Pembahasan Ujian Aljabar Linear
1.Kita akan menunjukkan bahwa rumus ini mendifinisikan sebuah hasil kali dalam pada C a b, dengan cara membuktikan berlakunya keempat aksioma hasilkali dalam untuk fungsi-fungsi f f x g( ), g x dan s( ), s x( ) di dalam C a b, :
a) , ( ), ( ) ( ) ( ) ,
b b
a a
f g f x g x dx g x f x dx g f yang membuktikan bahwa Aksioma 1 berlaku.
b)
, ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
, ,
b
a
b b
a a
f g s f x g x s x dx
f x s x dx g x s x dx f s g s
yang membuktikan bahwa Aksioma 2 berlaku.
c) , ( ) ( ) ( ) ( ) ,
b b
a a
kf g kf x g x dx k f x g x dx k f g yang membuktikan bahwa Aksioma 3 berlaku.
d) Jika f f x( )adalah fungsi sebarang di dalam C a b, , maka f2( )x 0untuk semua nilai x pada a b, ;sehingga,
, 2 0
b
a
f f f x dx
Lebih jauh lagi, karena f2( )x 0 dan f f x( ) adalah kontinu pada a b, ,
maka 2 0
b
a
f x dx jika dan hanya jika f x( ) 0 untuk semua nilai x pada ,
a b .
Dengan demikian, kita memperoleh , 2 0
b
a
f f f x dx jika dan hanya jika f
= 0. Hal ni membuktikan bahwa Aksioma 4 berlaku.
2. Penyelesaian (a). Pertama- tama kita harus menentukan matriks-matriks koordianat untuk vektor-vektor basis yang baru u dan u1' 2' relatif terhadap basis lama B. Dengan melalui inspeksi.
'
1 1 2
'
2 2 1 2
u u u
u u u
sehingga
1' 1 2' 2
1 1
B B
u dan u
Maka, matriks transisi dari B` ke B adalah
1 2
P 1 1
Penyelesaian (b). Dengan menggunakan (7) dan Matriks transisi dari bagian (a).
1 2 3 7
1 1 5 2
v B
Untuk memeriksa kebenaran kedua jawaban diatas, kita seharusnya dapat menemukan vektor v baik dengan menggunakan
v Bmaupun '
v B .
