SEJARAH DAN FILSAFAT KALKULUS
A.Pendahuluan
Kalkulus merupakan cabang ilmu matematika yang digunakan di setiap cabang sains fisik, sains computer, statistik, tekhnik, ekonomi, kedokteran dan bidang-bidang lainnya. Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkukus. Massa dari sebuah benda dengan massa jenis yang diketahui, momen inersia dari suatu objek dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus.
Dalam subdisiplin listrik dan magnetisme, kalkulus dapat digunakan untuk mencari total aliran (fluks) dari sebuah medan elektromagnetik. Contoh historis lainnya adalah penggunaan kalkulus di hukum gerak Newton, yang dinyatakan sebagai laju perubahan yang merujuk pada turunan.
Dengan demikian pembahasan mengenai kalkulus sangatlah menarik untuk kita kaji bersama dalam satu tulisan ilmiah. Oleh sebab itu, melalui makalah ini kita akan mencoba mengupas satu persatu tokoh-tokoh yang ikut memberikan kontribusi terhadap kemajuan ilmu kalkulus hingga dapat kita nikmati sekarang, jenis-jenis kalkulus, aplikasi kalkulus dan menelusuri filosofi dibalik symbol integral.
B.Pembahasan
Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya “batu kecil”, untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak terhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar; adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik, serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.
Kalkulus adalah hasil perjuangan intelektual yang berlangsung selama dua ribu lima ratus tahun. Berikut diberikan uraian lengkap tokok-tokoh yang berperan dalam ilmu kalkulus :
1. Sejarah Perkembangan Kalkulus a. Zaman Kuno (… - 212 SM)
Pada periode zaman kuno beberapa pemikiran tentang integral kalkulus telah muncul, namun tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskow Mesir (c. 1800 SM) dimana orang mesir menghitung volume dari Frustum pyramid. Selanjutnya, Archimides mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristic yang sekarang dikenal sebagai kalkulus integral. Dengan memakai metode (metode keletihan) ia menjumlahkan sejumlah besaran-besaran yang sangat kecil. Sumbangan yang lain diantaranya adalah rumus luas luar lingkaran, luas potong parabola, luas ellips, volume dan luas permukaan bola dan volume kerucut serta benda putar lainnya.
b. Zaman Pertengahan (499 SM – Abad 16)
berupa ellips-ellips dengan matahari pada satu fokusnya, (2) Garis dari matahari ke planet membentuk luas sama dalam waktu yang sama, (3) Kuadrat periode kitaran sebanding dengan pangkat tiga dari garis tengah utama.
c. Zaman Modern (Abad 17 – Sekarang)
Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke -17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kova. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Willis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. Pada tahun 1637, Rene Descartes menerbitkan buku “La Geometri” yaitu penggabungan dari geometri tua dengan aljabar yang saat ini kita kenal dengan geometri analitik atau geometri koordinat. B. Pascal (1623-1662) sebagai perintis utama dalam pengkajian teori probabilitas, koefisien bilangan yang terdiri dari koefisien-koefisien binomial yang dinamakan dengan segitiga pascal. Hal ini mempengaruhi G. Leibniz dalam menemukan kalkulus. Sejak Januari 1668 M selam 18 bulan, Issac Newton menekuni masalah-masalah matematika dan dalam waktu singkat, dia menemukan teorema binomial umum, elemen dari kalkulus diferensial maupun integral, teori warna-warna dan hokum gravitasi universal. Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus, seperti “dy/dx” dan “”.
Di Eropa perkembangan kalkulus lebih cepat daripada di Inggris sebagian besar disebabkan oleh keunggulan perlambangannya. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai “Kalkulus”, sedangkan Newton menamakannya “The Science of Fluxions”. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668 M. Benoulli menulis buku ajar yang pertama pada tahun 1691-1692 namun bagian tentang kalkulus integral dan diferensial tidak diterbitkan sampai akhirnya pada tahun 1696 L’Hospital menerbitkannya.
(bahasa latin : vertere) yang artinya membalik. J. Lagrange pada usianya yang ke-19 tahun memulai karyanya yaitu menulis buku “MecaniqueAnalitigue” walaupun tidak diterbitkan dan idenya yang sangat berharga dalam kalkulus ini adalah metode pengali Lagrange.
Walaupun kalkulus diciptakan pada akhir abad ke-17 namun dasar-dasarnya tetap kacau sampai akhirnya Cauchy dan rekan-rekan sebayanya (Gauss, Abel dan Bolzano) mengadakan ketelitian buku. Cauchy pun menyumbangkan pemikiran pemberian dasar kalkulus pada definisi yang jelas pada definisi limit. Dalam kalkulus Gauss pun memberikan sumbangan yang berarti yaitu pada pembahasan permukaan bidang lengkung termasuk Teorema Kedivergenan. Meskipun pada kenyataannya Cauchy yang merupakan orang yang memberikan definisi kekonvergenan dan membuktikan sejumlah kedivergenan. Sampai kemudian, Karl Weierstrass mengembangkan teori lengkap tentang deret fungsi dan menyusun legitimasi operasi-operasi yang demikian sebagai pengintegralan dan pengintegralan suku demi suku. Kemudian pada tahun 1854 G. Riemann memberi definisi modern tentang integral tentu.
Untuk menghormatinya disebut integral Riemann. Setelah Agnesi, maka nama wanita selanjutnya yang ikut mewarnai perkembangan kalkulus adalah Sonya Kovalevsky. Dia menyumbang kepada teori diferensial. Sekitar tahun 1880 Gibbs mengembangkan perlambangan dan aljabar-aljabar vector. Pada tahun 1961 gagasan-gagasan itu disajikan dalam sebuah buku oleh mahasiswanya, E. B Wilson yang berjudul “Vector Analysis”. Karya L. Lebesgue juga memajukan teori integral ganda. Dalam tesisnya pada tahun 1902, ia mampu memberikan persyaratan sederhana yang membolehkan integral ganda ditulis sebagai integral berulang (iterasi). Hasil-hasil yang belakangan disempurnakan oleh rekan sebayanya Guido Fubini.
2. Beberapa Ilmuan Kalkulus
René Descartes dikenal sebagai ahli filsafat modern pertama yang besar. Ia juga penemu biologi modern, ahli fisika, dan matematikawan.
Descartes lahir di Touraine, Perancis, putra dari seorang ahli hukum, yang lumayan kekayaannya. Ayahnya mengirimnya ke sekolah Jesuit pada umur 8 tahun. Karena kesehatannya yang kurang baik, Descartes diijinkan menghabiskan waktu paginya belajar di tempat tidur, suatu kebiasaan yang dipandangnya berguna sehingga dilanjutkannya sepanjang hidupnya. Pada umur 20 tahun, ia mendapat gelar sarjana hukum (dapat anda bayangkan seorang sarjana hukum yang juga ahli matematik!) dan selanjutnya menjalani kehidupan seorang tuan yang terhormat, menjalani dinas militer beberapa tahun dan tinggal beberapa waktu di Paris dan kemudian di Belanda. Ia pergi ke Swedia diundang untuk mengajari Ratu Christina, di mana ia meninggal karena pneumonia pada tahun 1650.
Descartes menyelidiki suatu metode berpikir yang umum yang akan memberikan pertalian pada pengetahuan dan menuju kebenaran dalam ilmu-ilmu. Penyelidikan itu mengantarnya ke matematika, yang ia simpulkan sebagai sarana pengembangan kebenaran di segala bidang. Karya matematikanya yang paling berpengaruh adalah La Geometrie, yang diterbitkan tahun 1637. Di dalamnya ia mencoba suatu penggabungan dari geometri klasik dan dengan aljabar dasar. Bersama dengan orang Perancis lainnya, Pierre Fermat (1601 – 1665), ia diberi pujian dengan penggabungan tersebut yang saat ini kita sebut geometri analitik, atau geometri koordinat. Pengembangan lengkap kalkulus tidak mungkin tercapai tanpa dia.
Augustin-Louis Cauchy lahir di Paris dan dididik di Ecole Polytechnique. Karena kesehatan yang buruk ia dinasehatkan untuk memusatkan pikiran pada matematika. Selama karirnya, ia menjabat mahaguru di Ecole Polytechnique, Sorbonne, dan College de France. Sumbangan-sumbangan matematisnya cemerlang dan mengejutkan dalam jumlahnya. Produktivitasnya sangat hebat sehingga Academy Paris memilih untuk membatasi ukuran makalahnya dalam majalah ilmiah untuk mengatasi keluaran dari Cauchy.
Cauchy seorang pemeluk Katolik saleh dan pengikut Raja yang patuh. Dengan menolak bersumpah setia kepada pemerintah perancis yang berkuasa dalam tahun 1830, ia mengasingkan diri ke Italia untuk beberapa tahun dan mengajar di beberapa institut keagamaan di Paris sampai sumpah kesetiaan dihapuskan setelah revolusi 1848.
Cauchy mempunyai perhatian luas. Ia mencintai puisi dan mengarang suatu naskah dalam ilmu persajakan bahasa Yahudi. Keimanannya dalam beragama mengantarnya mensponsori kerja sosial untuk ibu-ibu tanpa nikah dan narapidana.
Walaupun kalkulus diciptakan pada akhir abad ke-17, dasar-dasarnya tetap kacau dan berantakan sampai Cauchy dan rekan sebayanya (Gauss, Abel, dan Bolzano) mengadakan ketelitian baku. Kepada Cauchy kita berhutang pemikiran pemberian dasar kalkulus pada definisi yang jelas dari konsep limit. Semua buku ajar modern mengikuti paling sedikit dalam intinya, penjelasan kalkulus yang terinci oleh Cauchy.
Gottfried Wilhelm Leibniz adalah seorang jenius universal, seorang pakar dalam hukum, agama, filsafat, kesusasteraan, politik, geologi, sejarah, dan matematika. Lahir di Leipzig, Jerman, ia mendaftar di Universitas Leipzig dan menggondol doktor dari Universitas Altdorf. Seperti Descartes, yang karyanya ia pelajari, Leibniz mencari suatu metode universal dengan mana ia dapat memperoleh pengetahuan dan memahami kesatuan sifat-sifat dasarnya. Salah satu keinginan besarnya adalah mendamaikan keyakinan Katolik dan Protestan.
Bersama dengan Isaac Newton, ia membagi penghargaan untuk penemuan kalkulus. Masalah prioritas menyebabkan pertentangan yang tidak henti-hentinya antara pengikut dua orang besar ini, satu Inggris, yang lainnya Jerman. Sejarah menjadi hakim bahwa Newtonlah yang pertama mempunyai pemikiran utama (1665-1666), tetapi bahwa Leibniz menemukan mereka secara tersendiri selama tahun 1673-1676. Dengan kebesarannya itupun, Leibniz tidak menerima kehormatan seperti yang dicurahkan pada Newton. Ia meninggal sebagai orang kesepian, pemakamannya hanya dihadiri seorang pelayat yaitu sekretarisnya.
Mungkin Leibnizlah pencipta lambang-lambang matematis terbesar. Kepadanya kita berhutang nama-nama kalkulus diferensial dan kalkulus integral, sama halnya seperti lambang-lambang baku dy/dx dan ∫ untuk turunan dan integral. Istilah fungsi dan penggunaan secara konsisten dari = untuk kesamaan merupakan sumbangan-sumbangan lainnya. Kalkulus berkembang jauh lebih cepat di daratan Eropa daripada di Inggris, sebagian besar disebabkan oleh keunggulan perlambangannya.
“Saya tidak tahu bagaimana saya tampak pada dunia; tetapi bagi saya sendiri saya nampaknya hanyalah seperti seorang anak laki-laki yang bermain-main di pantai, dan mengalihkan diri sendiri sekarang dan kemudian menemukan koral yang lebih halus atau
kerang yang lebih indah daripada yang biasa, sementara samudera besar dari kebenaran semuanya terbentang di hadapan saya tak terungkapkan.”
Lahir pada keluarga petani Inggris pada hari Natal, 1642, Isaac Newton sebagai seorang pemuda remaja memperlihatkan sedikit harapan akademis. Ia bosan dengan sekolah, lebih senang membuat layangan, roda air, jam dan perkakas lain. Seorang paman pertama kali mengenali bakat luar biasa anak tesebut; ia membujuk ibu Newton untuk memberangkatkan Newton ke Trinity College dari Universitas Cambridge. Di sana ia kena pengaruh Isaac Barrow, seorang pakar ilmu agama dan mahaguru matematika. Barrow melihat di dalam Newton kemampuan yang lebih besar daripada dirinya dan menyerahkan kemahaguruannya kepada Newton pada waktu umur Newton hanya 26.
Sebelum itu, sesaat setelah diwisuda dari Trinity, Newton pergi pulang untuk menghindari wabah penyakit pes 1664-65. Selama 18 bulan, sejak Januari 1665, ia menekuni masalah-masalah matematika dan ilmu yang terkemuka. Tidak terdapat kejeniusan yang dapat dibandingkan penuh dalam sejarah ilmu. Dalam waktu singkat tersebut, Newton menemukan teorema binomial umum, elemen dari kalkulus diferensial maupun integral, teori warna-warna, dan hukum gravitasi universal. Lagrange memuji bahwa Newtonlah jenius terbesar yang pernah hidup dan yang paling mujur, karena hanya sekali sistem semesta dapat dikembangkan.
e. Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866)
Bernhard Riemann menerima pendidikan dini dari ayahnya, seorang pendeta Protestan Jerman. Pada waktu ia memasuki perguruan tinggi tahun 1846, maksudnya adalah mempelajari ilmu agama dan ilmu bahasa-bahasa. Beruntung untuk matematika, ia memilih Universitas Gottingen, yang telah dan selama 100 tahun berikutnya tetap merupakan pusat matematika dunia. Di sana ia kena pengaruh W. E. Weber, seorang fisikawan kelas satu, dan Karl F. Gauss, matematikawan terbesar saat itu. Seseorang tidak perlu menginginkan guru yang lebih baik. Pada tahun 1851 ia menerima Ph. D-nya di bawah Gauss, setelah itu ia tinggal di Gottingen untuk mengajar. Ia meninggal karena tbc 15 tahun kemudian.
Hidupnya singkat, hanya 39 tahun. Ia tidak mempunyai waktu untuk menghasilkan karya matematika sebanyak yang dihasilkan Cauchy atau Euler. Tetapi karyanya mengagumkan untuk kualitas dan kedalamannya. Makalah matematisnya menetapkan arah baru dalam teori fungsi kompleks memprakarsai studi mendalam dari apa yang sekarang ini disebut topologi, dan dalam geometri memulai perkembangan yang memuncak 50 tahun kemudian dalam teori relativitas Einstein.
f. Archimedes (287 – 212 Sebelum Masehi)
“Berikan saya tempat untuk berdiri, dan akan saya gerakkan bumi”
Archimedes dari Syracuse, tanpa diragukan, merupakan matematikawan terbesar dari zaman purbakala. Keturunan Yunani, ia menerima pendidikan di Alexandria, pusat pengajaran dan kebudayaan Yunani. Pada masanya sendiri ia tekenal sebagai pencipta dan seorang ilmuwan praktis. Ia menciptakan sekrup Archimedes untuk memompa air, ia menyatakan sifat-sifat katrol dan pengungkit, ia membangun sebuah model mekanis yang meniru gerakan bulan dan planet-planet, dan – untuk memuaskan raja Syracuse – ia menemukan cara untuk memutuskan apakah mahkota raja dibuat dari emas asli tanpa meleburnya (prinsip daya apung Archimedes).
Penemuan-penemuan dan perkakas-perkakas praktis untuk Archimedes hanyalah hiburan belaka; tulisan-tulisannya yang terbaik dan pikirannya yang paling tajam dicurahkan ke bagian dari matematika yang sekarang dikenal sebagai kalkulus integral. Dengan memakai metode (metode keletihan) dimana ia menjumlahkan sejumlah besaran-besaran yang sangat kecil, ia mengemukakan beberapa dari hasil-hasil itu dalam bab ini. Sumbanga-sumbangannya antara lain adalah rumus luas lingkaran, luas dari potongan parabola, luas elips, volume dan luas permukaan bola, dan volume kerucut dan benda-benda putar lain. Ia dikatakan telah meminta kepada teman-temannya agar di atas batu nisannya diletakkan sebuah bola yang berisi tabung berukir, ditulisi dengan hasil bagi volume bola dan tabung tersebut.
Dapatkah anda bayangkan seseorang menulis tentang matematika setara dengan 75 buah buku? Itulah sumbangan Leonhard Euler, tokoh dominan dari matematika abad ke-18 dan pengarang matematika yang paling subur sepanjang masa. Lahir dekat Basel, Swiss, ia belajar kepada orang sebangsanya Johann Bernoulli dan telah menerbitkan makalah-makalah pada usia 18 tahun. Ia menjabat di Universitas Basel, St. Petersburg Academy of Sciences. Pada waktu ia meninggal, disebutkan bahwa semua matematikawan Eropa adalah mahasiswanya.
Minat Euler terentang di semua matematika dan fisika. Kita telah memilihnya sebagai wakil dari bab ini karena sumbangannya pada kalkulus fungsi-fungsi transeden (yakni, bukan aljabar). Khususnya, ia memperkenalkan e sebagai bilangan dasar untuk logaritma natural, memperlihatkan bahwa e dan e2 adalah irasional, dan menemukan hubungan luar biasa eiπ=-1.
Kebutaan selama 17 tahun terakhir dari hidupnya nampaknya tidak menghambat karyanya. Sebagian, disebabkan oleh daya ingatnya yang ajaib; ia mengetahui dalam hati rumus-rumus trigonometri dan analisis, ditambah banyak puisi dan seluruh Aeneid. Dikatakan bahwa ia telah mengerjakan suatu perhitungan sampai 50 posisi desimal di dalam kepalanya.
Euler adalah seorang pecinta keluarga, yang seringkali menghabiskan waktu sore harinya dengan membangun permainan-permainan ilmiah dan membaca Injil untuk 13 putra-putrinya. Ia memang seorang manusia yang benar-benar mengagumkan.
“Kita telah melihat bagaimana mencari turunan-turunan dari besaran-besaran. Sekarang kita akan memperlihatkan secara berkebalikan bagaimana integral-integral dari turunan-turunan dicari, yaitu besaran-besaran dari mana
turunan-turunan tersebut berasal.”
Johann Bernoulli mungkin yang paling terkenal dari sebuah keluarga matematikawan yang produktif. Paling sedikit 8 orang matematikawan abad ke-18 yang terkemuka mempunyai nama Swiss – Bernoulli, dan dikatakan masih terdapat matematikawan aktif yang mempunyai nama ini. Tetapi, demikian banyaknya bakat matematis dalam satu keluarga boleh jadi bukan merupakan berkah yang tak terbagi, seperti yang akan kita lihat.
Johann dan saudaranya Jacques, setelah Newton dan Leibniz, merupakan perintis-perintis yang terpenting dari kalkulus. Kedua bersaudara tersebut bersaing dengan penuh semangat dan sering dengan sengit demi pengakuan, walaupun mereka tetap berkomunikasi satu sama lain dan dengan Leibniz tentang matematika. Johann akan menghaki hasil-hasil yang ditemukan oleh saudaranya (atau oleh yang lain), dan Jacques akan memberikan reaksi yang serupa. Usaha-usaha Leibniz untuk mendamaikan hanya makin melibatkannya dalam percekcokan tersebut. Bahkan Daniel, putra Johann terbawa ke dalam pertentangan itu dan terpaksa meninggalkan rumah pada waktu Leibniz memenangkan hadiah setelah mengungguli Johann. Itu merupakan catatan yang tidak membahagiakan untuk sebuah keluarga yang benar-benar mengagumkan.
gantinya, pada tahun 1696, Guillame F. A de l’Hopital, mahasiswa Johann, menerbitkan naskah kalkulus yang pertama. Bentuknya diubah sedikit dari karya gurunya. Mungkin pengaruh Johann paling baik dilihat pada mahasiswanya yang lain dan yang lebih terkenal, Leonhard Euler.
i. Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)
“Matematika adalah ratu dari ilmu dan ilmu hitung (aritmetika) adalah ratu dari matematika. Ia sering berkenan merendahkan diri menyumbang kepada astronomi dan ilmu alam lainnya, tetapi dalam semua hubungan ia
berhak mendapat peringkat pertama.”
Gauss telah disebut matematikawan terbesar sejak Newton dan dikenal di kalangan sebayanya sebagai Pangeran Matematikawan. Untunglah, kejeniusannya dikenali di sekolah dasar. Satu cerita mengatakan pada usia 10 tahun ia mengacaukan gurunya dengan menjumlahkan bilangan-bilangan bulat 1 sampai 1000 hampir secara seketika (ia memakai suatu akal sederhana). Pada usia 15 tahun, ia mulai menjamu gagasan tentang geometri non-Euclidis; pada usia 18 tahun, ia menciptakan metode kuadrat terkecil; dan pada usia 19 tahun, ia merampungkan suatu pertanyaan yang berusia 2000 tahun dengan membangun sebuah poligon 17 sisi dengan memakai penggaris dan kompas.
Gauss menghabiskan hampir seluruh hidupnya di observatorium astronomi di Gottingen, sebuah kota kecil di jantung Jerman. Di sana ia membangun suatu tradisi matematis, yang segera membuat Gottingen dan universitasnya sebagai pusat matematika dari dunia, suatu tradisi yang berakhir sampai Hitler membubarkan ketenarannya, tetapi sebagian karena staff Yahudi.
klasiknya Disquisitiones Arithmeticae tahun 1801merupakan buku yang paling berpengaruh tentang teori bilangan sepanjang masa. Dalam kalkulus, karyanya yang menonjol pada permukaan melengkung termasuk Teorema Kedivergenan, yang muncul dalam bab ini.
Seperti Newton, yang sangat dikaguminya, Gauss menerapkan matematika pada masalah-masalah di dunia fisis, khususnya dalam sastronomi dan fisika. Karyanya dalam kemagnetan, sekarang diakui dengan memberi satuan gausssebagai suatu ukuran kekuatan medan.
3. Jenis-jenis Kalkulus
Penemuan kalkulus merupakan salah satu prestasi intelektual terbesar pada tahun 1600-an. Secara kebetulan, kalkulus bukan digagas oleh satu orang, melainkan dua orang pada waktu yang hampir bersamaan. Metode-metode kalkulus dari Newton di Inggris dan Gottfried Leibniz (1646-1716) di Eropa Kontinental sedemikian mirip hingga pertanyaan apakah Leibniz meminjam konsep-konsep pentingnya dari Newton atau menemukan semua itu secara mandiri telah menimbulkan kontroversi yang panjang dan pahit dalam sejarah matematika (Wahyudin, 2013:173).
Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Leibniz memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions" (Sutedjo, tt:2).
Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Berikut penjabaran masing-masing:
a. Kalkulus differensial
Kalkulus diferensial adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau kemiringan dari sebuah grafik (Sutedjo; tt:3). Notasi dari turunan dari suatu fungsi f adalah f ’. Menurut Leibniz, notasi turunan dari suatu
fungsi f adalah dfdx .
b. Kalkulus integral
Kalkulus integral adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari dua konsep yang saling berhubungan, integral tak tentu dan integral tentu. Proses pencarian nilai dari sebuah integral dinamakan pengintegralan (integration). Dengan kata lain, kalkulus integral mempelajari dua operator linear yang saling berhubungan (Sutedjo, tt:5).
4. Aplikasi Kalkulus
Pembelajaran kalkulus sangatlah penting oleh karena penggunaannya yang luas. Kalkulus yang dipelajari di sekolah pada umumnya adalah kalkulus diferensial dan integral yang didahului dengan pengenalan teori bilangan, fungsi sampai dengan limit fungsi. Proses pembelajaran pada umumnya dilakukan secara manual, tetapi sebagai alat bantu dapat digunakan program computer seperti Maple atau Dirive. Penggunaan computer dapat membantu, misalnya untuk menggambar fungsi polynomial derajat lebih dari dua atau juga untuk gambar bangun ruang yang lebih rumit yang ingin dicari volumenya dengan integral ganda. Terlebih untuk masa sekarang dimana siswa pada umumnya sudah tidak asing dengan computer, pemanfaatan computer untuk pembelajaran seperti kalkukus misalnya, akan sangat menarik minat dan memudahkan mereka mengerti konsep-konsep yang ingin diajarkan guru kepada mereka.
Pengembangan dan penggunaan kalkulus telah mencapai efek yang sangat luas pada hampir semua bidang kehidupan modern. Ia melandasi hampir dari semua ilmu pengetahuan, khususnya fisika.
Hampir semua perkembangan modern seperti bangunan teknik, penerbangan, dan teknologi membuat mendasar penggunaan kalkulus. Formula aljabar sekarang banyak digunakan untuk ilmu balistik, pemanasan dan pendinginan, dan ilmu-ilmu pengetahuan praktis yang bekerja melalui penggunaan kalkulus.
Tetapi ternyata, kalkulus juga digunakan pada ilmu biologi, ekonomi juga astronomi.
Bidang fisika
Bidang biologi
Model pertumbuhan natural untuk populasi biologi menyatakan bahwa tingkat pertumbuhan adalah proporsional denga populasi.
Bidang ekonomi
Elastisitas permintaan, koefisien elastisitas, biaya rata-rata minimum, biaya marginal, penerimaan maksimum dari perpajakan, model-model persediaan, dll
Bidang astronomi
Tenaga yang diradiasi oleh system bumi-matahari.
5. Filosofi Simbol Integral
Berbagai metode telah ditemukan untuk menentukan garis-garis singgung terhadap kelas-kelas tertentu dari kurva-kurva, tetapi sejauh itu belum seorang pun mengemukakan prosedur-prosedur serupa untuk menyelesaikan permasalahan inversnya, yaitu, menurunkan persamaan kurva itu sendiri berdasarkan sifat-sifat dari garis singgung-garis singgungnya. Leibniz merumuskan permasalahn invers garis singgung tersebut sebagai berikut: “Mencari lokus fungsi itu, asalkan lokus yang menentukan subtangennya diketahui.” (Wahyudin, 2013:173)
Leibniz, melihat garis singgung sebagai rasio namun menyatakannya sebagai rasio antara ordinat dan abscissas. Dia terus berpendapat bahwa integral itu sebenarnya adalah jumlah ordinat untuk interval yang sangat kecil dalam absis, yang pada dasarnya, jumlah-jumlah persegi panjang yang tak terbatas. Dari definisi ini, hubungan terbalik menjadi jelas dan Leibniz dengan cepat menyadari potensi untuk membentuk keseluruhan sistem matematika baru. Dimana Newton menghindari penggunaan infinitesimals, Leibniz menjadikannya landasan dari notasi dan kalkulusnya.
Leibniz selalu mendapat apresiasi yang tinggi akan pentingnya notasi yang bagus sebagai bantuan untuk berpikir, dan pilihannya dalam kasus kalkulus sangat membahagiakan. Setelah beberapa trial and error, ia tetap pada dx dan dy untuk perbedaan terkecil (perbedaan) pada x dan y, walaupun awalnya ia telah menggunakan x/d dan y/d untuk menunjukkan penurunan derajat. Awalnya, dia hanya menulis omn. y (atau "all y's") untuk jumlah ordinat di bawah kurva, tapi
kemudian ia menggunakan simbol
∫
y dan kemudian∫
y dx , tanda integralberasal dari huruf s yang diperbesar untuk penjumlahan.
C.Penutup
D.Daftar Pustaka
Boyer, Carl B. dan Merzbach, Uta C. 2011. A History of Mathematics. Edisi Ketiga. New Jersey: John Wiley & Sons Inc.
Gunawan, Hendra. http://bermatematika.net//2017/4/25/teorema-dasar-kalkulus-i
Gunawan, Hendra. http://bermatematika.net//2017/4/28/teorema-dasar-kalkulus-i
Purcell, Edwid J dan Varberg, Dale. 1994. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi 5. Jakarta: Erlangga
Sutedjo, Harjanto. Tt. Kalkulus. https://www.google.co.id/url? sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=5&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKE wjxjrbtoNvTAhWDvY8KHa9MCd8QFghHMAQ&url=http%3A%2F
%2Fsutedjo.staff.gunadarma.ac.id%2FDownloads%2Ffiles %2F11751%2FKALKULUS%2BDIFFERENSIAL
%2BINTEGRAL.doc&usg=AFQjCNFyfIlyqykJefwtvJ6FQzdEtix3KQ&sig2=
RKBtSkMEHWvLMKowY31zQw diakses tanggal 6 Mei 2017.
TEOREMA DASAR KALKULUS I
Ada dua Teorema Dasar Kalkulus, yang dinyatakan sebagai Teorema Dasar
Kalkulus I (TDK I) dan Teorema Dasar Kalkulus II (TDK II). Kita akan membahas TDK I terlebih dahulu. Secara kasar, TDK I menyatakan jika kita mengintegralkan sebuah fungsi pada interval [a, t] lalu kita turunkan hasilnya terhadap t, maka kita akan memperoleh fungsi semula.
Matematikawan pertama yang membuktikan TDK I adalah Isaac Barrow, tetapi bukti TDK I yang terdapat di buku-buku Kalkulus moderen yang dipakai sebagai rujukan matakuliah matematika tahun pertama di perguruan tinggi dikembangkan dari bukti versi Isaac Newton. Pendekatan yang dipilih oleh Newton, sebagaimana dapat kita terka, adalah melalui konsep fisis kecepatan sesaat dan jarak tempuh (pada gerak lurus dengan kecepatan positif).
Diketahui y = y(t) kontinu untuk t ≥ 0, tinjau luas daerah di bawah kurva y = y(t) untuk 0 ≤ t ≤ x, sebutlah L = L(x). Dalam benak Newton, y(t) menyatakan kecepatan benda pada saat t, dan L(x) merupakan jarak yang ditempuh benda pada interval waktu [0, x]. Nah, diketahui y(t), kita peroleh L(x) melalui pengintegralan. Sebaliknya, Newton
menjelaskan bagaimana kita dapat memperoleh y kembali dari L melalui penurunan.
Dengan mengasumsikan x berubah terhadap t, pada akhirnya L juga merupakan fungsi dari t. Dari gambar, tampak bahwa rasio laju pertambahan L dan laju
pertambahan x dari t = x ke t = x+ h kurang lebih sama dengan luas persegi panjang dengan alas h dan tinggi AC (= y) dibagi luas persegi panjang dengan alas h dan tinggi AB (= 1), yang tentu saja sama dengan y. Dengan membayangkan h menuju 0, Newton sampai pada kesimpulan bahwa
Dalam notasi Leibniz (yang diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz) untuk turunan dan integral yang kita kenal sekarang, Newton telah membuktikan bahwa
Jika x(t) = t, maka dx/dt = 1, sehingga persamaan di atas menjadi
yang tidak lain merupakan pernyataan TDK I. (Integral di ruas kiri dikenal sebagai anti-turunan dari y. Nah, TDK I menyatakan bahwa turunan dari integral tersebut sama dengan y.)
Catatan: Artikel ini disadur dari buku Menuju Tak Terhingga, Penerbit ITB, 2016.
Dari Teorema Dasar Kalkulus I (TDK I) dapat diperoleh Teorema Dasar Kalkulus II (TDK II) yang berbunyi: Jika f kontinu dan mempunyai anti-turunanF [yang memenuhi F’(x) = f(x)] pada interval [a, b], maka
Buktinya adalah sebagai berikut. TDK I telah memberi tahu kita bahwa
merupakan anti-turunan dari f(x) pada [a, b], yakni G’(x) = f(x) untuk setiap x∈ [a, b]. Akibatnya, kita mempunyai G’(x) − F’(x) = 0 untuk setiap x∈ [a, b]. Menurut Teorema Nilai Rata-Rata (untuk turunan), hal tersebut hanya mungkin terjadi apabila G(x) − F(x) = C (konstan) untuk setiap x∈ [a, b]. Jadi, kita peroleh
untuk setiap x∈ [a, b]. Dengan mensubstitusikan x = a, kita mempunyai F(a) + C = 0 (karena integral pada [a, a] mestilah sama dengan 0). Jadi C = −F(a), dan kesamaan di atas menjadi
untuk setiap x∈ [a, b]. Khususnya, untuk x = b, kita peroleh
Catatan: Teorema Nilai Rata-Rata untuk turunan menyatakan jika f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b), maka terdapat c∈ (a, b) sedemikian sehingga f’(c) = [f(b) –f(a)]/(b – a).
Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada interval [a, b] dan mempunyai turunan pada interval (a, b). Jika f(a) = f(b), maka terdapat suatu c∈ (a, b) sedemikian sehingga f‘(c) = 0. Fakta ini dibuktikan pertama kali untuk fungsi polinom oleh Michel Rolle (1652-1719), karena itu diberi nama Teorema Rolle.
Bukti Teorema Rolle untuk fungsi f sembarang diberikan oleh Augustin-Louis Cauchy (1789-1857). Argumentasinya kira-kira sebagai berikut. Ingat jika f kontinu pada interval [a, b] yang kompak, maka menurut sifat kekontinuan f akan mencapai nilai maksimum M di suatu titik c1∈ [a, b] dan f juga mencapai nilai minimum m di suatu titik c2∈ [a, b]. Jika c1 dan c2 adalah titik-titik ujung interval [a, b], hipotesis f(a) = f(b) memaksa m = M, dan dalam hal ini f mestilah konstan pada [a, b]. Akibatnya f‘(c) = 0 untuk setiap c∈ (a, b). Jika c1 bukan titik ujung [a, b], maka c1 di (a, b)
dan f mencapai nilai maksimum lokal di c1. Ini hanya dapat terjadi ketika f‘(c1) = 0. Hal serupa terjadi bila c2 bukan titik ujung [a, b]. Jadi, dalam kasus manapun, mestilah terdapat c di (a, b) sedemikian sehingga f’(c) = 0. Sebagai ilustrasi, lihat gambar di bawah ini.
Teorema Nilai Rata-Rata dapat dibuktikan dengan meninjau fungsi F yang didefinisikan pada interval [a, b] sebagai F(x) = f(x) – hx dengan h = [f(b) – f(a)]/(b – a). Dalam hal ini, F kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Periksa juga bahwa F(a) = F(b), sehingga F memenuhi hipotesis Teorema Rolle. Karena itu, mestilah terdapat suatu titik c∈ (a, b) sedemikian sehinggaF‘(c) = 0. Karena F’(c) = f’(c) – h, kita peroleh f’(c) = h = [f(b) – f(a)]/(b – a).
