MODUL IV INTEGRASI NUMERIK PDF

MODUL IV

“INTEGRASI NUMERIK ”

Dosen :Emma Patricia Bangun ST.,M.Eng.,Ph.D.

ASISTEN LABORATORIUM KOMPUTASI RAFLES BANRETI

GRACE SIMANUNGKALIT

200404089 210404050

 DASAR TEORI

 Struktur IF ELSE Bersarang

 Kombinasi IF ELSE dan DO LOOP

 Defenisi Integrasi

 Metode Integrasi (Fortran)

1.

Metode Trapesium dan Persegi Panjang (satu dimensi)

2.

Metode Persegi Panjang (dua dimensi)

3.

Metode Aturan Simphson 1/3 (satu & dua dimensi)

 Metode Integrasi (Matlab)

Fungsi-fungsi dalam Matlab untuk Integrasi.

TUJUAN PRAKTIKUM

Secara khusus, penerapan integrasi numerik ke agar dalam bahasa pemrograman bertujuan

mahasiswa :

• Menggunakan fungsi intrinsik yang tersedia.

• Memahami penggunaan struktur IF ELSE bersarang (nested IF ELSE ) untuk menetapkan alur pemrograman.

• Menerapkan kombinasi struktur IF ELSE

bersarang dengan DO LOOP bersarang.

Struktur IF ELSE Bersarang

o Struktur IF ELSE bersarang (nested IF ELSE) diperlukan apabila terdapat kondisi yang lebih spesifik yang harus ditetapkan untuk menentukan alur pemrograman.

o Suatu IF ELSE dikatakan bersarang apabila berada di dalam suatu struktur IF ELSE yang lain.

IF ( kondisi1 ) THEN

...

IF ( kondisi11 ) THEN ...

ELSE IF ( kondisi12) THEN ...

ELSE

...

END IF (dst)...

5

Struktur IF ELSE dan DO LOOP bisa dikombinasikan lewat penempatan fungsi DO LOOP di dalam fungsi IF ELSE, ataupun sebaliknya.

Fungsi do loop

DEFENISI INTEGRASI

• Integrasi suatu fungsi pada suatu interval x dapat diekspresikan dalam persamaan berikut :

𝑥𝑎

∫

𝑥𝑏

• Dimana adalah batas atas dan bawah yang menunjukkan interval dalam sumbu x.

• Integrasi di atas merupakan satu dimensi karena intervalnya hanya berada pada sumbu x.

• Untuk integrasi dua dimensi batas juga ditunjukkan dengan interval pada sumbu y.

𝑥𝑎 𝑦𝑎

∫ ∫ ,

7

1. METODE TRAPESIUM &PERSEGI PANJANG (1 dimensi)

• Secara numerik integrasi menggunakan metode Trapesium dan Persegi Panjang adalah integrasi yang membagi daerah di bawah kurva f(x) menjadi bagian–bagian yang berbentuk trapesium dan persegi panjang.

• Interval tersebut dibagi menjadi beberapa sub-interval yang identik yang jumlahnya sebanyak N.

• Besar sub-interval dapat diperhitungkan dengan rumus sebagai berikut :

∆ = −

RUMUS :

1 + 𝑓(𝑥_𝑖+1) …𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑠𝑖𝑢𝑚

𝑖=𝑁

𝐼=1

…𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 𝑝𝑎𝑛j𝑎𝑛𝑔

𝑖=𝑁

𝐼 = 2∆𝑥∑ 𝑓 𝑥_𝑖 𝐼 = ∆𝑥∑ 𝑓 𝑥_𝑖

𝐼=1

CONTOH PROGRAM PADA FORTRAN

9

2. METODE PERSEGI PANJANG (2 dimensi)

• Pada dasarnya integrasi dua dimensi menggunakan metode pengintegrasian yang sama seperti integrasi satu dimensi namun, integrasi yang digunakan membatasi daerah tidak hanya di sumbu x, melainkan juga di sumbu y, sehingga didapatkan batas-batas daerah f(x) seperti gambar berikut :

∆𝑣_𝑖,j = 𝑓(𝑥̅_𝑖, 𝑦̅_𝑖 )∆𝑥∆𝑦

𝑖=𝑀 𝑖=𝑁

𝐼 ≈ ∑ ∑ ∆𝑣_𝑖,j

𝐽=1 𝑖=1

This document was created by an application that isn’t licensed to usenovaPDF.

Purchase a license to generate PDF files without this notice.

CONTOH PROGRAM PADA FORTRAN

11

3. METODE SIMPHSON (1 dimensi)

• Metode aturan Simphson 1/3 mengasumsikan bahwa fungsi f(x) adalah fungsi polinomial kuadratik.

Nilai fungsi f(xi) diestimasikan dengan menggunakan interpolasi polinomial Lagrange dengan nilai fungsi lokasi sesudah dan sebelum, yaitu f(xi-1) dan f(xi+1).

Catatan : Untuk sub-interval N harus bilangan genap!

𝐼 ≈ ∆𝑥3 𝑓 𝑥₁ + 4𝑓 𝑥₂ + 2𝑓 𝑥₃ …+ 4𝑓 𝑥_𝑁 + 𝑓(𝑥_𝑁+1)

𝑥₁ = 𝑥_𝑎,𝑑𝑎𝑛 𝑥_𝑁+1 = 𝑥_𝑏,𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 ∆𝑥= 𝑥𝑎 − 𝑥𝑏 𝑁

This document was created by an application that isn’t licensed to usenovaPDF.

Purchase a license to generate PDF files without this notice.

CONTOH PROGRAM PADA FORTRAN

13

3. METODE SIMPHSON (2 dimensi)

• Metode aturan Simphson 1/3 juga dapat digunakan menghitung integrasi dua dimensi dari kurva f(x,y) pada area berbentuk persegi panjang dengan batas yb ≤ y ≤ ya, dan xb ≤y ≤ xa. Sub-interval dibagi menjadi sejumlah N, untuk axis dan sejumlah M untuk ordinat sehingga didapat ∆x dan ∆y.

𝑥₁ = 𝑥_𝑎,𝑑𝑎𝑛 𝑥_𝑁+1 = 𝑥_𝑏 ,𝑦₁ = 𝑦_𝑎,𝑑𝑎𝑛 𝑦_𝑁+1 = 𝑦_𝑏,𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎

Catatan : Untuk sub-interval N harus bilangan genap!

𝐼 ≈ ∆𝑥∆𝑦 9

𝑀+1 𝑁+1

∑ ∑ 𝑤_𝑖,j𝑓(𝑥_𝑖, 𝑦_𝑖)

j=1 𝑖=1

∆(𝑥, 𝑦) = 𝑥,𝑦 𝑎− (𝑥,𝑦)𝑏 𝑁

This document was created by an application that isn’t licensed to usenovaPDF.

Purchase a license to generate PDF files without this notice.

CONTOH PROGRAM PADA FORTRAN

15

Bagaimana mengubah

cara tampilan agar hanya hasil akhir muncul di yang

program?

16

METODE INTEGRASI MATLAB

FUNGSI-FUNGSI PADA MATLAB

• Trapz berfungsi menghitung integral satu dimensi dari suatu fungsi f(x) pada suatu daerah dengan batas dengan panjang interval.

• Integral berfungsi menghitung satu dimensi dari suatu fungsi

f(x) pada suatu batas. Fungsi ini menggunakan global adaptive quadrature.

• Integral2 berfungsi menghitung integral dua dimensi dari suatu

fungsi f(x,y) pada suatu area persegi panjang dengan batas

dan. Fungsi ini menggunakan global adaptive quadrature.

17

Bisakah kalian menjelaskan perbedaan dua cara dalam mengintegralkan di samping ?

18 Integral 2 dimensi pada Matlab

19

Dengan menerapkan dan memodifikasi algoritma yang telah dijabarkan sebelumnya,

buatlah empat program yang masing-masing bertujuan untuk menghitung :

Any questions?