BAB 1-LOGIKA
Matematika Diskrit
tujuan
2
1. Memahami tentang logika
2. Memahami tentang operasi logika di komputer, dan
3. Memahami tentang inferensi
Logika
3
Digunakan untuk melakukan penalaran matematika, dimana salah satunya dapat digunakan dalam mendesain rangkaian elektronik.
Sistem yang didasarkan pada proposisi.
PROPOSISI
4
Proposisi adalah kalimat deklaratif atau pernyataan yang bernilai benar (true/T) atau salah (false/F) tetapi tidak sekaligus keduanya.
Dapat dikatakan bahwa nilai kebenaran (truth value) dari sebuah proposisi adalah benar atau salah.
Dalam rangkaian digital, nilai ini dinyatakan sebagai 1
dan 0
Pernyataan / Proposisi (1)
5
“6 adalah bilangan genap”
Apakah sebuah pernyataan ? Ya
Apakah sebuah proposisi ? Ya
Apakah nilai kebenaran dari proposisi tersebut ? Benar
“ Ibukota propinsi Jawa Barat adalah Semarang “
Apakah sebuah pernyataan ? Ya
Apakah sebuah proposisi ? Ya
Apakah nilai kebenaran dari proposisi tersebut ? Salah
Pernyataan / Proposisi (2)
6
“ Serahkan uangmu sekarang ! “
Apakah sebuah pernyataan ? Tidak
Apakah sebuah proposisi ? Tidak “ X > 3 “
Apakah sebuah pernyataan ? Ya
Apakah sebuah proposisi ? Tidak
nilai kebenaran dari pernyataan tersebut bergantung pada x, tapi nilainya belum ditentukan.
Pernyataan jenis ini disebut sebagai fungsi proposisi atau kalimat terbuka.
Mengkombinasikan Proposisi
7
Mengabungkan beberapa proposisi menjadi sebuah proposisi gabungan.
Diformalisasikan dengan melambangkan proposisi sebagai huruf-huruf seperti p, q, r, s, dan menggunakan operator-operator logika.
Operator logika merupakan operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi tersebut.
Operator logika yang digunakan adalah :
Negasi (NOT), Konjungsi (AND), Disjungsi (OR), Eksklusif OR (XOR), Implikasi (jika – maka), Bikondisional (jika dan hanya jika)
Negasi (NOT)
8
•
Merupakan jenis operator logika yang hanya membutuhkan satu buah proposisi (Operator Uner ).
•
Lambang : ~
P ~P
Benar Salah
Salah Benar
Konjungsi (AND)
9
• Merupakan jenis operator logika yang membutuhkan dua buah proposisi (Operator Biner ).
• Lambang :
P Q PQ
Benar Benar Benar
Benar Salah Salah
Salah Benar Salah
Salah Salah Salah
Disjungsi (OR)
10
• Merupakan jenis operator logika yang membutuhkan dua buah proposisi (Operator Biner ).
• Lambang :
P Q PQ
Benar Benar Benar
Benar Salah Benar
Salah Benar Benar
Salah Salah Salah
Eksklusif Or (XOR)
11
• Merupakan jenis operator logika yang membutuhkan dua buah proposisi (Operator Biner ).
• Lambang :
P Q PQ
Benar Benar Salah Benar Salah Benar
Salah Benar Benar
Salah Salah Salah
Contoh (1)
12
Diketahui proposisi – proposisi berikut : p : hari ini banjir
q : mahasiswa diliburkan maka :
p q : hari ini banjir dan mahasiswa diliburkan p q : hari ini banjir atau mahasiswa diliburkan
~ p : tidak benar hari ini banjir (hari ini tidak
banjir)
Contoh (2)
13
Diketahui proposisi – proposisi berikut : p : hari ini hujan
q : hari ini dingin
Nyatakan proposisi berikut dalam ekspresi logika : Hari ini dingin atau tidak hujan : q ~p
Hari ini tidak hujan maupun dingin : ~p ~q
Contoh (3) :
14
Diketahui proposisi – proposisi berikut : p : pria itu tinggi
q : pria itu pemarah
Nyatakan proposisi berikut dalam ekspresi logika :
Pria itu tinggi dan pemarah :
Pria itu tinggi dan tidak pemarah :
Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak pemarah
Pemuda itu tinggi, atau pendek
Implikasi (jika - maka) (1)
15
Merupakan jenis operator logika yang membutuhkan dua buah proposisi (Operator Biner ).
Pernyataan berbentuk “jika p maka q” disebut proposisi bersyarat atau kondisional (implikasi)
“Jika p, maka q” disebut proposisi bersyarat dan
dilambangkan dengan p q
Implikasi (jika - maka) (2)
16
Proposisi p disebut hipotesis
(antesenden/premis/kondisi) dan proposisi q disebut konklusi (konsekuen)
P Q PQ
Benar Benar Benar Benar Salah Salah
Salah Benar Benar
Salah Salah Benar
Bikondisional/bi-implikasi/ jika dan hanya jika/xnor
17
Merupakan jenis operator logika yang membutuhkan dua buah proposisi (Operator Biner ).
Pernyataan berbentuk “p jika dan hanya jika q” disebut bikondisional atau bi-implikasi.
Lambang: P Q PQ
Benar Benar Benar Benar Salah Salah
Salah Benar Salah Salah Salah Benar
Contoh (1) :
18
Tunjukkan bahwa p q ekivalen secara logika dengan ~ p q
Jawab :
p q p q ~ p ~ p q
T F F F F
T F F F F
T F F F F
T F F F F
Contoh (2) :
19
Dua pedagang barang rumah tangga
mengeluarkan moto jitu untuk menarik para pembeli. Pedagang pertama mengumbar
moto “barang bagus tidak murah” sedangkan
pedagang kedua mempunyai moto “ barang
murah tidak bagus”. Tentukan apakah kedua
moto itu menyatakan hal yang sama ?
Solusi :
20
Varian Proposisi Bersyarat
21
Terdapat bentuk implikasi yang berkaitan dengan
p q yaitu proposisi sederhana yang merupakan varian dari implikasi yaitu : Konvers : q p
Invers : ~ p ~q
Kontraposisi: ~ q ~p
Contoh :
22
Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan berikut :
“Jika Amir memiliki mobil, maka ia orang kaya”
Jawab :
Konvers : jika amir orang kaya,maka ia memiliki mobil
Invers : jika amir tidak mempunyai mobil maka ia
bukan orang kaya
Kontraposisi : jika amir bukan orang kaya, maka ia
tidak memiliki mobil
Latihan
23
Tentukan kontraposisi dari pernyataan berikut :
Jika ia bersalah maka ia dimasukkan ke dalam penjara
Jika 6 lebih besar dari 0 maka 6 bukan bilangan negatif
Iwan lulus ujian jika hanya ia belajar
Hanya jika ia tidak terlambat maka ia akan mendapatkan pekerjaan itu
Perlu ada angin agar layang-layang bisa
terbang
Pernyataan dan Operasi
24
Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat digabungkan untuk membentuk pernyataan baru.
Pernyatan (PQ) dan (P)(Q) adalah ekivalen
P Q (PQ) (P)(Q) (PQ)(P)(Q)
Benar Benar Salah Salah Benar
Benar Salah Benar Benar Benar
Salah Benar Benar Benar Benar
Salah Salah Benar Benar Benar
Tautologi dan Kontradiksi (1)
25
Suatu tautologi adalah pernyataan yang selalu benar.
Contoh:
R(R)
(PQ)(P)(Q)
Tautologi dan Kontradiksi (2)
26
Suatu kontradiksi adalah pernyataan yang selalu salah.
Negasi dari sembarang tautologi adalah sebuah kontradiksi, sedangkan negasi dari sebuah kontradiksi adalah sebuah tautologi.
Contoh:
R(R)
((PQ)(P)(Q))
Hukum Logika Proposisi
1. Hukum identitas:
p F p p T p
2. Hukum null/dominasi:
p F F p T T 3. Hukum negasi:
p ~p T p ~p F
4. Hukum idempoten:
p p p p p p 5. Hukum involusi (negasi
ganda):
~(~p) p
6. Hukum penyerapan (absorpsi):
p (p q) p p (p q) p 7. Hukum komutatif:
p q q p p q q p
8. Hukum asosiatif:
p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r 9. Hukum distributif:
p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r)
10. Hukum De Morgan:
~(p q) ~p ~q
~(p q) ~p ~q
27
Varian Proposisi Bersyarat(Implikasi)
28
Varian dari implikasi (p q)
Konvers, Invers, Kontraposisi
1. Konvers : q p
2. Invers : p q
3. Kontraposisi : q p
Contoh :
29
Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari: “Jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya”
Penyelesaian:
p : Amir mempunyai mobil q : Amir orang kaya
Konvers : Jika Amir orang kaya, maka ia mempunyai mobil
Invers : Jika Amir tidak mempunyai mobil, maka ia bukan orang kaya
Kontraposisi: Jika Amir bukan orang kaya, maka ia ia tidak mempunyai mobil
Bikondisional (Bi-implikasi)
30
Bentuk proposisi: “p jika dan hanya jika q”
Notasi: p q
p q (p q) (q p).
Ekspresi bikondisional p q :
31
p jika dan hanya jika q.
p adalah syarat perlu dan cukup untuk q.
Jika p maka q, dan sebaliknya.
p if q
Contoh :
32
Proposisi majemuk berikut adalah bi- implikasi:
1 + 1 = 2 jika dan hanya jika 2 + 2 = 4.
Syarat cukup dan syarat perlu agar hari hujan adalah kelembaban udara tinggi.
Jika anda orang kaya maka anda mempunyai banyak uang, dan sebaliknya.
Bandung terletak di Jawa Barat if Jawa Barat adalah
sebuah propinsi di Indonesia.
33
Tuliskan setiap proposisi berikut ke dalam bentuk “p jika dan hanya jika q”:
Anda naik jabatan jika anda punya koneksi, dan anda punya koneksi jika anda naik jabatan.
Penyelesaian:
Cari p dan q :
p : Anda naik jabatan q : Anda punya koneksi
Anda naik jabatan jika dan hanya jika anda punya koneksi.
34
Tuliskan setiap proposisi berikut ke dalam bentuk “p jika dan hanya jika q”:
Syarat cukup dan perlu agar anda memenangkan
pertandingan adalah anda melakukan banyak latihan.
Penyelesaian:
p : Anda memenangkan pertandingan q : Anda melakukan banyak latihan
Anda akan memenangkan pertandingan jika dan hanya jika anda melakukan banyak latihan.
Inferensi
35
Penarikan kesimpulan dari beberapa proposisi
Kaidah :
Modus Ponen
Modus Tollen
Silogisme Hipotesis
Silogisme Disjungtif
Simplifikasi
Penjumlahan
Konjungsi
Modus Ponen (1)
36
Didasarkan pada tautologi : (p (pq))q)
Kaidah : p q p
Modus ponen menyatakan bahwa jika hipotesis p dan implikasi p q benar maka konklusi q benar
q
Modus Ponen (2)
37
Misalkan implikasi “jika 25 habis dibagi 5, maka 25 bilangan ganjil” dan hipotesis “25 habis dibagi 5” keduanya benar maka menurut modus ponen :
p : 25 habis dibagi 5 q : 25 bilangan ganjil
“jika 25 habis dibagi 5, maka 25 bilangan ganjil dan hipotesis 25 habis dibagi 5. Oleh karena itu 25 adalah bilangan ganjil”
adalah benar.
Modus Tollen (1)
38
Didasarkan pada tautologi : (~q (pq)) ~p)
Kaidah : p q ~q
Modus tolen menyatakan bahwa jika hipotesis ¬q benar dan implikasi p q benar maka konklusi ¬p benar
Modus Tollen (2)
39
Misalkan implikasi “jika n bilangan genap, maka 2n bernilai genap” dan hipotesis “2n bernilai bukan genap” keduanya benar. Maka menurut modus tollen :
p : n bilangan genap q : 2n bilangan genap
“jika n bilangan genap, maka 2n bernilai genap dan 2n bernilai ganjil. Oleh karena itu n bukan bilangan genap”
adalah benar.
Silogisme Hipotesis (1)
40
Didasarkan pada tautologi : ((pq) (qr)) (pr)
Kaidah : p q q r
Silogisme Hipotesis (2)
41
Misalkan implikasi “jika saya masuk Teknik Komputer maka saya belajar matematika diskrit” dan implikasi “jika saya belajar matematika diskrit maka saya belajar algoritma.
p : saya masuk Teknik Komputer q : saya belajat matematika diskrit r : saya belajar algoritma
Oleh karena itu jika saya masuk Teknik Komputer maka saya belajar algoritma” adalah benar menurut silogisme hipotesis.
Silogisme Disjungtif (1)
42
Didasarkan pada tautologi : ((p q) ~p) q
Kaidah : p q ~p
Silogisme Disjungtif (1)
43
“Saya akan meneruskan kuliah atau saya akan menikah tahun depan. Saya tidak akan meneruskan kuliah.
p: saya akan meneruskan kuliah q: saya akan menikah tahun depan
Oleh karena itu saya akan menikah tahun depan” adalah benar menurut silogisme disjungtif.
Simplifikasi (1)
44
Simplifikasi (2)
45
“icha adalah mahasiswa Unpad dan Unikom. Oleh karena itu icha adalah mahasiswa Unpad” adalah benar menurut Simplifikasi
Atau
“icha adalah mahasiswa Unpad dan Unikom. Oleh karena itu icha adalah mahasiswa Unikom” adalah juga benar menurut Simplifikasi
Penjumlahan (1)
46
Didasarkan pada tautologi : p (p q)
Kaidah : p
Penjumlahan (2)
47
“Icha mengambil kuliah matematika diskrit . Oleh karena itu icha mengambil kuliah matematika diskrit atau algoritma”
adalah benar menurut penjumlahan.
Konjungsi (1)
48
Didasarkan pada tautologi : ((p) (q) (p q)
Kaidah : p
q
p q
Konjungsi (2)
49
“Icha mengambil kuliah logika matematika. Icha mengulang kuliah algoritma. Oleh karena itu icha mengambil kuliah logika matematika dan algoritma” adalah benar menurut konjungsi.
Argumen (1)
50
Suatu deret proposisi yang dituliskan sebagai p1
p2
… pn
dimana p1, p2, …, pn disebut hipotesis.
Argumen (2)
51
Sebuah argumen dikatakah sahih jika konklusi benar bilamana semua hipotesisnya benar; sebaliknya argumen dikatakan palsu (fallacy atau invalid) konklusi salah bilamana semua hipotesisnya salah.
Untuk menyatakan apakah argumen sahih maka dapat diperlihatkan bahwa implikasi adalah benar (yaitu sebuah tautologi).
