Maximum Flow

(1)

Struktur Data & Algoritme (

Data Structures & Algorithms

)

Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Semester Genap - 2000/2001

Version 1.0 - Internal Use Only

Suryana Setiawansetiawan@cs.ui.ac.id

Maximum Flow

Motivation

Banyak masalah graph dalam dunia nyata berkaitan dengan aliran material

Cairan: dalam suatu jaringan pipa yang mengalirkan minyak, berapa kapasitas debit (volume yang mengalir per satuan waktu) minyak melalui jaringan tersebut ?

Lalu lintas: dalam suatu jaringan jalan, berapa daya dukung jaringan jalan tersebut?

Proses: di bagian mana terjadinya bottleneck proses tersebut?

SDA/Max Flow/Sur/V1.0/3

1-Source, 1-Target Problem

Flow network Graph

Verteks pada symmetrical directed graph dihubungkan dengan sisi-sisi yang berupa saluran dengan

• c[u,v] kapasitas debit tertentu antara verteks u dan v

•c[u,v] ≥0

•Jika c[u,v] berarti tidak ada sisi yang menghubungkan u dan v

• f[u,v] aliran yang terjadi antara verteks u dan v

•f[v,u] = -f[u,v]

•f[u,v] ≤c[u,v]

• cr[u,v] kapasitas debit sisa/residual yang tidak digunakan antar verteks u dan v

•cr[u,v] = c[u,v] – f[u,v]

Dua verteks disebut sebagai source s dan target/sink t

Ide Algoritma Ford-Fulkerson

Mendapatkan path residual antara s dan t, jika ada maka

“aliri” melalui path tersebut dengan debit sesuai dengan residu terkecil di dalam path tersebut

Update setiap f[u,v] untuk setiap (u,v) dalam path sesuai dengan debit tersebut

Hitung residual cr[u,v] = c[u,f] – f[u,v] untuk setiap (u,v) dalam path sebagai residual terbaru

Ulangi hingga tidak ada path residual antara s dan t

Graph MaxFlow adalah graph f[u,v] terakhir dengan

(2)

Algoritma Ford-Fulkerson

Membuat graph c simetris, jika ada c[u,v] sementara c[v,u] tidak ada dengan membuat c[v,u] = 0

Inisialisasi f[u,v] = f[v,u] = 0 untuk setiap (u,v) dalam graph

Inisialisasi cr[u,v] = c[u,v] untuk setiap (u,v) dalam graph

While (path=findPathDalamcr(s,t)) {

Tambahdebit = minimum {cr[u,v] | untuk setiap (u,v) dalam path}

For setiap sisi (u,v) dalam path {

• f[u,v] += cr[u,v];

• f[v,u] = -f[u,v];

}

Update cr[u,v] = c[u,v] – f[u,v] untuk setiap (u,v) dalam path

Besarnya Aliran Maximum

Graph MaxFlow tidak bersifat unik (bisa beberapa solusi) tetapi besarnya debit aliran unik (maksimum)

Aliran maximum dalam graph diperoleh dengan menjumlahkan total flow yang keluar dari s atau total flow yang masuk ke t

Contoh

s t

v4 v3

v2 v1

16

13

10 4 12

9

14

20

4 7

- 0 0 0 0 t 0

4 - 0 7 0 v4 0

0 14 - 0 4 v3 0

20 0 9 - 0 v2 0

0 0 10 12 - V1 0

0 0 13 0 16 S -

t v4 v3 v2 v1 s c Kapasitas

Contoh: Inisialisasi

- 0 0 0 0 T 0

0 - 0 0 0 V4 0

0 0 - 0 0 V3 0

0 0 0 - 0 v2 0

0 0 0 0 - V1 0

0 0 0 0 0 S -

t v4 v3 v2 v1 s f

- 0 0 0 0 t 0

4 - 0 7 0 v4 0

0 14 - 0 4 v3 0

20 0 9 - 0 v2 0

0 0 10 12 - V1 0

0 0 13 0 16 S -

t v4 v3 v2 v1 s cr

Aliran Kapasitas Tersisa

(3)

s t

v4 v3

v2 v1

16

13

10 4 12

9

14

20

4 7

Misalnya diperoleh path s-v1-v2-v3-v4-t Debit: min{16,12,9,14,4} = 4

Update setiap f[u,v] += 4 dan

f[v,u] = -f[u,v], untuk setiap (u,v) dalam path

Contoh: pencarian path 1

Contoh: iterasi 1

- -4 0 0 0 T 0

4 - -4 0 0 V4 0

0 4 - -4 0 V3 0

0 0 4 - -4 v2 0

0 0 0 4 - V1 -4

0 0 0 0 4 S -

t v4 v3 v2 v1 s w

- 4 0 0 0 t 0

0 - 4 7 0 v4 0

0 10 - 4 4 v3 0

20 0 5 - 4 v2 0

0 0 10 8 - V1 4

0 0 13 0 12 S -

t v4 v3 v2 v1 s cr

s t

v4 v3

v2 v1

12

13

10 4 8

5

10

20

7 4

4 4

4 ⁴

Misalnya diperoleh path s-v1-v3-v4-v2-t Debit: min{12,10,10,7,20}=7

Contoh: Pencarian path 2

- -4 0 -7 0 T 0

4 - -11 7 0 V4 0

0 11 - -4 -7 V3 0

7 -7 4 - -4 v2 0

0 0 7 4 - V1 -11

0 0 0 0 11 S -

t v4 v3 v2 v1 s f

- 4 0 7 0 t 0

0 - 11 0 0 v4 0

0 3 - 4 11 v3 0

13 7 5 - 4 v2 0

0 0 3 8 - V1 11

0 0 13 0 5 S -

t v4 v3 v2 v1 s cr

Contoh: iterasi 2

(4)

Misalnya diperoleh path s-v3-v1-v2-t Debit: min{13,11,8,13}=8

s t

v4 v3

v2 v1

5

13

3 11 8

5

3

13

7 11

4 4

11 ⁴

7

Contoh: Pencarian path 3

- -4 0 -15 0 T 0

4 - -11 7 0 V4 0

0 11 - -4 1 V3 -8

15 -7 4 - -12 v2 0

0 0 -1 12 - V1 -11

0 0 8 0 11 S -

t v4 v3 v2 v1 s f

- 4 0 15 0 t 0

0 - 11 0 0 v4 0

0 3 - 4 3 v3 8

5 7 5 - 12 v2 0

0 0 11 0 - V1 11

0 0 5 0 5 S -

t v4 v3 v2 v1 s cr

Contoh: iterasi 3

Tersisa path s-v3-v2-t Debit: min{5,4,5}=4

s t

v4 v3

v2 v1

5

11 3 5

3

5

7 11

12

4

11 ⁴

15 8

Contoh: Pencarian path 4

Contoh: iterasi 4

- -4 0 -19 0 T 0

4 - -11 7 0 V4 0

0 11 - 0 1 V3 -12

19 -7 0 - -12 v2 0

0 0 -1 12 - V1 -11

0 0 12 0 11 S -

t v4 v3 v2 v1 S w

- 4 0 19 0 t 0

0 - 11 0 0 v4 0

0 3 - 0 3 v3 12

1 7 9 - 12 v2 0

0 0 11 0 - V1 11

0 0 1 0 5 S -

T v4 v3 v2 v1 s cr

(5)

Tidak adalagi path dari s ke maka selesai dengan graph aliran maksimum dinyatakan dalam f[u,v] dengan mengambil harga yang positif

s t

v4 v3

v2 v1

5

1

11 3 9

3

1

7 11

12

11 ⁴

19 12

Contoh: Pencarian path 5

s t

v2 v1

11

12

1 12

19

4 7

COntoh: maximum flow hasil

Aliran maksimum dari s ke t adalah 23

Masalah Algoritma

Pencarian path merupakan hal yang paling kritikal dalam algoritma ini.

Kasus terburuk jika terjadi situasi sbb.

Bila path yang

ditemukan selalu melalui v2-v3 atau v3-v2 maka iterasi akan terjadi dalam jumlah yang besar

Setiap iterasi debit dalam path yang ditemukan hanya 1

s t

v3 v1

1

1000000

1000000 1000000

1000000

Pencarian path

Varian Algoritma Edmonds-Karp

Dengan BFS: “Shortest path” dengan arti jumlah sisi dalam path yang paling sedikit

Dengan DFS

(6)

Analisis Algoritma

Pencarian flow path dilakukan pada maksimum E buah sisi, jadi O(E).

Banyak iterasi adalah sama dengan jumlah flow path yang ditemukan. Jika jumlah tsb adalah |f*| maka kompleksitas waktu adalah O(E |f*|)

Multi-source, Multi-target Problem

Dalam masalah yang lebih nyata source bisa berasal dari sejumlah verteks menuju ke sejumlah verteks lainnya.

Apakah algoritma Ford-Fulkerson bisa digunakan?

Contoh:

s1 t2

t1 s2

16

13

10 4 12

9

20

4 7

Penambahan dummy vertex u/ verteks source dengan sisi mengarah ke setiap verteks source semula

Penambahan dummy vertex u/ vertex target dengan sisi mengarah dari setiap verteks target semula

Setiap sisi yang ditambahkan berkapasitas sangat besar (tak terhingga!)

s1 t2

v2 v1

t1 s2

16

13

10 4 12

9

14

20

4 7

s0 ∞ ∞ t0

∞ ∞

Maximum Bipartite Matching (MBM)

Bipartite Graph: dalam suatu undirected graph G={V,E}, V terpartisi atas dua subset V1 dan V2 dan E’⊆E dan setiap (u,v) ∈E’ terpenuhi u ∈V1 dan v ∈ V2.

Bipartite Matching: adalah E’’ dengan E’’⊆E’, dimana setiap (u,v) ∈E’’ serta untuk v’≠v dan u’≠u, tidak ada (u,v’) atau (u’,v) ∈E’’.

Cardinality dari Bipartite Matching adalah |E’’|

Maximum Bipartite Matching adalah matching dengan cardinality terbesar

(7)

v1 v2 v1 v2 v1 v2

Bipartite Graph, verteks terpartisi atas v1 dan v2

Bipartite Mathing, tidak

maksimal (cardinality 2) Maximal Bipartite Graph (cardinality 3)

Pencarian MBM sebagai Problem MaxFlow

Tambahkan verteks source dan sisi-sisi berarah yang mengarah ke setiap verteks dalam V1 dengan

kapasitas 1

Tambahkan verteks target dan sisi-sisi berarah yang mengarah dari setiap verteks dalam V2 dengan kapasitas 1

Setiap sisi dalam G adalah sisi dengan kapasitas 1 dan berarah dengan arah dari verteks di V1 ke verteks di V2

v1 v2

Contoh

Contoh Kasus

a b

c d

0 0 0 1 s 1

t d c b a s c

a b

c d

s t

Sebagai Capacity Network Flow Graph (bobot tidak digambarkan karena berharga 1 atau 0)

Kapasitas dalam representasi matriks

(8)

0 -1 0 0 t 0

0 0 0 0 d 0

1 0 0 -1 c 0

0 0 0 0 b 0

0 0 1 0 a -1

0 0 0 0 s 1

t d c b a s f

Jika path pertama s-a-c-t

a b

c d

s t

0 1 0 0 t 0

1 0 0 0 d 0

0 0 0 1 c 0

0 0 1 0 b 0

0 1 0 0 a 1

0 0 0 1 s 0

t d c b a s cr

-1 -1 0 0 t 0

1 0 0 -1 d 0

1 0 -1 0 c 0

0 0 1 0 b -1

0 1 0 0 a -1

0 0 0 1 s 1

t d c b a s f

Jika path kedua s-b-c-a-d-t

1 1 0 0 t 0

0 0 0 1 d 0

0 0 1 0 c 0

0 0 0 0 b 1

0 0 1 0 a 1

0 0 0 0 s 0

t d c b a s cr

a c

s t

Tidak ada lagi path dalam cr dari s ke t, maka maxflow graph

Maka maximum matching adalah a-d dan b-c

a b

c d

s t

a b

c d