Operasi Matematika Dasar

OPERASI MATEMATIKA

(pertemuan 3)

1. Pecahan Sebenarnya

Pembagian atas dua bilangan bulat yang mempunyai nilai lebih kecil daripada satu (< 1). Hal ini menunjukan bahwa pembilang lebih kecil daripada penyebut

Contoh :

1 2

2 3

3 4

5

6

, dan sebagainya 2. Pecahan tak Sebenarnya

Pembagian atas 2 bilangan bulat yang memiliki nilai yang sama dengan atau lebih besar dari pada satu (> 1). Hal ini menunjukkan bahwa pembilang sama dengan atau lebih besar dari penyebutnya.

Contoh :

2 2 , 4

3 , 9

4

dan sebagainya 3. Pecahan campuran

Penjumlahan dari suatu bilangan bulat yang lebih besar nol dan bilangan pecahan sebenarnya.

Contoh :

1 2 3 ,5 1

3 ,23 1

4

, dan sebagainya

PANGKAT

Jika a dan b bilangan real, m dan n dan bilangan bulat maka:

1.

a

^m

× a

ⁿ

=a

^{m+n Contoh}

3

²

× 3

⁴

=3

²⁺⁴

=3

⁶

=729

2.

a^m

¿

¿¿

3.

a

^m

a

ⁿ

=a

^m−n 4.

a

b

n

= a

ⁿ

b

ⁿ 5.

(ab)

ⁿ

= a

ⁿ

b

ⁿ 6. a⁰=1 7.

a

1

n

= √

ⁿ

a

^contoh

27

1

3

= √

³

27=3

8. a

b

c=

√

^{cab contoh 8}

2

3=

√

³⁸²⁼⁴

9.

a

⁻ⁿ

= 1

a

^{n contoh}

5

⁻⁴

= 1 5

⁴

= 1

625

LOGARITMA

FUNGSI NON LINEAR

(pertemuan 4)

A. Bentuk Umum

Fungsi kuadrat merupakan fungsi polinom berderajat dua dengan kurvanya berbentuk parabola atau kurva kuadratik (quadratic curve). Dalam bentuk persamaan, secara umum persamaan kuadrat dituliskan :

Y = aX² + bX + C

Dimana, X = variabel terikat Y = variabel bebas

a, b dan c = konstanta , a ≠ 0

selain bentuk persamaan diatas, ada juga bentuk lain, yaitu X = aY² + bY + C

B. Akar-Akar Persamaan Kuadrat 1. Faktorisasi

Tentukan akar-akar Persamaan Kuadrat x² – 6x + 8 = 0 Penyelesaian :

x² – 6x + 8 = 0 (x – 2)(x – 4) = 0

x – 2 = 0 atau x – 4 = 0 x = 2 x = 4 Jadi akar-akar Persamaan Kuadrat x² – 6x + 8 = 0

adalah x1 = 2 dan x2 = 4

2. Rumus ABC

Akar-akar Persamaan Kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah

X_1,2=−b ±

√

^{b2−4.a . c}

2.a

Bentuk b² – 4ac dinamakan dengan Diskriminan (D) Tentukan akar-akar Persamaan Kuadrat 0 = 3 + 2X – X²

Penyelesaian :

Dik a = - 1 , b = 2 , c = 3

X

_1,2

= −2 ± √ 2

²

−4.(−1).3

2.(−1) X

_1,2

= −2 ± √ 4+12

−2 X

₁

= −2+ √ 16

−2 =−1 X

₂

= −2− √ 16

−2 =3

Jadi akar-akar Persamaan Kuadrat 0 = 3 + 2X – X²

Adalah -1 dan 3

C. Sifat-sifat fungsi/persamaan kuadrat

Pada fungsi kuadrat y = ax² + bx + c dengan D = b² – 4ac maka :

a. Sifat fungsi pada nilai a (koefisien variabel x2 ) :

• Jika a > 0 maka grafik membuka ke atas (nilai ekstrim minimum)

• Jika a < 0 maka grafik membuka ke bawah (nilai ekstrim maksimum)

b. Diskriminan (D) :

• Jika D > 0 ada 2 akar nyata (grafik memotong sumbu x di 2 titik)

• Jika D = 0 ada 1 akar kembar (grafik menyinggung sumbu x di 1 titik)

• Jika D < 0 tidak ada akar nyata (grafik tidak menyentuh sumbu x)

c. Persamaan Sumbu Simetri

X = −b 2 a

d. nilai ekstrim

Y = D

−4 a

e. Titik ekstim mempunyai koordinat

( −b 2 a , D

−4 a )

D. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat Tahap menggambar grafik fungsi kuadrat :

1. Menentukan koordinat titik potong pada sumbu X, dimana Y = 0

Pada tahap ini , dengan kata lain menentukan akar-akar.

Untuk menentukan akar-akar dari fungsi kuadrat dengan menggunakan rumus ABC

X_1,2=−b ±

√

^{b2−4.a . c}

2.a

2. Menentukan koordinat titik potong pada sumbu Y, dimana

3. X =0  Y = C

4. Menentukan koordinat titik balik/titik puncak

(

^−b2a ,b²−4.a . c

−4a

)

Contoh 1:

Gambar grafik dari persamaan Y = 3 + 2X – X²

Penyelesaian :

a = - 1 , b = 2 , c = 3

1. Titik Potong Sumbu Y  X = 0 Y = 3 + 2X – X²

Y = 3 + 2(0) – (0)² Y = 3

 (3, 0)

2. Titik Potong Sumbu X  Y =0

X

_1,2

= −2 ± √ 2

²

−4.(−1).3

2.(−1) X

_1,2

= −2 ± √ 4+12

−2 X

₁

= −2+ √ 16

−2 =−1 X

₂

= −2− √ 16

−2 =3

Koordinat (3, 0) dan (-1, 0) 3. Titik Puncak

( −b 2 a , b

²

−4. a . c

−4 a )

( 2(−1) − 2 , 22− −4 4. (−1) (−1 ) .3 )

(1 ,4 )

Contoh 2 :

Gambar grafik dari persamaan X = Y² – Y – 6

Penyelesaian :

(1, 4)

(0,3)

(3,0) (-1,0)

a = 1 , b = -1 , c = -6

1. Titik Potong Sumbu X  Y = 0 X = Y² – Y – 6

X = (0)² – (0) – 6 X = -6

 (-6, 0)

2. Titik Potong Sumbu Y  X =0

Y

_1,2

= −(−1) ± √ (−1)−4. (1) . (−6)

2. (1) Y

₁

= 1+ 5

2 =3 Y

₂

= 1−5

2 =−2

Koordinat (3, 0) dan (-2, 0)

3. Titik Puncak

(

^b2−−4^4.a^{a . c},−b 2a

)

( (−1)2−4. −4 (1) (1) .(−6) , −(−1) 2( 1) )

( −25 4 , 1

2 )