Tahun 2006
Analisis Real 15 Mei 2006 Waktu: 90 Menit
Petunjuk pengerjaan:
1. Tes ini terdiri dari dua bagian. Bagian Pertama terdiri dari 8 soal, sedangkan Bagian Kedua terdiri dari 3 soal.
2. Untuk soal-soal Bagian Pertama, tuliskan hanya jawaban akhir saja pada kotak yang disediakan. Jawaban yang dikehendaki adalah jawaban benar yang terbaik.
3. Untuk soal-soal Bagian Kedua, tuliskan jawaban Anda lengkap dengan argumentasi dan penjelasan.
4. Setiap soal pada Bagian Pertama bernilai 2 angka, sedangkan setiap soal pada Bagian Kedua bernilai 8 angka.
5. Waktu tes adalah waktu total untuk kedua bagian. Selama waktu itu, Anda boleh menyelesaikan soal mana pun.
6. Gunakan pena atau pulpen. Pensil hanya boleh digunakan untuk gambar atau sketsa.
7. Jika tempat yang tersedia tidak mencukupi, gunakan halaman di belakangnya.
8. Bekerjalah dengan cepat dan cermat. Anda sama sekali tidak diperkenankan menggunakan penghapus cair.
9. Di akhir tes, kumpulkan berkas soal ini secara utuh.
2
Nama: Univ./PT :
BAGIAN PERTAMA
1. Supremum dan infimum dari himpunan 𝐴 = {𝑚
𝑛 +8𝑛
𝑚 ∶ 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ}
dengan ℕ menyatakan himpunan bilangan asli adalah ...
2. Berapa banyak akar persamaan 𝑎𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2
2 untuk 𝑎 > 0?
3. Misalkan 𝑓 terdiferensialkan secara kontinu di 𝑥 = 𝑎 dan 𝑓(𝑎) ≠ 0. Tentukan nilai dari
𝑛→∞lim (𝑓 (𝑎 +1 𝑛) 𝑓(𝑎) )
𝑛
4. Berapakah nilai 𝑝 agar deret
∑ (1
𝑛− sin1 𝑛)
∞ 𝑝
𝑛=1
konvergen?
5. Misalkan fungsi-fungsi 𝑓 dan 𝑔 kontinu pada [𝑎, 𝑏] dan terdiferensialkan pada (𝑎, 𝑏). Jika 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) ≠ 0 untuk semua 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) dan 𝑔(𝑎) = 𝑎, 𝑔(𝑏) = 𝑏, tentukan nilai
|𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)|.
Nama: Univ./PT :
6. Misalkan 𝑃𝑛(𝑥) polinom Maclaurin untuk fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥. Berapakah derajat polinom (𝑛) terkecil sehingga
|𝑒𝑥− 𝑃𝑛(𝑥)| ≤ 10−2 untuk −1 ≤ 𝑥 ≤ 1?
7. Hitunglah nilai
𝑛→∞lim ∫ 𝑥𝑛 cos 𝑥 d𝑥
1
0
8. Diberikan fungsi 𝑓 terdiferensialkan pada ℝ. Jika
𝑥→0lim𝑓 (𝑎
𝑥+ 𝑏) ada dan tak nol serta lim
𝑥→0(𝑓 (𝑎
𝑥+ 𝑏) −
𝑎 𝑥𝑓′(𝑎
𝑥+ 𝑏)) = 𝑎, maka berapakah nilai lim
𝑥→∞𝑓(𝑥)?
4
Nama: Univ./PT :
BAGIAN KEDUA
1. Diberikan barisan (𝑥𝑛) dengan 0 = 𝑎 = 𝑥1 < 𝑥2 = 𝑏 dan 𝑥𝑛+2 = 𝑥𝑛+1+ 𝑥𝑛, 𝑛 = 1, 2, 3, ⋯
Tinjau barisan (𝑟𝑛) dengan 𝑟𝑛 = 𝑥𝑛+1
𝑥𝑛 , 𝑛 = 1, 2, 3, ⋯ a. Tunjukkan bahwa 1 < 𝑟𝑛 < 2 untuk 𝑛 = 2, 3, 4, ⋯ b. Selidiki kekonvergenan (𝑟𝑛).
2. Misalkan 𝑓 ∶ [𝑎, 𝑏] ∈ ℝ terbatas. Variasi total dari 𝑓 pada [𝑎, 𝑏] ditulis 𝑉𝑓[𝑎, 𝑏]
didefinisikan sebagai
𝑉𝑓[𝑎, 𝑏] = sup ∑ |𝑓(𝑥𝑖) − 𝑓(𝑥𝑖−1)|
𝑛
𝑖=1
Dengan nilai supremum diambil atas semua partisi 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑏 dari [𝑎, 𝑏]. Di sini 𝑉𝑓[𝑎, 𝑏] dapat bernilai ∞.
a. Hitung/taksir 𝑉𝑓[0, 1] untuk 𝑓(𝑥) = 𝑥 cos1
𝑥
b. Hitung/taksir 𝑉𝑔[0, 1] untuk 𝑔(𝑥) = 𝑥2cos1
𝑥
6
Nama: Univ./PT :
3. Diberikan barisan fungsi real (𝑓𝑛), 𝑓𝑛 ∶ [0, 2] ∈ ℝ dengan 𝑓𝑛(𝑥) = 𝑥𝑛
1 + 𝑥𝑛, 𝑛 = 1, 2, 3, ⋯
a. Buktikan (𝑓𝑛) tidak konvergen seragam pada [0, 2].
b. Tentukan lim
𝑛→∞𝑓𝑛(𝑥) ∶ 𝑥 ∈ [0, 2].
