KALKULUS I
TEOREMA NILAI RATAAN
(Mean Value Theorem)
SUTRIANI HIDRI
Matematika B
1111140010
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR
Teorema Nilai Rataan
Teorema nilai rataan (Mean Value Theorem) menyatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung tak tegak pada setiap titik antara A dan B, maka terdapat paling sedikit satu titik C pada grafik di antara A dan B sehingga garis singgung dititik C sejajar tali-busur AB. Atau dengan kata lain TNR atau teorema nilai rata-rata menyatakan bahwa pada sembarang bagian kurva mulus, terdapat paling tidak satu titik di mana turunan (kemiringan) kurva tersebut sama dengan (sejajar terhadap) "rata-rata" turunan bagian kurva tersebut. Teorema ini digunakan untuk membuktikan berbagai teorema lain tentang fungsi pada suatu selang, yang dimulai dengan anggapan tentang turunan pada titik-titik di selang tersebut. C C B A A Gambar 1 Gambar 2
Gambar 1 dan 2 menunjukkan hanya terdapat satu titik C yang demikian. Berikut gambar beberapa untuk titik C yang demikian.
C3
C1 B
A C2
Titik C1,C2,C3, menunjukkan titik dimana garis C menyinggung grafik.
Kemudian kita dapat mengatakan bahwa garis singgung dimana titik C berada sejajar dengan garis AB yang merupakan garis penghubung antara kedua titik ujung kurva.
Teorema Nilai Rataan untuk Turunan
Diberikan fungsi yang kontinyu pada interval tertutup dan terdifferensialkan (differentiable) pada interval terbuka maka terdapat paling tidak satu bilangan pada sedemikian hingga
( ) ( ) ( ) Atau secara setara,
( )( ) ( ) ( ) untuk suatu ( )
Catatan. Nilai ( ) ( ) disebut nilai rata-rata pada [a,b]. Nilai ini sama dengan gradien ruas garis singgung yang menghubungkan titik ( ( )) dan ( ( )). Teorema Nilai Rata-rata menyatakan bahwa pada kurva y = f(x) terdapat suatu titik ( ( )) dengan gradien garis singgung sama dengan nilai rata-rata pada [a, b].
Pernyataan (ƒ(b) − ƒ(a)) / (b − a) memberikan kemiringan garis yang menghubungkan titik (a, ƒ(a)) dan (b, ƒ(b)), yang merupakan garis sekan (tali busur) grafik fungsi f, sementara ƒ ′(x) memberikan kemiringan garis singgung kurva di titik (x, ƒ(x)). Maka teorema nilai rata-rata menyebutkan bahwa kita dapat menemukan titik yang berada di antara titik-titik ujung garis sekan tersebut sehingga garis singgung di titik tersebut sejajar dengan garis sekan.
Teorema nilai rata-rata adalah generalisasi teorema Rolle, yang menganggap f(a) = f(b), sehingga ruas kanan persamaan di atas adalah nol.
Adapun teorema Rolle
Misalkan fungsi kontinu pada interval tertutup dan terdifferensialkan dalam interior-interior ( ). Jika ( ) ( ) maka ada suatu nilai dalam ( ) sehingga ( )
Teorema nilai rata-rata masih sahih dalam keadaan yang lebih umum. Kita hanya perlu mengasumsikan bahwa f:[a, b] → R adalah kontinu dalam selang [a,
b], dan untuk setiap x dalam (a, b), limitnya adalah
ada sebagai bilangan terhingga atau sama dengan +∞ atau −∞. Bila berhingga, limit tersebut sama dengan f' (x). Contoh versi teorema ini berlaku diberikan oleh fungsi riil akar kubik yang memetakan x ke x1/3, yang turunannya mengarah ke takhingga di titik asal.
Hukum mean untuk orde lebih tinggi
Jika dan pertama turunannya adalah kontinu pada [a,b] dan terdapat ( )( ) pada (a,b) maka sedikitnya terdapat x0 pada (a,b)
sedemikian rupa sehingga
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) bila b diganti dengan x rumus tersebut menjadi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) untuk suatu x0 antara a dan x.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) untuk suatu x0 antara 0 dan x
Terdapat juga teorema yang menyatakan bahwa dua fungsi dengan turunan sama dibedakan oleh sebuah kostanta, kemungkinan oleh kostanta nol.
F
C C G C
Teorema
F’(x)=G’(x) untuk semua x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian rupa sehingga
( ) ( ) Untuk semua x dalam (a,b).
Bukti
Misalkan ( ) ( ) ( ) Maka
( ) ( ) ( )
Untuk semua x dalam (a,b).Pilih x1 sebagai suatu titik (tetap) dalam (a,b) dan
misalkan x sebarang titik lain di sana. Fungsi H memenuhi hipotesis Teorema Nilai Rataan pada interval tertutup dengan titik-titik ujung x1 dan x. Jadi terdapat
sebuah bilangan c di antara x1 dan x sedemikian rupa sehingga
( ) ( ) ( )( )
Tetapi menurut hipotesis H’(c)=0. Karena itu H(x) – H(x1)=0 atau H(x)=H(x1)
untuk semua x dalam (a,b). Karena ( ) ( ) ( ) kita simpulkan bahwa ( ) ( ) ( ).Sekarang misalkan C=H(x1), dan kita mempunyai
Pembuktian Teorema Nilai Rata-Rata
( )
( ) ( ( )) ( ( )) ( )
a x b
Misalkan h(x) didefinisikan pada [a,b] sebagai
( ) ( ) ( )
Dengan i kostanta. Maka h(x) kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Kita pilih konstanta i sedemikian sehingga h(a) = h(b),
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
Jelas h(x) kontinu pada [a,b] dan terdiferensialkan pada (a,b) dan dengan mudah dihitung ( ) ( ) Ini berarti h(x) memenuhi kondisi dari teorema Rolle. Berdasarkan Teorema Rolle, terdapat ( ) sdedemikian sehingga ( ) . Jika ( ) diturunkan, diperoleh
( ) ( ) ( ( ) ( ) ) Karena ( ) maka
( ) ( ( ) ( ) )
Bukti teorema nilai rata-rata ini merupakan penerapan teorema Rolle, sedangkan Teorema Rolle adalah kasus khusus dari teorema nilai rata-rata dimana
Soal dan Penyelesaian
1. Diketahui f(x) = √ . Tentukan nilai rata-rata f pada [0, 4]. Tentukan c є(0, 4) sedemikian sehingga f (c) sama dengan nilai rata-rata tersebut.
Penyelesaian: ( ) √ ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ) √ ,
2. Sebuah benda mempunyai fungsi posisi s(t)=2t2-t-1. Tentukan kecepatan rata-rata paada interval [1,3] dan waktu ketika kecepatan sesaat sama dengan kecepatan rata-rata!
Penyelesaian:
Kecepatan rata-rata pada interval [1,3]=
( ) ( )
Kecepatan sesaat adalah ( ) . Jadi
3. Apakah teorema rataan dapat digunakan pada fungsi f(x)=x2-5x+4 pada interval[-3,3]? Jika ia, tentukan nilai c nya.
Penyelesaian: Ya,bisa. ( ) ( ) ( )
4. Diketahui h(t) = t2. Tentukan nilai rata-rata h pada [0, 2] dan c sedemikian sehingga h (c) sama dengan nilai rata-rata tersebut.
Penyelesaian: ( ) ( ) ( )
5. Tentukan nilai rata-rata z(y) = ¾ y3-4 pada interval [ ½ ,5] dan c sehingga
z (c) sama dengan nilai rata-rata tersebut.
( ) ( ) ( )
6. Sebuah mobil menempuh jarak 310 km dari Soppeng ke Makassar dalam waktu 4 jam, dari t=0 sampai t=5. Misalkan f(t) menyatakan jarak yang ditempuh pada saat t, dan f fungsi yang terdifferensialkan. Tentukan kecepatan rata-rata perjalanan.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dan dengan demikian
( )
pada saat c dalam (0,5). Tetapi f (c) menyatakan kecepatan pada saat t=c, dan kecepatan rata-rata perjalanan 62 km/jam.
7. Tentukan nilai rata-rata h(x) = √ pada interval [1 ,2] dan c sehingga
h (c) sama dengan nilai rata-rata tersebut.
( ) √ ( ) ( ) √
8. Sebuah benda mempunyai fungsi posisi s(t)=t2+5. Carilah kecepatan rata-rata pada interval[5/2,4] dan waktu ketika kecepatan sesaat sama dengan kecepatan rata-rata.
( ) ( ) ( ) ( )
9. Suatu fungsi diketahui f(x)=4x2-1 . Tentukan nilai rata-rata f pada interval
[1,3] dan c sehingga f (c) sama dengan nilai rata-rata tersebut! Penyelesaian: ( ) ( ) ( ) ( )
10. Sebuah motor menempuh perjalanan dari Soppeng ke Bone selama 2 jam yang berjarak 105 km, dari t=0 sampai t=3. F(t) menyatakan jarak yang ditempuh pada saat t, f fungsi yang terdifferensialkan. Carilah kecepatan rata-rata yang dijamin oleh teotema Nilai Rataan!
Penyelesaian:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
Jadi kecepatan rata-rata perjalanan sepeda motor tersebut adalah 35 km/jam.
DAFTAR PUSTAKA
Anonim.2010.Penggunaan Turunan.From http://www. Scribd.kalkulus/aplikasi-turunan.htm.diakses pada 6 Januari 2012.
Anonim.2010.Teorema Nilai Purata.from http://id.wikipedia.org/Mean-Value-Theorem-.html.diakses pada 6 Januari 2012.
Anonim.2010.Teorema Nilai Rata-Rata.
Fromhttp://ariaturns.wordpress.com/.diakses pada 6 Januari 2012
Dedy, Endang.,Encum Sumiaty.,Dadang Juandi.,& Kusnandi.2003.Kalkulus
I.Edisi Revisi,Bandung:JICA.
Varbeg.,Purcell., & Rigdon.2010.Kalkulus Edisi Kesembilan (Terjemahan).jilid I,Jakarta:Erlangga.
