INTEGRAL TENTU DAN
TAK TENTU
Oleh Kelompok 9 :
1. Ni Putu Novi Yuliawati (17101468)
2. Kadek Agus Adi Santana (17101410)
3. I Wayan Adi Purnawan (17101412)
4. Nyoman Yuni Antari (17101299)
STIKI INDONESIA
KATA PENGANTAR
Pertama sekali penulis mengucapkan rasa syukur pada Allah SWT yang telah memberikan kesehatan dan kesempatan pada penulis untuk menyelesaikan makalah bidang studi Matematika dengan judul “Integral”.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang turut membantu menyelesaikan laporan ini, khususnya kepada guru bidang studi Matematika yang telah memberikan teori-teori dan pengalaman dalam bidang studi matematika, sehingga banyaknya masukan-masukan yang penulis terima.
Walaupun penulis sudah berusaha sesuai dengan pengetahuan, pengalaman atau kemampuan penulis, namun penulis masih merasakan adanya kekurangan-kekurangan, sehingga saran-saran atau masukan-masukan sangat penulis harapkan. Mudah-mudahan laporan ini bermanfaat bagi pembaca terutama penulis.
Denpasar, 10 Desember 2017
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.
Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.
Karena kalkulus ini mempunyai dua cabang utama, tapi disini saya ingin membahas tentang kalkulus integralnya.
1.2 Rumusan Masalah
1. Bagaimana sejarah integral? 2. Apa pengertian integral? 3. Macam-macam integral?
1.3 Tujuan
1. Mengetahui sejarah penemuan integral
2. Mengetahui makna dari integral serta cara penyelesaian soal-soal integral 3. Mengetahui macam-macam integral beserta pengertiannya dan cara
penyelesaian soalnya.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Sejarah Integral
Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume piramida terpancung. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.
mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.
Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668.
Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah.
Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.
Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society.
Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions".
modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.
Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekana. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier.
Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.
Beberapa ilmuwan yang telah memberikan sumbangan terhadap penemuan dan pengembangan metode matematika hitung integral ini, di antaranya adalah :
1. Archimedes (287-212 SM)
Archimedes seorang fisikawan sekaligus matematikawan dari Syracuse, Yunani. Pada abad kedua sebelum masehi, Archimedes talah menemukan ide penjumlahan untuk menentukan luas sebuah daerah tertutup dan volume dari benda putar. Diantaranya adalah rumus lingkaran, luas segmen parabola, volume bola, volume kerucut, serta volume benda putar yang lain. Ide penjumlahan ini merupakan salah satu konsep dasar dari Kalkulus Integral.
2. Isaac Newton (1642-1727 M)
diketahui, tetapi I Newton dan Leibniz merupakan dua tokoh terkemuka dalam sejarah Kalkulus. Sebab, mereka mampu mengungkapkan hubungan yang erat antara antiderivatif dengan intagral tertentu. Hubungan ini dikenal dengan Teorema Dasar Kalkulus.
3. Gottfried wilhelm Leibniz (1646-1716 M)
Gottfried wilhelm Leibniz seorang ilmuwan jenius dari Leipzig, Jerman. Leibniz seorang ilmuwan serba-bisa. Ia mendalami bidang hukum, agama, filsafat, sejarah, politik, geologi, dan matematika. Selain Teorema Dasar Kalkulus yang dikembangkan bersama Newton, Leibniz juga terkenal dengan pemakaian lambang matematika. Lambang dx/dy bagi turunan dan lambang ∫ bagi integral merupakan lambang-lambang yang diusulkan oleh Leibniz dalam Hitung Differensial dan Hitung Integral.
4. George Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866 M)
George Friedrich Bernhard Riemann seorang matematikawan dari Gottingen, Jerman. Meskipun Teorema Dasar Kalkulus telah dikemukakan oleh Newton, namun Riemann memberi definisi mutakhir tentang integral tentu. Atas sumbangannya inilah integral tentu sering disebut sebagai Integral derivativ dari fungsinya diketahui. Sedangkan integral tertentu merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area yang batas-batas atau limit dari area tersebut sudah tertentu.
1. Integral Tak Tentu
Integral tak tentu dalam bahasa Inggris di kenal dengan nama Indefinite Integral atau kadang juga di sebut dengan Antiderivatif yang merupakan suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. Fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut “integral tak tentu”.
Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan-antinya, yaitu F(x).
Bentuk umum integral dari f(x) adalah: ∫ f(x) = F(x) +k
Di mana k adalah sembarang konstanta yang nilainya tidak tertentu. Dalam rumusan di atas, tanda ∫ adalah tanda integral, f(x) dx adalah diferensial dari F(x).f(x) sendirian disebut integran, dx sendirian disebut diferensial, F(x) adalah integral partikular, k adalah konstanta pengintegralan, dan F(x) + k merupakan fungsi asli atau fungsi asal. Proses pengintegralan disebut juga integrasi.
b. Rumus Umum Integral
Rumus – rumus dasar integral tak tentu :
Contoh : ∫ (2x3+5 cos x)dx = 1
4 x4+ 5 sin x + c
c. Kaidah-Kaidah Integrasi Taktentu
1. Kaidah Formula Berpangkat
2. Kaidah Formula Logaritmis
4. Kaidah Penjumlahan
2. Integral Tentu
Integral tentu digunakan untuk mengintegralkan suatu fungsi f(x) tertentu yang memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tentu mempunyai rumus umum:
Keterangan:konstanta c tidak lagi dituliskan dalam integral tentu.
3. Integral Trigonometri
4. Sifat-sifat Trigonometri
BAB 3 PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Dari makalah diatas dapat kita ambil kesimpulan bahwa kalkulus mempunyai cabang utama yaitu kalkulus differensial, dan kalkulus integral. Sedangkan kalkulus integral terbagi atas dua macam lagi yaitu integral tertentu dan integral tak tentu.
Semoga penulis dan pembaca dapat mengetahui dan memahami materi integral ini terutama Jika ada kesalahan dalam penulisan makalah ini penulis mengharapkan kritikan atau saran dari pembaca.
DAFTAR PUSTAKA
Iis Jamilah. (2010). Latar Belakang Sejarah Integral, [Online]. Tersedia : https://tugaspti140110100033.wordpress.com/2010/12/08/latar-belakang-sejarah-integral/ [18 November 2015]
Martha Ayu. (2015). Sejarah Penemuan Integral, [Online]. Tersedia : http://sejarahmatematika1.blogspot.co.id/2015/04/sejarah-penemuan-integral.html [18 November 2015]
