 𝑎 𝑏
𝑏 (𝑥 ) + 𝑎 (𝑦 ) = 𝑏 (𝑥 𝑥 ) + 𝑎 (𝑦 𝑦 ) 𝑎 (𝑦 ) − 𝑎 (𝑦 𝑦 ) = −𝑏 (𝑥 ) + 𝑏 (𝑥 𝑥 )
𝑎 𝑦 (𝑦 − 𝑦 ) = −𝑏 𝑥 (𝑥 − 𝑥 )
(𝑦 − 𝑦 ) =−𝑏 𝑥 (𝑥 − 𝑥 ) 𝑎 𝑦
(𝑦 − 𝑦 )
(𝑥 − 𝑥 )=−𝑏 𝑥
𝑎 𝑦 … … … (3)
12 (𝑦 − 𝑦 ) =(𝑦 − 𝑦 )
(𝑥 − 𝑥 )(𝑥 − 𝑥 ) … … … (4)
5. Subtitusi persamaan (3) dan (4) :
(𝑦 − 𝑦 ) =−𝑏 𝑥
𝑎 𝑦 (𝑥 − 𝑥 ) 𝑎 𝑦 (𝑦 − 𝑦 ) = −𝑏 𝑥 (𝑥 − 𝑥 ) 𝑎 𝑦 𝑦 − 𝑎 𝑦 𝑦 = −𝑏 𝑥 𝑥 + 𝑏 𝑥 𝑥
𝑎 𝑦 𝑦 + 𝑏 𝑥 𝑥 = 𝑎 𝑦 𝑦 + 𝑏 𝑥 𝑥 𝑎 𝑦 𝑦 + 𝑏 𝑥 𝑥 = 𝑎 𝑏
𝑦 𝑦 𝑏 +𝑥 𝑥
𝑎 = 1 𝑥 𝑥
𝑎 +𝑦 𝑦 𝑏 = 1
Contoh Soal:
Garis 𝑦 = √6 memotong elips 𝑥 + 4𝑦 − 16 = 0 pada dua titik. Carilah persamaan garis singgung di titik – titik potong tersebut !
Penyelesaian:
𝑥 + 4𝑦 − 16 = 0 ↔𝑥 16+𝑦
4 = 1 Koordinat titik potong garis dengan elips sebagai berikut:
𝑥 + 4𝑦 − 16 = 0
𝑦 = 𝑥√6 ⇔ 𝑥 + 4(𝑥√6) − 16 = 0
𝑦 = 𝑥√6 ⇔ 𝑥 + 24𝑥 = 16 𝑦 = 𝑥√6
⇔ 𝑥 =16 25 𝑦 = 𝑥√6
⇔ 𝑥 =4
5 𝑑𝑎𝑛 𝑦 =4
5√6 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = −4
5 𝑑𝑎𝑛𝑦 = −4 5√6
Jadi titik potong antara garis dengan ellips adalah di titik , √6 𝑑𝑎𝑛 − , − √6 Persamaan garis singgung di titik , √6 adalah
13 + = 1
𝑥 + 4 6𝑦 = 20
Persamaan garis singgung di titik − , − √6 adalah 𝑥 + 4 6𝑦 = 20
D. Penerapan Persamaan Garis Singgung Elips
Dalam kehidupan sehari-hari, ada banyak contoh benda berbentuk ellips yang dapat kita temui. Apa saja bentuk ellips tersebut?
1. Orbit revolusi planet
Planet-planet dalam tata surya mengelilingi matahari melalui lintasan (orbit) berbentuk ellips.
2. Ellipse Park
Ellipse Park terletak antara Gedung Putih dan Monumen Washington, di Washington DC. Taman tersebut dikelilingi oleh sebuah jalan berbentuk ellips.
3. Litotripsi
Litotripsi merupakan suatu prosedur medis yang dilakukan untuk menghancurkan batu di saluran kemih dengan menggunakan gelombang kejut ultrasonik sehingga pecahannya dapat dengan mudah lolos dari tubuh. Alat yang digunakan untuk prosedur ini lithotripter, berbentuk setengah elips 3 dimensi mengaplikasikan sifat- sifat dari titik fokus elips, digunakan untuk mengumpulkan gelombang ultrasonik pada satu titik fokus untuk dikirimkan ke batu ginjal yang terletak di titik fokus lainnya.
14 BAB III PENUTUP A. KESIMPULAN
1. Persamaan Garis Singgung jika diketahui gradiennya a. Pusat (0,0)
Persamaan Elips Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m 𝑥
𝑎 +𝑦
𝑏 = 1 𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑏 + 𝑎 𝑚
𝑥 𝑏 +𝑦
𝑎 = 1 𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑎 + 𝑏 𝑚
b. Pusat (𝛼, 𝛽)
Persamaan Elips Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m (𝑥 − 𝛼)
𝑎 +(𝑦 − 𝛽)
𝑏 = 1 (𝑦 − 𝛽) = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑏 + 𝑎 𝑚 (𝑥 − 𝛼)
𝑏 +(𝑦 − 𝛽)
𝑎 = 1 (𝑦 − 𝛽) = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑎 + 𝑏 𝑚
2. Persamaan Garis Singgung jika diketahui titik singgungnya a. Pusat (0,0)
Persamaan Elips Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m 𝑥
𝑎 +𝑦
𝑏 = 1 𝑥 𝑥
𝑎 +𝑦 𝑦 𝑏 = 1 𝑥
𝑏 +𝑦
𝑎 = 1 𝑥 𝑥
𝑏 +𝑦 𝑦 𝑎 = 1
b. Pusat (𝛼, 𝛽) (𝑥 − 𝛼)
𝑎 +(𝑦 − 𝛽)
𝑏 = 1 (𝑥 − 𝛼)(𝑥 − 𝛼)
𝑏 +(𝑦 − 𝛽)(𝑦 − 𝛽)
𝑎 = 1
(𝑥 − 𝛼)
𝑏 +(𝑦 − 𝛽)
𝑎 = 1 (𝑥 − 𝛼)(𝑥 − 𝛼)
𝑏 +(𝑦 − 𝛽)(𝑦 − 𝛽)
𝑎 = 1
15
3. Persamaan Garis Singgung melalui titik diluar elips 𝑥 𝑥
𝑎 +𝑦 𝑦 𝑏 = 1
4. Penerapan Persamaan Garis Singgung Elips
Dalam kehidupan sehari-hari, ada banyak contoh benda berbentuk ellips yang dapat kita temui. Diantaranya yaitu:
a. Orbit revolusi planet b. Ellipse Park
c. Litotripsi
B. SARAN
Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kata sempurna, baik dari segi penulisan, ejaan, dan pemilihan kata serta cakupan materi. Oleh karena itu kami membutuhkan kritik dan saran yang membangun dalam penyempurnaan makalah ini.
16
DAFTAR PUSTAKA
blog, e. (2017). Contoh Soal Menyelesaikan Masalah Nyata Terkait Ellips. Diambil kembali dari mightyezy.blogspot: http://mightyezy.blogspot.com/2017/04/contoh-soal-
menyelesaikan-masalah-nyata.html
Cahyono, H. (2019). Geometri Analitik Bidang. Dalam H. Cahyono, Geometri Analitik Bidang. UMM Press.
