INTEGRAL TAK TENTU DAN TENTU (1)

INTEGRAL TAK TENTU DAN TENTU

 Integral Tak Tentu

Notasi/lambang untuk menyatakan integral adalah . Misalkan F(x) menyatakan fungsi dalam x, dengan f(x) turunan dari F(x) dan c konstanta berupa bilangan real sembarang, maka notasi integral tak tentu dari f(x) adalah



f (x)dx F(x)c

Rumus dasar integral tak tentu a. Integral Fungsi Aljabar

Cara menentukan integral fungsi aljabar. Misalkan y = xn+1 _{maka kita dapat}

menentukan turunan pertamanya, yaitu y' = (n+1) x(n+1)-1_{= (n+1) x}n_{. y' =}

dx dy

sehingga diperoleh

dx dy

= (n+1) xn_{. Dari persamaan tersebut}

diperoleh dy = (n + 1) xn _{dx. Apabila diintegralkan kedua ruas akan}

diperoleh persamaan:

dy = (n + 1) xn _dx  y + c = (n + 1) xn _dx

Kemudian disubtitusikan dengan bentuk fungsi y = x(n + 1) _diperoleh

(n + 1) xn _{dx = x}(n + 1) _{+ c, sehingga diperoleh x}n _{dx = x c}



1 n

1 n

1

, n –1

Pada materi diferensial, jika turunan F(x) adalah f(x) dan turunan G(x)

adalah g(x) maka turunan dari y= F(x) + G(x) adalah

dx dy

=f(x) + g(x),

dengan demikian dapat dinyatakan bahwa

[f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx

Sifat-sifat yang merupakan rumus-rumus dasar integral adalah sebagai berikut.

2. xn _{dx =}

1 n

1

 x

n+1 _{+ c; n  –1}

3. 

a

n _{dx =}

1

n

a

xn+1 _{+ c; n  –1}

4. 

a

dx =

a

+ c

5. [f(x) + g(x)] dx = f(x) dx+ g(x) dx

6. [f(x) – g(x)] dx = f(x) dx– g(x) dx

7. 

a

f(x) dx =

a

f(x) dx

1. Jika f(x) = sin x maka f'(x) = cos x 2. Jika f(x) = cos x maka f'(x) = –sin x 3. Jika f(x) = tan x maka f'(x) = sec2 _x

4. Jika f(x) = cot x maka f'(x) = –cosec2 _x

5. Jika f(x) = sec x maka f'(x) = sec x tan x 6. Jika f(x) = cosec x maka f'(x) = cosec x cot x

Contoh:

1. Selesaikan pengintegralan dari x4_{x dx.}

Penyelesaian:

x4_{x dx = x}4_{x x}21_dx



=

_

x421 dx

= x c



1 4

2 1

2 1

1 4

1

= x112 c

11 2

b. Integral Fungsi Trigonometri

Karena integral adalah operasi kebalikan (invers) dari turunan (diferensial), integral trigonometri dapat dirumuskan sebagai berikut:

 sin x dx = –cos x + c

 sin ax dx = –

suatu fungsi sedemikian rupa sehingga F (x) = f(x) untuk semua x pada [a,b],

maka berlaku dinamakan dengan teorema dasar kalkulus. Dengan teorema ini, nilai integral tertentu lebih mudah diketahui. Bukti teorema di atas adalah sebagai berikut. Bukti:

Misal g(x) =

_

x

a f(x)dx dengan x[a,b] maka g(x) merupakan integral tak

tentu sehingga g(x) =

_

_axf (x)dx= F(x) + c.

Sifat-sifat integral tertentu:

Misal f(x) dan g(x) adalah fungsi kontinu maka: