Matematika Integral Lebesgue

Bab 4

Integral Lebesgue

4.1. Integral Riemann

Kita akan sedikit mengulang kembali beberapa definisi pamartisian dalam Integral Riemann.

Misalkan f fungsi bernilai real yang terbatas dan terdefinisi pada interval [a, b] dan misalkan [a, b]

dipartisi menjadi n bagian, yaitu:

0 1

: _n

p a=ξ < <ξ <ξ =b Untuk setiap partisi p tersebut, didefinisikan Jumlah Atas:

1 1

Jumlah Atas ⁿ ( _{i i} ) _i

i

S ξ ξ₋ M

=

= =

∑

−

dan

1 1

Jumlah Bawah ⁿ ( _{i i} ) _i

i

s ξ ξ₋ m

=

= =

∑

−

dimana,

( 1, )

sup ( )

i i

i x

M f x

ξ− ξ

∈

= dan

(inf1, ) ( )

i i

i x

m f x

ξ− ξ

= ∈ .

Dari pendefinisian ini terlihat bahwa untuk setiap partisi p berlaku, ( ) ( )

s p ≤S p dan ( )s p dan ( )S p . Karena partisi-partisi tersebut tidak tunggal, maka dapat didefinsikan

Integral Atas Riemann = ^b inf

a p

R

∫

f = S Integral Bawah Riemann = ^b sup

a p

R

∫

f = s Karena

( ) ( ) ,

s p ≤S p ∀p maka

sup ( ) ( ), sup ( ) inf ( )

b b

a a

s p S p p

s p S p

R f R f

≤ ∀

≤

∫

≤

∫

Sehingga Integral Atas selalu lebih dari atau sama dengan Integral Bawah. Jika,

b b

a a

R

∫

f =R

∫

f

maka f disebut terintegral Riemann (Riemann Integrable) pada [a, b] dan menyebut nilai integral keduanya dengan Integral Riemann dari f dan dilambangkan

b ( ) R

∫

a f x dx

untuk membedakannya dengan Integral Lebesgue yang akan kita tinjau kemudian.

Fungsi Tangga

Fungsi tangga ψ adalah fungsi yang didefinisikan oleh ( )x c_i, untuk _i 1 x _i ψ = ξ₋ < <ξ Dari pendefinisian ini maka,

1 1

( ) ( ) ⁿ ( )

b

i i i

a i

x d x c

ψ ξ ξ ₋

=

=

∑

−

∫

Perhatikan bahwa

( ) ( ) inf ( ) ( )

b b

a f a

R f x d x x d x

ψ ψ

= ≥

∫ ∫

( ) ( ) sup ( ) ( )

b b

a f a

R f x d x x d x

ψ ψ

≤

∫

=

∫

karena ( ) _i, ( _{i 1}, )_i ^b ( )

x M x S a x dx

ψ = ∈ ξ ξ₋ ⇒ =

∫

ψ ^dan ϕ^{( )}x =m x^i, ∈⁽ξ ξⁱ₋^{1, )i} ⇒ =s

∫

a^bϕ^{( )} x dx 4.2. Integral Fungsi Terbatas

Kita mulai pembahasan pada sub-bab ini dengan mendefinsikan suatu fungsi yang bernilai 1 pada suatu himpunan terukur dan nol selainnya yang terintegralkan dan memiliki integral sama dengan ukuran dari himpunannya.

Fungsi Karakteristik

Misalkan E⊂ himpunan terukur. Didefinisikan fungsi karakterisitik dari E dengan aturan ( ) 1

E 0 x x E

χ _{= ⎨}^⎧ x E^∈

⎩ ∉ Sedangkan kombinasi linear

1

( ) ⁿ _{i Ei}( )

i

x a x

ϕ χ

=

=

∑

disebut fungsi sederhana jika himpunan E_i terukur.

Contoh:

( 0,2 ) (1,2 ) ( 2,3)

( ) 1.x 2. 2

ϕ = χ + χ + χ ϕ juga dapat ditulis

( 0,1) (1,2 ) ( 2,3)

( ) 1.x 3. 2

ϕ = χ + χ + χ Jadi, representasi ϕ tidak tunggal.

Definisi (Bentuk Kanonik)

Jika ϕ adalah fungsi sederhana dan {a₁, a₂, . . ., a_n} adalah himpunan nilainya dengan a_i ≠ 0, maka

1

( ) ⁿ _{i Ai}( )

i

x a x

ϕ χ

=

=

∑

dengan A_i ={ : ( )x ϕ x =a_i} disebut representasi bentuk kanonik dari ϕ. Catatan :

1. a_i semua beda dan a_i ≠ 0.

2. A_i saling lepas

3. Bentuk kanonik dari suatu fungsi sederhana bersifat tunggal Dari sini

{

: fungsi tangga dan

} {

: fungsi sederhana

}

A= ϕ ϕ B= ϕ ϕ ⇒A⊂B

Definisi (Integral Fungsi Sederhana) :

Jika ϕ adalah fungsi sederhana dan mempunyai bentuk kanonik

1

( ) ⁿ _{i Ai}( )

i

x a x

ϕ χ

=

=

∑

didefinisikan

1

( ) (ⁿ _{i i})

i

x dx a m A ϕ

=

=

∑

∫

Notasi :

∫

ϕ Contoh:

( 0,1) (1,2 ) ( 2,3)

( ) 1.x 3. 2

ϕ = χ + χ + χ

( ) 1. (0,1) 3. (1, 2) 2. (2, 3) 1.1 3.1 2.1

6

x dx m m m

ϕ = + +

= + +

=

∫

Lemma berikut ini mengatakan bahwa definisi di atas berlaku juga untuk fungsi sederhana yang tidak direpresentasikan dalam bentuk kanonik-nya.

Lemma : Misalkan

1 ⁱ

n i E i

ϕ a χ

=

=

∑

^{dengan Ei ∩Ej = ∅ untuk i ≠ j}. Misalkan E_i terukur dan m E( _i)< ∞

∀i, maka

1 n ( )

i i

i

a m E ϕ

=

=

∑

∫

(a_i tidak harus beda) Bukti :

Didefinisikan himpunan A_a =

{

x: ( )ϕ x =a

}

. Dari pendefinisian ini, diperoleh bahwa

i

a i

a a

A E

=

=

∪

Jadi, semua E_i yang memiliki nilai yang sama, sebut a, digabung ke dalam himpunan A_a. Akibatnya, A_a saling asing. Sehingga,

( ) ( )

i i

a i i

a a a a

m A m E m E

=

=

⎛ ⎞

= ⎜⎜⎝

∪

⎟⎟⎠=

∑

Dari sini, maka

( ) ( ) ( )

( ) ( )

a i

i

i i

A a a

a a a

i a a a a

i i

i

x dx a x

am A a m E a m E

ϕ χ

=

=

= =

=

=

=

=

∫ ∫ ∑

∑

∑ ∑

∑

Proposisi :

Jika ϕ dan ψ adalah dua fungsi sederhana dan a b, ∈ , maka 1.

∫

aϕ ψ+b =a

∫

ϕ+b

∫

ψ

2. Jika ϕ ψ≥ (ae) maka

∫ ∫

ϕ≥ ψ Bukti :

Diketahui ϕ, ψ fungsi sederhana. a b, ∈ . Akan dibuktikan

∫

aϕ ψ+b =a

∫

ϕ+b

∫

ψ ^. Misalkan representasi kanonik dari kedua fungsi tersebut adalah

1

1 ⁱ

n i A i

ϕ a χ

=

=

∑

dan

2

1 ⁱ

n i B i

ψ b χ

=

=

∑

Dengan A_i dan B_i saling lepas, a_i semua berbeda dan b_i semua berbeda untuk setiap i.

Misalkan

{ }

E_k 1ⁿ =

{

A_i ∩B_{j i j}

}

^{n n1}_{= =}1²1 (n n n= ×^{1 2}) Tuliskan

*

1 ^k

n k E k

ϕ a χ

=

=

∑

^{dan *}

1 ^k

n k E k

ψ b χ

=

=

∑

dengan a_k^* atau b_k^* mungkin ada yang sama.

Jadi,

( )

( )

* *

1 1

* *

1 1

* *

1

* *

1

* *

1 1

* *

1 1

( )

( ) ( )

( ) ( )

k k

k k

k

n n

k E k E

k k

n n

k E k E

k k

n

k k E

k n

k k k

k

n n

k k k k

k k

n n

k k k k

k k

a b a a b b

aa ab

aa bb aa bb m E aa m E bb m E a a m E b b m E

a b

ϕ ψ χ χ

χ χ

χ

ϕ ψ

= =

= =

=

=

= =

= =

+ = +

= +

= +

= +

= +

= +

= +

∑ ∑

∫ ∫ ∫

∑ ∑

∫ ∫

∫ ∑

∑

∑ ∑

∑ ∑

∫ ∫

Kedua, karena ϕ ψ≥ (ae) maka ^{m x}

{

^{: ϕ( )x <ψ( )x}

}

⁼⁰. Sehingga integral-nya tidak diperhitungkan. Jadi, cukup ditinjau untuk ϕ ψ≥ . Karena ϕ ψ≥ , dengan menggunakan hasil pada bagian pertama, diperoleh

0 0 0

ϕ ψ− ≥ ⇔

∫

ϕ ψ− ≥

∫

⇔

∫ ∫

ϕ− ψ ≥ ⇔

∫ ∫

ϕ≥ ψ Akibat :

Jika

1 ⁱ

n i E i

ϕ a χ

=

=

∑

^{dengan Ei} tidak saling lepas, maka

1 1

i ( )

n n

i E i i

i i

a a m E

ϕ χ

= =

=

∑

=

∑

∫ ∫

Jadi restriksi Lemma di atas agar E_i saling lepas tidak lagi diperlukan.

Misalkan E adalah himpunan yang terukur dengan ( )m E < ∞. Fungsi f adalah fungsi bernilai real yang terbatas dan terdefinisi pada E. Bandingkan besaran

inf ( )

f E x dx

ψ ψ

≥

∫

^{dan inf}f E ^{( )} x dx

ϕ ϕ

≤

∫

dimana ψ dan ϕ adalah fungsi sederhana.

Proposisi :

Misalkan f adalah fungsi yang terdefinisi dan terbatas pada himpunan terukur E dengan ( )

m E < ∞.

inf ( ) sup ( ) adalah fungsi terukur

E E

f f

x dx x dx f

ψ ψ ϕ ϕ

≥ ≤

= ⇔

∫ ∫

dimana ψ dan ϕ adalah fungsi sederhana.

Bukti :

⇒

Karena f terbatas maka ada M > 0 sehingga ( )f x ≤M, ∀ ∈x E. Ambil n∈ sebarang.

Didefinisikan ∀ = −k n,...,n

: 1 ( )

k

k k

E x E M f x M

n n

⎧ − ⎫

=⎨ ∈ ≤ ≤ ⎬

⎩ ⎭

Sebagai ilustrasi, misalkan n = 2. Maka k = –2, . . ., 2 dengan f seperti pada gambar berikut:

Terlihat E_k terukur (himpunan buka), E_k saling lepas dan

∪

E_k =E. Sehingga

{ }

Ek adalah partisi.

Misalkan hampiran atas : ψ_n, dan hampiran bawah : ϕ_n. Pemilihan kedua fungsi ini bergantung pada n (banyak partisi). Dari sini, didefinisikan:

( ) ⁿ _k( ) ⁿ _k( )

n E E

k n k n

k M

x M x k x

n n

ψ χ χ

=− =−

=

∑

=

∑

dan

( 1)

( ) ⁿ _k( ) ⁿ ( 1) _k( )

n E E

k n k n

k M

x M x k x

n n

ϕ χ χ

=− =−

=

∑

− =

∑

−

Terlihat ψ_n( )x ≥ f dan ϕ_n( )x ≤ f . Karena ψ_n( )x ≥ f , maka

( ) inf

n

n k n k f

M km E

n ^ψ

ψ ψ

=− ≥

=

∑

≥

∫ ∫

. . . .(1)

Karena ϕ_n( )x ≤ f , maka

( 1) ( ) sup

n

n k

k n f

M k m E

n ϕ

ϕ ϕ

=− ≤

=

∑

− ≤

∫ ∫

. . . . (2)

Karena

sup inf

f ψ f

ϕ ϕ ψ

≤

∫

≤ ≥

∫

maka, dari (1) dan (2) diperoleh:

M

M/2

–M/2 –M –3M/2

k = 2

k =1 k = 0 k = –1 k = –2 E0

E2 E1 E1

2

1

0

1

2

: 3 ( )

2

: ( ) 1

2

: 1 ( ) 0

2 : 0 ( ) 1

2

:1 ( )

2

E x E M f x M

E x E M f x M

E x E M f x

E x E f x M

E x E M f x M

−

−

⎧ ⎫

=⎨ ∈ − ≤ ≤ − ⎬

⎩ ⎭

⎧ ⎫

=⎨ ∈ − ≤ ≤ − ⎬

⎩ ⎭

⎧ ⎫

=⎨ ∈ − ≤ ≤ ⎬

⎩ ⎭

⎧ ⎫

=⎨ ∈ ≤ ≤ ⎬

⎩ ⎭

⎧ ⎫

=⎨ ∈ ≤ ≤ ⎬

⎩ ⎭

( )

sup inf

0 inf sup ( ) ( 1) ( )

( 1) ( )

( ) ( ) .

.

, .

. .

n f f n

n n

n n k k

f f k n k n

n

k k n

n k k n

M M

km E k m E

n n

M k k m E

n

M m E

n

Mm E n

n

ϕ ψ

ψ ϕ

ϕ ϕ ψ ψ

ψ ϕ ψ ϕ

≤ ≥

≥ ≤ =− =−

=−

=−

≤ ≤ ≤

⇔ ≤ − ≤ − = − −

= − −

=

= ∀

∫ ∫ ∫ ∫

∑ ∑

∫ ∫ ∫ ∫

∑

∑

Dengan mengambil limit-nya diperoleh sup inf 0

f ψ f

ϕ ϕ ψ

≤

∫

− ≥

∫

= ^.

⇐

Diketahui sup inf

f ψ f

ϕ ϕ ψ

≤ ≥

∫

=

∫

. Akan dibuktikan f fungsi terukur. Ekuivalen dengan membuktikan ada fungsi terukur ψ^* sehingga f =ψ^* (ae).

Karena sup inf

f ψ f

ϕ ϕ ψ

≤ ≥

∫

=

∫

^{maka ∀ ∈n} ada fungsi sederhana ϕ_n dan ψ_n sehingga:

1) ϕ_n ≤ ≤f ψ_n

2) 1

n n

ψ − ϕ <n

∫ ∫

Terlihat ϕ_n naik dan ψ_n turun. Didefinisikan

* sup _n

n

ϕ = ϕ dan ^* inf _n ψ = n ψ Karena ϕ_n ≤ f, ∀n maka ϕ^* =supϕ_n ≤ f

Karena f ≤ψ_n, ∀n maka f ≤supψ_n =ψ^*

Jadi, ϕ^* ≤ ≤f ψ^* dengan ϕ^* dan ψ^* fungsi terukur.

Selanjutnya, akan dibuktikan ^{m x}

( {

^{:ϕ*( )x ≠ψ*( )x}

} )

^{=m x}

( ^{

^{:ϕ*( )x <ψ*( )x}

^} )

^=0.

Misal,

{

^{x:ϕ*( )x ψ*( )x}

}

∆ = <

Karena ϕ^*( )x <ψ^*( )x maka ada bilangan v∈ sehingga ^{* *} 1 ( )x ( )x ϕ <ψ −v Misal

* * 1

: ( ) ( )

v x x x

ϕ ψ v

⎧ ⎫

∆ =⎨ < − ⎬

⎩ ⎭

dan

v v∈

∆ =

∪

∆ Terlihat

* * 1 1 *

: ( ) ( ) : ( ) ( )

v x x x x n x n x v

v v

ϕ ψ ϕ ψ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫

∆ =⎨ < − ⎬ ⎨⊂ < − ⎬= ∆

⎩ ⎭ ⎩ ⎭

dan

( )

* *

1 1 *

v n n v m v

v v ψ ϕ

∆ − > ∆ = ∆

∫ ∫

Jadi,

( ) ( ) ( )

( )

*

*

*

*

1 1

, 0 0

v v n n E n E n

v

v

vm n

m v n

n m

m

ψ ϕ ψ ϕ

∆ < ∆ − ≤ − <

⇒ ∆ < ∀

⇒ ∆ =

⇒ ∆ =

∫ ∫ ∫

Definisi (Integral Fungsi Terbatas) :

Misalkan f adalah fungsi terukur dan terbatas yang terdefinisi pada himpunan E yang terukur dengan ( )m E < ∞. Didefinisikan Integral Lebesgue dari f pada E sebagai berikut:

( ) ( ) inf ( )

E f x d x f E x dx

ψ ψ

= ≥

∫ ∫

dimana ψ adalah fungsi sederhana. Definisi di atas bisa ditulis ( ) ( ) sup ( )

E f E

f x d x x dx

ϕ ϕ

≤

∫

=

∫

^.

Notasi:

1) ( ) ( )

E f x d x = E f

∫ ∫

2) Jika E = [a, b] maka ^b

E f = a f

∫ ∫

3) Jika f adalah fungsi yang terukur dan terbatas serta f bernilai nol di luar himpunan E yang terukur dengan ( )m E < ∞, maka

E f = f

∫ ∫

4) _E

E f = fχ

∫ ∫

Hubungan antara Integral yang didefinisikan di atas dengan Integral Riemann yang didefinisikan sebelumnya diberikan dalam proposisi berikut:

Proposisi :

Misalkan f adalah fungsi terbatas yang terdefinisi pada [a, b]. Jika f terintegralkan Riemann pada [a, b] maka f terukur dan

( ) ( ) ( ) ( )

b b

a a

R

∫

f x d x =

∫

f x d x Bukti :

Misalkan

A = koleksi fungsi tangga B = koleksi fungsi sederhana

Karena f terintegral(kan) Riemann, maka

sup ^{b b} inf

a a A

Af f

R f R f

ϕ ϕϕ

ϕ

ϕ ϕ

∈≤ ∈≤

= = =

∫ ∫ ∫ ∫

Karena A⊂B maka,

inf inf

sup sup

A B

A B

≥

≤ Jadi,

sup sup inf inf

b b

a Af Bf Bf Af a

R f R f

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

∈ ∈

∈≤ ∈≤ ≤ ≤

= ≤ ≤ ≤ =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Kesimpulan:

sup inf

Bf Bf

ϕ ϕϕ

ϕ

ϕ ϕ

∈≤ ∈≤

∫

=

∫

, menurut proposisi sebelumnya f terukur dan,

b sup b

a B a

f

f R f

ϕϕ

ϕ

∈≤

= =

∫ ∫ ∫

Sifat Integral Fungsi Terukur dan Terbatas

Sifat-sifat fungsi terukur dan terbatas diberikan dalam 3 proposisi berikut:

Proposisi :

Misalkan f dan g adalah fungsi terukur, terbatas dan terdefinisi pada himpunan terukur E dengan ( )

m E < ∞, maka:

1. ( )

E af bg+ =a E f b+ Eg

∫ ∫ ∫

2. Jika f = g (ae) maka

E f = Eg

∫ ∫

3. Jika f ≤ g (ae) maka

E f ≤ Eg

∫ ∫

dan akibatnya

E f ≤ E f

∫ ∫

4. Jika ( )A≤ f x ≤B (ae) maka ( ) ( ) Am E ≤

∫

E f ≤Bm E

5. Jika A dan B adalah himpunan terukur dan A B∩ = ∅, dengan ( ), ( )m A m B < ∞ maka

A B f A f B f

∪ = +

∫ ∫ ∫

Bukti :

1. Akan dibuktikan bahwa:

i)

∫

Eaf =a

∫

E f

ii)

∫

E f + =g

∫

E f +

∫

E g Pertama, inf

E f f

ϕ ϕ

= ≥

∫ ∫

^{dengan ϕ} fungsi sederhana.

Jika a > 0 maka

inf inf inf

Eaf a af a a afa a f a E f

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

≥ ≥ ≥

= = = =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Jika a < 0 maka

inf inf sup

E a af f f E

af a a a a f

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

≥ ≤ ≤

= = = =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Kedua, misalkan

A = {ϕ, ψ fungsi sederhana : ϕ ≤ f dan ψ ≤ g}

B = {ϕ fungsi sederhana : f + g ≤ ϕ}

Diambil ,ϕ ψ ∈A sehingga f + ≤ +g ϕ ψ . Menggunakan sifat infimum dan sifat integral fungsi sederhana diperoleh

inf inf inf

E f g f f E E

B A A

f g f g

ϕ ϕ ψ

ϕ ϕ ψ

ϕ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ

≥ + ≥ ≥

∈ ∈ ∈

+ = ≤ + = + ≤ + = +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

^{…… (*)}

Kemudian, misalkan

C = {ϕ, ψ fungsi sederhana : ϕ ≥ f dan ψ ≥ g}

D = {ϕ fungsi sederhana : f + g ≥ ϕ}

Diambil ,ϕ ψ ∈C sehingga f + ≥ +g ϕ ψ . Menggunakan sifat supremum dan sifat integral fungsi sederhana diperoleh

sup sup sup

E f g f f E E

D C C

f g f g

ϕ ϕ ψ

ϕ ϕ ψ

ϕ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ

≤ + ≤ ≤

∈ ∈ ∈

+ = ≥ + = + ≥ + = +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

^{…… (**)}

Dari (*) dan (**) diperoleh

E f + =g E f + Eg

∫ ∫ ∫

Dari hasil pertama dan kedua ini, diperoleh

Eaf bg+ = Eaf + Ebg a= E f b+ E g

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2. Karena f = g (ae) maka f – g = 0 (ae)

Misalkan ψ fungsi sederhana dengan ψ ≥ f – g. Karena f – g = 0 (ae) maka ψ ≥ 0 (ae).

Karena ψ ≥ 0, maka

∫

ψ ≥0. Oleh karena itu,

inf 0

E f g f g

ψ ψ

− = ≥ − ≥

∫ ∫

Kemudian, misalkan ϕ fungsi sederhana dengan ϕ ≤ f – g. Karena f – g = 0, maka ϕ ≤ 0 (ae).

Karena ϕ ≤ 0 maka

∫

ψ ≤0. Oleh karena itu,

sup 0

E f g

f g

ϕ ψ

≤ −

− = ≤

∫ ∫

Dari sini maka,

E f − =g 0

∫

Dengan menggunakan hasil pada bagian 1, diperoleh

0 0

E f − = ⇔g E f − Eg= ⇔ E f = Eg

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

3. Diketahui f ≤ g (ae) maka f − ≤g 0 (ae).

Misalkan ϕfungsi sederhana dengan ϕ≤ − ≤f g 0 maka ϕ≤0. Karena ϕ≤0 maka

Eϕ≤0

∫

. Menurut definisi

E supf g E

f g

ϕ ϕ

≤ −

∫

− =

∫

Karena 0

Eϕ≤

∫

maka begitu juga dengan supremum-nya dan dengan menggunakan hasil pada bagian 1, diperoleh

0 0

E f − ≤ ⇔g E f − E g≤ ⇔ E f ≤ Eg

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Kemudian, akan dibuktikan bahwa

E f ≤ E f

∫ ∫

atau ekuivalen dengan menunjukkan

E f E f E f

−

∫

≤

∫

≤

∫

Dari kenyataan bahwa

f ≤ f dan − f ≤ f

maka menurut hasil sebelumnya dan bukti pada bagian 1 diperoleh

E f ≤ E f

∫ ∫

^dan

∫

E− f ≤

∫

E f ⇔ −

∫

E f ≤

∫

E f 4. Karena ( )A≤ f x ≤B maka menurut bukti pada bagian 3, diperoleh

( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( )

EA≤ E f x ≤ EB⇔A E ≤ E f x ≤B E ⇔ Am E ≤ E f x ≤Bm E

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

5. Pertama, dibuktikan bahwa jika A B∩ = ∅ maka χ_{A B∪} =χ_A+χ_B ( ) 1

A B 0

x A B

x x A B

χ _{∪ = ⎨}^{⎧ ∈ ∪}

⎩ ∉ ∪

Kasus I: Untuk x∈ ∪A B maka χ_{A B∪} ( ) 1x = . Karena x∈ ∪A B maka x∈A atau x B∈ Diketahui A B∩ = ∅, sehingga jika x∈A maka x B∉ . Akibatnya:

( ) ( ) 1 0 1 ( )

A x B x A B x

χ +χ = + = =χ _∪ Sebaliknya, jika x∉A maka x B∈ . Akibatnya:

( ) ( ) 0 1 1 ( )

A x B x A B x

χ +χ = + = =χ _∪

Kasus II : Untuk x∉ ∪A B maka χ_{A B∪} ( ) 0x = .

Karena x∉ ∪A B maka x∉A dan x B∉ . Akibatnya:

( ) ( ) 0 0 0 ( )

A x B x A B x

χ +χ = + = =χ _∪ Jadi terbukti χ_{A B∪} =χ_A+χ_B. Selanjutnya, diperhatikan bahwa:

( )

. .

A B A B

A B

A B

f f

f

f f

χ χ χ

χ χ

∪ = ∪

= +

= +

∫ ∫

∫

∫

Dengan menggunakan hasil pada bagian 1, diperoleh

A B

A B

A B

f f f

f f

χ χ

∪ = +

= +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

Proposisi (Teorema Kekonvergenan Terbatas) :

Misalkan

{ }

fn adalah barisan fungsi terukur yang terdefinisi pada himpunan terukur E, dengan ( )

m E < ∞. Misalkan terdapat M sehingga f x_n( )≤M, dan .∀n ∀x Jika ( ) lim ( )_n f x n f x

= →∞ , ,

∀ ∈x E maka

lim _n

E f n E f

= →∞

∫ ∫

Bukti :

Diambil ε >0 sebarang.

Menurut prinsip Littlewood, untuk 0 ₁

2 ( )m E ε ε

< ≤ dan 0

4M δ ε

< ≤ terdapat himpunan terukur A⊂E dan N∈ sehingga

1. m A( )<δ

2. f x_n( )− f x( )<ε₁, , ∀ ≥n N ∀ ∈x A^c Dari sini, maka

,

...(1)

c

n n

E E E

c E n

n n

A A

f f f f

f f E A A

f f f f

− = −

≤ − = ∪

= − + −

∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫

Karena ( ) lim ( )_n f x n f x

= →∞ dan f x_n( ) ≤M, dan ∀n ∀x maka ( )f x ≤M. Sehingga ∀ ∈n berlaku,

2 ...(2)

n n

f − f ≤ f + f ≤M M+ = M

Jadi, dari (1), (2), 1, dan 2 untuk setiap n N≥ berlaku

1 1 1

2 2 . ( ) . ( ) 2 . ( )

2 ( )

4 2 ( ) 2 2

c

c

E fn E f A M A M m A m A M m E

M m E

M m E

ε ε δ ε

ε ε ε ε ε

− ≤ + = + < +

< + = + =

∫ ∫ ∫ ∫

Proposisi :

Fungsi f terbatas pada [a, b], terintegral Riemann ⇔m x x

( {

: titik diskontinu f

} )

=0

4.3. Integral Fungsi Tak Negatif

Definisi (Integral Fungsi tak Negatif) :

Misalkan f fungsi terukur tak negatif yang terdefinisi pada himpunan terukur E. Didefinisikan

E suph f E

f h

≤

∫

=

∫

dengan h fungsi terukur dan terbatas sehingga ^{m x h x}

( {

^{: ( ) 0≠}

} )

^{< ∞.}

Sifat Integral Fungsi tak Negatif

Sifat-sifat integral fungsi tak negatif diberikan dalam proposisi-proposisi dan lemma berikut:

Proposisi :

Misalkan f dan g adalah fungsi terukur tak negatif, maka

1. , 0

Ecf =c E f c>

∫ ∫

2.

∫

E f + =g

∫

E f +

∫

E g 3. Jika f ≤ g (ae) maka

E f ≤ Eg

∫ ∫

Bukti :

1. Misalkan h fungsi terukur dan terbatas sehingga ^{m x h x}

( {

^{: ( ) 0≠}

} )

^{< ∞}. Menurut definisi,

sup sup sup

E ch cf E h f E h f E E

cf ch c h c h c f

≤ ≤ ≤

= = = =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2. Diambil h dan k fungsi terukur dan terbatas sehingga h≤ f dan k≤ g. Dari sini diperoleh h k+ ≤ +f g dan h + k juga merupakan fungsi terukur dan terbatas pada E. Sehingga,

sup

sup sup

E h k f g E E

E E E E E

h f k g

E E E

h k h k f g

h k h k f g

f g f g

+ ≤ +

≤ ≤

+ ≤ + = +

⇔

+ ≤ + ≤ +

⇔

+ ≤ +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Selanjutnya, diambil l fungsi terukur dan terbatas pada E dengan ^{m x l x}

( {

^{: ( ) 0≠}

} )

^{< ∞ dan}

l ≤ +f g Didefinisikan fungsi h dan k dengan aturan

min( , )

h= f l dan k l h= −

Diperoleh, h≤ f dan h l≤ . Karena l terukur dan terbatas dan h l≤ maka h terukur dan terbatas.

Untuk x E∈ sebarang.

Jika ( )f x ≤l x( ) maka ( )h x = f x( ). Jadi,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k x =l x −h x =l x − f x ≤ f x +g x − f x ≤ g x Jika ( )f x >l x( ) maka ( )h x =l x( ). Jadi,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( )

k x =l x −h x =l x −l x = ≤ g x Sehingga k fungsi terukur dan terbatas. Akibatnya

sup sup

E E E E h f E k g E E E

l h k h k h k f g

≤ ≤

= + = + ≤ + = +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

dan

sup E E E E E E E

l f g

l l f g f g f g

≤ +

≤ ≤ + ⇔ + ≤ +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Dari sini maka

E f + =g E f + Eg

∫ ∫ ∫

3. Misal

{

:

}

A= h h≤ f , h fungsi terukur dan terbatas

{

:

}

B= h h≤ g Karena

h A∈ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ∈h f g h g h B maka A⊂B.

Oleh karena itu,

sup sup

E h f E E h f E

h A h B

f h g h

≤ ≤

∈ ∈

= ≤ =

∫ ∫ ∫ ∫

Jadi,

E f ≤ Eg

∫ ∫

Lemma Fatou :

Misalkan {f_n} adalah barisan fungsi terukur tak negatif dan lim ( )_n ( )

n f x f x

→∞ = hampir dimana-

mana di E, maka

lim _n

E f ≤ E f

∫ ∫

Bukti :

Diambil h, fungsi terukur dan terbatas pada E sebarang sehingga h≤ f.

( ), ( ) ( )

( ) ( ), ( ) ( )

n n

n n

h x f x h x

h x f x f x h x

⎧ ≥

= ⎨⎩ <

Dari definisi ini, karena h dan f_n terukur ∀n maka h_n terukur ∀n. Juga diperoleh bahwa

n ,

h ≤ ∀h n h_n ≤ f,∀n dan lim _n

n h h

→∞ =

Karena h_n terbatas oleh h, maka h_n terbatas seragam. Karena h_n terbatas seragam oleh h, dan lim _n

n h h

→∞ = pada E maka (Teorema Kekonvergenan Terbatas) lim _n lim _n

Eh En h n Eh

→∞ →∞

= =

∫ ∫ ∫

Karena h_n ≤ f_n,∀n maka _{n n},

Eh ≤ E f ∀n

∫ ∫

. Dari sini, , lim _n lim _n lim _n

E n E E E

n h h h f

∀

∫

= →∞

∫

=

∫

≤

∫

Sehingga,

sup lim _n lim _n

E h f E E E

f h h f

≤

= = ≤

∫ ∫ ∫ ∫

Teorema (Kekonvergenan Monoton):

Misalkan {f_n} barisan fungsi terukur tak negatif yang monoton naik dan lim ( )_n ( )

n f x f x

→∞ = (a.e)

maka

lim _n

f = f

∫ ∫

Bukti :

Diketahui {f_n} barisan fungsi terukur, f_n ≥0, ∀n, f_n f pada E. Akan dibuktikan lim _n

f = f

∫ ∫

^.

Menggunakan Lemma Fatou diperoleh

lim _n

f ≤ f

∫ ∫

Karena lim

∫

f_n ≤lim

∫

f_n , maka cukup dibuktikan lim

∫

f_n ≤

∫

f Karena f_n ≤ f, ∀n maka

n lim n

f ≤ f ⇔ f ≤ f

∫ ∫ ∫ ∫

Akibat :

Misalkan {u_n} barisan fungsi terukur tak negatif. Misalkan

1 n n

f u

∞

=

=

∑

maka

1 n

n

f u

∞

=

=

∑

∫ ∫

Bukti : Didefinisikan

1 n

n i

i

f u

=

=

∑

Terlihat {f_n} barisan naik monoton tak negatif. Dari sini maka,

1 1

lim _n lim ⁿ _{i i}

n n i i

f u u f

∞

→∞ →∞ = =

=

∑

=

∑

=

Jadi, lim _n

n f f

→∞ = . Berlaku teorema kekonvergenan monoton:

1 1 1

lim _n lim _n lim ⁿ _i lim ⁿ _{i i}

n n n n

i i i

f f f u u ^∞ u

→∞ →∞ →∞ = →∞ = =

= = =

∑

=

∑

=

∑

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Proposisi :

Misalkan f fungsi tak negatif dan <E_i> barisan himpunan terukur yang saling asing. Misalkan E=

∪

Ei ^{. Maka}

E f =

∑

Ei f

∫ ∫

Bukti : Diambil

. _i

i E

u = f χ maka

i . E

u = f χ

∑

Dengan menggunakan hasil pada akibat di atas, diperoleh

1 1

. . _i

E E i

E E

i i

f f χ ^∞ f χ ^∞ f

= =

= =

∑

=

∑

∫ ∫ ∫ ∫

Definisi :

Fungsi terukur tak negatif f disebut terintegralkan pada himpunan terukur E jika

E f < ∞

∫

^.

Sifat-sifat fungsi terintegralkan diberikan pada dua proposisi berikut Proposisi :

Misalkan f dan g dua fungsi terukur tak negatif. Jika f terintegralkan pada himpunan E dan ( ) ( )

g x < f x pada E, maka g juga terintegralkan pada E, dan

E f − =g E f − Eg

∫ ∫ ∫

Bukti :

Diketahui f terintegralkan maka

( )

E f = E f − + =g g E f − +g Eg< ∞

∫ ∫ ∫ ∫

Jadi,

E f − < ∞g

∫

. Akibatnya,

E g< ∞

∫

, yang berarti g terintegralkan pada E.

Juga,

E f = E f − +g Eg ⇔ E f − Eg= E f − g

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Proposisi :

Misalkan f adalah fungsi tak negatif yang terintegralkan pada E. Maka untuk sebarang ε >0, terdapat δ >0 sehingga untuk setiap A⊂E dengan ( )m A <δ berlaku

A f <ε

∫

Bukti :

Diambil sebarang ε >0.

Jika f terbatas dan f ≥0 maka ada M > 0 sehingga f ≤M.

Pilih δ >0dengan δ < _M^ε sehingga untuk setiap A⊂E dengan ( )m A <δ berlaku

. ( ) _M

A f ≤ AM =M m A <Mδ <M ^ε <ε

∫ ∫

^.

Jika f tidak terbatas.

Didefinisikan

min( , ), fn = f n ∀ ∈n

Dengan pendefinisian ini diperoleh bahwa f_n naik dan konvergen ke f, f_n ≤n, ∀ ∈n , selain itu f_n ≥0 dan f ≥0. Dari sini maka, (teorema kekonvergenan monoton)

lim _n

E f n E f

= →∞

∫ ∫

Karena lim _n

E f n E f

= →∞

∫ ∫

maka untuk ε >0 di atas, ada N∈ sehingga untuk n N≥ berlaku:

n 2

E f − E f <^ε

∫ ∫

^.

Jika diambil n = N,

2 2

N N N

A f − A f = A f − A f < ⇒^ε A f − A f < ^ε

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Diambil 0< <δ ₂^ε_N sehingga ∀ ⊂A E dengan ( )m A <δ, maka

2 2

2 2

2 2

( terbatas oleh )

< . ( ) .

N N

A A

N N

A A

A

N

f f f f

f f f

N N

N m A N

ε ε

ε ε

ε ε ε

= − +

= − +

< + ↑

+

< +

< + =

∫ ∫

∫ ∫

∫

Contoh Soal (Problem 4.6)

Misalkan <f_n> adalah barisan fungsi terukur yang tak negatif yang konvergen ke f, dan misalkan f_n ≤ f untuk setiap bilangan asli n. Buktikan bahwa

lim _n

f = f

∫ ∫

Jawab :

Diambil <f_n> barisan fungsi terukur dan tak negatif yang konvergen ke f dan untuk setiap bilangan asli n, berlaku f_n ≤ f.

Dengan menggunakan lemma Fatou diperoleh

lim _n lim _n

f ≤ f ≤ f

∫ ∫ ∫

(1)

Karena f_n tak negatif, dan f_n ≤ f maka f tak negatif. Karena lim _n

n f f

→∞ = dan f_n terukur untuk setiap n, maka f terukur. Akibatnya, dengan menggunakan proposisi 8, karena f_n ≤ f maka

fn ≤ f

∫ ∫

Sehingga dengan mengambil limit superiornya diperoleh

lim

∫

f_n ≤lim

∫

f ≤

∫

f (2) Dari (1) dan (2) disimpulkan

lim

∫

f_n ≤lim

∫

f_n ≤

∫

f ≤lim

∫

f_n ≤lim

∫

f_n Akibatnya

lim

∫

f_n =

∫

f =lim

∫

f_n Jadi,

lim _n

f = f

∫ ∫

4.4. Integral Lebesgue (General Integral Lebesgue) Misalkan f suatu fungsi bernilai real. Didefinisikan

( ) max(0, ( ))

f x⁺ = f x

dan

( ) max(0, ( )) f x⁻ = −f x

Maka, ,f⁺ f⁻ ≥0, f = f⁺− f⁻, dan f = f⁺+ f⁻. Sehingga diperoleh

| | 2 f f

f ⁺ +

= dan | |

2 f f

f⁻ −

= .

Jika f fungsi terukur maka f⁺ dan f^– juga terukur.

Definisi :

Fungsi terukur f disebut terintegralkan pada E jika f⁺ dan f^– terintegralkan pada E dan didefinisikan

E f = E f⁺− E f⁻

∫ ∫ ∫

Perlu dicatat bahwa, fungsi f terukur dan terintegralkan jika dan hanya jika f⁺ dan f^– terintegralkan. Jadi f terintegralkan jika dan hanya jika

E f⁺ < ∞

∫

^dan

∫

E f⁻ < ∞^.

Sifat-sifat Integral Lebesgue diberikan pada proposisi dan teorema-teorema berikut:

Proposisi :

Misalkan f dan g adalah fungsi terintegralkan pada E, maka:

1. Fungsi cf terintegralkan pada E untuk setiap bilangan real c dan

Ecf =c E f

∫ ∫

2. Fungsi f + g terintegralkan pada E dan

E f + =g E f + E g

∫ ∫ ∫

3. Jika f ≤ g (ae) maka

E f ≤ Eg

∫ ∫