MASTER Analisis Matematika Teknik Kimia

“The Expert in Anything was Once a Beginner”

Daftar isi

UTS 1 4 UTS 243 UTS 365 UAS86

“I’ve Got a Dream That’s Worth More Than My Sleep”

TB2101 ANALISIS MATEMATIKA TEKNIK BIOENERGI & KEMURGI UJIAN TENGAH SEMESTER I 2016/2017

Tanggal : 29 September 2016 Durasi : 150 menit

1. Pertumbuhan bakteri ‘A’ dapat dinyatakan sebagai model kinetika reaksi orde 1 terhadap konsentrasi bakteri ‘A’ saat itu dan laju pertumbuhan spesifik μ [jam^-1] yang merupakan konstanta reaksi pertumbuhan tersebut. Penumbuhan bakteri dilakukan di dalam reaktor batch dengan volume tetap.

a. Susun model matematika untuk fenomena tersebut.

b. Tentukan konstanta reaksi pertumbuhan bakteri ‘A’, bila terukur konsentrasi bakteri

‘A’ melipat dua dalam waktu 2 jam.

c. Tentukan berapa konsentrasi bakteri ‘A’ setelah dibiarkan tumbuh selama 1 hari di dalam reaktor tersebut, bila diketahui konsentrasi awalnya adalah 10⁶sel/mL.

2. Reaksi𝐴 𝑘 memiliki persamaan-persamaan laju reaksi sebagai berikut:

1→𝐵 𝑘

2→𝐶

𝑑𝐴

𝑑𝑡 =− 𝑘

1𝐴

𝑑𝐵 𝑑𝑡 = 𝑘

1𝐴 − 𝑘

2𝐵

𝑑𝐶 𝑑𝑡 = 𝑘

2𝐵

Jika diketahui𝑘 = 0,01 menit^-1, = 0,02 menit^-1, = 3 M, = 0 M, dan = 0 M,

1 𝑘

2 𝐴

0 𝐵

0 𝐶

0

maka tentukan konsentrasi B setelah = 60 menit.𝑡

3. Suatu tangki berbentuk silinder (h = 10 m) dengan alas dan atap berbentuk setengah bola (D = 5 m). Pada operasi sehari-hari, tangki berisi air dengan ketinggian 70% dari tinggi silinder (bukan dari tinggi tangki). Air masuk pada bagian atas dengan laju tetap 50 L/jam dan keluar dengan laju yang sama melalui saluran di dasar tangki yang terhubung dengan pompa. Saluran keluaran yang digunakan adalah pipa berdiameter dalam 2” (1” = 2,54 cm).

Bila tiba-tiba pompa tersebut rusak dan air dibiarkan mengalir keluar dengan hanya memanfaatkan gaya gravitasi, berapakah ketinggian cairan setelah 0,5 jam?

Hint : Turunkan model persamaan diferensial dari proses di atas dan selesaikan untuk mendapatkan ketinggian setelah 0,5 jam.

TB2101 ANALISIS MATEMATIKA TEKNIK BIOENERGI & KEMURGI SOLUSI UJIAN TENGAH SEMESTER I 2016/2017

Tanggal : 29 September 2016 Durasi : 150 menit

1. Model matematika berdasarkan rumus kinetika reaksi orde satu :

𝑑𝐶_𝐴

𝑑𝑡 = µ. 𝐶

𝐴

𝐶_𝐴

0

𝐶_𝐴

∫ ^𝑑𝐶_𝐶^𝐴

𝐴

=

0 𝑡

∫ µ 𝑑𝑡

ln 𝑙𝑛 _𝐶^𝐶𝐴

𝐴0

= µ. 𝑡

Diketahui C_Asaat t = 2 bernilai 2 C_A0 ln 𝑙𝑛 ^2.𝐶_𝐶^𝐴0

𝐴0

= 2µ jam^-1 µ = ^{ln𝑙𝑛 2} ₂ ≈0, 347

Menghitung konsentrasi bakteri setelah 1 hari : ln 𝑙𝑛 _𝐶^𝐶𝐴

𝐴0

= µ. 𝑡 ln 𝑙𝑛 ^𝐶𝐴

10⁶ = ^{ln𝑙𝑛 2} ₂ . 24 = ln 𝑙𝑛 2¹² sel/ml 𝐶𝐴 = 2¹²× 10⁶= 4. 096. 000. 000

2. Persamaan laju reaksi A :

𝑑𝐴 𝑑𝑡 =− 𝑘

1. 𝐴

𝐴₀ 𝐴

∫ ^𝑑𝐴_𝐴 =−

0 𝑡

∫ 𝑘1 𝑑𝑡

A₀= 3 M dan k₁= 0,01 menit^-1 ln 𝑙𝑛 ^𝐴₃ =− 0, 01𝑡

exp menit^-1

𝐴 = 3 (− 0, 01𝑡) Persamaan laju reaksi B :

𝑑𝐵

𝑑𝑡 = 𝑘₁. 𝐴 − 𝑘₂. 𝐵 ( exp

𝑑𝐵

𝑑𝑡 = 0, 01. 3 (− 0, 01𝑡)) − 0, 02𝐵

𝑑𝐵 exp

𝑑𝑡 + 0, 02𝐵 = 0, 03 (− 0, 01𝑡)

Penyelesaian persamaan diferensial orde satu di atas menggunakan metode I-factor : 𝐵 𝑡( ) = _{𝐼 𝑡( )}¹ ∫ 𝐼 𝑡( ). 𝑓 𝑡( )𝑑𝑡 + _𝐼(𝑡)^𝐶

dimana

𝐼 𝑡( ) = 𝑒𝑥𝑝 ∫ 0, 02 𝑑𝑡

( )

= 𝑒𝑥𝑝(0, 02𝑡)

𝑓 𝑡( ) = 0, 03exp(− 0, 01𝑡) Maka

𝐵 𝑡( ) = _{𝑒𝑥𝑝(0,02𝑡)}¹ ∫ 𝑒𝑥𝑝(0, 02𝑡). 0, 03 𝑒𝑥𝑝 (− 0, 01𝑡)( )𝑑𝑡 + _{𝑒𝑥𝑝(0,02𝑡)}^𝐶

𝐵 𝑡( ) = _{𝑒𝑥𝑝(0,02𝑡)}^0,03 ∫ 𝑒𝑥𝑝(0, 02𝑡). 𝑒𝑥𝑝 (− 0, 01𝑡)( )𝑑𝑡 + _{𝑒𝑥𝑝(0,02𝑡)}^𝐶

𝐵 𝑡( ) = _{𝑒𝑥𝑝(0,02𝑡)}^0,03 ∫ 𝑒𝑥𝑝(0, 02𝑡 − 0, 01𝑡). 𝑑𝑡 + _{𝑒𝑥𝑝(0,02𝑡)}^𝐶

𝐵 𝑡( ) = _{𝑒𝑥𝑝(0,02𝑡)}^0,03 ∫ 𝑒𝑥𝑝(0, 01𝑡). 𝑑𝑡 + _{𝑒𝑥𝑝(0,02𝑡)}^𝐶 𝐵 𝑡( ) = _{𝑒𝑥𝑝(0,02𝑡)}^0,03

(

_0,01¹ . 𝑒𝑥𝑝 (0, 01𝑡)

)

⁺ 𝑒𝑥𝑝(0,02𝑡)^𝐶

𝐵 𝑡( ) = ^0,03_0,01 × ^{𝑒𝑥𝑝(0,01𝑡)}_{𝑒𝑥𝑝(0,02𝑡)} + _{𝑒𝑥𝑝(0,02𝑡)}^𝐶 𝐵 𝑡( ) = 3 𝑒𝑥𝑝 (− 0, 01𝑡) + _{𝑒𝑥𝑝(0,02𝑡)}^𝐶 Saat t=0, konsentrasi B = B(t) = 0 0 = 3 𝑒𝑥𝑝 (0) + _{𝑒𝑥𝑝(0)}^𝐶

𝐶 =− 3

Menghitung konsentrasi B saat t = 60 menit 𝐵 60( ) = 3 𝑒𝑥𝑝 (− 0, 01×60) + 𝑒𝑥𝑝(0,02×60)⁻³

𝐵 60( ) = 3 𝑒𝑥𝑝 (− 0, 6) + _{𝑒𝑥𝑝 1,2}⁻³_{( )}≈0, 743M

3. Diketahui :

-

-tinggi air pada level 70% tinggi silinder -Q masuk = 50 L/jam = ₇₂₀₀₀¹ m³/s

-jari-jari pipa keluaran = 2,54 cm = 0,0254 m -air keluar dengan memanfaatkan gaya gravitasi

Ditanya :

Ketinggian cairan setelah 0.5 jam = 1800 s ? Asumsi :

-h =0 pada dasar tangki (dasar setengah bola) sehingga tinggi air saat operasi sehari-hari bernilai

h =( ¹₂ x 5 ) + (70% x 10) = 9,5 m

-air di dalam tangki selalu berada di atas alas yang berbentuk setengah bola atau 2,5 m < h <

12,5 m Jawab :

Laju keluar air = A.v (persamaan kontinuitas) , dimana

𝑣 = 2𝑔ℎ

Neraca volume air : Laju masuk – laju keluar = laju akumulasi

50 _𝑗𝑎𝑚^𝐿 − π. 2, 54 𝑐𝑚( )². 2𝑔ℎ = ^𝑑𝑉_𝑑𝑡

Saat 2,5 m < h < 12,5 m, ketinggian permukaan air terletak pada silinder sehingga : 50 _𝑗𝑎𝑚^𝐿 − π. 2, 54 𝑐𝑚( )². 2𝑔ℎ = 𝐴. ^𝑑ℎ_𝑑𝑡

Mengubah satuan menjadi m dan detik

1

72000 𝑚³/𝑠 − π. 0, 0254 𝑚( )². 2×9, 81 ^𝑚

𝑠². ℎ = π 2, 5𝑚( )². ^𝑑ℎ_𝑑𝑡

1, 39. 10⁻⁵ − 8, 98. 10⁻³. ℎ = 19, 63 ^𝑑ℎ_𝑑𝑡

Misal ℎ = 𝑥 ↔ℎ = 𝑥²

1, 39. 10⁻⁵ − 8, 98. 10⁻³. 𝑥 = 19, 63 ^𝑑(𝑥

2) 𝑑𝑡 1, 39. 10⁻⁵− 8, 98. 10⁻³. 𝑥 = 19, 63. 2𝑥( ). ^𝑑𝑥_𝑑𝑡

𝑑𝑡 = ^39,27𝑥

1,39.10⁻⁵−8,98.10⁻³𝑥. 𝑑𝑥

Misal a = 39,27, b = 1,39.10^-5, c = 8,98.10^-3

∫ 𝑑𝑡 = ∫ _{𝑏−𝑐𝑥}^𝑎𝑥 𝑑𝑥 = ∫ ⁻

𝑎

𝑐(𝑏−𝑐𝑥)+^𝑎𝑏_𝑐

𝑏−𝑐𝑥 . 𝑑𝑥 = ∫ ⁻

𝑎

𝑐(𝑏−𝑐𝑥)+^𝑎𝑏_𝑐 𝑏−𝑐𝑥 . 𝑑𝑥

+ C 𝑡 =− ^𝑎𝑥_𝑐 + ∫

𝑎𝑏 𝑐

𝑏−𝑐𝑥 𝑑𝑥

Penyelesaian integral dengan memisalkan u=b-cx maka ^𝑑𝑢_𝑑𝑥 =− 𝑐

= - sehingga

∫

𝑎𝑏 𝑐

𝑏−𝑐𝑥 𝑑𝑥 = ∫

𝑎𝑏 𝑐

𝑢 𝑑𝑢

−𝑐

𝑎𝑏

𝑐² ∫ ¹_𝑢 𝑑𝑢

𝑡 =− ^𝑎𝑥_𝑐 − ^𝑎𝑏

𝑐². ln 𝑙𝑛 𝑏 − 𝑐𝑥| | + 𝐶 Pada saat t=0, h=9,5 m

Namun ingat fungsi hanya berlaku ketika 2,5 m < h < 12,5 m seperti dijelaskan di atas (selama permukaan air selalu berada di atas alas yang berbentuk setengah bola)

0 =− ^{39,27× 9,5}

8,98.10⁻³ − 39,27×1,39.10⁻⁵ 8,98.10⁻³

( )² . ln 𝑙𝑛 1, 39. 10

|

⁻⁵− 8, 98. 10⁻³. 9, 5

|

^{+ 𝐶}

𝐶 = 13454, 36

Masukkan t = 30 menit = 1800 detik ke persamaan untuk mendapat nilai x dan kemudian nilai h

1800 − 𝐶 =− ^{39,27 𝑥}

8,98.10⁻³ − 39,27×1,39.10⁻⁵ 8,98.10⁻³

( )² . ln 𝑙𝑛 1, 39. 10

|

⁻⁵− 8, 98. 10⁻³. 𝑥

|

Dengan menggunakan solver didapat nilai x :

m

𝑥≈2, 67 ↔ℎ = 𝑥²≈7, 13

Nilai h yang didapat (7,13 m) masih dalam range permukaan silinder (2,5 m < h < 12,5 m) maka jawaban bisa diterima.

TB2101 ANALISIS MATEMATIKA TEKNIK BIOENERGI & KEMURGI UJIAN TENGAH SEMESTER I 2017/2018

Tanggal : 4 November 2017 Durasi : 100 menit

1. [SO ABET A & E; Penyusunan Model Matematika dan Penyelesaian PDB Simultan]

Pengadukan sistem kristalisasi dilakukan dengan mensirkulasikan larutan dari tangki A ke tangki B dan sebaliknya. Dalam tangki A mula-mula terdapat sebanyak 2,5 ton kristal sedangkan tangki B berisi air murni. Volume masing-masing tangki adalah 1 m³. Apabila laju aliran sirkulasi adalah 100 L/menit, setelah berapa lama konsentrasi kristal pada tangki A menjadi setengahnya?

2. [SO ABET A; Penyelesaian PDB Simultan]

Reaksi-reaksi searah, orde dua, dan konsekutif terjadi di dalam sebuah reaktor partaian (batch).

𝐴 + 𝐵 𝑘

1 → 𝐶 𝑟

1= 𝐶

𝐴𝐶

𝐵 ⎡= _{𝐿 ∙ 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘}^𝑚𝑜𝑙

⎣ ⎤

⎦ 𝐵 + 𝐶 𝑘

2 → 𝐷 𝑟

2= 2𝐶

𝐵𝐶

𝐶 ⎡= _{𝐿 ∙ 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘}^𝑚𝑜𝑙

⎣ ⎤

⎦

Pada saat t = 0 detik, jumlah mol A dan B masing-masing adalah 1 dan 3 mol.

Tentukan fraksi mol C yang terdapat dalam campuran reaksi setelah 50% A dikonsumsi.

3. [SO ABET A; Penyelesaian PDB Orde 2]

Sebuah besi pemanas air berbentuk batang silinder dipasok energi panas sebesar q. pada kondisi tunak, laju panas yang dihasilkan oleh silinder sama dengan laju panas yang dipindahkan dari permukaan silinder ke fluida air yang bergerak. Kondisi ini

memungkinkan suhu permukaan (Ts) dipertahankan pada nilai tetap dan dapat dinyatakan dalam persamaan matematika:

1 𝑟

𝑑

𝑑𝑟

(

𝑟𝑘 ^𝑑𝑇_𝑑𝑟

)

^{+ 𝑞 = 0}

Tentukan nilai temperatur (T) sebagai fungsi jari-jari silinder (r) jika konduktivitas termal k adalah:

a. Sebuah konstanta (nilai tetap);

b. Sebuah fungsi dari T.

TB2101 ANALISIS MATEMATIKA TEKNIK BIOENERGI & KEMURGI SOLUSI UJIAN TENGAH SEMESTER I 2017/2018

Tanggal : 4 November 2017 Durasi : 100 menit Jawaban No.1

Diketahui :

Pengadukan sistem kristalisasi dengan mensirkulasikan larutan dari tangki A ke tangki B dan sebaliknya.

Ditanya : t = …? ketika CA= 50% CA0

Asumsi : Pengadukan dilakukan secara sempurna Tidak ada kebocoran pada tangki Jawab :

Tank A

Neraca massa kristal

Masuk – Keluar = Akumulasi 100 . CB– 100 . CA= V ^𝑑𝐶_𝑑𝑡^𝐴

100 C_B– 100 C_A= 1000 . ^𝑑𝐶_𝑑𝑡^𝐴

𝐶_𝐵−𝐶_𝐴

10

=

^𝑑𝐶_𝑑𝑡^𝐴

Tank B

Neraca massa kristal

Masuk – Keluar = Akumulasi 100 . C_A– 100 . C_B= V ^𝑑𝐶_𝑑𝑡^𝐵 100 C_A– 100 C_B= 1000 . ^𝑑𝐶_𝑑𝑡^𝐵

𝐶𝐵−𝐶

𝐴

10

=

^𝑑𝐶_𝑑𝑡^𝐴

saat t = 0, CA0= 2,5 kg/L 𝑑𝐶𝐴/𝑑𝑡

𝑑𝐶𝐵/𝑑𝑡

=

𝐶_𝐵−𝐶_𝐴 10 𝐶_𝐴−𝐶_𝐵

10

𝑑𝐶𝐴

𝑑𝐶𝐵

=

^𝐶_𝐶^{𝐵−𝐶𝐴}

𝐴−𝐶

𝐵

=− 1

∫ 𝑑𝐶𝐴=− ∫ 𝑑𝐶

𝐵

C_A= -C_B+ K₁; kemudian

𝐶_𝐵−𝐶_𝐴

10

=

^𝑑𝐶_𝑑𝑡^𝐴

𝐾₁−𝐶

𝐴

−𝐶_𝐴

10

=

^𝑑𝐶_𝑑𝑡^𝐴

∫

₁₀^𝑑𝑡

= ∫

_𝐾^𝑑𝐶𝐴

1−2𝐶

𝐴

𝑡 10

=

𝑙𝑛|𝐾₁−2𝐶

𝐴

|

−2

+ 𝐾

2

𝑙𝑛|𝐾

1

− 2𝐶

𝐴

| =−

₅^𝑡

− 𝐾

2

𝑙𝑛|𝐾

1

− 2𝐶

𝐴

| =−

₅^𝑡

+ 𝐾

3

𝐾

1

− 2𝐶

𝐴

= 𝑒𝑥𝑝(−

₅^𝑡

+ 𝐾

3

) 2𝐶

𝐴

= 𝐾

1

− 𝐾

4

𝑒𝑥𝑝(−

₅^𝑡

)

(Dengan C adalah konstanta terakhir)

𝐶

𝐴

=

^𝐾₂¹

− 𝐾

5

𝑒𝑥𝑝(−

₅^𝑡

)

Karena C_B= K – C_Amaka diperoleh

𝐶

𝐵

=

^𝐾₂¹

+ 𝐾

5

𝑒𝑥𝑝(−

₅^𝑡

)

Saat t = 0, C_B0= 0 maka dapat diperoleh K₅= -K₁/2

Sehingga

𝐶 ,

saat t = 0, CA0= 2,5

𝐴

=

^𝐾₂¹

+

^𝐾₂¹

𝑒𝑥𝑝(−

₅^𝑡

) 2, 5 =

^𝐾₂¹

+

^𝐾₂¹

= 𝐾

1

𝐶

𝐴

= 1, 25 + 1, 25 𝑒𝑥𝑝(−

₅^𝑡

)

Maka CA= 1,25. t = …?

1, 25 = 1, 25 + 1, 25 𝑒𝑥𝑝(−

₅^𝑡

)

→

𝑒𝑥𝑝(−

₅^𝑡

) = 0 𝑡 = ∞

Sehingga dibutuhkan waktu yang sangat lama agar konsentrasi kristal pada A tinggal setengah.

Jawaban soal 2

Diketahui : A + B → C r₁= C_AC_B

B + C → D r2= 2 CBCC

Saat t = 0, CA0= 1 mol dan CB0= 3 mol Ditanya : Y_Csetelah 50% A di konsumsi

Jawab :

𝑑𝐶𝐴

𝑑𝑡

=− 𝐶

𝐴

. 𝐶

𝐵 𝑑𝐶𝐵

𝑑𝑡

=− 𝐶

𝐴

. 𝐶

𝐵

− 2𝐶

𝐶

. 𝐶

𝐵 𝑑𝐶𝐶

𝑑𝑡

= 𝐶

𝐴

. 𝐶

𝐵

− 2𝐶

𝐶

. 𝐶

𝐵 𝑑𝐶𝐷

𝑑𝑡

= 2𝐶

𝐶

. 𝐶

𝐵 𝑑𝐶_𝐶

𝑑𝐶𝐴

=

^{𝐶𝐴.𝐶}_−𝐶^{𝐵−2𝐶𝐶.𝐶𝐵}

𝐴.𝐶

𝐵

= − 1 + 2

^𝐶_𝐶^𝐶

𝐴

Misalkan ^𝐶𝐶 maka

𝐶_𝐴

= 𝑣

_𝑑𝐶^𝑑𝐶𝐶

𝐴

=

_𝑑𝐶^𝑑𝑣

𝐴

. 𝐶

𝐴

+ 𝑣

𝑑𝑣 𝑑𝐶_𝐴

. 𝐶

𝐴

+ 𝑣 =− 1 + 2𝑣

𝑑𝑣 𝑑𝐶𝐴

. 𝐶

𝐴

=− 1 + 𝑣

∫

_𝑣−1^𝑑𝑣

= ∫

^𝑑𝐶_𝐶^𝐴

𝐴

ln |v-1| = ln |C_A| + K v – 1 = K . CA

– 1 = K. CA

𝐶_𝐶 𝐶_𝐴

saat t =0, C_C = 0 dan C_A= 1 mol maka diperoleh K = -1

𝐶𝐶

𝐶𝐴

− 1 =− 𝐶

𝐴 2

𝐶

𝐶

= 𝐶

𝐴

− 𝐶

𝐴 2

TB2101 ANALISIS MATEMATIKA TEKNIK BIOENERGI & KEMURGI UJIAN TENGAH SEMESTER I 2018/2019

Tanggal : 8 September 2018 Durasi : 100 menit Soal No.1

[CLO 1 dan 2; SO 1; Poin 30; Penyusunan model matematika sederhana]

Suatu reaktor dengan temperatur awal 70°C didinginkan menggunakan udara pendingin dengan temperatur 45°C. Jika setelah 4 jam pendinginan, temperatur reaktor turun menjadi 65°C, tentukan temperatur reaktor setelah 8 jam pendinginan.

Catatan: Laju perubahan temperatur di dalam reaktor merupakan fungsi konstanta perpindahan panas dikalikan perbedaan temperatur antara reaktor dan lingkungan.

Soal No.2

[CLO I dan 2; SO 1; Poin 36; Penyusunan model matematika sederhana]

Larutan garam dengan konsentrasi 0,5 kg/L dimasukkan ke dalam suatu tangki dengan laju 2 L/menit. Pada bagian bawah tangki, campuran keluar dengan laju 2 L/menit. Setelah 10 menit, aliran masuk diganti dengan air murni dengan laju masuk dan keluar yang sama. Jika pada kondisi awal terdapat 100 L air murni di dalam tangki, tentukan konsentrasi garam dalam tangki setelah 20 menit operasi.

Asumsi: densitas air murni dan larutan garam adalah sama serta pencampuran berlangsung sempurna.

Soal No.3

[CLO 2; SO 1; Poin 20; Penyelesaian PDB orde 1]

Profil konsentrasi senyawa A dalam reaktor dapat dinyatakan sebagai

𝑑𝐶

𝐴

+ (

¹_𝑡

𝐶

𝐴

+ 𝑡𝐶

𝐴

3

)𝑑𝑡 = 0

Tentukan C_Asebagai fungsi waktu (t).

Soal No.4

[CLO 2; SO 1; Poin 20; Penyelesaian PDB]

Tuliskan penyelesaian umum dari persamaan diferensial berikut:

(2𝑥𝑦 − 3𝑥

²

)𝑑𝑥 + (𝑥

²

+− 2𝑦)𝑑𝑦 = 0

TB2101 ANALISIS MATEMATIKA TEKNIK BIOENERGI & KEMURGI SOLUSI UJIAN TENGAH SEMESTER I 2018/2019

Tanggal : 8 September 2018 Durasi : 100 menit 1. 𝑇

0 = 70°𝐶 𝑇𝑢𝑑𝑎𝑟𝑎 = 45°𝐶 Saat t = 4 jam,𝑇

4 =65°𝐶 Saat t = 8 jam,𝑇

8 =... °𝐶?

𝑑𝑇

𝑑𝑡

= 𝑘(𝑇 − 𝑇

𝑢𝑑𝑎𝑟𝑎

)

70 65

∫

_𝑇−45^𝑑𝑇

=

0 4

∫ 𝑘 𝑑𝑡 𝑙𝑛

⁶⁵₇₀

= 4𝑘 𝑘 =− 0. 0185

𝑑𝑇

𝑑𝑡

=− 0, 0185(𝑇 − 45)

70 𝑇₈

∫

_𝑇−45^𝑑𝑇

=

0 8

∫− 0. 0185 𝑑𝑡

𝑙𝑛

₇₀^𝑇8

=− 0. 1482 𝑇

8

= 60. 357°𝐶

2. 𝐶

𝐴0 = 0. 5 𝐾𝑔/𝐿

(Steady state) 𝐹𝑖𝑛= 𝐹

𝑜𝑢𝑡 = 2 𝐿/𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 𝑉𝑡𝑎𝑛𝑔𝑘𝑖=100 𝐿

Saat t = 20 menit, C=... 𝐾𝑔/𝐿?

Untuk 10 menit pengisian pertama berlaku:

𝑑𝑚

𝑑𝑡

= 1 − 2𝐶

𝑑(𝐶.𝑉)

𝑑𝑡

= 1 − 2𝐶 𝑉

^𝑑𝐶_𝑑𝑡

+ 𝐶

^𝑑𝑉_𝑑𝑡

= 1 − 2𝐶

Karena kondisisteady state, ^𝑑𝑉_𝑑𝑡 = 0

100

^𝑑𝐶_𝑑𝑡

= 1 − 2𝐶

;

diintegralkan menjadi

𝑑𝐶

1−2𝐶

=

₁₀₀^𝑑𝑡

−

¹₂

𝑙𝑛 (1 − 2𝐶) =

₁₀₀^𝑡

+ 𝐾

Pada tangki mula mula hanya terdapat 100 L air murni, sehingga konsentrasi garam = 0

−

¹₂

𝑙𝑛 1 = 𝐾

;

sehingga:

𝐾 = 0

−

¹₂

𝑙𝑛 (1 − 2𝐶) =

₁₀₀^𝑡

Untuk t = 10 menit:

−

¹₂

𝑙𝑛 (1 − 2𝐶) =

₁₀₀¹⁰

1

2

𝑙𝑛 (1 − 2𝐶) =−

¹₅

1 − 2𝐶 = 0. 81873

𝐶 = 0. 09 𝐾𝑔/𝐿

Untuk 10 menit pengisian kedua berlaku:

𝑑𝑚

𝑑𝑡

= − 2𝐶

𝑑(𝐶.𝑉)

𝑑𝑡

= − 2𝐶 𝑉

^𝑑𝐶_𝑑𝑡

+ 𝐶

^𝑑𝑉_𝑑𝑡

= − 2𝐶

100

^𝑑𝐶_𝑑𝑡

= − 2𝐶 50

^𝑑𝐶_𝑑𝑡

= − 𝐶

;

diintegralkan menjadi

𝑑𝐶

𝐶

=−

₅₀^𝑑𝑡

𝑙𝑛 (𝐶) =−

₅₀^𝑡

+ 𝐾

Saat t = 0; C = 0.09 Kg/L

𝑙𝑛 (0. 09) =−

₅₀⁰

+ 𝐾

;

sehingga:

𝐾 =− 2. 40794

𝑙𝑛 (𝐶) =− (

₅₀^𝑡

+ 2. 40794)

Untuk t = 10 menit (20 menit semenjak pengoperasian awal):

𝑙𝑛 (𝐶) =− (

¹⁰₅₀

+ 2. 40794) 𝐶 = 0. 0742 𝐾𝑔/𝐿

3. Perhatikan penyelesaian berikut:

𝑑𝐶

𝐴

+ (

¹_𝑡

𝐶

𝐴

+ 𝑡𝐶

𝐴

3

)𝑑𝑡 = 0 𝑑𝐶

𝐴

= − (

¹_𝑡

𝐶

𝐴

+ 𝑡𝐶

𝐴 3

)𝑑𝑡

𝑑𝐶_𝐴

𝑑𝑡

= − (

¹_𝑡

𝐶

𝐴

+ 𝑡𝐶

𝐴 3

)

𝑑𝑣

𝑑𝑡

−

^{2 𝑣}_𝑡

= 2𝑡

𝐼(𝑡) = 𝑒

∫−²_𝑡 𝑑𝑡

𝐼(𝑡) = 𝑒

^{−2𝑙𝑛(𝑡)}

= 𝑡

⁻²

𝑑𝐶𝐴

𝑑𝑡

+

^𝐶_𝑡^𝐴

+ 𝑡𝐶

𝐴

3

= 0

𝐶

𝐴

−3 𝑑𝐶𝐴

𝑑𝑡

+

^𝐶𝐴

−2

𝑡

= − 𝑡

misal𝑣 = 𝐶

𝐴

−2

𝑑𝑣

𝑑𝑡

=

_𝑑𝐶^𝑑𝑣

𝐴

𝑑𝐶𝐴

𝑑𝑡

=− 2𝐶

𝐴

−3 𝑑𝐶_𝐴 𝑑𝑡 𝑑𝐶_𝐴

𝑑𝑡

=−

¹₂

𝐶

𝐴 3 𝑑𝑣

𝑑𝑡

𝑣 = 𝑡

²

∫ 𝑡

⁻²

2𝑡 𝑑𝑡 +

^𝐶

𝑡⁻²

𝑣 = 2 𝑡

²

𝑙𝑛(𝑡) + 𝐶𝑡

²

1

𝐶_𝐴²

=

¹

𝑡²2𝑙𝑛(𝑡)+𝐶

=

¹_{𝑡 2𝑙𝑛(𝑡)+𝐶}¹

4.

(2𝑥𝑦 − 3𝑥

²

)𝑑𝑥 + (𝑥

²

+− 2𝑦)𝑑𝑦 = 0

𝑀(𝑥, 𝑦) = (2𝑥𝑦 − 3𝑥

²

) 𝑁(𝑥, 𝑦) = (𝑥

²

+− 2𝑦) ϕ = 𝑥

²

𝑦 − 𝑥

³

+ 𝑓(𝑦)... (1)

Selesaikan f(y)

𝑑ϕ

𝑑𝑡

= 𝑥

²

+

^𝑑𝑓_𝑑𝑦

= 𝑁(𝑥, 𝑦)

𝑑𝑓

𝑑𝑦

=− 2𝑦 𝑑𝑓 =− 2𝑦 𝑑𝑦

Diintegralkan menjadi:

𝑓 =− 𝑦

²

+ 𝐶

2

... (2)

Substitusikan pers. 2 ke pers. 1

ϕ = 𝑥

²

𝑦 − 𝑥

³

− 𝑦

²

+ 𝐶

2

𝐶

1

= 𝑥

²

𝑦 − 𝑥

³

− 𝑦

²

+ 𝐶

2

𝐶

1

− 𝐶

2

= 𝑥

²

𝑦 − 𝑥

³

− 𝑦

²

⇐ 𝑘 = 𝐶

1

− 𝐶

2

𝑘 = 𝑥

²

𝑦 − 𝑥

³

− 𝑦

²

Susun ulang menjadi:

y =

^{−𝑥3−𝑘}

𝑦−𝑥²

TB2101 ANALISIS MATEMATIK TEKNIK BIOENERGI & KEMURGI UJIAN TENGAH SEMESTER I 2019/2020

Tanggal : 28 September 2019 Durasi : 90 menit Soal No. 1

Suatu koloni bakteri berada dalam lingkungan yang kaya makanan serta ruang bagi koloni untuk tumbuh. Dalam lingkungan seperti itu, pertumbuhan populasi koloni berbanding lurus dengan jumlah bakteri. Jika laju pertumbuhan bakteri adalah 4% per jam, tentukan:

a. Model matematika pertumbuhan koloni bakteri tersebut.

b. Waktu yang diperlukan agar koloni bakteri berjumlah 5 kali dibandingkan popilasi koloni awal.

[CLO 2; SO 1; Poin 30; Penyelesaian persamaan diferensial biasa]

Soal No. 2

Suatu tangki mula-mula berisi larutan garam dengan volume 100 liter dan konsentrasi garam sebesar 0,1 kg/liter. Pada t = 0, air murni mulai masuk melalui bagian atas tangki dengan laju 12 liter/menit dan keluar pada bagian bawah dengan laju 10 liter/menit. Tentukan konsentrasi garam dalam tangki setelah 30 menit.

Catatan: Kapasitas tangki sangat besar sehingga mampu menampung air garam.

[CLO 1 and 2; SO 1; Poin 40; Pemodelan matematika sederhana]

Soal No.3

Reaksi A 𝑘1→ P 𝑘2→ S memiliki nilai konstanta laju reaksi k1= 0,03 menit^-1dan k2= 0,025 menit^-1. Reaksi tersebut berlangsung dalam reaktor batch. Senyawa P merupakan produk utama yang diinginkan, sedangkan S adalah produk samping. Jika, pada saat t = 0, konsentrasi A (C_A0) = 2 M, P (CP0) = 0,05 M, dan S (CS0) = 0, hitunglah waktu yang dibutuhkan sehingga konsentrasi produk P bernilai maksimum. Persamaan-persamaan laju reaksi yang berlangsung diberikan sebagai berikut.

− 𝑟𝐴= − ^𝑑𝐶_𝑑𝑡^𝐴 = 𝑘

1𝐶

𝐴

𝑟𝑃= ^𝑑𝐶_𝑑𝑡^𝑃 = 𝑘

1𝐶

𝐴− 𝑘

2𝐶

𝑃

𝑟𝑆 = ^𝑑𝐶_𝑑𝑡^𝑆 = 𝑘

2𝐶

𝑃

[CLO 2; SO 1; Poin 30; Penyelesaian persamaan diferensial biasa]

TB2101 ANALISIS MATEMATIK TEKNIK BIOENERGI & KEMURGI SOLUSI UJIAN TENGAH SEMESTER I 2019/2020

Tanggal : 28 September 2019 Durasi : 90 menit Jawaban No. 1

Diketahui : μ = 4% per jam = 0,04 jam^-1 Ditanya : a) Model matematika

b) Ketika C = 5C₀; t = …?

Asumsi : Laju kematian bakteri diabaikan Penyelesaian:

Soal A:Model matematika Langkah:

1) Perhatikan satuan dari konstanta (μ) μ = 0,04 jam^-1

= μ kali …. (1)

𝑑𝐶 𝑑𝑡

2) Buat pemodelan matematika yang dapat menyamakan satuan kiri dan kanan pada persamaan (1)

= ….. bakteri/jam

𝑑𝐶 𝑑𝑡

μ = …… jam^-1

Maka μ perlu untuk dilakukan dengan nilai dengan satuan bakteri, sehingga

= μ . C = 0,04 C …(2)

𝑑𝐶 𝑑𝑡

Soal B : Waktu yang dibutuhkan Langkah:

1) Dengan melakukan integral pada persamaan (2) dengan menggunakan metode pemisahan variabel

𝑑𝐶

𝑑𝑡

= 0, 04 𝐶

𝐶₀ 𝐶

∫

^𝑑𝐶_𝐶

= 0, 04 ∫ 𝑑𝑡

𝑙𝑛(𝐶) − 𝑙𝑛(𝐶

0) = 0, 04𝑡 𝑙𝑛(5𝐶

0) − 𝑙𝑛(𝐶

0) = 0, 04𝑡 𝑙𝑛(5) = 0, 04𝑡

t = 40,236 jam

Jawaban No.2

Diketahui : C₀ = 0,1 kg/L V0 = 100 L F_in = 12 L/min F_out= 10 L/min

Ditanya : Ketika t = 30 menit; C = …?

Asumsi : Tangki berukuran sangat besar, tidak bocor, dan pengadukan sempurna Penyelesaian :

Langkah:

1) Hitung terlebih dahulu neraca volumenya untuk mengetahui akumulasi dalam dari alir masuk dan keluar

𝐹

𝑖𝑛

− 𝐹

𝑜𝑢𝑡

=

^𝑑𝑉_𝑑𝑡

12 − 10 =

^𝑑𝑉_𝑑𝑡

2 L/menit …(1)

𝑑𝑉 𝑑𝑡

=

2) Buat persamaan volume tangki terhadap waktu dari persamaan (1)

𝑑𝑉 𝑑𝑡

= 2

100 𝑉

∫ 𝑑𝑉 = 2 ∫ 𝑡 V - 100 = 2t V = 2t + 100 …(2) 3) Hitung Neraca massa

Massa masuk - Massa keluar = Akumulasi FinCin- FoutCout

=

^𝑑𝑚_𝑑𝑡

=

^{𝑑(𝑉𝐶)}_𝑑𝑡

4) Karena V dan C merupakan variabel tidak konstran. Maka V dan C mesti diturunkan bersama-sama menggunakan sifat turunan d (UV) = U dV + V dU.

FinCin- FoutCout

= 𝐶

^𝑑𝑉_𝑑𝑡

+ 𝑉

^𝑑𝐶_𝑑𝑡

5) Masukkan persamaan (1) dan (2) dan nilai yang diketahui

12 (0) − 10𝐶 = 2 𝐶 + (2𝑡 + 100)

^𝑑𝐶_𝑑𝑡

− 12𝐶 = (2𝑡 + 100)

^𝑑𝐶_𝑑𝑡

0 30

∫

_2𝑡+100^𝑑𝑡

=

0,1 𝐶

∫

_−12𝐶^𝑑𝐶

1

2

[𝑙𝑛(160) − 𝑙𝑛(100)] =−

₁₂¹

[𝑙𝑛(𝐶) − 𝑙𝑛(0, 1)]

1

2

𝑙𝑛(1, 6) =−

₁₂¹

𝑙𝑛(

_0,1^𝐶

)

− 6 𝑙𝑛(1, 6) = 𝑙𝑛(

_0,1^𝐶

)

C = 5,96 x 10^-3kg/L Konsentrasi larutan setelah 30 menit adalah 5,96 x 10^-3kg/L Jawaban No.3

Diketahui : A→P→S -rA=

−

^𝑑𝐶_𝑑𝑡^𝐴 = k1CA…(1) CA0= 2 M rP= ^𝑑𝐶𝑃 = k1CA– k2Cp…(2)

𝑑𝑡

CP0= 0,05 M rS= ^𝑑𝐶𝑆 = k2CP…(3)

𝑑𝑡

CS0= 0

k₁= 0,03 menit^-1 k₂= 0,025 menit^-1 Ditanya : C_p= C_pmax; t = …?

Asumsi : Reaktor bersifat ideal, tidak bocor Penyelesaian :

1) Peroleh hubungan CAterhadap waktu dengan mengintegrasi persamaan (1) menggunakan metode pemisahan variabel

= k1CA

−

^𝑑𝐶_𝑑𝑡^𝐴

−

𝐶_𝐴0 𝐶_𝐴

∫

^𝑑𝐶_𝐶^𝐴

𝐴

= 𝑘

1 0 𝑡

∫ 𝑑𝑡

ln(C_A) – ln(C_A0) = -k₁t

= -k₁t

𝑙𝑛(

_𝐶^𝐶𝐴

𝐴0

)

𝐶_𝐴

𝐶_𝐴0

= 𝑒

^𝑘1𝑡

…(4) 𝐶𝐴= 2𝑒^{−0,03 𝑡}

2) Substitusikan persamaan (4) ke dalam persamaan (2)

= k1CA– k2Cp

𝑑𝐶_𝑃 𝑑𝑡

+

k2Cp= k1CA

𝑑𝐶_𝑃 𝑑𝑡

+

0,025 C_p=

𝑑𝐶_𝑃

𝑑𝑡 0, 03 𝑥 2𝑒^{−0,03 𝑡}

+

0,025 Cp= …(5)

𝑑𝐶𝑃

𝑑𝑡 0, 06 𝑒^{−0,03 𝑡}

3) Persamaan (5) kemudian di integrasi menggunakan metode faktor integrasi

𝐼(𝑡) = 𝑒

∫0,025 𝑑𝑡

= 𝑒

^0,025𝑡

𝐶

𝑃

(𝑡) =

¹

𝑒^0,025𝑡

∫ 𝑒

^0,025𝑡

× 0, 06𝑒

^−0,03𝑡

𝑑𝑡 +

^𝐶

𝑒^0,025𝑡

𝐶

𝑃

(𝑡) =

¹

𝑒^0,025𝑡

∫ 0, 06𝑒

^−0,005𝑡

𝑑𝑡 +

^𝐶

𝑒^0,025𝑡

𝐶

𝑃

(𝑡) =

^0,06

𝑒^0,025𝑡(−0,005)

𝑒

^−0,005𝑡

+

^𝐶

𝑒^0,025𝑡

𝐶 …(6)

𝑃

(𝑡) =− 12𝑒

^−0,03𝑡

+

^𝐶

𝑒^0,025𝑡

4) Ketika t = 0, CP= 0,05 M. Masukkan ke dalam persamaan (6) dan diperoleh

0, 05 =− 12𝑒

^−0,03(0)

+

^𝐶

𝑒^0,025(0)

0, 05 =− 12 + 𝐶 C = 12,05

𝐶 …(7)

𝑃

(𝑡) =− 12𝑒

^−0,03𝑡

+

^12,05

𝑒^0,025𝑡

5) Nilai maksimum lokal dapat ditentukan dengan mencari turunan pertama persamaan (7) yang menghasilkan nilai nol.

𝐶

𝑃

(𝑡) =− 12𝑒

^−0,03𝑡

+ 12, 05𝑒

^−0,025𝑡

𝑑𝐶𝑃

𝑑𝑡

=− 12(− 0, 03)𝑒

^−0,03𝑡

+ 12, 05(− 0, 025)𝑒

^−0,025𝑡

𝑑𝐶𝑃

𝑑𝑡

= 0, 36𝑒

^−0,03𝑡

− 0, 30125𝑒

^−0,025𝑡

= 0 0, 36𝑒

^−0,03𝑡

= 0, 30125𝑒

^−0,025𝑡

0,36

0,30125

𝑒

^−0,03𝑡

= 𝑒

^−0,025𝑡

𝑙𝑛(

_0,30125^0,36

)+ 𝑙𝑛(𝑒

^−0,03𝑡

) = 𝑙𝑛(𝑒

^−0,025𝑡

)

-0,025t = 0,178 - 0,03t t = 35,6 menit Nilai P bernilai maksimum pada waktu 35,6 menit.

TB2101 ANALISIS MATEMATIKA TEKNIK BIOENERGI & KEMURGI UJIAN TENGAH SEMESTER I 2020/2021

Tanggal : 10 Oktober 2020 Durasi : 100 menit Soal No. 1

Suatu senyawa A terdekomposisi menjadi B, C, dan D dalam suatu reaktor partaian.

Dekomposisi A yang terjadi merupakan reaksi orde dua, − ^𝑑𝐶𝑎_𝑑𝑡 = 𝑘𝐶 . Dalam waktu 5

𝐴 2

menit, 50% A terdekomposisi. Tentukan waktu yang dibutuhkan agar A terdekomposisi sebanyak 75%.

Soal No. 2

Suatu tangki yang berbentuk silinder mempunyai diameter 1 m dan tinggi 3 m mempunyai dasar yang berlubang dengan diameter lubang 1 cm. Tangki yang mula-mula kosong diisi air dengan laju 0,1 m³ /detik. Jika friksi cairan dengan dinding tangki diabaikan, (Keterangan:

V_keluar=√2gh)

a. Turunkan fungsi ketinggian cairan sebagai fungsi waktu

b. Tentukan apakah tangki dapat terisi penuh dengan kondisi tangki dan aliran di atas.

c. Tentukan lama waktu yang diperlukan untuk mencapai ketinggian air maksimum (h

= 3 m) Soal No.3

Besaran densitas suatu larutan dapat ditentukan berdasarkan persamaan berikut :

ρ

^𝑑𝑇_𝑑ρ

−

¹⁰⁰⁰⁰_ρ ^𝑑ρ_𝑑𝑇

= 0

a. Tentukan profil temperature (T) sebagai fungsi dari densitas (ρ)

b. Jika nilai densitas larutan tersebut pada temperature 25^oC adalah 1049 kg/m³, tentukan densitas larutan tersebut pada suhu 30^oC.

Soal No.4

Suatu reaksi dapat ditulis secara sederhana dengan persamaan stoikiometri berikut: A + B

→C. Perubahan volume reaksi dapat diabaikan. Pada suhu 25^oC, konstanta laju reaksi adalah 9,92 x 10^-3 m³/(kmol detik). Jika reaksi dilangsungkan dalam sebuah reaktor partaian yang bersifat isotermal, tentukan waktu reaksi yang diperlukan untuk mencapai 95% reaktan pembatas. (Diketahui konsentrasi awal CA0 = 0,1 kmol/m³ dan CB0 = 0,08 kmol/m³ dan berlaku kinetika reaksi orde satu terhadap konsentrasi A dan konsentrasi B).

Proses pendinginan distilat menggunakan air pendingin pada double pipe cocurrent heat exchangerdapat dimodelkan dengan :

Petunjuk integral matematika:

∫

_{(𝑥+𝑎)(𝑥+𝑏)}¹

𝑑𝑥 =

_{(𝑏−𝑎)}¹

[𝑙𝑛(𝑎 + 𝑥) − 𝑙𝑛(𝑏 + 𝑥)], 𝑎 ≠ 𝑏

TB2101 ANALISIS MATEMATIKA TEKNIK BIOENERGI & KEMURGI SOLUSI UJIAN TENGAH SEMESTER I 2020/2021

Tanggal : 10 Oktober 2020 Durasi : 100 menit

Jawaban No.1

Asumsi tangki tidak mengalami kebocoran dan volume reaktor konstan.

Diketahui : Ketika t = 5 menit; CA= 50% A Ketika t = 0 menit; C_A= 100% A Ditanya : Ketika C_A= 25% A ; maka t = ? Penyelesaian :

Langkah:

1) Mencari nilai k

a) Menggunakan persamaan yang diberikan pada soal

−𝑑𝐶_𝐴

𝑑𝑡

= 𝑘. 𝐶

𝐴 2

b) Dengan menggunakan penyelesaian dengan metode pemisahan variabel, diperoleh

∫

^𝑑𝐶𝐴

𝐶𝐴

2

= ∫− 𝑘 𝑑𝑡

c) Misalkan konsentrasi C_Asaat t = 0 adalah C_A0, sehingga syarat batas menjadi

𝐶𝐴0

0,5𝐶𝐴0

∫

^𝑑𝐶𝐴

𝐶_𝐴²

=

0 5

∫− 𝑘 𝑑𝑡

d) Diintegralkan

𝐶_𝐴0 0,5𝐶_𝐴0

∫

^𝑑𝐶𝐴

𝐶𝐴

2

=

0 5

∫− 𝑘 𝑑𝑡

−

_𝐶¹

𝐴

|

𝐶_𝐴0 0,5 𝐶

𝐴0

=− 𝑘 𝑡 |

0 5

−

¹

0,5 𝐶

𝐴0

− (−

_𝐶¹

𝐴0

) =− 𝑘. 5

−2+1 𝐶𝐴0

=− 𝑘. 5

−1

𝐶_𝐴0

=− 5𝑘

1

5𝐶_𝐴0

= 𝑘

e) Penentuan nilai k dapat juga dilakukan dengan integral tanpa syarat batas, dengan bantuan eliminasi. Silahkan dieksplorasi sendiri.

2) Setelah memperoleh nilai k, Dapat dicari t, ketika A terkomposisi 75% ( C_A= ¼ C_A0) a) Masukkan nilai k ke dalam persamaan

𝐶_𝐴0 0,25𝐶_𝐴0

∫

^𝑑𝐶𝐴

𝐶_𝐴²

=

0 𝑡

∫−

_{5 𝐶}¹

𝐴0

𝑑𝑡

b) Integralkan persamaan dengan syarat batas yang baru

𝐶𝐴0

0,25𝐶

𝐴0

∫

^𝑑𝐶𝐴

𝐶𝐴

2

=

0 𝑡

∫−

_{5 𝐶}¹

𝐴0

𝑑𝑡

−

_𝐶¹

𝐴

|

𝐶_𝐴0 0,25 𝐶

𝐴0

=−

_{−5 𝐶}^𝑡

𝐴0

−

¹

0,25 𝐶

𝐴0

− (−

_𝐶¹

𝐴0

) =−

_{−5 𝐶}^𝑡

𝐴0

−4+1

𝐶_𝐴0

=−

_{−5 𝐶}^𝑡

𝐴0

t = 15 menit

Jadi, waktu yang dibutuhkan agar A terkomposisi 75% adalah 15 menit.

Jawaban No.2

Diketahui : D silinder = 1 meter h silinder = 3 meter D lubang = 1 centimeter Q masuk = 0,1 m³/detik V keluar = 2𝑔ℎ

Ditanya :

a) Fungsi ketinggian cairan sebagai fungsi waktu h(t) b) Buktikan apakah tangki dapat terisi penuh?

c) ketika h = 3 meter; t =?

Penyelesaian :

Soal A : Fungsi ketinggian terhadap waktu Langkah:

I. Neraca volume

𝑄

𝑖𝑛

− 𝑄

𝑜𝑢𝑡

=

^𝑑𝑉_𝑑𝑡

II. Qoutdan dV dapat dipecah lagi menjadi

Qout= Aoutvout= Aout 2𝑔ℎdan dV = d(A.h); maka

𝑄

𝑖𝑛

− 𝐴

𝑜𝑢𝑡

2𝑔ℎ =

^{𝑑(𝐴.ℎ)}_𝑑𝑡

III. karena luas silinder konstan, maka A dapat dikeluarkan dari ^{𝑑(𝐴.ℎ)}_𝑑𝑡 menjadi

𝑄

𝑖𝑛

− 𝐴

𝑜𝑢𝑡

2𝑔ℎ = 𝐴

^𝑑ℎ_𝑑𝑡

IV. Masukkan nilai Aoutdan A silinder

𝑄

𝑖𝑛

− π 0, 005

²

2𝑔ℎ = π 0, 5

^{2 𝑑ℎ}_𝑑𝑡

𝑄

𝑖𝑛

− 7, 85𝑥10

⁻⁵

2𝑔ℎ = 0, 785

^𝑑ℎ_𝑑𝑡

Asumsi nilai g = 10 m/s²

𝑄

𝑖𝑛

− 3, 51𝑥10

⁻⁴

ℎ = 0, 785

^𝑑ℎ_𝑑𝑡

V. Untuk mempermudah perhitungan, misalkan x = ℎsehingga persamaan diatas menjadi

𝑄

𝑖𝑛

− 3, 51𝑥10

⁻⁴

𝑥 = 0, 785

^𝑑𝑥

2

𝑑𝑡

0, 1 − 3, 51𝑥10

⁻⁴

𝑥𝑦 = 0, 785 . 2𝑥

^𝑑𝑥_𝑑𝑡

0, 1 − 3, 51𝑥10

⁻⁴

𝑥 = 1, 57𝑥

^𝑑𝑥_𝑑𝑡

𝑑𝑡 =

^1,57𝑥

0,1−3,51𝑥10⁻⁴𝑥

𝑑𝑥

VI. Untuk mempermudah perhitungan, misalkan a = 1,57; b =0,1; c = 3,51x10^-4

𝑑𝑡 =

_{𝑏−𝑐𝑥}^𝑎𝑥

𝑑𝑥 =

−𝑎𝑏+𝑎𝑐𝑥+𝑎𝑏 𝑐

𝑏−𝑐𝑥

𝑑𝑥 =

⁻

𝑎

𝑐 (𝑏−𝑐𝑥)^𝑎𝑏_𝑐

𝑏−𝑐𝑥

𝑑𝑥

∫ 𝑑𝑡 = ∫

^𝑎_𝑐

𝑑𝑥 + ∫

𝑎𝑏 𝑐

𝑏−𝑐𝑥

𝑑𝑥 𝑡 =

^𝑎𝑥_𝑐

+ ∫

𝑎𝑏 𝑐

𝑏−𝑐𝑥

𝑑𝑥 + 𝐾

1

VII. Misalkan u = b-cx; ^𝑑𝑢_𝑑𝑥 =− 𝑐

𝑡 =

^𝑎𝑥_𝑐

+ ∫

𝑎𝑏 𝑐

𝑢 𝑑𝑢

−𝑐

+ 𝐾

1

; K= K

₁

+K

₂

𝑡 =

^𝑎𝑥_𝑐

−

^𝑎𝑏

𝑐²

𝑙𝑛 𝑏 − 𝑐𝑥 | | + 𝐾

VIII. saat t = 0 , h =0 → x = ℎ→ x = 0

𝐾 =

^𝑎𝑏

𝑐²

𝑙𝑛 𝑏 | |

IX. Subtitusi x = ℎ, maka persamaan akhir akan menjadi

𝑡 =

^{𝑎 ℎ}_𝑐

−

^𝑎𝑏

𝑐²

𝑙𝑛 𝑏 − 𝑐 ℎ | | +

^𝑎𝑏_𝑐²

𝑙𝑛 𝑏 | |

Soal B:

I. Cari nilai Q_out maksimum (dalam kata lain h = 3) Q_out= 3,51 x 10^-4 ( 3)

Q_out= 6,08 x 10^-4 = m³/s II. Bandingkan nilai Qoutdengan Qin

Q_in= 0,1 m³/s Q_out= 6,08 x 10^-4m³/s

Nilai Q_in> Q_outhingga pada saat ketinggian maksimum, sehingga memungkinkan untuk tangki dapat terisi penuh

Soal C: t agar h = 3 meter

I. masukkan nilai h ke dalam persamaan yang telah diperoleh pada soal A

𝑡 =

^{𝑎 ℎ}_𝑐

−

^𝑎𝑏

𝑐²

𝑙𝑛 𝑏 − 𝑐 ℎ | | +

^𝑎𝑏_𝑐²

𝑙𝑛 𝑏 | |

t = 2987651,86 detik t = 828,24 jam

Jawaban No. 3

Soal A: Profil temperatur (T) Langkah:

ρ

^𝑑𝑇_𝑑ρ

−

¹⁰⁰⁰⁰_ρ ^𝑑ρ_𝑑𝑇

= 0 ρ

^𝑑𝑇_𝑑ρ

=

¹⁰⁰⁰⁰_{ρ 𝑑𝑇}^𝑑ρ

(

^𝑑𝑇_𝑑ρ

)

²

=

¹⁰⁰⁰⁰

ρ² 𝑑𝑇

𝑑ρ

=±

¹⁰⁰_ρ

(Diambil yang tanda-nya minus karena, densitas seharusnya menurun seiring bertambahnya temperatur)

∫ 𝑑𝑇 =− ∫

¹⁰⁰_ρ

𝑑ρ 𝑇 = − 100 𝑙𝑛 ρ | | + 𝐶

Soal B: Densitas larutan pada suhu 30^oC Langkah:

I. Saat T = 25^oC,ρ = 1049

25 = − 100 𝑙𝑛 1049 | | + 𝐶 𝐶 = 720, 56

II. Saat T = 30^oC

30 = − 100 𝑙𝑛 ρ | | + 720, 56

− 690, 56 = − 100 𝑙𝑛 ρ | | 𝑙𝑛 ρ | | = 6, 9056

ρ = 𝑒

^6,9056

= 997, 85 𝑘𝑔/𝑚

³

Jadi, nilai densitas larutan pada suhu 30^oC adalah 997,85 kg/m³ Jawaban Soal no 4.

A + B → C

Diketahui : k = 9,92x10³m³/kmol.detik CA0 = 0,1 kmol/m³

C_B0 = 0,08 kmol/m³ Penyelesaian:

Langkah

I. Tuliskan laju reaksi dari masing-masing komponen A dan B

𝑑𝐶𝐴

𝑑𝑡

=− 𝑘. 𝐶

𝐴

. 𝐶

𝐵

.... (1)

𝑑𝐶𝐵

𝑑𝑡

=− 𝑘. 𝐶

𝐴

. 𝐶

𝐵

.... (2)

II. Buat persamaan kimianya (RMS) dan dengan komponen B sebagai reaktan pembatasnya

A + B → C

C_A0 C_B0 —

X_BC_B0 X_BC_B0 X_BC_B0

CA0— XBCB0 CB0(1 — XB) XBCB0

CB= CB0(1-XB) … (3) III. Turunkan persamaan (3)

dCB= CB0(-dXB)

… (4)

−

^𝑑𝐶_𝑑𝑡^𝐵

= 𝐶

𝐵0

.

^𝑑𝑋_𝑑𝑡^𝐵

IV. Substitusi persamaan (2) ke persamaan (4), sehingga diperoleh

𝑘. 𝐶

𝐴

. 𝐶

𝐵

= 𝐶

𝐵0

.

^𝑑𝑋_𝑑𝑡^𝐵

𝑘. (𝐶

𝐴0

− 𝑋

𝐵

. 𝐶

𝐵0

). 𝐶

𝐵0

. (1 − 𝑋

𝐵

) = 𝐶

𝐵0

.

^𝑑𝑋_𝑑𝑡^𝐵

𝑘. (0, 1 − 0, 08. 𝑋

𝐵

). (1 − 𝑋

𝐵

) =

^𝑑𝑋_𝑑𝑡^𝐵

𝑑𝑋𝐵

(0,1−0,08.𝑋

𝐵).(1−𝑋

𝐵)

= 𝑘 𝑑𝑡

0 0,95

∫

_(𝑋 ^{12,5 𝑑𝑋𝐵}

𝐵−1,25).(𝑋

𝐵−1)

=

0 𝑡

∫ 𝑘 𝑑𝑡

V. Dengan a = -1,25 ; b = -1, dan memanfaatkan petunjuk integral matematika,

0 0,95

∫

_(𝑋 ^{12,5 𝑑𝑋𝐵}

𝐵+𝑎).(𝑋

𝐵+𝑏)

=

0 𝑡

∫ 𝑘 𝑑𝑡

12, 5

_(−1+1,25)¹

[𝑙𝑛(− 1, 25) − 𝑙𝑛(− 1 + 0, 95)] = 9, 92𝑥10

⁻³

𝑡 78,43 = 9,92 x 10

^-3

t

t = 7906,33 sekon

Jadi, waktu yang dibutuhkan untuk mencapai konversi 95% reaktan

pembatas adalah 7906,33 sekon.

TB2101 ANALISIS MATEMATIKA TEKNIK BIOENERGI & KEMURGI UJIAN TENGAH SEMESTER I 2021/2022

Tanggal : Durasi : 100 menit SOAL 1 – Tipe Soal: Esai/uraian:

[CLO 1 dan 2; SO 1;Poin 35B;Pemyusunan model matematika sederhana]

Suatu reaksi fasa cair, 𝐴→𝐵, berlangsung dalam sebuah reaktor semi-batch skala laboratorium. Laju konsumsi A per satuan volume ( ) diberikan sebagai berikut:𝑟

𝐴

𝑟𝐴 𝑚𝑜𝑙 𝐿.𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘

( )

^{= 𝑘. 𝐶}𝐴

di mana 𝐶_𝐴

( )

^𝑚𝑜𝑙_𝐿 adalah konsentrasi reaktan di dalam reaktor, dan diketahui nilai 𝑘 = 1 _{𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘}¹ .

Tangki reaktor awalnya kosong. Pada 𝑡 = 0, larutan A dengan konsentrasi 2

( )

^𝑚𝑜𝑙_𝐿

diumpankan ke dalam reaktor pada laju tetap yaitu2

(

_{𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘}^𝑚𝐿

)

. Pada aliran umpan, konsentrasi .

𝐵 = 0

Asumsi: densitas cairan tidak berubah.

Jika diketahui volume tangki 2 L dan mol A dalam tangki 𝑛 maka:

𝐴

A. Bangunlah persamaan diferensial dan tentukanlah metode penyelesaian yang tepat untuk persamaan diferensial tersebut.

B. Selesaikan p