MATEMATIKA relasi dan fungsi

(1)

Matematika Menantang dan Menyenangkan |kelas 8 SMP 1

(2)

RELASI & FUNGSI 2

Apakah kalian pernah melihat artis – artis di atas?

Siapa saja mereka dan dimana kalian pernah melihatnya?

Pada gambar di atas mereka terlihat memiliki kegiatan kesukaan masing-masing, kegiatan mereka ada yang sama dan juga ada yang berbeda. Hal ini menunjukkan ada keterkaitan antara artis di atas dengan masing-masing kegiatan yang

disukainya.

Keterkaitan apa yang terjadi antara mereka dan kegiatan kesukaan mereka?

Apakah kita bisa menuliskan keterkaitan tersebut dengan model matematika?

Jika bisa, lalu bagaimana caranya?

Nah.. untuk menjawabnya.. kita perlu belajar mengenai relasi dan fungsi terlebih dahulu.

Untuk itu, mari kita belajar dan diskusikan bersama.

Tujuan pembelajaran pada bab ini adalah:

 Dapat menjelaskan dan menyatakan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan relasi dan fungsi;

 Dapat menyatakan suatu fungsi dengan notasi;

 Dapat menghitung nilai fungsi;

 Dapat menggambar grafik fungsi pada koordinat Cartesius.

Kata Kunci 1. Relasi 2. Fungsi 3. Grafik Fungsi

Gambar 2.1

STANDAR KOMPETENSI :

Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus

KOMPETENSI DASAR:

Memahami relasi dan fungsi Menentukan nilai fungsi Membuat sketsa grafik fungsi aljabar sederhana pada sistem koordinat Cartesius

(3)

RELASI

Pada pertemuan sebelumnya, kalian telah membahas dan mempelajari materi himpunan. Pada bab ini kalian akan diajak untuk mengaitkan antara materi himpunan dengan relasi.

Untuk itu mari kita diskusikan dan pelajari bersama.

1. Pengertian Relasi

Pada gambar 2.1 terdapat nama-nama artis dengan masing- masing hobi mereka. Jika nama-nama artis pada gambar 2.1 kita berinama himpunan A maka anggota dari himpunan A terdiri dari {Brandon, Sherina, Justin Bieber}. Sedangkan kegiatan kesukaan mereka kita beri nama himpunan B maka anggota dari himpunan B adalah {bermain sulap, menyanyi, melukis, menari, bermain basket}.

Perhatikan bahwa ada keterkaitan atau hubungan antara himpunan A = {Brandon, Sherina, Justin Bieber} dengan himpunan B = {bermain sulap, menyanyi, melukis, menari, bermain basket}. Himpunan A dengan himpunan B dihubungkan dengan kata “memiliki hobi”. Dalam hal ini

“memiliki hobi” merupakan aturan relasi yang menghubungkan antara himpunan nama-nama artis dengan himpunan hobi. Sedangkan relasinya adalah {(Brandon, bermain sulap), (Brandon, menari), (Sherina,menyanyi), (Sherina, melukis), (Justin Bieber, menyanyi), (Justin Bieber, bermain basket), (Justin Bieber, menari)}

Jadi, Relasi dari Himpunan A ke Himpunan B adalah pasangan-pasangan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B.

Tentukanlah aturan relasi yang dapat menghubungkan himpunan P ke himpunan Q berikut ini!

P = {1, 2, 3, 4, 5} dan Q = {1, 4, 9, 16, 25}

Penyelesaian:

Aturan relasi yang dapat menghubungkan antara himpunan P ke himpunan Q adalah “akar dari” (1 “akar dari” 1, 2 “akar dari” 4, dst.)

Contoh

A

ISTILAH-ISTILAH DALAM RELASI & FUNGSI (PEMETAAN)

Daerah asal atau sering disebut domain

Daerah kawan atau sering disebut kodomain

Daerah hasil atau sering disebut range

Domain =

{garam, gula, cuka, lada}

Kodomain =

{asam, asin, pahit, manis, pedas}

Range =

{asam, asin, manis, pedas}

(4)

2. Cara Menyajikan suatu Relasi

Suatu relasi dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengan himpunan pasangan berurutan, diagram panah, dan diagram Cartesius. Untuk memahami hal tersebut, perhatikan uraian berikut ini.

Pengambilan data mengenai hobi yang dimiliki oleh 2 artis dari dalam negeri dan 1 artis dari luar negeri diperoleh seperti pada tabel 2.1 berikut:

Nama artis Nama kegiatan (hobi) Brandon Bermain sulap dan menari

Sherina Menyanyi dan melukis

Justin Bieber Menyanyi, bermain basket, dan menari

Tabel 2.1 di atas dapat dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan, diagram panah, dan diagram kartesius seperti di bawah ini.

A = {Brandon, Sherina, Justin Bieber}

B = {bermain sulap, menyanyi, melukis, menari, bermain basket},

“memiliki hobi” adalah aturan yang menghubungkan himpunan A ke Himpunan B.

a. Himpunan Pasangan Berurutan

Himpunan pasangan berurutan dari data tabel 2.1 adalah {(Brandon, bermain sulap), (Brandon, menari), (Sherina, menyanyi), (Sherina, melukis), (Justin Bieber, menyanyi), (Justin Bieber, bermain basket), (Justin Bieber, menari)}.

b. Diagram Panah

Gambar 2.2 di bawah menunjukkan aturan relasi “memiliki hobi” dari Himpunan A ke Himpunan B. Arah panah menunjukkan anggota-anggota himpunan A berelasi dengan anggota-anggota himpunan B

(5)

Brandon Sherina Justin Bieber

Bermain sulap Menyanyi Melukis Menari Bermain basket

B

Menumbuhkan kreativitas dan belajar

menyenangkan.

Bentuklah kelompok terdiri atas 4 orang.

Kemudian buatlah aturan relasi yang menghubungkan antara anggota kelompokmu dengan makanan

kesukaan.Jangan lupa buat himpunan pasangan berurutan, diagram panah dan diagram Cartesiusnya ya!

c. Diagram Cartesius

Relasi himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dengan diagram Cartesius. Anggota-anggota himpunan A berada pada sumbu mendatar dan anggota-anggota pada himpunan B berada pada sumbu tegak. Setiap pasangan anggota himpunan A yang berelasi dengan anggota himpunan B dinyatakan dengan titik.

Gambar 2.3 menunjukkan diagram Cartesius dari relasi artis ke kegiatan yang disukainya.

Gambar 2.3

A

1. Diketahui A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, . . . , 12} dan relasi dari A ke B adalah “setengah dari”. Nyatakan relasi tersebut dalam bentuk

a. Himpunan pasangan berurutan b. Diagram panah c. Diagram Kartesius Penyelesaian:

a. Himpunan pasangan berurutan

Misalkan relasi “setengah dari” dari himpunan A ke himpunan B adalah P, maka P = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}.

b. Diagaram panah Contoh

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A

B

(6)

Matematika Menantang dan Menyenangkan |kelas 8 SMP 6 Kerjakanlah soal-soal berikut di buku tugas kalian, dengan senang hati!

1. Diketahui setiap pagi, Intan sarapan roti dan susu, Kadek sarapan telur dan nasi goreng, Hartono sarapan roti, dan Sherly sarapan nasi goreng dan susu. Nyatakan kondisi relasi tersebut dalam bentuk

a. Himpunan pasangan berurutan b. Diagram panah

c. Diagram kartesius

2. Diketahui

himpunan E = {Surabaya, Denpasar, Pontianak, Jaya Pura, Medan, Kendari} dan himpunan F = {Papua, Sumatra Utara, Kalimantan Barat, Jawa Timur, Bali, Sulawesi Tenggara}.

Tentukan:

b. Nyatakan relasi tersebut dalam diagram panah, diagram kartesius, dan himpunan pasangan berurutan.

a. Relasi yang mungkin dari himpunan E ke himpunan F.

c. Diagaram Cartesius

A B

1 2

2

3 4

4

5 7

9 11

1 3 5 8 10 12

LATIHAN 1

6

(7)

Matematika Menantang dan Menyenangkan |kelas 8 SMP 7 3. Relasi dari himpunan M ke himpunan N disajikan dalam diagram kartesius berikut.

Tentukan aturan relasi yang mungkin dari himpunan M ke himpunan N, kemudian nyatakan dalam diagram panah dan himpunan pasangan berurutan.

1. Pengertian Fungsi atau Pemetaan

Setelah kita belajar tentang relasi dan aturan relasinya, kita sekarang akan memahami tentang fungsi atau sering disebut dengan pemetaan. Jika kita mengingat kembali ilustrasi pada gambar 2.1 yaitu artis dengan kegiatan yang disukainya, kita dapat melanjutkan pembahasannya jika dikaitkan dengan fungsi atau pemetaan.

Relasi yang terjadi dari himpunan artis dengan kegiatan yang disukainya menggambarkan adanya hubungan yang bukan fungsi, dari diagram panah kita dapat mengetahui bahwa semua artis memiliki hobi lebih dari satu. Brandon memiliki hobi bermain sulap dan menari, Sherina memiliki hobi menyanyi dan melukis, Justin Bieber memiliki hobi menyanyi, menari dan bermain basket. Pemahaman fungsi secara jelas dapat dipelajari dari ilustrasi berikut.

6 N 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 M

6

B FUNGSI (PEMETAAN)

9

(8)

Matematika Menantang dan Menyenangkan |kelas 8 SMP 8 Syarat suatu relasi merupakan pemetaan atau fungsi adalah

a. setiap anggota A mempunyai pasangan di B;

b. setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.

Gambar 2.4 merupakan diagram panah yang menunjukkan relasi “berat badan” dari himpunan

“siswa dalam kelas” A = {Andhika, Indira, Aida, Irawan, Juno, Yessi} ke himpunan “berat badan”

B = {39,40,41,42,43,44,45}.

Pada relasi dari himpunan A ke B tersebut dapat diketahui hal-hal sebagai berikut.

a. Setiap siswa memiliki berat badan.Hal ini berarti setiap anggota A pasti mempunyai kawan atau pasangan dengan anggota B.

b. Setiap siswa memiliki tepat satu berat badan.Hal ini berarti setiap anggota A mempunyai tepat satu kawan atau pasangan dengan anggota B.

Ilustrasi di atas merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B yang memiliki relasi khusus, dimana aturan relasinya memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Relasi yang demikian dinamakan fungsi (pemetaan). Jadi, pengertian fungsi (pemetaan) dapat dituliskan sebagai berikut fungsi (pemetaan) dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

Dari suatu kelas dipilih enam siswa untuk diukur berat badannya sebagai pengambilan data kesehatan mereka. Hasil penimbangan berat badan keenam siswa disajikan pada tabel berikut.

Nama Siswa Berat badan(kg)

Andhika 41

Indira 42

Aida 39

Irawan 45

Juno 43

Yessi 42

Tabel 2.2

(Menumbuhkan inovasi) Bentuklah kelompok yang terdiri atas 2 orang, Cari dan amati kejadian- kejadian di lingkungan sekitarmu. Tulislah hal-hal yang termasuk fungsi sebanyak 4 buah.

Lalu sajikan hasil

temuanmu dalam diagram panah, diagram Kartesius, dan himpunan pasangan berurutan. Tulislah dalam sebuah laporan dan kumpulkan kepada gurumu.

(9)

Temukan jawaban dari ilustrasi di samping dan berikan alasan!

____________________________________________

2. Notasi dalam Fungsi (Pemetaan)

Perhatikan diagram panah berikut. Setelah kita mengenal domain, kodomain, dan range pada suatu relasi kita akan belajar tentang notasi fungsi/ pemetaan dan pembacaannya

a dipasangkan ke 2 dapat ditulis a  2, dibaca “a dipetakan ke 2”

Pada bentuk a  2, 2 disebut bayangan atau peta dari a.

b dan d dipasangkan ke 3 dapat ditulis b  3 dan d  3, dimana 3 adalah bayangan atau peta dari b dan d.

c dipasangkan ke 4 dapat ditulis d  4, dimana 4 adalah bayangan dari c.

Jika diagram di samping menggambarkan fungsi yang memetakan x anggota himpunan A ke y anggota himpunan B. Maka notasi fungsi yang dapat ditulis sebagai berikut.

f : A  B atau f : x

↦

f(x)

dibaca: fungsi f memetakan anggota A ke anggota B

P adalah daerah asal (domain) yang anggotanya {… ,… ,… ,… }

Q adalah daerah kawan (kodomain) yang anggotanya { … , … , … , … }

Daerah hasil (range) dari anggota P yang berpasangan dengan anggota Q adalah

{ … , … , … } Berfikir kritis ...

(10)

3. Sifat Khusus Fungsi (Pemetaan)

 Fungsi injektif (satu-satu)

Jika fungsi f : A → B, setiap b ∈ B hanya mempunyai satu kawan saja di A,maka fungsi itu disebut fungsi satu-satu atau injektif.

 Fungsi surjektif (onto)

Pada fungsi f : A → B, setiap b ∈ B mempunyai kawan di A, maka f disebut fungsi surjektif atau onto.

Perhatikan diagram panah disamping.

Tentukan (i) domain;(ii) kodomain;(iii) range;

(iv) bayangan dari 1, 2,3, 4, dan 5 oleh fungsi f.

Penyelesaian:

(i) Domain = A = {1, 2, 3, 4, 5}

(ii) Kodomain = B = {a, b, c, d, e}

(iii) Range = {a, c, e}

(iv) Bayangan 1 oleh fungsi f adalah f(1) = a.

Bayangan 2 oleh fungsi f adalah f(2) = a.

Bayangan 3 oleh fungsi f adalah f(3) = c.

Bayangan 4 oleh fungsi f adalah f(4) = c.

Bayangan 5 oleh fungsi f adalah f(5) = e.

1 2 3 4 5

a b c d e

A B

f Contoh

(11)

Matematika Menantang dan Menyenangkan |kelas 8 SMP 11 Diketahui dua himpunan A = {a, b, c} dan himpunan B = {1, 2, 3}.

Buatlah beberapa kemungkinan fungsi atau pemetaan pada kedua himpunan tersebut, gambarkan dengan diagram panah, diagram kartesius, dan himpunan pasangan berurutan.

 Fungsi bijektif (korespondensi satu-satu)

Suatu fungsi yang bersifat injektif sekaligus surjektif disebut fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu.

4. Menyatakan Fungsi dalam Himpunan Pasangan Berurutan, Diagram Panah, dan Diagram Cartesius

Kita telah mempelajari bahwa suatu relasi dapat dinyatakan dalam himpunan pasangan berurutan, diagram panah, dan diagram Cartesius. Karena fungsi merupakan bentuk khusus dari relasi, maka fungsi juga dapat dinyatakan dalam diagram panah, diagram Kartesius, dan himpunan pasangan berurutan.

Misalkan A = {1, 3, 5} dan B = {–2, –1, 0, 1, 2, 3}. Jika fungsi f: A  B ditentukan dengan f(x) = x – 2 maka

f(1) = 1 – 2 = –1 f(3) = 3 – 2 = 1 f(5) = 5 – 2 = 3

 Himpunan pasangan berurutan dari fungsi f tersebut adalah {(1, –1), (3, 1), (5, 3)}. Perhatikan bahwa setiap anggota A muncul tepat satu kali pada komponen pertama pada pasangan berurutan.

 Diagram panah yang menggambarkan fungsi f tersebut sebagai berikut.

 Diagram Cartesius dari fungsi f sebagai berikut

Berfikir kritis ...

(12)

Matematika Menantang dan Menyenangkan |kelas 8 SMP 12 1. Diagram panah berikut ini menunjukkan

relasi antara dua himpunan. Relasi manakah yang merupakan fungsi ?

Berikan alasannya!

2. Diketahui A = {2, 5, 7, 9} dan B = {7, 10, 12, 14, 16}. Jika hubungan anggota A dengan anggota B ditunjukkan dengan 2 ⟼ 7, 5 ⟼ 10, 7 ⟼ 12, dan 9 ⟼ 14, maka :

a. Gambarkan diagram panah relasi dari himpunan A ke B.

b. Sebutkan aturan relasi yang mungkin dari himpunan A ke B.

c. Apakah relasi tersebut merupakan fungsi? Jelaskan!

3. Diketahui suatu relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan himpunan pasangan berurutan yang dibentuk adalah

{(-1, 2), (1, 4), (3, 6), (5, 8), (7, 10)}.

a. Sebutkan anggota-anggota himpunan P dan Q.

b. Sebutkan aturan relasi yang mungkin dari himpunan P ke himpunan Q.

c. Gambarkan koordinat Cartesius dari relasi tersebut

4. Andaikan x anggota himpunan C yaitu himpunan bilangan asli ganjil yang kurang dari 10 dan himpunan D yaitu himpunan bilangan asli genap yang kurang dari 19. Aturan relasi yang menghubungkan himpunan C dan D adalah setengah dari.

a. Sebutkan anggota-anggota himpunan C dan anggota-anggota himpunan D.

b. Sebutkan semua pasangan berurutan dari relasi tersebut.

c. Apakah relasi di atas merupakan fungsi? Tentukan pula daerah hasilnya!

LATIHAN 2

(13)

Matematika Menantang dan Menyenangkan |kelas 8 SMP 13 Perhatikan contoh pemetaan berikut:

C MENENTUKAN NILAI SUATU FUNGSI 9

Mila memiliki ukuransepatu 36 Dini memiliki ukuransepatu 37 Yoga memiliki ukuransepatu 40 Aryo memiliki ukuransepatu 39 Angga memiliki ukuransepatu 38

Bentuk diagram

Dari contoh diatas, sama artinya

Ukuran sepatu dari Mila adalah 36 Ukuran sepatu dari Dini adalah 37 Ukuran sepatu dari Yoga adalah 40 Ukuran sepatu dari Aryo adalah 39 Ukuran sepatu dari Angga adalah 38

Kita anggap x sebagai lambang dari nama anak, dan f(x) sebagai ukuran sepatunya sehingga dapat kita tulis seperti dibawah ini:

x = Dini → f(Dini) = 37

Lanjutkan untuk nama anak yang lain Untuk x = ... diperoleh f( ... ) = ...

Untuk x = ... diperoleh f( ... ) = ...

Dalam hal tersebut ukuran sepatu atau f(x) merupakan rumusan untuk memperoleh pasangan (peta) x.

Dengan demikian metode penyajian himpunan pasangan berurutan yaitu {(Dini, 37), (…….., ... ), (……., ……), (…….., ……..), (………, …….)}

Berukuran sepatu

(14)

Matematika Menantang dan Menyenangkan |kelas 8 SMP 14 jika kita tulis dalam bentuk x dan f(x) maka:

yang selanjutnya akan kita gunakan sebagai bentuk umum dari titik suatu pemetaan.

Dan disimpulkan

Kalian tentu telah mempelajari bentuk umum aljabar dan operasi aljabar, bagaimana jika terdapat aturan dari suatu pemetaan berupa bentuk aljabar seperti contoh dibawah ini;

(x, f(x))

Jika x = 1 maka f(1) = 1 + 2 f(1) = 3 Jika x = 2 maka f(2) = 2 +2

f(2) = 4 Jika x = 3 maka f(3) = 3 + 2

f(3) = 5

inilah himpunan semua f(x) di A : {2, 3, 4, 5}.

Misalkan aturan pemetaan berupa f(x) = x +2 dengan x melambangkan anggota himpunan A = {0, 1, 2, 3}, tentukan nilai-nilai fungsi f!

Penyelesaian:

Ingat bentuk umumnya (x, f(x)); sehingga jika x maka f(x)

ketika kita ingin mengetahui ukuran sepatu anak pada ilustrasi diatas, yaitu dengan

mensubtitusikan nama anak pada aturan pemetaan, begitu halnya dengan yang berbentuk aljabar , seperti dibawah ini;

Jika x = 0 maka f(0) = 0 + 2 = 2 Contoh

𝑓 𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑝𝑒𝑚𝑒𝑡𝑎𝑎𝑛 𝑓 𝑑𝑖 𝑥

(15)

Matematika Menantang dan Menyenangkan |kelas 8 SMP 15 Kalian telah mempelajari cara menghitung nilai suatu pemetaan. Pada bagian ini kita akan mempelajari perubahan nilai suatu pemetaan antar anggota domain.

Untuk itu, pelajari uraian berikut!

Misalkan diketahui suatu pemetaan sebagai berikut:

f: x → x + 1, x ∈ A, dan f(x) ∈ B yang artinya x + 1 ∈ B,

Misalkan pemetaan f: x → -3x + 4. Tentukan nilai peta untuk x = -5 dan x = 5!

Penyelesaian:

f: x → -3x + 4

aturan pemetaan: f(x) = -3x + 4

©) f(-5) = -3(-5) + 4 ©) f(5) = -3(5) + 4

= 15 + 4 = -15 + 4

= 19 = -11

Jadi, nilai peta dari -5 adalah 19 dan peta dari 5 adalah -11

1. Diketahui aturan pemetaan f(x) = 10 – 3x. Tentukan!

a. f (0) c. f(8)

b. f(-4) d. f(12)

2. Diketahui pemetaan g: x → -x² + 2. Tentukan:

a. aturan pemetaan g

b. Range dari pemetaan jika domainnya adalah {-2, -1, 0, 1, 2}

3. Diketahui fungsi h: x → 4x + 20 dengan daerah asal himpunan bilangan bulat. Tentukan:

a. Peta dari -4, 0, 5, dan 10.

b. Anggota domain yang petanya -116.

Contoh

LATIHAN 3

MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI 9

D

(16)

Matematika Menantang dan Menyenangkan |kelas 8 SMP 16 Pada materi bentuk aljabar, x disebut sebagai variabel kemudian kita akan sepakati variabel yang lain untuk melambangkan f(x) dalam hal ini kita ambil y sehingga f(x) = y.

Kita tuliskan f(x) = y = x +1, diperoleh:

f: A → B, dengan 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵

misalkan A = {0, 1, 2}, B = {anggota bilangan bulat}, maka, untuk:

Terlihat bahwa nilai variabel y ditentukan oleh variabel x, atau besar peta ditentukan oleh besar anggota domain. Jadi, untuk y = f(x) = ax +b, variabel y bergantung pada variabel x. Variabel x disebut variabel bebas, dan variabel y disebut variabel terikat.

Hasil diatas, kita sajikan dalam tabel pemetaan yaitu:

Pada tabel diatas tampak bahwa semakin besar nilai x, Semakin besar pula nilai petanya.

Hasil dari pemetaan tersebut dapat kita gambarkan dalam grafik koordinat cartesius dengan cara seperti dibawah ini:

Terlihat grafik pemetaannya dari kiri naik ke kanan x = 0 diperoleh y = 0 + 1 = 1

x = 1 y = 1 + 1 = 2 x = 2 y = 2 + 1 = 3

Tabel pemetaan y = x + 1

X 0 1 2

y 1 2 3

(17)

Matematika Menantang dan Menyenangkan |kelas 8 SMP 17 Kemudian kita ubah daerah asal dan kodomain berturut-turut menjadi A = {𝑥 ∈ 𝑅, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2} dan B = {𝑦 ∈ 𝑅} grafik yang dibentuk sedikit mengalami perubahan.

perbedaan tersebut dapat digambarkan oleh tabel berikut:

x 0 ... ½ ... 1 ... 3

2 ... 2 y 1 ... 3

2 ... 2 ... 5

2 ... 3

Dari grafik dan tabel yang pertama, daerah asal dan daerah hasil berupa bilangan bulat sedangkan diantara bilangan bulat terdapat bilangan real selain bilangan bulat sehingga pada grafik berupa titik. Berbeda dengan grafik dan tabel yang kedua dimana daerah asalnya = {𝑥 ∈ 𝑅, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2} mengikut

sertakan semua anggota bilangan real dengan batasan tertentu dan kodomain = {𝑦 ∈ 𝑅} mengikut sertakan semua anggota bilangan real sehingga grafiknya berupa garis untuk menunjukkan f terdefinisi pada bilangan bulat dan bilangan real yang ada diantara bilangan bulat. Sedangkan Pada tabel kita sajikan hanya beberapa titik saja, karena tidak mungkin untuk menyajikan semua titik

mengingat daerah asal yang diberikan termasuk himpunan terbatas tak hingga.

Dari uraian diatas, dapat disimpulkan perwujudan dari pemetaan tergantung pada daerah asal dan daerah kawan yang diberikan. Kemudian disepakati untuk menyajikan pemetaan yang daerah asal dan daerah kawan berupa himpunan tak hingga dapat diambil beberapa titik saja sebagai gambaran arah titik maupun garis.

pada tabel diatas tampak bahwa semakin besar nilai 𝑥, nilai petanya semakin kecil.

 ℎ: 𝑥 → −𝑥 + 1, domain {𝑥 ∈ 𝑅}

Tabel pemetaan ℎ(𝑥) = −𝑥 + 1 x -3 -2 -1 0 1 2 3 h(x) 4 3 2 1 0 -1 -2 Dari gambar

grafik sebelumnya ditarik garis melalui titik- titik pasangan berurutan

Gambar

(18)

Matematika Menantang dan Menyenangkan |kelas 8 SMP 18 Terlihat di gambar grafik dari kiri atas menurun kekanan bawah.

Dari kedua contoh dapat disimpulkan bahwa:

1. Untuk pemetaan f(x) = ax +b dengan a > 0, semakin besar nilai x, nilai peta nya semakin besar dan bentuk grafik pemetaan dari kiri ke kanan naik.

2. Untuk pemetaan f(x) = ax + b dengan a < 0, semakin besar nilai x, nilai peta akan semakin kecil dan bentuk grafik pemetaan dari kiri kekanan turun.

Dari gambar grafik sebelumnya ditarik garis melalui titik-titik pasangan berurutan

Gambar

h(x) = -x + 1 h(x)

1 2 3 x 3

2 1 4

-1 -2 -1

-2 -3

𝑓 𝑥 = 𝑥²

 𝑓: 𝑥 → 𝑥², domain {𝑥 ∈ 𝑅}, daerah kawan {𝑥 ∈ 𝑅}

tabel pemetaan 𝑓(𝑥) = 𝑥² x -2 -1 0 1 2 f(x) 4 1 0 1 4

(19)

 ℎ: 𝑥 → 2𝑥², domain {𝑥 ∈ 𝑅}, daerah kawan {𝑥 ∈ 𝑅}

tabel pemetaan ℎ 𝑥 = 2𝑥² 𝑥 -2 -1 0 1 2 ℎ(𝑥) 8 2 0 2 1

Kemudian secara bersama-sama, kita menerapkannya pada bentuk kuadrat yang lain. Seperti contoh dibawah ini:

Dari tabel terlihat bahwa pada x = -2 sampai dengan x = 1, nilai peta semakin besar, ditunjukkan dengan bentuk grafik yang naik. Sedangkan pada x = 1 sampai x = 4, nilai peta semakin kecil, ditunjukkan dengan perubahan bentuk grafik dari naik menjadi turun. Titik (1, 3) adalah titik puncak disebut juga titik balik

maksimum. Nilai peta g = 3 merupakan nilai peta yang terbesar, sehingga nilai fungsi y = 3 disebut nilai maksimum dari pemetaan g.

Selanjutnya kita akan melihat perubahan suatu pemetaan f(x) = ax² + bx + c

 g: x → 2 + 2x – x², domain = {𝑥 ∈ 𝑅}, kodomain = {𝑥 ∈ 𝑅}

tabel pemetaan g(x) = 2 + 2x – x² x -2 -1 0 1 2 3 4 g(x) -6 -1 2 3 2 -1 -6

Gambarlah grafik dari tabel disamping

 f: x → x² + 2, domain {𝑥 ∈ 𝑅}, kodomain { 𝑥 ∈ 𝑅}

tabel fungsif(x) = x² + 2

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x) 11 6 3 2 3 6 11 Gambarkan grafik

dari tabel disamping

(20)

Matematika Menantang dan Menyenangkan |kelas 8 SMP 20 Dari kedua contoh diatas dapat disimpulkan bahwa

2. Buatlah tabel dan grafik pada bidangkoordinat kartesius dari pemetaan f : x→ 5x – 3 dengan domain {-2, -1, 0, 1, 2}. Kemudian tentukan himpunan pasangan berurutannya!

3. Buatlah tabel dan grafik pada bidang koordinat kartesius. Pemetaan f(x) = -8 – x, dengan domain {x | -4 ≤ x ≤ 4, x ∈ R }!

a. Titik balik maksimum pemetaan h b. Nilai maksimum peta h

c. Range jika domain nya.

LATIHAN 4

d.

1. Untuk rumus pemetaan f(x) = ax² + bx + c dengan a> 0, semakin besar nilai x, nilai peta berubah semakin kecil sampai pada nilai peta tertentu,

kemudian berubah menjadi semakin besar.

2. Untuk rumus pemetaan f(x) = ax² + bx + c dengan a< 0, semakin besar nilai x, nilai peta berubah semakin besar sampai pada nilai peta tertentu, kemudian berubah menjadi semakin kecil.

3. Pada rumus pemetaan berbentuk f(x) = ax² + bx + c, kita dapat menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi, titik balik maksimum atau minimum.

(21)

Matematika Menantang dan Menyenangkan |kelas 8 SMP 21 4. Diketahui sesuatu pemetaan g: x → x² – 2x -3 dengan domain {x| -3 ≤ x ≤ 3, x ∈ R}.

tentukan:

a. Peta dari -3, -1 dan 2 b. Nilai minimum peta g c. Titik balik pemetaan g d. Range dari domain nya

5. Diketahui suatu pemetaan h(x) = 7 – 2x², dengan domainnya {x| -2 ≤ x ≤ 4, x ∈ R}.

hitunglah:

SOAL PENGEMBANGAN DAN ANALISIS

1. Jika 𝑓 𝑧 = 𝑎𝑧 + 𝑏, maka nilai dari ^{𝑓 𝑏 −𝑓(𝑎)}

𝑏−𝑎 adalah . . .

(Soal Olimpiade Sains Nasional SMP tahun 2008, seleksi tingkat kabupaten/kota) 2. Jika f(n) menyatakan banyak faktor bilangan asli n, maka f(f(f(2009))) = ….

(Soal Olimpiade Sains Nasional SMP tahun 2008, seleksi tingkat kabupaten/kota) 3. Diketahui fungsi bilangan real f(x) = _𝑥−1^𝑥 , untuk x 1

Nilai dari: f(2007) + f(2006) + ….+f(3) + f(2) + f(1/2) + f(1/3) + …… + f(1/2007) adalah … (Soal Olimpiade Sains Nasional SMP tahun 2007, seleksi tingkat provinsi)

4. Jika f fungsi dari himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan asliYang memenuhi f(x) + f(x + 1)

= 2𝑥²dan f(31) = 99, maka f(99) = ….

(Soal Olimpiade Sains Nasional SMP tahun 2007, seleksi tingkat kabupaten/kota) 5. 𝑓 𝑥 = ^2𝑥−4

𝑥 , 𝑥 ≠ 0 dan x bilangan real, maka 𝑓²⁰⁰⁹ 6 = …

Catatan : notasi 𝑓² 𝑥 = 𝑓 𝑓 𝑥 , notasi 𝑓³ 𝑥 = 𝑓 𝑓 𝑓 𝑥 , dan seterusnya.

(Soal Olimpiade Sains Nasional SMP tahun 2008, seleksi tingkat provinsi) 6. Diketahui suatu fungsi 𝑓 𝑛 = 𝑎𝑛³+ 𝑏𝑛²+ 𝑐𝑛 + 𝑑.

Jika 𝑓 2 = 5, 𝑓 4 = 30, 𝑓 6 = 91, 𝑑𝑎𝑛 𝑓 8 = 208. Maka hitunglah jumlah angka-angka dari 𝑓 2009 !

(Soal Olimpiade Sains Nasional SMP tahun 2009, seleksi tingkat provinsi)

7. Jika 𝑓 adalah fungsi sehingga 𝑓 𝑥𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑦) dan 𝑓 6 = 1, maka𝑓 −2 − 𝑓 4 = … (Soal Olimpiade Sains Nasional SMP tahun 2011, seleksi tingkat provinsi)

NB : not for all!

(22)

Matematika Menantang dan Menyenangkan |kelas 8 SMP 22 DAFTAR PUSTAKA

Bartle dan Sherbert. 2000. Introduction to Real Analysis 3^rd. USA. John Wiley & Sons, Inc.

Depdiknas. 2006. Standar Kompetensi Mata Pelajaran Matematika Sekolah Menengah Pertama. Jakarta: Depdiknas.

Nugroho, H dan Meisaroh, L. 2008. Matematika SMP dan Mts Kelas VIII. Bandung.

Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Nuharini, D dan Wahyuni, T. 2008. Matematika Konsep dan Aplikasinya. Surakarta:

Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Purcell dan Varberg. 1993. Kalkulus dan Geometri Analitis jilid 1, Edisi ke empat.

Jakarta: Erlangga.