Dengan menggunakan konsep himpunan, himpunan/cluster yang memuat semua hasil berbeda yang dapat terjadi dari suatu eksperimen disebut ruang sampel. Saat menghitung peluang suatu kejadian, kita tidak perlu membuat daftar unsur-unsur suatu kejadian dan ruang sampelnya, tetapi cukup menghitung jumlah titik sampel suatu kejadian dan ruang sampelnya. Berdasarkan banyaknya elemen dalam suatu ruang sampel, ruang sampel dibedakan menjadi dua jenis, yaitu ruang sampel diskrit dan ruang sampel kontinu.
Suatu ruang sampel dikatakan diskrit jika jumlah elemen dalam ruang sampel berhingga atau dapat dihitung. Namun suatu ruang sampel dikatakan kontinu jika ruang sampel tersebut memuat semua bilangan pada interval tertentu. Pendekatan yang dapat dilakukan untuk menentukan peluang suatu kejadian antara lain adalah pendekatan objektif dan pendekatan aksioma probabilitas.
Jika terdapat informasi tambahan bahwa sisi pelemparan dadu lebih besar dari 3, maka ruang sampel setelah informasi tersebut menjadi S, sehingga peluang terambilnya sisi genap dengan informasi tersebut adalah P(A)=P. Secara umum, jika kita menerima informasi bahwa suatu peristiwa telah terjadi, maka peristiwa yang telah terjadi tersebut dapat mempengaruhi peluang terjadinya peristiwa lain. Misalkan ada dua kejadian A dan B yang berpotongan (A⋂B ≠) seperti digambarkan pada diagram Venn di bawah ini. a) Diagram teman dua kejadian A dan B di S (alam semesta), (b) Ruang sampel setelah kejadian A terjadi.
Sekarang kita hanya memperhatikan seluruh hasil yang ada hanya pada kejadian A, atau dengan kata lain kita akan memperoleh ruang sampel baru.
Kaidah Penggandaan
Kaidah Peluang Total
Jika bola yang diambil berwarna hijau, maka bola merah dimasukkan ke dalam kotak, dan jika bola merah diambil, bola hijau dimasukkan ke dalam kotak. Misal Mi adalah kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan ke-i, dan Hi adalah kejadian terambilnya bola hijau pada pengambilan ke-i, i=1,2.
Penggunaan Diagram Pohon untuk Menghitung Peluang
Dari catatan sebelumnya, PT CBA menemukan seluruh suku cadang yang dikirim dalam kondisi tidak baik. Persediaan suku cadang saat ini terdiri dari 5000 unit dari pemasok 1, 3500 unit dari pemasok 2, dan 2000 unit dari pemasok 3. Jika satu unit suku cadang dipilih secara acak dari persediaan, berapa peluang suku cadang tersebut rusak?
C = kemunculan suku cadang dalam kondisi rusak dan B = kemunculan suku cadang dalam kondisi baik P1 = kemunculan suku cadang dari supplier 1. Jika harga saham hari ini naik, maka peluang kenaikan harga esok hari adalah 0,8, dan kemungkinan harga turun besok adalah 0,2. Misalnya Ni adalah kejadian harga saham naik pada hari ke i. Sepuluh adalah kejadian harga saham turun pada hari ke i.
Kejadian Saling Bebas
Dalam pengertian statistik, dua kejadian A dan B dikatakan bebas statistik atau bebas stokastik jika dan hanya jika P(AB) =P(A)P(B). Jika dalam suatu percobaan kejadian A1, A2,..., An dapat terjadi dan saling bebas, maka . Jika kejadian A dan B saling lepas, yaitu tidak mempunyai titik potong, maka kedua kejadian tersebut bukan kejadian bebas.
Berapa peluang munculnya angka 6 pada dadu kedua jika diketahui muncul angka 4 pada dadu pertama. Misalkan A adalah kejadian munculnya angka 4 pada dadu pertama dan B adalah kejadian munculnya angka 6 pada dadu kedua. Teorema Bayes digunakan untuk menghitung probabilitas bersyarat berdasarkan prinsip bahwa informasi tambahan dapat meningkatkan probabilitas suatu peristiwa.
Sebelum memberikan rumusnya, perhatikan kembali diagram pohon sederhana yang melibatkan dua kejadian A dan B seperti pada gambar berikut. Dari diagram tersebut, probabilitas terjadinya peristiwa B jika peristiwa A sudah terjadi diketahui—yakni, probabilitas "berwawasan ke depan" dalam arti bahwa peristiwa A terjadi sebelum peristiwa B. Anggaplah Anda diminta untuk tentukan peluang terjadinya kejadian A jika kejadian B telah terjadi.
Salah satu kunci untuk memahami esensi teorema Bayes adalah dengan menyadari bahwa kita berhadapan dengan kejadian simultan/berturut-turut dimana informasi tambahan baru diperoleh pada kejadian berikutnya dan informasi baru ini digunakan untuk meningkatkan probabilitas kejadian awal (sebelumnya). acara). kemungkinan). Probabilitas suatu kejadian yang diperoleh dengan menggunakan probabilitas sebelumnya dan tambahan informasi baru disebut probabilitas posterior. Rumus di atas menunjukkan bahwa probabilitas sebelumnya berarti P(A) dan P(Ac), dan probabilitas selanjutnya berarti P(A|B).
Kotak I berisi 2 bola hitam dan 1 bola kuning, sedangkan kotak II berisi 1 bola hitam dan 3 bola kuning. Jika bola yang diambil adalah bola hitam, maka peluang terambilnya bola tersebut berasal dari kotak I. Kemudian gunakan P(T+|D+)=0,9 untuk menghitung banyaknya orang yang hasil tesnya positif jika orang tersebut diketahui sakit (0,9x50=45).
Latihan Soal
Sebuah penelitian menemukan bahwa untuk setiap 100 produk yang diproduksi oleh sebuah pabrik pada siang hari (S), 2 produk cacat (C), dan untuk setiap 100 produk yang diproduksi pada malam hari (M), 5 produk cacat. Dengan menggunakan rumus Bayes, hitung probabilitas produk yang dipilih secara acak cacat dari 160 produk yang diproduksi selama 24 jam. Sebuah kotak diambil secara acak kemudian sebuah kelereng diambil secara acak dari kotak yang dipilih.
Pengertian Peubah Acak
X=0, artinya tidak ada sisi bilangan yang muncul X=1, artinya hanya ada satu sisi bilangan yang muncul
Sebaran Peluang Diskret
Sebaran Peluang Kontinu
Dan sangat sulit untuk menemukan tinggi pasti 164 cm. Namun tidak demikian halnya jika kita berbicara tentang kemungkinan memilih seseorang yang tinggi badannya antara 163 dan 165. Dalam hal ini kita berurusan dengan interval nilai variabel acak, dan bukan hanya satu nilai variabel acak. Oleh karena itu, distribusi probabilitas suatu variabel acak kontinu tidak dapat disajikan dalam bentuk tabel, tetapi distribusi tersebut dapat disajikan dalam bentuk rumus.
Rumus ini merupakan fungsi dari nilai variabel acak kontinu X, sehingga dapat digambarkan sebagai kurva kontinu. Sebagian besar fungsi kepadatan dalam analisis statistik bersifat kontinu untuk semua nilai. Fungsi kepadatan probabilitas dibuat sedemikian rupa sehingga luas di bawah kurva dan di atas sumbu x sama dengan 1. Jadi dapat disimpulkan bahwa kepadatan probabilitas fungsi untuk variabel acak kontinu sumbu x sama dengan 1, dan jika luas di bawah kurva berada di antara x=a dan x=b, maka ini mewakili probabilitas bahwa X terletak di antara a dan b, P(a Nilai Harapan Peubah Acak Nilai yang diharapkan dari jumlah atau selisih dua atau lebih variabel acak sama dengan jumlah atau selisih nilai yang diharapkan dari masing-masing variabel. Nilai yang diharapkan dari produk dua atau lebih variabel acak yang independen satu sama lain sama dengan produk dari nilai yang diharapkan dari setiap variabel acak. Varians jumlah atau selisih dua atau lebih variabel acak bebas sama dengan jumlah varians masing-masing variabel acak. Variabel acak X yang menunjukkan banyaknya potongan coklat dalam suatu kue mempunyai distribusi probabilitas sebagai berikut. Distribusi diskrit merupakan fungsi probabilitas dari variabel acak diskrit, seperti Bernoulli, Binomial, Hipergeometri, Poisson dan lain-lain. Sedangkan distribusi kontinu merupakan fungsi probabilitas dari variabel acak kontinu, antara lain Seragam, Normal, dan sebagainya. Jika suatu pengulangan binomial mempunyai peluang sukses p dan peluang gagal q = 1-p, maka distribusi peluang variabel acak tersebut adalah binomial X, yaitu banyaknya keberhasilan dalam n pengulangan bebas. Banyaknya keberhasilan X dalam suatu percobaan hipergeometri disebut peubah acak hipergeometri, dan distribusi peluang untuk peubah acak hipergeometri disebut sebaran hipergeometri. Jika dalam suatu populasi yang terdiri dari N objek, k di antaranya ditandai sukses dan N-k objek lainnya ditandai gagal, maka distribusi probabilitas untuk variabel acak hipergeometri X, yang menyatakan banyaknya keberhasilan dalam sampel acak berukuran n, adalah. Eksperimen yang menghasilkan nilai peubah acak X, yaitu banyaknya hasil eksperimen yang terjadi dalam selang waktu tertentu atau rentang tertentu, disebut eksperimen Poisson. Distribusi probabilitas variabel acak Poisson X, yang menunjukkan banyaknya hasil eksperimen yang terjadi selama selang waktu atau rentang tertentu adalah. Distribusi probabilitas seragam merupakan suatu bentuk distribusi probabilitas dimana setiap titik pengamatan dalam rentang nilai tertentu mempunyai probabilitas yang sama. Kurva acak dengan distribusi probabilitas kontinu atau fungsi kepadatan dibuat sedemikian rupa sehingga luas di bawah kurva yang dibatasi oleh x = x1 dan x = x2 sama dengan peluang variabel acak X mengambil nilai antara x = x1 dan x = x2. Maka untuk menghindari hal tersebut digunakan tabel normalitas atau tabel normal baku, yaitu dengan mengubah setiap observasi variabel acak normal X menjadi nilai variabel acak normal Z dengan mean nol dan varians satu. Jadi distribusi normal baku adalah sebaran suatu variabel acak normal dengan mean nol dan simpangan baku 1. Karena semua nilai X yang berada di antara x1 dan x2 memiliki nilai ekuivalen z antara z1 dan z2, maka luas di bawah kurva acak X memiliki nilai lebih besar dari 362.Xjika
