Dokumen Aktif Teori Ring

(1)

Teori Ring Teori Ring

II

RING DAN LAPANGAN RING DAN LAPANGAN

(RING AND FIELDS) (RING AND FIELDS)

Definisi dan Beberapa Contoh Ring Definisi dan Beberapa Contoh Ring

Pada teori group, kita hanya mengenal satu operasi, yang dalam struktur Pada teori group, kita hanya mengenal satu operasi, yang dalam struktur aljabar hanya mengenal satu operasi pada sembarang himpunan yang tak kosong aljabar hanya mengenal satu operasi pada sembarang himpunan yang tak kosong yang memenuhi sifat-sifat tertentu. Struktur aljabar yang terdiri dari himpunan tak yang memenuhi sifat-sifat tertentu. Struktur aljabar yang terdiri dari himpunan tak kosong dan menggunakan dua operasi biner tambah dan kali dinotasikan secara kosong dan menggunakan dua operasi biner tambah dan kali dinotasikan secara berturut-turut

berturut-turut + + dandan

••

dinamakan dinamakan Ring Ring. Pada bagian ini akan kita membahas ring,. Pada bagian ini akan kita membahas ring, dan beberapa jenis-jenis ring diantaranya daerah integral (Integral Domain dan dan beberapa jenis-jenis ring diantaranya daerah integral (Integral Domain dan Lapangan).

Lapangan).

Definisi (Ring).

Suatu ring (

Suatu ring ( R R,+,,+,

••

) adalah himpunan) adalah himpunan R R bersama dengan dua operasi biner bersama dengan dua operasi biner + dan

+ dan

••

. Yang dibaca dengan tambah dan kali yang didefinisikan pada. Yang dibaca dengan tambah dan kali yang didefinisikan pada R R sedemikian sehingga sifat-sifat berikut berlaku.

sedemikian sehingga sifat-sifat berikut berlaku.

1.

1. << R R,+> merupakan grup abelian (group komutatif),+> merupakan grup abelian (group komutatif) 2.

2. ((aa

••

bb))

∈ ∈

R R 3.

3. aa

••

₍₍bb

••

cc) = () = (aa

••

bb))

••

cc 4.

4. aa

••

₍₍bb + +cc) =) =aa

••

bb + + aa

••

cc dan ( dan (bb + + cc ) )

••

aa = = bb

••

aa + + cc

••

aa Catatan:

Catatan:

(i)

(i) Untuk pembahasan selanjutnya, penulisanUntuk pembahasan selanjutnya, penulisan aa

••

bb sering ditulis ab bila operasi sering ditulis ab bila operasi

••

merupakan perkalian yang kita kenal sehari-hari merupakan perkalian yang kita kenal sehari-hari dandan aa+ (-+ (-bb) ditulis) ditulis aa--bb..

(ii)

(ii) Identitas operasi jumlah pada ring (Identitas operasi jumlah pada ring ( R R, +,, +,

••

) disimbolkan dengan “0” dan) disimbolkan dengan “0” dan disebut unsur nol dari ring.

disebut unsur nol dari ring.

(iii)

(iii) Invers penjumlahan dariInvers penjumlahan dari aa didi R R disimbol – disimbol – aa dan disebut unsur negatif dari dan disebut unsur negatif dari a

a..

(2)

(iv)

(iv) Jika kita mengatakan bahwaJika kita mengatakan bahwa R R ring, yang dimaksud adalah ring, yang dimaksud adalah R R adalah adalah himpunan tak kosong dengan dua operasi biner + dan

himpunan tak kosong dengan dua operasi biner + dan

••

sedemikian sedemikian sehingga (

sehingga ( R R, +,, +,

••

) ring.) ring.

Beberapa Contoh Beberapa Contoh

Contoh: Berikut ini adalah contoh himpunan tak kosong yang merupakan ring Contoh: Berikut ini adalah contoh himpunan tak kosong yang merupakan ring dengan operasi yang diberikan

dengan operasi yang diberikan 1)

1)

<<

ZZ, + ,, + ,

•• >>

6)6)

<<

MM_(2,Z)_(2,Z), + ,, + ,

•• >>

2)

<<

QQ, + ,, + ,

•• >>

7)7)

<<

ZZ[[

√√

2], + ,2], + ,

•• >>

3)

<<

R, + , R, + ,

•• >>

8)8)

<<

f f R R , + ,, + ,

•• >>

4)

<<

_{C, + ,}_{C, + ,}

•• >>

₉₎₉₎

<<

R RxxS S , + ,, + ,

•• >>

_{, dengan}_{, dengan} R R dan dan S S

masing-masing merupakan ring masing-masing merupakan ring 5)

5)

<<

Z Znn, + ,, + ,

•• >>

••

Jika pada ringJika pada ring R R, terdapat unsur 1 sedemikian sehingga, terdapat unsur 1 sedemikian sehingga aa

••

_{1 = 1}_{1 = 1}

••

aa = = aa,,

∀

aa

∈ ∈

R R, maka, maka R R adalah Ring dengan unsur kesatuan (Ring with unit adalah Ring dengan unsur kesatuan (Ring with unit .element.)

.element.)

••

Jika pada ringJika pada ring R R, berlaku sifat, berlaku sifat aa

••

bb == bb

••

aa,,

∀ ∀

aa,,bb

∈ ∈

R R, maka, maka R R dikatakan dikatakan Ring Komutatif

Ring Komutatif ( (Comutative RingComutative Ring).).

Teorema 1.

Teorema 1. Misalkan Misalkan R R ring, 0 adalah unsur nol di ring, 0 adalah unsur nol di R R dan dan aa,,bb,,cc

∈ ∈

R R (a)

(a) 00aa = =aa0 = 00 = 0 (b)

(b) aa(-(-bb) = (-) = (-aa))bb = -( = -(abab)) (c)

(c) (-(-aa)(-)(-bb) =) =abab (d)

(d) aa((bb – –cc) =) = abab – –acac dan ( dan (aa – –bb))cc = = acac – –bcbc..

Jika

Jika R R mempunyai unsur kesatuan, maka mempunyai unsur kesatuan, maka (e)

(e) (-1)(-1)aa = - = -aa (f)

(f) (-1)(-1) = 1(-1)(-1) = 1 Bukti

Bukti

(3)

Teori Ring Teori Ring

Misalkan

Misalkan R R ring dengan operasi tambah dan kali, serta misalkan bahwa identitas ring dengan operasi tambah dan kali, serta misalkan bahwa identitas untuk operasi jumlah dan kali berturut-turut adalah 0 dan 1, maka

untuk operasi jumlah dan kali berturut-turut adalah 0 dan 1, maka

∀ ∀

aa,, bb,,cc

∈ ∈

R, kitaR, kita peroleh:

peroleh:

(a)

(a) kita dapat menulis,kita dapat menulis, a

a0 =0 =aa(0 (0 + + 0) 0) [ [ sifat sifat unsur unsur 0 0 didi R R ] ] a

a0 =0 =aa0 +0 +aa0 0 [ [ sifat sifat distribusi distribusi kanan kanan ]]

0 +

0 +aa0 =0 =aa0 +0 +aa0 0 [ [ sifat sifat unsur unsur 0 0 didi R R ] ] a

a0 0 = = 0 0 [ [ karena karena R R grup grup terhadap terhadap +, +, maka maka – – aa0 di R, tambahkan0 di R, tambahkan kedua ruas dengan –

kedua ruas dengan – aa0 ]0 ] Dengan cara sama, 0

Dengan cara sama, 0aa = (0 + 0) = (0 + 0)aa = = 00aa + + 00aa, dengan menggunakan sifat, dengan menggunakan sifat distribusi kiri, diperoleh 0

distribusi kiri, diperoleh 0aa = 0. = 0.

(b)

(b) Pertama-tama akan ditunjukkanPertama-tama akan ditunjukkan aa(-(-bb) = -() = -(abab). Perhatikan bahwa:). Perhatikan bahwa:

ab

ab + + aa(-(-bb) ) == aa[[bb + + (-(-bb)] =)] = aa0 = 0 (dengan menggunakan sifat distribusi kanan0 = 0 (dengan menggunakan sifat distribusi kanan dan bagian (a) pada lemma ini.

dan bagian (a) pada lemma ini. Dengan demikian diperoleh bahwaDengan demikian diperoleh bahwa aa(-(-bb) = -) = -abab..

Dengan cara sama

Dengan cara samaabab + (- + (-aa))bb = [ = [aa + (- + (-aa)])]bb = 0 = 0bb = 0, diperoleh (- = 0, diperoleh (-aa))bb = - = -abab..

(c)

(c) (-(-aa)(-)(-bb) = -() = -(aa(-(-bb) ) (menurut (menurut bagian bagian (b))(b))

= -(-(

= -(-(abab)) )) (menurut (menurut bagian bagian (b))(b))

=

=abab (d)

(d) aa((bb – – cc) =) = aa[[bb + (– + (– cc)] )] (definisi (definisi operasi operasi pengurangan)pengurangan)

= ab + a

= ab + a((-c-c) ) (sifat (sifat distibusi distibusi kanan)kanan)

=

=abab + (- + (-acac) ) (menurut (menurut bagian bagian (b))(b))

=

=abab – – acac (definisi (definisi operasi operasi pengurangan)pengurangan) Dengan cara sama (

Dengan cara sama (aa – –bb))cc = = acac – –bcbc..

(e)

(e) Misalkan bahwaMisalkan bahwa R R mempunyai unsur kesatuan 1, maka: mempunyai unsur kesatuan 1, maka:

a

a + (-1) + (-1)aa = 1a + (-1) = 1a + (-1)aa

=

=[1 + (-1)][1 + (-1)]aa

=

=00aa

=

=00

Ini berarti bahwa (-1)

Ini berarti bahwa (-1)aa = - = -aa..

(f)

(f) Jika dipilihJika dipilihaa= -1 pada bagian (e), diperoleh (-1)(-1) = = -1 pada bagian (e), diperoleh (-1)(-1) = 1.1.

(4)

INTEGRAL DOMAIN DAN SUBRING Definisi

Jika R ring komutatif dan a

∈

R, a

≠

0. a dikatakan unsur pembagi nol jika terdapatb

∈

R,b

≠

0

∋

ab=0.

Definisi

Ring komutatif dengan unsur kesatuan dikatakan Daerah Integral ( Integral Domain) jika tidak mempunyai unsur pembagi nol.

Definisi

R ring, R dikatakan Ring Pembagian ( Division Ring) jika unsur-unsur tak nol merupakan grup terhadap perkalian.

Contoh

1.

<

Z,+,

•>

,

<

Q,+,

•>

,

<

R,+,

•>

merupakan daerah integral 2.

<

Z6,+,

•>

bukan daerah integral

Teorema Jika R integral domain, a,b,c

∈

R, a

≠

0 dan ab=ac, maka b=c.

Definisi

S himpunan S

⊆

R, diakatakan subring dari R jika S merupakan ring terhadap operasi pada R.

Contoh

<

2Z,+,

•>

subring dari

<

Z,+,

•>

dan

<

Z,+,

•>

subring dari

<

Q,+,

•>

TeoremaR ring, S

⊆

R, S subrung jhj S memenuhi sifat berikut:

1. S

≠∅

2.

∀

a,b

∈

S, a+b

∈

S dan a

•

b

∈

S 3.

∀

a

∈

S, -a

∈

S

Contoh

R =:

<

f R ,+,

•>

, S =:

{

f

∈

R

⏐

f(1)=o

}

, maka S subring.

Contoh 2.1.1 R adalah himpunan bilangan bulat terhadap operasi tambah dan kali biasa, maka R merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan.

(5)

Teori Ring

Contoh 2.1.2 R = {2z : z

∈

Z} terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa merupakan ring komutatif tetapi tidak mempunyai unsur kesatuan.

Contoh 2.1.3 R adalah himpunan bilangan rasional terhadap opearsi penjumlahan dan perkalian biasa merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan

Contoh ^2.1.4 R adalah himpunan bilangan bulat modulo 7 terhadap penjumlahan dan perkalian mod 7 merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan.

Contoh 2.1.5 R adalah himpunan bilangan bulat modulo 6 terhadap penjumlahan dan perkalian mod 6 merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan.

Contoh 2.1.6 Misalkan F adalah himpunan semua fungsi dari f : R

→

R, dengan operasi penjumlahan dan perkalian fungsi, maka F merupakan ring komutatif.

Contoh 2.1.7 Misalkan R adalah himpunan bilangan bulat modulo n, maka R merupakan ring komutatif terhadap operasi penjumlahan dan perkalian modⁿ.

Contoh 2.1.8 Misalkan R adalah himpunan bilangan kompleks dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa, R merupakan ring komutatif dengan unsur

kesatuan.

Contoh 2.1.9 Misalkan R adalah himpuanan matriks ordo nxn unsur bilangan bulat merupakan ring yang tak komutatif dengan unsur kesatuan terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks.

Contoh 2.2.1 Jika Z6 adalah himpunan himpunan bilangan bulat modulo 6. Selidiki apakahZ₆ merupakan ring dengan unsur pembagi nol.

(6)

Contoh 2.2.2 Jika Z5 adalah himpunan bilangan bulat modulo 5. . Selidiki apakah Z6 merupakan ring tanpa unsur pembagi nol.

ContohMisalkan R=Z5, Buktikan bahwa R=Z5 merupakan ring pembagian.

Tunjukkan bahwa <

Z

,+, •> , <

Q

,+, •> , <

R

,+, •> merupakan daerah integral Tunjukkan bahwa <

Z6,+,

•>

bukan daerah integral

Buktikan bahwa jika

^R

adalah ring tanpa pembagi nol jika dan hanya jika hukum penghapusan berlaku.

Buktikan bahwa jika

^R

adalah lapangan, maka

^R

merupakan ring tanpa unsur pembagi nol.

Bukti

Misalkan

R

lapangan, maka

R

merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan dimana setiap unsur tak nolnya memiliki invers di

R

terhadap operasi perkalian.

Ambil

^a

,

^b

dua unsur sebarang di

^R

, dengan

^ab

=0. Sekarang jika

^a

≠ 0, maka

a^-1

ada, sehingga

^ab

=0 mengakibatkan

^a^-1

(

^ab

) =

^a^-1

0 sehingga kita punya

b

=0. Jadi jika

^a

≠ 0,

^ab

=0, maka

^b

=0. Dengan cara sama bila

^b

≠ 0, maka

^b^-1

ada, sehingga

ab

=0 mengakibatkan (

ab

)

b^-1

= 0

b^-1

sehingga kita punya

a

=0.

Dengan demikian jika

b

≠ 0,

ab=

0, maka

a

=0. Sehingga dapat disimpulkan bahwa

R

tanpa pembagi nol.

Teorema 2.2.5. Daerah Integral ( D) yang hingga merupakan lapangan.

Bukti

Sebelum kita membuktikan teorema ini, kita kembali pada pengertian daerah integral merupakan ring komutatif sedemikian sehingga ab=0 jika dan hanya jika paling sedikit satu dari a=0 atau b=0. Sedangkan lapangan merupakan ring

(7)

Teori Ring

Bukti

Misalkan D adalah daerah integral yang hingga dan misalkan 1 unsur kesatuan di D, maka menurut definisi karakteristik D akan hingga atau tak hingga. Dengan demikian order dari 1 (D dipandang sebagai grup komutatif terhadap operasi penjumlahan) adalah 0 atau hingga. Sekarang karena order setiap unsur grup hingga adalah hingga, dan karena 1 unsur D, maka order dari 1 hingga sebut n,yaitu n1 = 0. Sekarang ambil a

∈

K sebarang, maka,

na =a + a+ …+a sebanyakn suku

= 1a+ 1a+ …+1a sebanyak n suku

= (1 + 1+ … + 1) a

= (n1)a

= 0a (karena n1=0)

= 0 (karena 0 a = 0,

∀

a

∈

D)

Jadi

ⁿ

adalah bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga

^na

= 0, ∀

a

∈

D

. Karenanya karakteristik dari D hingga.

Teorema 2.2.10. Jika D integral domain, maka karakteristik dari D adalah 0 atau prima.

Bukti

Misalkan D adalah integral domain dan a sebarang unsur D. Sekarang kasus

jika order dari a adalah 0, bila D dipandang sebagai grup terhadap operasi

penjumlahan, maka karakteristik dari D adalah 0. Dengan ini teorema telah

terbukti. Selanjutnya jika order dari a adalah hingga sebut n, bila D

dipandang sebagai grup terhadap operasi penjumlahan, maka karakteristik

dari D adalah n dan akan kita tunjukkan bahwa D merupakan bilangan

prima. Andaikan n komposit, dan misalkan

n

=

n1n2

dengan

n1

≠ 1,

n2

≠ 1 dan

(8)

n₁

<

n

,

ⁿ2

<

n

. Sekarang karena n merupakan karakteristik dari D, maka n merupakan bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga

na

=0, ∀

a

∈

D

,

a

≠ 0. Sehingga kita punya

na

= 0

⇒

n₁n₂a

= 0

⇒ (

ⁿ1n₂a

)

^b

= 0

^b

, ∀

b

∈

D

,

^b

≠ 0.

Definisi

S himpunan S

⊆

R, diakatakan subring dari R jika S merupakan ring terhadap operasi pada R.

Contoh

<

2Z,+,

•>

subring dari

<

Z,+,

•>

dan

<

Z,+,

•>

subring dari

<

Q,+,

•>

Teorema 2.2.11 R

ring,

^S

⊆

R

,

^S

≠∅ _{, S}

subring

jhj

^S

memenuhi sifat berikut:

4.

∀

a,b

∈

S ,a+b

∈

S dana

•

b

∈

S 5.

∀

a

∈

S , -a

∈

S

Bukti

Misalkan Contoh

R =:

<

f R,+,

•>

,S =:

{

f

∈

R

⏐

f (1)=o

}

, makaS subring. Definisi

K Himpunan bagian tak kosong dari F adalah sublapangan jika K adalah lapangan terhadap operasi yang sama pada F .

Teorema 2.2.7. SubhimpunanK dari lapangan F adalah sublapangan dari F jhj

(9)

Teori Ring

(i).

∀

a,b

∈

K , berlakua-b

∈

K

(ii)

∀

a,b

∈

K dan b≠ 0, berlaku ab^-1

∈

K

Bukti

(syarat perlu). Misalkan K adalah sub lapangan dari F, maka terhadap operasi yang dengan F, K juga merupakan lapangan. Karenanya untuk setiap b ∈ K, berlaku -b ∈ K. Jadi a+(-b) ∈ K untuk setiap a, b ∈ K. karena a - b = a + (-b) ∈ K. Juga untuk setiap b ∈ K dan b ≠ 0, maka b

^-1

ada dan di K.

Karenanya ab

^-1

∈ K, untuk setiap a, b ∈ K.

Sebaliknya (syarat cukup). Misalkan K himpunan bagian unsur tak kosong dari F sedemikian sehingga

(i) a ∈ K, b ∈ K ⇒ a – b ∈ K.

(ii) a ∈ K, 0 ≠ b ∈ K ⇒ ab

^-1

∈ K

2

Homomorfisma, Ideal dan Ring Faktor

2.1 Homomorfisma

Pada saat mempelajari grup, kita telah mengenal konsep homomorfisma pada suatu grup. Konsep homomorfisma ini juga merupakan suatu konsep yang sangat penting dalam ring. Kita kembali pada homomorfisma grup, didefinisikan sebagai pemetaan yang memenuhi relasi

φ (ab)= φ (a) φ (b). Karena ring memiliki dua operasi, maka definisi

homomorfisma pada ring diberikan sebagai berikut.

(10)

2.2 Ideal

Ide mengkonstruksi grup faktor pada saat mempelajari grup kita akan ulangi dalam mempelajari ring, ide tersebut kita terapkan untuk mendapatkan ring faktor (quotien), sehingga konsep grup faktor merupakan konsep yang sama dengan konsep ring faktor (quotien). Pada pembentukan grup faktor, terlebih dahulu kita mengkonstruksi koset dan subgrup normal, kemudian terbentuklah grup faktor. Pada bagian ini kita terlebih dahulu membicarakan ideal kemudian dari ideal ini kita mengkonstruksi suatu ring yang unsur-unsurnya merupakan ideal yang selanjutnya kita namakan dengan ring faktor atau ring quotien.

Definisi 2.2.1

Suatu himpunan bagian tak kosong

^U

dari

^R

dikatakan

ideal kiri

dari

^R

jika (1)

^U

merupakan subgrup dari

^R

terhadap penjumlahan, (2) untuk setiap

u

∈

R

,

^ru

∈

U

.

Definisi 2.2.2

Suatu himpunan bagian tak kosong

U

dari

R

dikatakan

ideal kanan

dari

R

jika (1)

U

merupakan subgrup dari

R

terhadap penjumlahan, (2) untuk setiap

u

∈

R

,

ur

∈

U

.

Berdasarkan definisi 2.2.1 dan 2.2.2 kita definisikan bahwa suatu himpunan bagian tak kosong

U

dari

R

dikatakan

ideal

dari

R

, jika merupakan ideal kiri sekaligus merupakan ideal kanan dari

R

.

Jelas bahwa {0} dan

R

merupakan ideal dari sembarang ring

R

. Ideal

yang demikian disebut

ideal trivial

atau sering juga disebut dengan

improper ideal

. Semua ideal dari

U

dari

R

yang berbeda dari {0} dan

R

disebut

proper ideal

atau

ideal sejati

.

(11)

Teori Ring

Lemma 2.2.1

Syarat perlu dan cukup bahwa himpunan bagian tak kosong

U

dari

R

, merupakan ideal dari

^R

bila memenuhi (

ⁱ

) jika

^a

∈

U

, dan

^b

∈

U

, maka

^a

-

^b

∈

U

, dan (

ⁱⁱ

) jika

^u

∈

U

, dan

^r

∈

R

, maka

^ur

∈

U

dan

^ru

∈

U

.

Bukti

⇒ (syarat perlu). Misalkan

U

ideal dari ring

R

, maka

U

merupakan subgrup dari

R

terhadap operasi penjumlahan dan untuk setiap

u

∈

U

, dan

r

∈

R

berlaku

ur

∈

R

dan

ru

∈

R

. tetapi syarat perlu dan cukup bahwa

U

merupakan subgrup terhadap penjumlahan adalah jika

^a

,

^b

∈

U

sembarang, maka

^a

-

^b

∈

U

. Dengan demikian kita punya jika

U

ideal dari

R

, maka berlaku (

i

) jika

a

∈

U

, dan

b

∈

U

, maka

^a

-

^b

∈

U

, dan (

ⁱⁱ

) jika

^u

∈

U

, dan

^r

∈

R

, maka

^ur

∈

U

dan

^ru

∈

U

.

⇐ (syarat cukup). Misalkan

U

himpunan tak kosong dari

R

, yang memenuhi sifat (

ⁱ

) jika

^a

∈

U

, dan

^b

∈

U

, maka

^a

-

^b

∈

U

, dan (

ⁱⁱ

) jika

^u

∈

U

, dan

^r

∈

R

, maka

ur

∈

U

dan

ru

∈

U

. Dari sifat (i) kita peroleh bahwa

U

merupakan subgrup dari

R

terhadap operasi penjumlahan, sehingga kita punya sifat bahwa jika sifat (

ⁱ

) jika

^a

∈

U

, dan

^b

∈

U

, maka

^a

-

^b

∈

U

, dan (

ⁱⁱ

) jika

^u

∈

U

, dan

^r

∈

R

, maka

ur

∈

U

dan

ru

∈

U

berlaku, maka

(1)

U

merupakan subgrup dari

R

terhadap penjumlahan (2) untuk setiap

^u

∈

R

,

^ur

∈

U

.

Dengan demikian

^U

merupakan ideal dari

^R

.

Lemma 2.2.2

Irisan sembarang dua ideal dari

R

juga merupakan ideal dari

R Bukti

Misalkan

U 1

dan

U 2

sembarang dua ideal dari

R

, maka

U 1

dan

U 2

merupakan

subgrup dari

^R

terhadap operasi penjumlahan. Karenanya

^U1

∩

U ₂

juga

merupakan subgrup dari

R

. Sekarang misalkan u ∈

U ₁

∩

U ₂

sembarang dan

(12)

r

∈

R

. Karena

^U1

dan

^U2

merupakan ideal-ideal dari

^R

, maka

^ur

∈

U ₁

,

^ru

∈

U ₁

dan

ur

∈

U ₂

dan

ru

∈

U ₂

, akibatnya

ur

∈

U ₁

∩

U ₂

dan

ru

∈

U ₁

∩

U ₂

merupakan ideal dari

R

.

Lemma 2.2.3

Misalkan

M

himpunan bagian tak kosong dari ring

R

, maka irisan semua koleksi ideal-ideal dari

R

yang memuat

M

merupakan ideal terkecil yang memuat

M

.

Bukti

Misalkan {

S α

|

α

∈Λ } adalah koleksi semua ideal-ideal dari

R

yang memuat

M

, maka menurut definisi ideal setiap

^Sα

merupakan subgrup dari

^R

terhadap operasi penjumlahan. Karena irisan subgrup-subgrup dari

^R

yang memuat

^M

juga merupakan subgrup yang memuat

M

, kita peroleh bahwa ∩ {

S α

|

α

∈Λ }

adalah subgrup dari

R

yang terkecil yang memuat

M

. Selanjutnya ambil

u

∈∩ {

S α

|

α

∈Λ } sembarang dan

r

∈

R

sembarang, maka

u

∈

S α

untuk setiap

α

∈Λ , dan karena

S α

merupakan ideal untuk setiap

α

∈Λ , maka

ur

∈

S α

dan

ru

∈

S α ,

untuk setiap

α

∈Λ . Akibatnya

ur

∈∩ {

S α

|

α

∈Λ } dan

ru

∈∩ {

S α

|

α

∈Λ }.

Dengan demikian ∩ _{

S _α

|

α

∈Λ } merupakan ideal dari

^R

dan karena

∩ {

S α

|

α

∈Λ } himpunan terkecil yang memuat

M

, maka dapat disimpulkan bahwa ∩ {

^Sα

|

α

∈Λ } merupakan ideal terkecil yang memuat

^M

.

Ideal yang kita bicarakan pada lemma 2.2.3 biasanya dikenal juga dengan nama ideal yang dibangun oleh

^M

. ideal yang demikian selanjutnya ditulis (

^M

).

Definisi 2.2.3

Suatu ideal yang dibangun oleh satu unsur disebut dengan

ideal utama

(

principal ideal

).

(13)

kita punya 1=

^b

+

α a

, untuk suatu

^b

∈

S

dan

α

∈

R

[karena

^R

=

^S

+

^T

], sehingga 1-

α a

=

b

∈

S

.

Akibatnya

S

+1=

S+α a

Atau

S

+1=(

S

+

a

)(

S

+

α

), dengan

α

∈

R

. Dengan cara sama, (

^S

+1)=(

^S

+

α

)(

^S

+

^a

)

Dengan demikian (

S

+

a

)

^-1

=(

S

+

α

) ∈

R

/

S

. Sehingga untuk setiap unsur tak nol di

R

/

S

mempunyai invers terhadap operasi perkalian. Karenanya

R

/

S

lapangan.

Sebaliknya, misalkan

S

ideal dari

R

sedemikian sehingga

R

/

S

lapangan.

Akan ditunjukkan bahwa

^S

ideal maksimal dari

^R

. Misalkan

^T

ideal di

^R

yang memuat

^S

, maka setiap unsur-unsur di

^R

yang termuat di

^S

juga termuat di

^T

. Sehingga akan ditunjukkan bahwa

^R

=

^T

, yaitu cukup ditunjukkan bahwa setiap unsur dari

R

yang tak termuat di

S

termuat di

T

. Misalkan

a

∉

S

, maka

S

+

^a

≠

S

+0, dengan kata lain

^S

+

^a

bukan unsur nol di

^R

/

^S

. Karena

^T

memuat

^S

, maka terdapat unsur

b

∈

T

, sedemikian sehingga

b

∉

S

, akibatnya

S

+

b

bukan unsur nol di

^R

/

^S

. Sekarang

^R

/

^S

lapangan, sehingga bila (

^S

+

^a

) ∈

R

/

^S

, dan (

^S

+

^b

) ∈

R

/

^S

, maka

S

+(

^ab^-1

)=(

^S

+

^a

)(

^S

+

^b^-1

)=(

^S

+

^a

)(

^S

+

^b

)

^-1

∈

R

/

^S

Sehingga

^ab^-1

∈

R

, dan karena

^T

ideal dari

^T

, serta

^b

∈

T

, maka

a

=

ab^-1b

∈

T

.

Jadi setiap unsur

^R

yang tidak termuat di

^S

, termuat di

^T

, dengan demikian

R

⊆

T

, tetapi karena

^T

⊆

R

, maka

^R

=

^T

. Hal ini menunjukkan bahwa

^S

ideal maksimal di

R

.

Soal-Soal

1. Jika

U

ideal dari R dan 1 ∈

U

, buktikan bahwa

U

=

R

.

2. Jika

F

lapangan, buktikan ideal dari

F

hanya (0) dan

F

sendiri.

(14)

Teori Ring

3. Jika

^R

ring komutatif dan

^a

∈

R

,

(a) tunjukkan bahwa

aR

= {

ar

|

r

∈

R

} merupakan ideal dari

R

.

(b) Tunjukkan dengan contoh, bahwa sifat (a) tidak benar bila

R

tidak komutatif.

4. Jika

^U

dan

^V

ideal-ideal dari

^R

, misalkan

^U

+

^V

={

^u

+

^v

|

^u

∈

U

,

^v

∈

V

}.

Buktikan bahwa

^U

+

^V

juga merupakan ideal dari

^R

.

5. Jika

U

dan

V

ideal-ideal dari

R

. Misalkan

UV

adalah himpunan semua unsure yang berbentuk

^uv

, dengan

^u

∈

U

dan

^v

∈

V

, yang jumlahnya hingga. Buktikan bahwa

^UV

merupakan ideal dari

^R

.

6. Dalam soal 5. Buktikan bahwa

UV

⊆

U

∩

V

.

7. Jika

R

ring bilangan bulat dan

U

ideal kelipatan 17. Buktikan bahwa jika

V

ideal dari

^R

dan

^R

⊇

V

⊇

U

, maka

^V

=

^R

atau

^V

=

^U

.

8. Jika

U

ideal dari

R

, misalkan

r

(

U

)={

x

∈

R

|

xu

=0, ∀

u

∈

U

}. Buktikan bahwa

r

(

U

) merupakan ideal dari

R

.

9. Jika

^U

merupakan ideal dari

^R

, misalkan [

^R

:

^U

]={

^x

∈

R

|

^rx

∈

U

, ∀

r

∈

R

}.

Buktikan bahwa [

^R

:

^U

] ideal dari

^R

dan memuat

^U

.

10. Misalkan

^R

ring dengan unsur kesatuan. Dengan unsur-unsur pada

^R

, kita akan mendefinisikan ring

^R

′ , dengan operasi

^a

⊕

b

=

^a

+

^b

+ 1 dan

a

⊗

b

=

ab

+

a

+

b

, dengan

a

,

b

, ∈

R

.

(a) Tunjukkan bahwa

^R

′ merupakan ring terhadap operasi ⊕ dan ⊗

(b) Sebutkan unsur yang merupakan unsur nol di

R

′

(c) Sebutkan unsur yang merupakan unsur kesatuan di

^R

′ . (d) Buaktikan bahwa

R

isomorfik dengan

R

′ .

11. Untuk

^a

∈

R

, misalkan

^Ra

={

^xa^x

| ∈

R

}. Buktikan bahwa

^Ra

adalah ideal kiri.

12. Buktikan bahwa irisan dua ideal kiri dari

^R

juga merupakan ideal kiri

dari

^R

.

(15)

13. Apakah yang anda dapat katakan mengenai irisan ideal kiri dengan ideal kanan dari

R

?

14. Jika

^R

ring dan

^a

∈

R

, misalkan

^r

(

^a

)={

^x

∈

R

|

^ax

=0}. Buktikan bahwa

^r

(

^a

) merupakan ideal kanan dari

^R

.

15. Jika

^R

suatu ring dan

^L

suatu ideal kiri dari

^R

, misalkan

λ

(

^L

)={

^x

∈

R^xa

| =0, ∀

a

∈

L

}. Buktikan bahwa

λ

(

^L

) merupakan ideal dari

^R

. 16. Jika

R

ring dengan unsur kesatuan dan

ϕ

suatu homomorfisma dari

R

pada

^R

′ . Buktikan bahwa

ϕ

(1) merupakan unsur kesatuan pada

^R

′ .

17. Jika

R

suatu ring dengan unsur kesatuan 1 dan

ϕ

suatu homomorfisma

dari

^R

ke daerah integral

^R

′ sedemikian sehingga

^I

(

ϕ

) ≠

R

, buktikan bahwa

ϕ

(1) unsur kesatuan dari

R

′ (

I

(

ϕ

) adalah kernel/inti pemetaan

ϕ

).