MODUL PRAKTIKUM
ANALISIS SINYAL GEOFISIKA
Disusun Oleh:
Intan Andriani Putri, S.Si., M.T
SHORT TIME FOURIER TRANSFORM (STFT)
PROGRAM STUDI TEKNIK GEOFISIKA JURUSAN TEKNOLOGI PRODUKSI DAN INDUSTRI
INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA 2021
TUJUAN Mahasiswa mampu:
1. Melakukan STFT
2. Mengamati pengaruh bentuk, panjang, dan posisi window yang digunakan pada STFT
WINDOWED FOURIER TRANSFORM
Transformasi Fourier merupakan metode dasar dalam analisa sinyal. Namun, metode ini memiliki keterbatasan. Ketika sinyal ditransformasi, semua kandungan frekuensi dapat diidentifikasi dengan baik, namun tidak dapat memberikan informasi kapan komponen frekuensi tersebut hadir.
Gambar 1 mengilustrasikan kasus ini. Terlihat bahwa sinyal S(t) tersusun dari berbagai komponen frekuensi yang muncul pada waktu yang berbeda – beda. Bagian awal mengandung frekuensi tinggi dan relatif lebih rendah di bagian tengah. Jika sinyal tersebut merepresentasikan musik, bagian awal akan menghasilkan nada tinggi dan bagian tengah menghasilkan nada rendah.
transformasi Fourier memberikan informasi frekuensi ini, namun tidak dengan waktu frekuensi tersebut muncul.
(a)
(b)
Gambar 1 (a) sinyal S(t) dan (b) transformasi Fouriernya.
Sebuah metode muncul untuk mendapatkan informasi tentang waktu dan frekuensi secara bersamaan. Gambar 2 memperlihatkan pendekatan sederhana untuk membagi sinyal S(t) pada gambar sebelumnya kedalam beberapa frame. Sinyal S(t) dibagi ke dalam beberapa window waktu
yang lebih kecil. Transformasi Fourier dilakukan untuk setiap window waktu untuk mengetahui frekuensi yang ada pada tiap frame (Gambar 3).
Gambar 2 Sinyal S(t) yang dibagi menjadi empat frame
(a) (b)
(c) (d)
Gambar 3 Transformasi Fourier dari sinyal S(t) yang didekomposisi menjadi empat frame waktu (a), (b), (c), dan (d)
III.3 Short – Time Fourier Transform
Keterbatasan penerapan transformasi Fourier secara langsung dan ketidak mampuan lokalisasi sinyal dalam domain waktu dan frekuensi secara bersamaan telah disadari sejak awal dalam pengembangan radar dan deteksi sonar. Gabor Denes pertama kali mengusulkan metode formal untuk melokalisasi sinyal dalam domain waktu dan frekuensi. Metodenya memodifikasi transformasi Fourier kernel. Gabor memperkenalkan kernel:
𝑤𝑡,𝜔(𝜏)= 𝑒𝑖𝜔𝜏𝑤(𝑡 − 𝜏) ... (4)
Di mana Fourier kernel 𝑤(𝑡 − 𝜏) diperkenalkan untuk lokalisasi dalam waktu dan frekuensi.
Transformasi ini juga dikenal sebagai Short – Time Fourier Transform (STFT). Gambar 4 mengilustrasikan skema filter waktu pada STFT. Window memiliki pusat di 𝜏 dengan lebar a.
kandungan frekuensi diekstrak dan 𝜏 dimodifikasi untuk mendapatkan frekuensi pada window lainnya. Integrasi terhadap 𝜏 menggeser time – filtering window sepanjang sinyal untuk memperoleh informasi frekuensi pada tiap rentang waktu tertentu.
Beberapa asumsi matematis digunakan dalam STFT. Fungsi window w diasumsikan sebagai fungsi real dan simetri dengan ‖𝑤(𝑡)‖ = 1 dan ‖𝑤(𝑡 − 𝜏)‖ = 1 di mana ‖. ‖ merupakan L2 norm.
Sehingga STFT didefinisikan sebagai:
𝑋(𝑓) = ∑𝑁−1𝑛=0𝑥(𝑡) 𝑤(𝑡 − 𝜏)𝑒−𝑖2𝜋𝑘𝑛𝑁 ... (5)
Gambar 4 Ilustrasi STFT dalam mengekstrak kandungan frekuensi dan waktu dari sinyal. Titik tengah window 𝑔(𝜏 − 𝑡) pada 𝜏 dengan lebar a
(a) (b) (c)
Gambar 5 Ilustrasi perbedaan analisa time series (a), analisa Fourier (b), dan analisa Gabor (c).
Gambar 5 mengilustrasikan ide dasar dari analisa time series, transformasi Fourier, dan STFT dari suatu sinyal. Pada metode time series, resolusi yang baik diperoleh sinyal pada domain waktu, namun tidak memiliki resolusi frekuensi. Analisa Fourier meresolusi domain frekuensi dengan baik namun kehilangan resolusi waktu. STFT mengkompromikan akurasi untuk memperoleh resolusi pada kedua domain secara bersamaan.
Terdapat tiga hal yang perlu diperhatikan dalam melakukan windowing pada STFT yaitu:
1. Bentuk window
Bentuk window yang dipilih harus dapat membawa sinyal menuju nol pada ujung – ujungnya. Hal ini dilakukan karena transformasi Fourier sebenarnya menganggap sinyal sebagai sesuatu yang periodik. Ujung sinyal pertama akan dilanjutkan dengan awal sinyal periode kedua dan seterusnya. Jika terdapat perubahan nilai amplitudo yang sangat besar, maka transformasi Fourier akan mengganggapnya sebagai komponen frekuensi tinggi dan menyebabkan Spectral Leackage.
2. Panjang window
Panjang window dipilih sedemikian hingga sinyal yang ada pada rentang window tersebut statisioner. Pemilihan panjang window juga akan memberikan trade-off resolusi frekuensi dan waktu. Window terlalu pendek akan memberikan resolusi frekuensi yang buruk sedangkan window terlalu panjang akan memberikan cuplikan sinyal yang non-stationer dan resolusi waktu yang buruk.
3. Posisi window
Dengan memilih bentuk window yang membawa sinyal menuju nol pada ujung – ujungnya, konsekuensi yang diperoleh adalah ada nilai amplitude pada ujung – ujung potongan sinyal menjadi berubah. Perubahan ini dapat dikompensasi melalui overlap yang dilakukan antar cuplikan sinyal.
III.4 Hamming Window
Hamming window adalah hasil modifikasi dari Hanning window dengan pendekatan nilai 𝛼 = 0,54. Pendekatan tersebut berhasil menekan efek sidelobe yang ada pada Hanning window.
Hamming window memiliki persamaan:
𝑤(𝑛) = 0,54 − 0,46 cos (2𝜋𝑛
𝑁 ) , 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 ... (6) Dengan panjang window
𝐿 = 𝑁 + 1
Bentuk dari Hamming window diberikan oleh Gambar 6
(a) (b)
Gambar 6. Hamming window (a) dalam domain waktu dan (b) dalam domain frekuensi
A. TUGAS PENDAHULUAN
1. Apa perbedaan STFT dengan Transformasi Fourier pada umumnya 2. Jelaskan apa itu sinyal Chirp
3. Jelaskan pengaruh panjang, bentuk, dan posisi window pada hasil STFT
B. PRAKTIKUM
B.1 SHORT TIME FOURIER TRANSFORM (STFT) MENGGUNAKAN RECTANGLE WINDOW
Pada bagian ini kita akan mengamati time – frequency resolution trade-off dalam STFT. Fenomena tersebut diamati dengan melakukan STFT terhadap sinyal Chirp yang mengalami penurunan frekuensi sepanjang waktu dari 100 𝐻𝑧 menjadi 0 𝐻𝑧 dalam selang waktu 1 𝑠. Sinya tersebut memiliki sampling frequency sebesar 1000 𝐻𝑧.
1. Buat sinyal Chirp linear dengan menjalankan script berikut pada Editor:
%% Chirp
dt = 1/1e3;
fs = 1/dt;
t = 0:dt:1;
x = chirp(t,100,1,0);
2. plot sinyal yang dibuat dengan menjalankan script berikut pada Editor:
%% Plot signal figure(1) plot(t,x,'b')
title('sinyal input') ylabel('Amplitude') xlabel('time')
hingga diperoleh Gambar 7 dibawah.
Gambar 7. Linear Chirp signal
3. Tentukan panjang window rectangle yang akan digunakan dan posisi perpindahan window dengan menjalankan script berikut pada Editor:
%% Define window parameter wlen = 32;
hop = wlen;
4. Lakukan STFT dengan menjalankan script berikut pada Editor:
%% Perform stft nfft = wlen;
[X, f, ts] = stftr(x,wlen,nfft,hop,fs);
A_X = abs(X);
5. Plot spectrogram yang diperoleh dengan menjalankan script berikut pada Editor:
%% Plot spectrogram figure(2)
surf(ts,f,A_X,'EdgeColor','none');
axis xy; axis tight; colormap(jet); view(0,90);
title('Spectrogram Rectangle Window L32') ylabel('Frequency')
xlabel('time')
hingga diperoleh gambar 8 dibawah
Gambar 8. Spectrogram STFT menggunakan rectangle window dengan panjang 32 6. Amati hasil yang diperoleh dan tulis hasilnya pada laporan sementara
7. Lakukan hal yang sama dengan menggunakan panjang window berbeda: 8;16;64;128;
dan 256 lalu amati hasilnya dan tulis pada laporan akhir
B.2 SHORT TIME FOURIER TRANSFORM (STFT) MENGGUNAKAN HAMMING WINDOW
1. Pada langkah 4 (B.1) ganti script berikut:
[X, f, ts] = stftr(x,wlen,nfft,hop,fs);
Menjadi:
[X, f, ts] = stft(x,wlen,nfft,hop,fs);
Sehingga diperoleh gambar 9 berikut
Gambar 9. Spectrogram STFT menggunakan hamming window dengan panjang 32
2. Amati hasil yang diperoleh dan tulis hasilnya pada laporan sementara
3. Lakukan hal yang sama dengan menggunakan panjang window berbeda: 8;16;64;128; dan 256 lalu amati hasilnya dan tulis pada laporan akhir
4. Pada parameter window, ganti parameter hop menjadi 3
4 panjang window (overlap 75%). Hingga diperoleh hasil berikut:
Gambar 10. Spectrogram STFT menggunakan hamming window dengan panjang 32 dan overlap 75%.
5. Amati hasil yang diperoleh dan tulis hasilnya pada laporan sementara
6. Lakukan hal yang sama dengan menggunakan panjang window berbeda: 8;16;64;128; dan 256 lalu amati hasilnya dan tulis pada laporan akhir.
