INTEGRAL TAK TENTU (subtitusi parsial) Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

INTEGRAL TAK TENTU (subtitusi – parsial)

Agustina Pradjaningsih, M.Si.

Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.fmipa@unej.ac.id

Untuk fungsi f yang terdefinisi pada selang terbuka I, dpt ditentukan fungsi F yg

memenuhi pada I.

Fungsi F ini dinamakan anti turunan dari fungsi f pada selang I.

) ( )

(

' x f x

F 

DEFINISI 1

Fungsi f(x)=sin 2x, mempunyai beberapa anti turunan. Disini terdapat tiga fungsi F yg memenuhi

pada R yaitu

 R x

) (

) (

' x f x

F 

x x

F x

x F

x x

F₁( )   ¹₂ cos 2 , ₂( )  sin² , ₃( )   cos²

) ( 2

sin )

sin )(

(cos 2

) ( '

) ( 2

sin cos

sin 2

) ( '

) ( 2

sin 2

) 2 sin (

) ( '

3 2

2 1 1

x f

x x

x x

F

x f

x x

x x

F

x f

x x

x F



























karena

Maka F₁, F₂, dan F₃ semuanya anti turunan dari fungsi f pada R. Hubungan antara ketiga anti turunan dari fungsi f tersebut :

2 2 1

2 2 1

2

1 cos 2  sin    cos 

 x x x

Hal diatas menyatakan bahwa anti turunan tidak tunggal, yang berbeda pada konstanta real.

TEOREMA 1

Misalkan fungsi f terdiferensialkan pada selang terbuka I. Jika pada I, maka f(x)=c.

0 )

(

' x  f

Bukti :

Tetapkan fungsi f yang diferensiabel pada I memenuhi Teorema Nilai Rata Rata (TNR) pada selang tertutup yang ujungnya x dan x₁ dengan

1  I x

I x

1

1) (

) ) (

(

' x x

x f

x p f

f 

 

Karena pada I, maka Shg pada selang I berlaku

Ambil c=f(x₁) maka f(x)=c, c konstanta

) (

)

(x f x₁

f 

0 )

(

' p  0 f

) (

' x  f

Akibatnya terdapat p antara x dan x₁ sedemikian sehingga

AKIBAT

Jika pada selang I maka f(x) = g(x)+c, c konstanta real

) (

' )

(

' x g x

f 

Bukti :

Karena pada I maka

pada I. Berdasarkan

Teorema 1 sehingga

f(x) = g(x)+c, c konstanta real )

( ' )

(

' x g x

f 

0 )

( )'

( f  g x 

c )

( )'

( f  g x 

DEFINISI 2

) (

) (

' x f x

F 

Anti diferensial dari fungsi f pada selang I adalah fungsi y=F(x)+c dengan F'(x)  f (x) pada I

Karena anti turunan dari suatu fungsi tidak tunggal, maka terdapat bentuk umum anti turunan dari suatu fungsi pada selang I yang dinamakan anti diferensial

Proses menentukan anti diferensial dari fungsi f pada selang I dinamakan integral tak tentu dari fungsi f pada selang I dan ditulis dengan lambang

D E F I N

I S

I

Integral Tak Tentu

c )

( )

(  



^{f x dx F x}

dengan

F anti turunan f pada I

integral tak tentu dari f



^{f (x)dx}

....dx



 Leibniz

notasi adalah

dipakai yang

Notasi

turunan anti

tak tentu integral

) ( )

( rhadap

turunan te











x

x

D

x f dx

x f D

x

anti turunan → mengintegralkan

dx x

f ( )



tanda integrasi Integran

Mengintegralkan integran → Integral tak tentu

NOTASI

) 1 ,

0 (

ln C

C

) 0 (

C

ln

) 0 (

C )

ln(

) 0 (

C

ln

) 1 (

, 1 C

1













 



























 











^

a a a

dx a a

e dx

e

x x

x x

x x

x dx

n n dx x

x

x x

x x

n n

Rumus Integrasi Dasar (1)









































C csc

cot csc

C sec

tan sec

C cot

csc

C tan

sec

C sin

cos

C cos

sin

2 2

x x dx

x

x x dx

x

x x dx

x x dx

x x dx

x -

x dx

Rumus Integrasi Dasar (2)

















































C csc

arc

C sec

arc 1

C arccos

C arcsin

1

C cot

arc

C arctan

1

2 2 2

x -

x x

x

dx

x -

x x

dx

x -

x x

dx

Rumus Integrasi Dasar (3)

TEOREMA 2

1. Faktor konstan dapat diletakkan diluar tanda integral, yaitu jika k konstanta maka



^{kf (x)dx  k}



^{f (x)dx}

2. Integral dari jumlah dua fungsi sama dengan jumlah integral masing masing fungsi.

dx x

g dx

x f

dx x

g x



⁽ f ^{( )  ( )) }



^{( ) }



^{( )}

 























 



 



  



 



  



 



 













dx x

x x

x dx x x

x dx x dx x

x x

dx x

x x

dx

dx x

x dx

x

dx x

dx

x x

) 3

25 18

( 10.

1 3

9. 2

8 3

8. 4 6

7. 1

)

6 7

20 (

6.

. 5

) 1 6

6 ( 4.

.

3

) 4 2

( . 2

4

. 1

2 4

8 2

2 3

5 5 6

7 3

4 7

3 2 4

2

4 5

23

Cari anti turunan F(x)+C untuk yang berikut

Contoh 1

1 C 1

C

3 3 4

. 4 5

C 3

2

6 6

) 1 6

6 ( . 4

5 C C 3

. 1 3

C 4

4 2

) 4 2

( . 2

C

4 4

. 1

3 4

3 4

4 5

4 5

2 3

2 2

3 3 3

2

2

3 5 3

3 3 2 23

















 



 



 























 





















































x - x

x x

dx x

dx x

x dx x

x x

x

dx xdx

dx x

dx x

x

x

x dx

x

x x

dx xdx

dx x

x dx

2 C 3

2

C 2

3 2

) 8

3 4

8 ( 3

. 4 8

1 C 2

1

2 C ) 1

6 6 (

. 1 7

C 2

2

) 6

7 20

( )

6 7

20 (

6.

4 2

4 2

5 5

5 6

6 2

6 2

7 3

7 3

3 7

10

2 6

9 4

7 2





















 



 



  



















 



 



 











































x x x

x x

x

dx x

x x dx

x x

x x

x x

dx x

x x dx

x

x x

x

dx x

x x

dx x

x x

C 5

2 )

3 25

18 ( .

10

1 C 3

C 3

) 3

2 1 (

3 9. 2

3 5

9 2

4 8

2

1 2

2 2

2 3

































 



 



  











x x

x dx

x x

x

x x x

x x

x

dx x

x x dx

x x

Untuk mencari yang tdk dpt langsung diperoleh dari sifat-sifat anti derivatif dan rumus integrasi dasar yang telah ada.



^{f (x)dx}

INTEGRASI SUBTITUSI

mengubah variabel yang terdapat dibawah tanda integral dengan suatu subtitute, sehingga diperoleh integral dalam variabel baru yang diharapkan lebih mudah daripada integral yang diberikan.

Jika yang didefinisikan pada suatu interval, mempunyai invers

dan fungsi-fungsi g dan g^-1 keduanya mempunyai derivatif yang kontinu pada intervalnya masing-masing, dan f kontinu pada interval dimana g^-1 didefinisikan, maka

) (t g x 

)

1( x g

t  ^

 ^{f (x)dx }  ^{f (g(t))g'(t)dt} TEOREMA 3

BUKTI :

Teorema akan terbukti apabila dpt diperlihatkan samanya derivatif terhadap x dari fungsi ruas kiri dan fungsi ruas kanan dalam kesamaan diatas. Jadi harus diperlihatkan bahwa

Menurut definisi





^{f x dx } _dx^{d f g t g t dt}

dx

d ( ) ( ( )) '( )

) ( )

(x dx f x dx f

d  ^

Sedangkan menurut teori hitung diferensial

) ( ))

( (

) ( ' ) 1

( ' )) ( (

) 1 ( ' )) ( (

) ( ' )) ( (

) ( ' )) ( ( )

( ' )) ( (

x f t

g f

t t g

g t

g f

t g t

g f

dx t dt

g t

g f

dx dt dt

t g t

g dt f

dt d t g t

g dx f

d

dt dx



















 







 



  



C sin

2 C

sin 2

cos 2

2 cos

cos

2

Misal

2 1 2

1

2 1



























x t

dt t

dt t

dx x

dt dx

x t

Contoh 2

 ^cos

¹²

^{x dx}

Carilah

 ^{( 2 x  5 )}

⁹

^dx

Hitung

Contoh 3

C )

5 2

20 ( 1

20 C 1

2 1 ) 2

5 2

( Jadi

2 5

2 Subtitusi

10 10

9 9

9































x y

dy dy y

y dx

x

dx dy

x y

 ^{( x  1 ) dx}

Hitung

^{3 2}

Contoh 4

5 C 3

1 C 1 C

) 1 (

Jadi

1 Subtitusi

3 5

3 5 3

3 3 2

3 2

3 5 3

3 3

2

3 2

3 2









 

























u

u u

du u

dx u

dx x

dx du

x u

 ^{( 2 x  3 ) cos( x  3 x ) dx}

Hitung

²

Contoh 5

C )

3 (

sin

C sin

cos

) 3 2

( ) 3 cos(

) 3 cos(

) 3 2

( Jadi

) 3 2

( 3

Subtitusi

2 2

2 2







































x x

u udu

dx x

x x

dx x

x x

dx x

du x

x u

ARCUS TANGENS

Dalam daftar rumus dasar dipunyai rumus

C arctan

1 ²  



^dx_x ^x

C arctan

C 1 arctan

1 )

1

( ²

2 2

2    

 

 

 _a ^dx_{x a} ^{a dy}_{y a} ^y _{a a}^x

Dengan subtitusi x = ay maka

Diperoleh

C arctan

1

2

2  



_a ^dx _{x a a}^x





 _x² _{ 2}^dx_{bx  c} ^ _{(x  b}^dx₎² _{ p}^{2 } _y^2dy_{ p}²

Jika dimana diskriminan

maka f(x) definit positip dan selalu dapat dibawa ke bentuk

Dengan jadi

c bx

x x

f ( )  ²  2  0

2  4 

 b c D

2

)2

( )

(x x b p

f   

2 0

2  c  b  p

Dengan y=x+b, diperoleh

C arctan

1

2 2  

 



_x  ^dx_{bx c p} ^x _p ^b

LOGARITMA

C ln 

 ^dx_x  ^x

C ) ln

( ) (

'    

 ^g_{g x}^{x dx dy}_y ^y

Dalam daftar rumus dasar dipunyai rumus

Dengan subtitusi y= g(x) jadi dy = g’(x)dx

Diperoleh

C )

( ) ln

(

) (

' 



 



^g_{g x}^{x dx dy}_y ^{g x}

3 C arctan 1

3 1 3

) 1 (

4 . 2

1 _{2 2}  

 

 









_x ^dx_{x x} ^{dx x}

2 c arctan 3

13 6

2 ln 1 13

6 5

13 6

2 13

6

) 6 2

(

13 6

2 )

6 2

( 13

6

) 10 2

( 13

6 2. 5

2 2

2 2

2 1

2 2 1

2 2 1

2

 







 







 





 







 





 



















x x x

x dx x

x

x x

dx dx x

x

x

x dx x

dx x x

x dx x

x x

x

Contoh 6

Rumus derivatif hasilkali dua fungsi dapat ditulis

Jadi

Dengan subtitusi atau Maka

Demikian juga Sehingga

 ^{f (x) g(x)}^{' f (x) g'(x)  g(x) f '(x)}

 ^{f x g x}  ^dx  ^{f x g x dx}  ^{g x f x dx}

 ^{( ) ( ) '  ( ) '( )  ( ) '( )}

) (x f

y  x  f ^1( y)

 

_



 ^{g(x) f '(x)dx  g f 1(y) dy  g(x)df (x)}



 ^{f (x) g'(x)dx  f (x)dg(x)}

) ( )

( )

( )

( )

( )

(x g x f x dg x g x df x

f ^{ }  ^ 

INTEGRASI PARSIAL

Kalau f(x) dan g(x) berturut-turut ditulis u dan v maka hubungan itu menjadi





^



v u dv v du

u ^atau



^{u dv  u v }



^{v du}

Hubungan terakhir ini disebut Rumus Integrasi Parsial

Hal yang harus diperhatikan dalam pemakaian rumus integrasi parsial :

1. Cari bagian dv yang segera bisa diintegralkan



^{v du}



^{u dv}

2. tidak lebih kompleks dari

TEOREMA 4

Jika fungsi u dan v keduanya didefinisikan dalam interval yang sama dan mempunyai derivatif yang kontinu, maka berlaku





^{u dv  u  v  v du}

Rumus ini sangat bermanfaat untuk menentukan integral tak tentu dari fungsi transenden.





^{   }









 









dx x

x x

x x

x x dx

x x

x v

dx x

x x

du dx

dv

x x

u

) cos (sin

sin sin

) cos (sin

sin (a)

Ada 3 kemungkinan

Hasil dari integral lebih kompleks dari integral awal maka pilihan ini diabaikan.

Contoh 7

Carilah



xsin x dx

Hasil dari integral lebih kompleks dari integral awal maka pilihan ini diabaikan.





^{ }







 









dx x

x x

x dx

x x

x v

dx x

du dx

x dv

x u

cos sin

sin

sin cos

(b)

2 2

2 1 2

1

2 2

1

C sin

cos

cos cos

sin

cos sin

(c).

























 













x x

x

dx x

x x

dx x

x

x v

dx du

dx x

dv

x u



^{x ln x dx}

Carilah

Contoh 8

C ln

ln

ln 1

) (ln

ln

ln ln

maka

dan

ln Misalkan







































x x

x dx

x x

x dx x

x x

x d

x x

x

dx x

x dx

x x

x v

x u



^{x arctanx dx}

Carilah

Contoh 9

C 1

2 ln arctan 1

1 2 2

arctan 1

arctan 1

) (arctan arctan

arctan

dan

arctan Misalkan

2 2 2









 



 





















x x

x

x dx x x

x

x dx x x

x

x d

x x

x dx

x x

x v

x u



^{ex cosx dx}

Carilah

Contoh 10

C )

sin 2 (cos

cos 1

cos )

sin (cos

sin sin

cos

) (

sin cos

sin cos

) (cos cos

) (

cos cos

maka ,

dan

cos Misalkan























































x x

e dx

x e

dx x e

x x

e

dx x e

x e

x e

e d x x

e dx

x e

x e

x d

e e

x e

d x dx

x e

e v

x u

x x

x x

x x

x

x x

x x

x x

x x

x