metode penalti/teknik m - Spada UNS

Materi Perkuliahan Program Linier 11

METODE PENALTI/TEKNIK M

A. Penyelesaian Awal Semu

Perhatikan contoh permasalahan program linier berikut ini.

Permasalahan Program Linier Bentuk Kanonik Meminimumkan

3 2

1 15 24

6y y y

W   

Terhadap batasan:

2y₁ 6y₃ 3 (1) 3y₂ 4y₃ 5 (2) y₁0, y₂ 0, y₃ 0

Meminimumkan

S1

Terhadap pembatas

2y₁ 6y₃ S₁ 3 (1) 3y₂ 4y₃ S₂ 5 (2)

y₁,y₂,y₃,S₁,S₂ 0

Bentuk kanonik tersebut terdiri atas dua persamaan dan lima variabel tak diketahui. Sehingga untuk menentukan penyelesaian basis awal terlebih dahulu harus menentukan sebanyak m – n = 5 – 2 = 3 variabel sama dengan nol.

Misalkan diambil variabel y₁ = y₂ = y₃ = 0 maka y₁, y₂, y₃ sebagai variabel non basis dan variabel S₁,S₂ sebagai variabel basis dengan

5 ,

3 ₂

1  S 

S . Karena terdapat variabel basis yang non negatif berarti penyelesaian basis awal yang diperoleh merupakan penyelesaian basis awal yang tidak fisibel.

Untuk mengatasi hal tersebut maka pada bentuk kanonik untuk setiap persamaan yang tidak mengandung variabel slack ditambahkan variabel semu pada ruas kirinya. Variabel semu biasa disimbolkan R dengan R0. Penambahan variabel ini diperlakukan seperti variabel slack maupun variabel surplus. Sebagai konsekuensi dari penggunaan variabel semu ini adalah adanya penambahan sebesar^M



^R pada ruas kanan fungsi tujuan yang meminimalkan dan adanya pengurangan sebesar ^M



^R pada ruas kanan fungsi tujuan yang memaksimalkan (M adalah bilangan positif yang sangat besar).

Karena variabel semu tidak berarti pada masalah aslinya, maka prosedur akan valid hanya apabila pada saat optimal, variabel semu ini bernilai nol.

Materi Perkuliahan Program Linier 12

Dengan kata lain, variabel semu hanya digunakan pada awal penyelesaian dan sebagai konsekuensinya harus dinolkan pada penyelesaian akhirnya. Apabila ada variabel semu yang tidak sama dengan nol pada penyelesaian akhirnya berarti penyelesaian tersebut tidak fisibel (infisibel solution).

B. Metoda Penalti/ Teknik M

Metoda ini merupakan salah satu metoda yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan program linier yang bentuk kanoniknya mengandung variabel semu. Perhatikan contoh permasalahan berikut ini.

Karena (1) 2y₁6y₃ S₁R₁ 3R₁ 32y₁6y₃ S₁ (2) 3y₂ 4y₃ S₂ R₂ 5R₂ 53y₂ 4y₃ S₂ maka R₁R₂ 82y₁3y₂ 10y₃S₁S₂

sehingga bentuk kanonik menjadi:

Meminimumkan W 6y115y224y3M



R1R2



W 6y₁15y₂ 24y₃M(82y₁3y₂10y₃S₁S₂)

W (62M)y₁(153M)y₂(2410M)y₃ MS₁MS₂ 8M W(62M)y₁(153M)y₂(2410M)y₃ MS₁MS₂ 8M

terhadap batasan 2y₁6y₃S₁R₁3 (1) 5

4

3y₂ y₃S₂R₂  (2) 0

, , , , ,

, _{2 3 1 2 1 2}

1 y y S S R R 

y

Permasalahan tersebut memiliki dua persamaan dengan 7 variabel yang tak diketahui. Selanjutnya permasalahan ini diselesaikan dengan metoda simplek sebagai berikut

Permasalahan Program Linier

Bentuk Kanonik Meminimumkan

3 2

1 15 24

6y y y

W   

Terhadap batasan:

2y₁ 6y₃ 3 (1) 3y₂ 4y₃ 5 (2) y₁ 0, y₂ 0, y₃ 0

Meminimumkan



1 2



3 2

1 15 24

6y y y M R R

W     

Terhadap pembatas

2y₁ 6y₃ S₁R₁ 3 (1) 3y₂ 4y₃ S₂ R₂ 5 (2)

y₁,y₂,y₃,S₁,S₂,R₁,R₂ 0

Materi Perkuliahan Program Linier 13

 Mencari penyelesaian basis awal fisibel

ambil sebanyak 7 – 2 = 4 variabel disamadengankan nol misal

2 0

1 3 2

1  y  y S S 

y maka y₁,y₂,y₃,S₁,S₂sebagai variabel non basis. Akibatnya, R₁3,R₂ 5sebagai variabel basis. Hal ini menghasilkan nilai awal fungsi tujuan W 8M .

 Berikut ini tampilan tablo simpleks secara lengkap dari masalah di atas.

Ket Var

Bas y¹ y₂ y₃ S₁ S₂ R₁ R_{2 NK} ^Ra

sio Iterasi(

0) ev=y₃ lv=R₁

W -6+2M -15+3M -24+10M -M -M 0 0 8M -

R1

R2

2 0

0 3

6 4

-1 0

0 -1

1 0

0 1

3 5

36 54

Iterasi(

1) ev=y₂ lv=R₂

W 2-43M -15+3M 0 -4+46M -M 4-106M 0 12+3M - y3

R2 13

43



0 3

1 0

16



46

0 -1

W

46



0 1

12

3 - 1 Iterasi(

2) optima

l

W ¹⁴_{3 0 0} ⁴_{6 -5} ⁴₆-M 5-M 27 y3

y2

13 49



0 1

1 0

16



418

0

13



y3 418



0

13

12

1

Karena pada iterasi (2) semua nilai pada baris fungsi tujuan sudah non positif maka penyelesaian optimal telah tercapai. Jadi, permasalahan tersebut mencapai nilai optimal di

 





 





2 ,1 1 . 0 ,

, _{2 3}

1 y y

y dengan W_min 27.