Persamaan kuadrat adalah persamaan yang berbentuk ax2 +bx+c = 0 dengana6= 0. Tujuan kita adalah untuk mencari semua solusi dari persamaan tersebut. Pertama kita akan tinjau kasus ketikaa= 1, yakni persamaan kuadrat yang berbentukx2+bx+c= 0. Lebih lanjut misalkan kita bisa memfaktorkan x2+bx+c yakni menuliskanya ke dalam bentukx2+bx+c= (x+s)(x+t).
Dalam hal ini maka persamaan kita menjadi (x+s)(x+t) = 0 sehinggax+s= 0 atau x+t = 0 yang menghasilkan x = −s atau x = −t. Dengan demikian pemfaktoran adalah salah satu cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Tapi bagaimanakah kita melakukan pemfaktoran tersebut? Bagaimana mencari s dantyang sesuai?
Kita kembali ke pemisalan kita bahwa kita berhasil memfaktorkanx2+bx+c menjadi x2+bx+c = (x+s)(x+t). Perhatikan bahwa (x+s)(x+t) = x2+sx+tx+st =x2+ (s+t)x+st. Dengan demikian kita peroleh bahwa x2+bx+c=x2+ (s+t)x+st. Dengan membandingkan koefisien-koefisien dari kedua ruas, kita menyimpulkan bahwa s+t = b dan st =c. Ini mengatakan bahwa jika kita ingin memfaktorkanx2+bx+ckita harus mencari dua bilangan s dan t yang sekaligus memenuhi s+t =b dan st =c. Untuk lebih jelasnya kita lihat contoh-contoh berikut.
Contoh 1. Untuk menyelesaikan persamaan kuadratx2+ 5x+ 6 = 0, pertama kita perlu mengenalibdancnya terlehih dahulu. Dalam hal inib= 5 (koefisien dari x) dan c = 6 (konstanta). Untuk memfaktorkan x2+x−6 kita perlu mencarisdantsehinggas+t= 5 danst= 6. Kita asumsikan dulu bahwas, t nya bulat dan kita mencoba-coba beberapa perkalian dua bilangan bulat yang menghasilkan 6. Diantaranya misalkan 1×6,2×3, (−1)×(−6), (−2)×(−3).
Diantara kemungkinan-kemungkinan ini hanya pasangan 2 dan 3 yang hasil penjumlahannya adalah 5. Dengan demikians = 2 dant = 3 dan persamaan kuadrat semula bisa dituliskan sebagai (x+ 2)(x+ 3) = 0. Sehingga solusinya adalahx=−2 ataux=−3.
Contoh 2. Solusi dari persamaan kuadratx2+ 4x−21 = 0 dapat diperoleh dengan mencari dua bilangansdantsehinggas+t= 4 danst=−21. Dengan mendaftarkan beberapa kemungkinan perkalian dua bilangan bulat yang meng- hasilkan -21 kita peroleh bahwas, tyang kita inginkan adalahs= 7 dant=−4.
Dengan demikian 0 =x2+ 4x−21 = (x+ 7)(x−3) dan kita dapatkan bahwa x=−7 ataux= 4.
Untuk melancarkan penggunaan metode di atas, kerjakan latihan soal berikut.
Latihan 1. Tentukan solusi persamaan kuadrat di bawah ini.
1. x2−6x+ 5 = 0.
2. x2+ 11x+ 30 = 0.
3. x2+ 10x−24 = 0.
4. x2−8x+ 12 = 0.
1
5. x2−15x−54 = 0.
Berikutnya kita akan menyelesaikan persamaan kuadrat dengana6= 1. Mis- alkan kita diminta untuk menyelesaikan persamaan kuadrat 16x2+ 20x+ 6 = 0. Bagaimana kita menyelesaikannya? Satu hal yang selalu berulang dalam matematika adalah bagaimana kita memanfaatkan pengetahuan yang sudah kita miliki untuk menyelesaikan persoalan yang baru. Pada persoalan di sini, koefisien darix2 adalah 16 dan bukan 1 jadi kita tidak bisa benar-benar men- erapkan metode yang kita pelajari sebelumnya begitu saja. Perhatikan bahwa 16 adalah 42dan karenanya 16x2= (4x)2. Jika kita perkenalkan variabel baru y= 4xmaka 16x2=y2dan sekarang koefisien dariy2adalah 1 . Karenay= 4x kita bisa tuliskan juga 20x = 5y. Dengan demikian persamaan kuadrat kita menjadi 0 = 16x2+ 20x+ 6 =y2+ 5y+ 6. Dan ini taklain adalah persamaan kuadrat pada Contoh 1 dan solusinya adalah y = 2 atau y = 3. Gantikan kembaliy dengan 4xkita peroleh 4x= 2 atau 4x= 3. Jadix= 12 ataux= 34.
Contoh berikut menggunakan prinsip yang serupa dengan apa yang dije- laskan di atas.
Contoh 3. Selesaikan 9x2+ 12x−32 = 0 9x2+ 12x−32 = 0 (3x)2+ 4(3x)−32 = 0
y2+ 4y−32 = 0 (dengany= 3x) (y+ 8)(y−4) = 0
Jadiy =−8 atau y = 4. Akibatnya 3x= −8 atau 3x= 4 sehingga x=−83 ataux= 43.
Pada dua contoh terakhir di atas koefisien darix2yang merupakan bilangan kuadrat. Bagaimana jika bukan? Sebagai contoh bagaimana kita menyelesaikan persamaan kuadrat 5x2+ 7x+ 2 = 0? Ingat bahwa jika kita mempunyai suatu persamaan kita bisa mengalikan kedua ruas persamaan tersebut dengan suatu bilangan untuk menghasilkan persamaan yang setara. Kembali kita mencoba untuk menggunakan pengalaman kita yang sebelumnya untuk menyelesaikan persamaan 5x2+ 7x+ 2 = 0 ini. Pengalaman kita sebelumnya menunjukkan bahwa kita bisa menyelesaikannya jika koefisien dari x2 merupakan kuadrat sempurna. Untuk mendapatkan hal tersebut kita kalikan kedua ruas persamaan dengan 5 untuk mendapatkan persamaan 25x2+ 35x+ 10 = 0. Sekarang kita bisa menggunakan metode kita yang sebelumnya:
25x2+ 35x+ 10 = 0 (5x)2+ 7(5x) + 10 = 0
y2+ 7y+ 10 = 0 (dengany= 5x) (y+ 2)(y+ 5) = 0.
2
Jadi 5x=y=−2 atau 5x=y=−5 sehingga diperoleh x=−25 ataux=−1.
Kita berikan satu contoh lagi penggunaan metode di atas.
Contoh 4. Selesaikan persamaan kuadrat −2x2+ 7x+ 15 = 0 Kalikan kedua ruas dengan -2, sehingga berturut-turut kita peroleh
(−2x)2+ 7(−2x)−30 = 0
y2+ 7y−30 = 0 (dengany=−2x) (y+ 10)(y−3) = 0
Jadi−2x=−10 atau−2x= 3 sehinggax= 5 ataux=−32. Latihan 2. Selesaikan persamaan kuadrat berikut:
1. 4x2+ 6x−18 = 0.
2. −9x2+ 3x−6 = 0.
3. 6x2+ 5x+ 1 = 0.
4. 3x2+ 14x−5 = 0.
5. 35x2+ 9x−2 = 0.
3
