1
Integral Numerik
Sunkar E. Gautama, 2013
http://paradoks77.blogspot.com
Integral numerik ialah metode untuk menghitung nilai integrasi suatu fungsi dalam suatu selang tanpa mempedulikan fungsi hasil integralnya dengan menggunakan metode numerik. Jadi, untuk menghitung nilai integral tentu 𝑓 𝑥 = 2𝑥2+ 5𝑥 − 3 terhadap 𝑥 secara numerik, tidak perlu mengetahui fungsi 𝐹(𝑥).
Dalam integral numerik, digunakan teorema integral tentu dari suatu fungsi 𝑓 𝑥 terhadap 𝑥 dalam selang [𝑎, 𝑏] sama dengan luas daerah di bawah kurva yang dibatasi oleh sumbu X, garis 𝑥 = 𝑎, dan 𝑥 = 𝑏. Dengan demikian, digunakan suatu metode untuk menghitung luasan di bawah kurva tadi, dengan pengandaian luas daerah tadi setara dengan suatu segiempat dengan panjang Δ𝑥 = 𝑏 − 𝑎 dan tinggi rata-rata ketinggian titik pada kurva, 𝑦 . Beberapa metode yang akan dibahas di bawah ini ialah metode trapesium, metode Simpson, dan metode Simpson 3/8, dengan perluasan integral komposit untuk kurva dengan loop yang tidak sederhana.
1. Metode Trapesium (trapezoidal rule)
Metode trapesium ialah metode yang paling sederhana diantara tiga metode yang dibahas di sini. Metode trapesium mengandaikan daerah luasan yang ditinjau berbentuk trapesium dengan panjang Δ𝑥 = 𝑏 − 𝑎 dan dipilih dua titik ketinggian yakni tinggi rusuk sejajar masing-masing 𝑓 𝑥0 = 𝑓(𝑎) dan 𝑓 𝑥1 = 𝑓(𝑏) yang berjarak ℎ = Δ𝑥.
Pada trapesium, 𝐿 = panjang × tinggi rata − rata = Δ𝑥 × 𝑦 Dengan 𝑦 =𝑤0𝑦0+𝑤1𝑦1
𝑤0+𝑤1 . 𝑤0 dan 𝑤1 masing-masing ialah pembobotan untuk tiap ketinggian titik yang diambil. Mengingat pada trapesium (dua sudut siku-siku) rusuk miringnya linier, maka pembobotannya seragam, yakni 𝑤0= 𝑤1= 1. Dengan demikian, luas daerah di bawah kurva ialah:
Luas = Δ𝑥 ×𝑦0+ 𝑦1
2 𝐼 = 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 =Δ𝑥 2 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑂(ℎ 3) 𝐼 = 𝑓(𝑥) 𝑥1 𝑥0 𝑑𝑥 =ℎ 2 𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥1 + 𝑂(ℎ 3) 2. Metode Simpson
Jika pada metode trapesium hanya diambil dua titik ketinggian, maka pada metode simpson diambil tiga titik ketinggian yang berjarak sama, ℎ =Δ𝑥
2 = 𝑎−𝑏
2 .
Tinggi rata-rata, 𝑦 =𝑤0𝑦0+𝑤1𝑦1+𝑤2𝑦2
𝑤0+𝑤1+𝑤2 . Titik tinggi yang berada di tengah mendapatkan bobot yang lebih tinggi, sebagaimana dapat dilihat bahwa ketinggian rata-rata cenderung mendekati ketinggian pada titik tengahnya. Menggunakan fungsi Lagrange orde-2:
𝑃2 𝑥 = 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2 𝑥0− 𝑥1 𝑥0− 𝑥2 𝑓 𝑥0 + 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥2 𝑥1− 𝑥0 𝑥1− 𝑥2 𝑓 𝑥1 + 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 𝑥2− 𝑥0 𝑥2− 𝑥1 𝑓 𝑥2 Di mana ℎ =𝑎−𝑏 2 , 𝑥0 = 𝑎, 𝑥1 = 𝑎 + ℎ, 𝑥2= 𝑏 = 𝑎 + 2ℎ. Dengan demikian 𝐼 = 𝑓(𝑥) 𝑥2 𝑥0 𝑑𝑥 = 𝑃2(𝑥) 𝑥2 𝑥0 𝑑𝑥 + 𝑅𝑠
Di mana Rs ialah suku yang mengandung galat komputasi, O(h5). Dari kedua persamaan di atas, diperoleh rumus integral Simpson
𝐼 = 𝑓(𝑥) 𝑥2 𝑥0 𝑑𝑥 =ℎ 3 𝑓 𝑥0 + 4𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 + 𝑂(ℎ 5) Dengan demikian, diperoleh pembobotan 𝑤0= 1, 𝑤1= 4, 𝑤2= 1.
3 3. Metode Simpson 3/8
Pada metode Simpson 3/8 dipilih empat titik ketinggian pada selang yang berjarak sama, ℎ =Δ𝑥
3 = 𝑎−𝑏
3 , sehingga 𝑥0= 𝑎, 𝑥1= 𝑎 + ℎ, 𝑥2 = 𝑎 + 2ℎ, 𝑥3= 𝑎 + 3ℎ = 𝑏. Ketinggian rata-rata ialah 𝑦 =𝑤0𝑦0+𝑤1𝑦1+𝑤2𝑦2+𝑤3𝑦3
𝑤0+𝑤1+𝑤2+𝑤3 , dengan 𝑤0= 1, 𝑤1= 3, 𝑤2=
3, 𝑤3= 1.
Luas daerah di bawah kurva:
𝐼 = 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = Δ𝑥 × 𝑦 + (galat) 𝐼 = 𝑓(𝑥) 𝑥3 𝑥0 𝑑𝑥 =3ℎ 8 𝑓 𝑥0 + 3𝑓 𝑥1 + 3𝑓 𝑥2 + 𝑓 𝑥3 + 𝑂(ℎ 5) 4. Metode Bode
Metode integral Bode menggunakan lima titik ketinggian yang berjarak sama, ℎ =Δ𝑥 4 = 𝑎−𝑏 4 dan tinggi rata-rata, 𝑦 𝑦 =𝑤0𝑦0+ 𝑤1𝑦1+ 𝑤2𝑦2+ 𝑤3𝑦3+ 𝑤4𝑣4 𝑤0+ 𝑤1+ 𝑤2+ 𝑤3+ 𝑤4 Dengan 𝑤0= 7, 𝑤1= 32, 𝑤2= 12, 𝑤3= 32, 𝑤4= 7, sehingga 𝐼 = 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = Δ𝑥 × 𝑦 + (galat) 𝐼 = 𝑓(𝑥) 𝑥4 𝑥0 𝑑𝑥 =2ℎ 45 7𝑓 𝑥0 + 32𝑓 𝑥1 + 12𝑓 𝑥2 + 32𝑓 𝑥3 + 7𝑓 𝑥4 + 𝑂(ℎ 7)
4 5. Integral Komposit
Metode integral komposit yaitu metode menghitung integrasi numerik suatu fungsi dengan membaginya dalam selang-selang tertentu menjadi segmen-segmen luasan sebanyak N, selanjutnya segmen-segmen tadi dihitung luasnya menggunakan metode trapesium atau Simpson kemudian dijumlahkan untuk menghitung integrasi fungsi. Karena pembagian menjadi segmen-segmen, menggunakan integral komposit mengaruskan kita membuat vektor yang merepresentasikan sumbu X. Makin banyak segmen yang dibuat maka solusi numerik yang diperoleh akan makin mendekati solusi sebenarnya.
𝐼 = 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) 𝑥1 𝑥0 𝑑𝑥 + 𝑓(𝑥) 𝑥2 𝑥1 𝑑𝑥 + ⋯ + 𝑓(𝑥) 𝑥𝑛 𝑥𝑛 −1 𝑑𝑥 Jika luasan tiap segmen dihitung menggunakan metode trapesium, diperoleh:
𝐼 =ℎ 2 𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥1 + ℎ 2 𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 + ⋯ + ℎ 2 𝑓 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 𝐼 =ℎ 2 𝑓 𝑥0 + 2 𝑓(𝑥𝑖) 𝑛−1 𝑖=1 + 𝑓(𝑥𝑛)
Misalkan kita ingin menghitung integral fungsi 𝑓(𝑥) dalam selang (𝑎, 𝑏) dengan pembagian selang menjadi 100 upaselang (ingat, 100 upaselang berarti ada 100+1 titik). Berikut algoritmanya:
1) a batas bawah; // definisikan batas bawah integrasi 2) b batas atas; // definisikan batas atas integrasi 3) h = (b – a)/100; // definisi lebar upaselang
4) x0 = a // membuat vektor X
for i = 1, i <= 100 // bernilai awal a, naik dengan beda h, hingga b xi = x0 + h;
yi = f(xi); // membuat vektor Y (hasil fungsi) end
5) for i = 0, i < 100 // perulangan dari i = 0 hingga 99 ui = (h/2)*(fi + fi+1) // menghitung luasan segmen end
6) L0 = 0 // menghitung luas total segmen for i = 1, i <= 100
Li = Li-1 + ui-1; end
7) I = L100 // diperoleh hasil integrasi = luas total
Jika program/bahasa pemrograman yang digunakan mendukung fungsi barisan, maka poin (4) dapat diganti dengan “x = a:h:b”, atau dalam Matlab menyediakan fungsi “x = linspace(a,b,101)”. Jika program menyediakan fungsi sumasi, maka poin (7) dan (8) dapat dihilangkan dan diganti menjadi “I = sum(y)”
Patut diingat pula indeks yang digunakan, apakah berjalan dari 0 ataukah dari 1. Pada algoritma di atas, indeks berjalan dari nol, sehingga vektor X = (x0 x1 x2 … x100), jika indeks berjalan dari satu, maka vektor X akan menjadi X = (x1 x2 x3 … x101)
5 Lampiran:
1. Contoh program integral numerik dengan metode Simpson menggunakan bahasa C++: Fungsi: 𝑦 𝑥 = 2𝑥2+ 5𝑥 − 3.
//Integral Numerik Simpson by skaga
#include<iostream>
using namespace std; int main()
{
int i, kol=3;
float x[kol], y[kol], a, b, deltax, h , ratay, L; char off;
cout << "Masukkan batas bawah (a) : "; cin >> a;
cout << "Masukkan batas atas (b) : "; cin >> b;
deltax = b - a; h = deltax/2;
x[0] = a, x[1] = a+h, x[2] = a+2*h; for (i=0; i<3; i++){
y[i]=2*x[i]*x[i] + 5*x[i] - 3; // masukkan fungsi
}
ratay = (y[0] + 4*y[1] + y[2])/6; L = deltax*ratay;
cout << "integral y(x) = " << L << '\n'; cin >> off;
return 0; }
6
2. Contoh program integral numerik metode Simpson 3/8 menggunakan Matlab:
3. Contoh perhitungan integral numerik metode trapesium komposit menggunakan MS Excel. 𝑦 𝑥 = 𝑥2sin 𝑥 ; 𝑎 = 2, 𝑏 = 3, ℎ = 0.1
i x(i) y(i) y(i-1) + y(i) (h/2)*(x(i-1) + x(i))
0 2 3.6371897 1 2.1 3.8067533 7.443943014 0.372197151 2 2.2 3.9131226 7.719875901 0.385993795 3 2.3 3.9447806 7.857903167 0.392895158 4 2.4 3.8906679 7.835448492 0.391772425 5 2.5 3.7404509 7.631118821 0.381555941 6 2.6 3.4847893 7.225240174 0.361262009 7 2.7 3.1155993 6.6003886 0.33001943 8 2.8 2.6263071 5.741906424 0.287095321 9 2.9 2.0120869 4.638393956 0.231919698 10 3 1.2700801 3.282166931 0.164108347 sum 3.298819274
% Integral numerik dengan metode Simpson 3/8 a = input('masukkan batas bawah = ');
b = input('masukkan batas atas = '); deltax = b - a;
h = deltax/3;
x = [a (a+h) (a+2*h) b];
y = input('masukkan fungsi y=f(x) : '); y = [1 3 3 1].*y;
ratay = sum(y)/8; L = deltax*ratay;
fprintf('integral fungsi y(x) dari x = %g hingga x
= %g ialah %g \n', a, b, L);
𝑥2sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥2cos 𝑥 + 2𝑥 sin 𝑥
+ 2 cos 𝑥 + 𝐶
Metode analitik memberikan solusi
Sehingga 𝑥23 2sin 𝑥𝑑𝑥 = 3,30719 …
Dengan program Matlab pada lampiran 2, diperoleh hasil I = L = 3,3091.
7 4. Contoh program plot integral numerik fungsi
Panas jenis zat padat sebagai fungsi temperatur berdasarkan model Debye diberikan oleh fungsi 𝐶𝑉 𝑇 = 9𝑁𝑘 𝑇3 𝜃𝐷3 𝑥4𝑒𝑥 𝑒𝑥 − 1 2 𝜃𝐷/𝑇 0 𝑑𝑥
Dengan 𝜃𝐷 temperatur Debye (konstanta), N jumlah atom, dan k tetapan Boltzmann. Plot fungsi
CV terhadap T dibuat dengan memerikan vektor T, memasukkan fungsi dan mengintegralkannya, kemudian diplot. Berikut programnya menggunakan Matlab.
Daftar Pustaka:
Suarga, Fisika Komputasi: Solusi Problema Fisika dengan Matlab, Penerbit ANDI, Yogyakarta, 2005
% Perhitungan Panas Jenis Zat Padat model Debye menggunakan Simpson 3/8
% @Sunkar Eka Gautama, 2011
clear;
theta = input('nilai theta(Debye) = ');
batasatas = input('batas atas temperatur = ');
T = linspace(0,batasatas/theta,300); % T = T/theta t = 1./T; h = t/3; a = 0.*h; b = h; c = 2*h; d = 3*h; y = (3.*h./8).*(0 + 3.*(b.^4.*exp(b)./(exp(b)-1).^2)... + 3.*(c.^4.*exp(c)./(exp(c)-1).^2) + (d.^4.*exp(d)./(exp(d)-1).^2)); Y = 9.*T.^3.*y; plot(T,Y);
title('Kurva Panas Jenis Zat Padat (CV) Model Debye');
