KUMPULAN SOAL-SOAL MATEMATIKA (WAHYU PUSPA WIJAYA/140511602945)
INTEGRAL TAK TENTU 1.
∫
3x2(4−2x)dx=. . .Jawab:
∫
3x2(4−2x)dx=∫
12x2−6x3dx¿12 3 x
3
−6 4x
4
+C
¿4x3
−6 4x
4
+C
2.
∫
√
x3+ 2x4dx=. .. Jawab:
∫
√
x3+ 2x4dx=
∫
x3 2+2x−4
dx
¿2 5 x
5 2+ 2
−3x
−3
+C
¿2 5 x
5 2−2
3 x
−3
+C
3.
∫
(3sinx+4)dx=. . . Jawab:∫
(3sinx+4)dx=∫
3sinxdx+∫
4dx ¿−3cosx+4x+C4. Tentukan integral dari persamaan berikut:
∫
(
4x2−3x)
(5x−2)dx Jawab:4x2 20x3−8x2 (¿−15x2+6x)dx (¿−3x)(5x−2)dx=
∫
¿20x3
−23x2
(¿+6x)dx ¿
∫
¿¿20x
4
4 − 23x3
3 + 6x2
2 +C
¿5x4−23x
3
3 +3x
2
+C
5. Tentukan integral pada persamaan berikut:
∫
[
13√
x3−
√
3 x4+x
√
x5]
dx Jawab:∫
[
13√
x3−
√
3 x4+x
√
x5]
dx=∫
[
1 3x3 2−x
4 3+x . x
5 2
]
dx¿
∫
[
1 3x3 2−x
4 3+x
7 2
]
dx¿ 1 3 5 2 x 5 2−3
7x
7 3+2
9 x
9 2+C
¿1 3.
2 5x
5 2−3
7x
7 3+2
9x
9 2+C
¿ 2 15 x
5 2−3
7 x
7 3+2
9 x
9 2+C
INTEGRAL TENTU
1.
∫
0 2
(
4−x2) (
x3)
dx=. . .
Jawab:
∫
0 2
(
4−x2) (
x3)
dx=
∫
0 2
(
4x3−x5
)
dx¿
(
4 4(2)4
−1 6(2)
6
)
−(
4 40 4 −1 60 6)
¿16−64 6 ¿96 6 − 64 6 ¿32 6 2.
∫
0 πcos2x dx
=. . .
Jawab:
∫
0
π
cos2x dx=
∫
0
π
(
1 2+1
2cos 2x
)
dx ¿[
12x+ 1 2.
1
2sin 2x
]
0π
¿
(
1 2π+1
4sin 2π
)
−(
1 2.0+1 2.
1
2sin 2.0
)
¿(
12.180
0
+1
4sin 2.180
0
)
¿900+0 ¿900
3. Tentukan nilai dari persamaan sebagai berikut:
∫
1 3
2x2
+5x−6dx Jawab:
∫
1 3
2x2+5x−6dx=
[
2 3x3
+5 2x
2
−6x
]
1 3 3 ¿ ¿ 1 ¿ ¿ 2
3(1)
3
+5
2(¿2−6(1)¿) 2
3(3)
3
+5
¿
(
2 3(27)+5
2(9)−6(3)
)
−(
2 3+5 2−6
)
¿
(
18+452 −18
)
−(
4 6+15 6 −6
)
¿45 2 −
(
19 6 −6
)
¿452 − 19
6 +6 ¿135−19+36
6 =
152 6
4. Jika
∫
2
a
(4x−4)dx=16 , untuk a>0 , maka tentukan nilai a2+1 ! Jawab:
∫
2
a
(4x−4)dx=16 2a2−4a−16=0
[
2x2−4x]
2a=16 2a2−8a−4a−16=0(
2a2−4a)
−(
2(2)2−4.2)
=16 (2a+4) (a−4)=0(
2a2−4a)
−0=162a2
−4a−16=0
Jadi, 2a+4=0
a=−2(tidak memenuhi)
a−4=0
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
1. Berikut adalah fungsi trigonometri. Tentukan integral dari fungsi tersebut:
∫
sin28x dxJawab: sin28x dx=¿
∫
(
12− 1
2cos 16x
)
dx∫
¿¿1 2 x−
1
32sin16x+C
2. Berikut adalah fungsi trigonometri. Tentukan integral dari fungsi tersebut:
∫
(cos2x−sin 2x)2dxJawab:
∫
(cos 2x−sin 2x)2dx=∫
(
cos22x−2 cos 2x .sin 2x+sin22x
)
dx¿
∫
(1−2 cos 2x .sin 2x)dx ¿∫
(1−sin 4x)dx¿x+1
4cos 4x+C
3.
∫
cos3x .sin 6x dx =. . . Jawab:∫
cos 3x .sin 6x dx=∫
12(sin 3x−sin 6x)dx ¿1
2
(
−13 cos 3x+ 1
6cos6x
)
+C ¿−16cos 3x+ 1
INTEGRAL EKSPONEN 1.
∫
3x6x5dx=. . .Jawab:
Misal, u=x6 du=6x5dx
6
du=x5dx , sehingga
∫
3x6x5dx=∫
1 63u
du
¿1 6.
3u
ln3 ¿ 3
u
6 ln3+C 2.
∫
34x+1dx=. . .Jawab:
∫
34x+1dx=∫
34x.3dx¿3
∫
34xdx3 (¿¿4)xdx
¿3
∫
¿ ¿3∫
(81)xdx ¿3. 81x
ln 81+C 3.
∫
2e−10xdx=.. . Jawab:
Misal, u=−10x
du=−10dx , sehingga
∫
2e−10xdx=−10∫
2eudu= −20
∫
2eudu= −20e−10x
+C
4.
∫
x2
5x3
+2dx=. .. Jawab:
Misal, u=5x3
+2 du=15x2dx
15 1
15du=x
2dx
∫
x25x3+2dx=
∫
1 15u du
¿ 1 15
∫
du u ¿ 1
15lnu+C 5x (¿¿3+2)+C
¿ 1 15ln¿ 5.
∫
(
4e3x+2)
3e3xdx=.. .Jawab:
Misal, u=4e3x+2 du=12e3xdx
12 1
12du=e
3x
dx , sehingga
∫
(
4e3x+2
)
3e3xdx=
∫
(u)3
1 12 du ¿ 1
12
∫
u3
du
¿ 1 12.
1 4
(
4e3x
+2
)
4+C ¿ 148
(
4e3x
+2
)
4+CINTEGRAL LUAS
1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva berikut, y=x2
+x−12 , garis
−6x+2y−6=0 , dan sumbu X . Jawab:
y1=x2+x−12
¿3x+3
y1=y2
x2
+x−12=3x+3
¿x2+x−3x−12−3 ¿x2−2x−15 ¿(x−5)(x+3)
x1=5;x2=−3
∫
−3 5
(
x2+x−12)
−(3x+3)dx¿
∫
−3 5
(
x2+x−3x−12−3)
dx¿
∫
−3 5
(
x2−2x−15
)
dx ¿[
13x
3
−x2
−15x
]
−3 5
¿
(
1 3(5)3
−(5)2−15(5)
)
−(
1 3(−3)3
−(−3)2−15(−3)
)
¿(
1253 −25−75
)
−(
−273 −9−45
)
¿1253 + 27
3 −100+53 ¿152
3 −47 ¿152
3 − 141
3 ¿11
3 satuan luas
2. Luas daerah yang dibatasi kurva berikut, y=9−x2 , dari x=1 sampai x=3 . Jawab:
9−x2
(¿)dx=
[
9x−1 3x3
]
−3 5∫
1 3
¿
¿
(
9(5)−1 3(5)3
)
−(
9(−3)−1 3(−3)3
)
¿
(
45−1253
)
−(
−27− (−27)¿45+27−125 3 −
27 3 ¿72−98
3 ¿216
3 − 98
3 ¿118
3 satuanluas
3.
Tentukan luas daerah
yang diraster di atas!
Jawab: y1=4x y2=12−x2
y1=y2
4x=12−x2
¿x2+4x−12
¿(x−2)(x+6) x1=2; x2=−6
∫
−6 2
x2
+4x−12dx
y=4x
¿
[
1 3x3
+2x2
−12x
]
−6 2
¿
(
1 3(2)3
+2(2)2−12(2)
)
−(
1 3(−6)3
+2(−6)2−12(−6)
)
¿(
83+16−24
)
−(
−2163 +72+72
)
¿83+ 216
3 −8−144 ¿224
3 −152 ¿224
3 − 456
3 ¿−232
3 satuan luas
INTEGRAL (VOLUME)
1. Diketahui y=4x , y=x+10 , dan garis y=12 , dengan sumbu Y sebagai bidang putar. Tentukan besar volumenya!
Jawab: y1=4x 12=4x 3=x1
y2=x+10 12−10=x
2=x2
π
∫
2 3
x12−x22dy = π
∫
2 3
(
1 4 y)
2
−(y−10)2dy y1=4x
1
4 y1=x1
=
y
(¿¿2−20y+100) 1
16 y
2
−¿
¿ ¿
π
∫
2 3
¿
= π
∫
2 3
(−15 16 y
2
+20y−100)dy = π
∫
2 3
(−15 16 y
2
+20y−100)dy =
[
−4516 y
3
+10y2
−100x
]
2 3
π
¿
(
−45 16 (3)3
+10(3)2−100(3)
)
π−(
−45 16 (2)3
+10(2)2−100(2)
)
π¿
(
−4516 .27+90−300
)
π−(
−4516 .8+40−200
)
π ¿(
−121516 −210+ 45
2 +160
)
π ¿(
−121516 + 45
2 −50
)
π ¿(
−121516 + 360
16 − 800
16
)
π ¿−165516 πsatuan volume
2. Diketahui y=x2 dan y=9 . Tentukan volume mengelilingi sumbu X! Jawab:
y1=y2
x2
=9 ¿x2−9 ¿(x−3)(x+3) x1=3; x2=−3
=
(
x2)
2(¿−(9)2)dx π
∫
−3 3
x4 (¿−81)dx
¿π
∫
−3 3
¿
=
[
1 5x5
−81x
]
−3 3
π =
(
1 5(3)5
−81(3)
)
π−(
1 5(−3)5
−81(−3)
)
π¿
(
2435 −243
)
π−(
−2435 −(−243)
)
π ¿(
2435 + 243
5 −243−243
)
π ¿(
4865 −486
)
π ¿(
4865 − 2430
5
)
π ¿−19445 πsatuanvolume
3. Tentuka volume apabila daerah yang dibatasi kurva y=x2−2x−8 dan sumbu X diputar 3600!
Jawab π
∫
0
π
(
x2−2x−8)
dx=
[
1 3x3
−x2−8x
]
0
π
π
=
(
1 3π3
−π2−8π
)
π−(
1 303
−02−8.0
)
π =(
13
(
1800
)
3−
(
1800)
2−8
(
1800)
)
π =(
19440000−324000
−14400
)
π= 19101600π = 10612π2satuan volume
INTEGRAL PARSIAL
2x ¿
(¿3¿+2)sin 4x dx ¿
∫
¿Jawab:
2x ¿
(¿3¿+2)sin 4x dx ¿
∫
¿ Misal:u=2x3+2du=6x2 dx dv=sin 4xdx v=−1
4 cos 4x Maka,
∫
u dv=u . v−∫
v du¿
(
2x3+2
)
.−14cos 4x−
∫
−14 cos 4x .6x
2dx
¿
(
2x3+2)
.−14cos 4x−
(
−14
)
∫
cos 4x .6x2
dx
1 4.
6x2
4 sin 4x 4x+¿ ¿ ¿
(
2x3+2)
.−14cos¿ ) +C
¿−1 4
(
2x3
+2
)
cos4x+ 6 16x2sin 4x
+C
2. Hasil dari sebuah pengintegrasian persamaan berikut adalah….
∫
5x(x+3)4dxJawab:
∫
5x(x+3)4dxu=5x du=5dx dv=(x+3)4dx v=1
5(x+3)
5
Maka,
∫
u dv=u . v−∫
v du¿5x .1 5(x+3)
5
−
∫
1 5(x+3)5
5dx
¿ 5x .1 5(x+3)
5
−
∫
(x+3)5dx¿ x(x+3)5−1
6 (x+3)
6
+C
3.
∫
x4(x+3)5dx=. .. Jawab:
Misal: u=x4du
=4x3dx
dv=(x+3)5dx v=1 6(x+3)
6
Maka,
∫
u dv=u . v−∫
v du¿x4.1 6(x+3)
6
−
∫
1 6(x+3)6
4x3dx
¿x4.1
6(x+3)
6−1
6
∫
(x+3)64x3dx
1 6. −(¿1
7(x+3)
7
4x3)+C ¿x4.1
6(x+3)
6
−¿4x
3
42 (x+3)
7
+C
¿x
4
6 (x+3)
6
¿
INTEGRAL SUBSTITUSI TRIGONOMETRI
1. Selesaikan integral berikut!
∫
0 6
1
√
36−x2dx=.. . Jawab :Misal , x=6sinθ ,maka sinθ=x 6 x=6sinθ
dx=6 cosθ dθ
x 0 6
θ 0 π
6
∫
0 6
1
√
36−x2dx=∫
0π
6
6 cosθ dθ
√
36−36 sin2θ¿
∫
0
π
6
6 cosθ dθ
√
36(
1−sin2θ)
¿
∫
0
π
6
6 cosθ dθ 6
√
cos2θ ¿∫
0
π
6
6 cosθ dθ 6cosθ
¿
∫
0
π
6
dθ
¿
[
θ]0π
6
2. Selesaikan integral berikut!
∫
x2√
64−x2dx=. .. Jawab :Misal , x=8sinθ ,maka sinθ=x
8 , cosθ=
√
64−x28 x=8sinθ
dx=8 cosθ dθ
∫
x2√
64−x2dx=∫
(8sinθ)28cosθ dθ
√
64−64 sin2θ ¿∫
(8sinθ)28cosθ dθ
√
64(
1−sin2θ)
¿
∫
(8sinθ)28cosθ dθ
√
64 cos2θ ¿∫
(8sinθ)2
8cosθ dθ 8cosθ ¿
∫
8 sin2θ dθ¿8
∫
(
1 2−1
2cos 2
)
θ dθ ¿8(
12θ− 1
4sin 2θ
)
+C ¿4θ−2 sin 2θ+C ¿4arcsin(
x8
)
−2(2sinθ . cosθ)+C ¿4arcsin(
x8
)
−2(
2. x 8.√
64−x2 8
)
+C ¿4arcsin(
x8
)
−(
4x
√
64−x2 64)
+CINTEGRAL FUNGSI RASIONAL
8 x
1.
∫
2x+1x2−12x+20dx=. .. Jawab:
∫
2x+1 x2−12x+20dx=
∫
Ax−2dx+
∫
B x−10dx ¿∫
(
A(x−10)+B(x−2)(x−2) (x−10)
)
dx ¿∫
(
Ax−10A+Bx−2B(x−2) (x−10)
)
dx ¿∫
(
(A+B)x−10A−2B(x−2)(x−10)
)
dx 2x+1=(A+B)x−10A−2B 2x=(A+B)x 2=A+B A=2−B 1=−10A−2B
1=−10(2−B)−2B 1=−20+10B−2B 1=−20+8B 1+20=8B
21=8B 21
8 =B , sehingga besar nilai A adalah A=2−B
A=2−21 8 A=16
8 − 21
8 A=−5
8
Setelah mengetahui nilai A dan B maka kembali ke persamaan awal.
∫
2x+1x2
−12x+20dx=
∫
−58
x−2dx+
∫
218 x−10dx ¿−5
8
∫
1 x−2dx+21 8
∫
1 x−10dx ¿−5
8ln(x−2)+ 21
8 ln(x−10)+C
2x+1=(A+B)x−10A−2B
2.
∫
x+2(x−4)2dx=.. . Jawab:
∫
x+2(x−4)2dx=
∫
Ax−4dx+
∫
B (x−4)2dx ¿∫
(
A(x−4)+B(x−4)2
)
dx ¿∫
(
Ax−4A+B(x−4)2
)
dx x+2=Ax−4A+B x=Ax
1=A 2=−4A+B
2=−4(1)+B 2=−4+B 6=B
Setelah mengetahui nilai A dan B maka kembali ke persamaan awal.
∫
x+2(x−4)2dx=
∫
1x−4dx+
∫
6 (x−4)2dx ¿1∫
1x−4 dx+6
∫
1 (x−4)2dx ¿ln|x−4|+ 6(x−4)+C
PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDO
1. Berikut diketahui sebuah persamaan y=3x5+4x4−2x3 . Temukan fungsi ordo ketiga berdasarkan teorema persamaan diferensial ordo!
Jawab:
y=3x5+4x4−2x3 y'=dy
dx=15x
4
+16x3−6x2 y''=dy
'
dx=60x
3
+48x2−12x
x+2=Ax−4A+B
y'' '
=dy
' '
dx =180x
2
+96x−12
2. y= 3
√
x3+5x 2√
x−7x4 , Tentukan fungsi ordo keempat dari persamaan tersebut! Jawab:y= 3
√
x3+5x 2√
x−7x4¿3x
−3
2 +5x52−7x4
y'=dy dx=−
9 2 x
−5 2 +25
2 x
3
2−28x3
y''=dy
'
dx= 45
4 x
−7 2 +75
4 x
1
2−84x2
y'' '=dy
' '
dx =− 315
8 x
−9 2 +75
8 x
−1
2−168x1
y'' ' '=dy
'' '
dx = 2835
16 x
−11 2 −75
16 x
−3 2 −168
3. Diketahui hasil dari operasi persamaan diferensial ordo tiga dari persamaan y=(x−5)
(
x2−3x−40)
adalah 6. Buktikanlah jika pernyataan tersebut benar! Jawab:y=(x−5)
(
x2−3x−40
)
¿x3
−8x2
−25x+200 y'
=dy dx=3x
2
−16x−25 y''
=dy
'
dx=6x−16 y'' '
=dy
' '
dx =6
Berdasarkan pembuktian di atas maka pernyataan bahwa hasil dari operasi persamaan diferensial ordo tiga dari persamaan y=(x−5)
(
x2−3x−40)
adalah 6 adalah BENARTentukan momen inersia untuk kerapatan δ(x , y)=x2y , dibatasi sumbu x=6 dan kurva
y=x
3 2 .
1. Terhadap sumbu X 2. Terhadap sumbu Y Jawab
1. Ix=
∬
S
❑
y2δ(x , y)dA
¿
∫
0 6
∫
0
x
3 2
y2. x2y dx dy
¿
∫
0 6
(
∫
0
x
3 2
y3dy
)
x2dx¿
∫
0 6
(
[
1 4 y4
]
0x
3 2
)
x2dx ¿∫
0 6
(
1 4 x6
. x2
)
dx¿
∫
0 6
(
1 4 x8
)
dx ¿[
14. 1 9x
9
]
0 6¿
[
1 36x9
]
0 6¿ 1 36.(6)
9
¿279936
2. Iy=
∬
S❑
x2δ
(x , y)dA
¿
∫
0 6
∫
0
x
3 2
¿
∫
0 6
(
∫
0
x
3 2
y dy
)
x4dx¿
∫
0 6
(
[
1 2y2
]
0x
3 2
)
x4dx¿
∫
0 6
(
1 2x3. x4
)
dx¿
∫
0 6
(
1 2x7
)
dx¿
[
1 2.1 8 x
8
]
0 6¿
[
1 16x8
]
0 6¿ 1 1 6.(6)
8
