Pemodelan Matematika HIV Type SITA

(1)

Judul : Pemodelan Matematika dan Analisis Kestabilan Model Pada Penyebaran HIV/AIDS Tipe SITA (Susceptible, Infected, Treatment, AIDS)

Permasalahan :

Penyakit HIV/AIDS masih menjadi salah satu masalah kesehatan global yang memerlukan perhatian serius. Penyebarannya yang lambat namun progresif menyebabkan beban sosial dan ekonomi yang tinggi dalam jangka panjang. Oleh karena itu, diperlukan pemahaman yang mendalam mengenai dinamika penyebaran penyakit ini agar strategi penanganan dan pengobatan bisa lebih efektif.

Untuk memahami dan menganalisis penyebaran HIV/AIDS serta pengaruh pengobatan terhadap dinamika penyakit ini dalam suatu populasi, pendekatan matematika diperlukan. Oleh karena itu, penelitian ini mengembangkan model penyebaran HIV/AIDS dengan tipe SITA, yang terdiri dari empat kompartemen populasi: Susceptible (S), Infected (I), Treatment (T), dan AIDS (A).

Asumsi :

Pemodelan dilakukan dengan sejumlah asumsi sebagai berikut:

1. Populasi bersifat tertutup, artinya tidak ada migrasi masuk atau keluar dari populasi;

perubahan jumlah penduduk hanya dipengaruhi oleh kelahiran dan kematian.

2. Penularan HIV terjadi melalui kontak antara individu dalam subpopulasi Susceptible (S) dengan individu Infected (I) dan individu AIDS (A).

3. Treatment (pengobatan) hanya diberikan kepada individu dalam subpopulasi Infected (I).

4. Individu yang telah menerima treatment (T) masih memiliki kemungkinan untuk bertransisi ke fase AIDS (A) setelah jangka waktu tertentu.

Model Matematika :

S(t)=¿ Populasi rentan tertular HIV dS

dt=Λ−β . S . I−ω . S . A−μ . S I(t)=¿ Populasi terinfeksi HIV

dI

dt=β . S . I+ω . S . A−μ . I−δ . I T(t)=¿ Populasi terinfeksi yang sedang menjalani terapi

dT

dt =θ . I−α .T−μ .T A(t)=¿ Populasi penderita AIDS

dA

dt =δ . I−α .T−μ . A−γ . A

(2)

Keterangan :

S=¿ jumlah individu pada subpopulasi Susceptible I=¿ jumlah individu pada subpopulasi Infected T=¿ jumlah individu pada subpopulasi Treatment

A=¿ jumlah individu pada subpopulasi AIDS Λ=¿ Laju kelahiran alami

β=¿ Laju penularan dari individu Infected ke Susceptible ω=¿ Laju penularan dari individu AIDS ke Susceptible μ=¿ Laju kematian alami

δ=¿ Laju penjangkitan dari Infected ke AIDS α=¿ Laju transisi dari Treatment ke AIDS γ=¿ Laju kematian karena AIDS

θ=¿ Laju treatment yang diberikan kepada Infected Titik Equilibrium :

Titik equilibrium pada model merupakan solusi dari sistem pada model yang tidak mengalami perubahan populasi terhadap waktu. Dengan demikian titik equilibrium pada model matematika diperoleh ketika,

dS

dt =0,dI

dt=0,dT

dt =0,dA dt =0 sehingga diperoleh sistem persamaan sebagai berikut,

dS

dt=Λ−β . S . I−ω . S . A−μ . S=0 dI

dt=β . S . I+ω . S . A−μ . I−δ . I=0 dT

dt =θ . I−α .T−μ .T=0 dA

dt =δ . I−α .T−μ . A−γ . A=0

Solusi dari sistem persamaan tersebut diperoleh dua titik equilibrium yaitu titik equilibrium bebas penyakit (disease free equilibrium) dan titik equilibrium endemik. Titik equilibrium bebas penyakit diekspresikan sebagai E₁=(S , I ,T , A)=

(

^Λ^μ ^,⁰^,⁰^,⁰

)

sedangkan titik equilibrium endemik diekspresikan sebagai E₂=(^S^¿^{, I}^¿^,T^¿^{, A}^¿) dimana :

(3)

S^¿= (γ+μ)(μ+δ+θ)(α+μ)

αβγ+αβμ+αδω+αδθ+βγμ+μ²β+δμω

I^¿= R₀−1

((μ+δ+θ)(αβγ+αβμ+αδω+αδθ+βγμ+μ²β+δμω)

T^¿= θ(R₀−1)

((μ+δ+θ)((α+μ)

(

^αβγ+αβμ+αδω+αδθ+βγμ+μ²β+δμω

)

) A^¿= (αδ+αθ+δμ)(R₀−1)

((μ+δ+θ)((α+μ)

(

)

) Dengan,

R₀=Λ

(

αβγ+αβμ+αδω+αδθ+βγμ+μ²β+δμω

)

μ(μ+δ+θ)((α+μ) (γ+μ))

R₀ (Basic Reproductive Ratio) atau Angka Reproduksi Dasar adalah jumlah rata-rata orang yang dapat tertular penyakit dari satu orang yang terinfeksi dalam populasi yang sepenuhnya rentan (belum ada imunitas atau perlindungan).

R₀ mempunyai nilai ambang batas 1, artinya jika R₀ > 1 maka akan terjadi endemik yang ditandai dengan meningkatnya populasi yang terinfeksi. Namun jika R₀ < 1 maka tidak terjadi endemik.

Pada model matematika terdapat empat kompartemen yang terlibat dalam penyebaran HIV/AIDS tipe SITA yaitu Susceptible, Infected, Treatment dan AIDS sehingga bisa ditulis,

x=(S , I ,T , A)

˙

x=(F−V)x dimana,

F=¿ Matriks transmisi nonlinear V=¿ Matriks transmisi linear

x˙=¿ Kompartemen yang terlibat infeksi

R₀ ditentukan oleh radius spectral dari Next Generation Matriks (NGM) yang

merupakan matriks F V⁻¹. Misalkan 𝐹 adalah vektor untuk infeksi baru dan 𝑉 adalah vektor untuk perpindahan antar kompartemen, maka

F=

(

^{β . S}⁰⁰ ⁰⁰⁰ ^{ω . S}⁰⁰

)

^,V⁼

(

^μ+δ⁻^−δ^θ^+θ ^α^−α⁺⁰^μ ^γ⁺⁰⁰^μ

)

sehingga,

(4)

F .V⁻¹=

(

^μ⁽^μ^{β Λ}⁺^δ⁺^θ⁾⁺^μ⁽^μ^{ω Λ}⁺⁰⁰^δ⁺⁽^αδ^θ⁾⁽⁺^α^αθ⁺^μ⁺⁾⁽^δμ^γ⁾⁺^μ⁾ ^μ⁽^α⁺^{ω Λ α}^μ⁰⁰⁾⁽^γ⁺^μ⁾ ^μ⁽^{ω Λ}^γ⁰⁰⁺^μ⁾

)

Akan ditentukan R₀ yang merupakan nilai eigen terbesari dari matriks _{F .V}⁻¹. Polinomial karakteristik dari matriks F .V⁻¹ sebagai berikut,

λ³=

(

^Λ

⁽

^αβγ⁺^αβμ+^μ⁽^μ⁺^αδω^δ⁺^θ⁺⁾⁽^αδθ+⁽^α⁺^μ^βγμ+^{) (}^γ⁺^μ^μ⁾⁾²^β⁺^δμω

⁾ )

^λ²

dengan demikian diperoleh,

R₀=Λ

(

)

μ(μ+δ+θ)((α+μ) (γ+μ)) Linearisasi disekitar Titik Equilibrium:

Model matematika diatas merupakan sistem persamaan diferensial non linear sehingga untuk menyelidiki kestabilan di sekitar titik equilibrium diperlukan linearisasi terlebih dahulu dengan menggunakan matriks Jacobi.

Selanjutnya, subtitusikan nilai E₁=(S , I ,T , A)=

(

^Λ^μ ^,⁰^,⁰^,⁰

)

ke matriks Jac sehingga diperoleh

Dari matriks Jacobian diperoleh nilai karakteristik yaitu, λ₁=−μ

Sedangkan λ₂, λ₃, λ₄ adalah akar-akar dari persamaan karakteristik sebagai berikut,

−μ λ³+a₂λ²+a₁λ+a₀=0 Dengan,

a₂=Λ β−αμ−δμ−γμ−3μ²−μθ

(5)

a₁=Λ αβ+αβγ+2Λ βμ+δ Λ ω−αδμ−αγμ−2α μ²−αμθ−γδμ−2δ μ²−2γ μ²−γμθ−3μ³−2μ²θ a₀=Λ

(

^αβγ+αβμ+αδω+αωθ+βγμ+μ²β+δμω

)

−μ(μ+δ+θ)((α+μ) (γ+μ))

Analisis Kestabilan :

Karena tiap parameter bernilai positif maka a₂ dan a₁ bernilai negatif. Selanjutnya agar a₀ bernilai negatif maka,

Λ

(

)

μ(μ+δ+θ)((α+μ) (γ+μ)) <1 sehingga titik equilibrium bebas penyakit bersifat stabil ketika,

R₀=Λ

(

)

μ(μ+δ+θ)((α+μ) (γ+μ)) <1 Simulasi :

Simulasi numerik ini dilakukan dengan memberikan nilai-nilai parameter yang sesuai dengan kondisi R₀. Untuk keperluan simulasi ini maka ditetapkan nilai-nilai parameter yang disajikan pada tabel 1 berikut,

Adapun populasi awal dari tiap kompartemen dipilih nilai-nilai yang secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut,

S(0)=200, I(0)=55,T(0)=30, A(0)=25

Untuk memvisualisasikan kondisi pada saat titik equilibrium bebas penyakit dan endemik dilakukan dua simulasi dengan menetapkan nilai parameter 𝜃 yang berbeda. Simulasi pertama dilakukan untuk menvisualisasikan kondisi titik equilibrium bebas penyakit dengan menetapkan nilai parameter 𝜃 = 0,75 sehingga diperoleh nilai ^R0 = 0,934821 < 1. Di mana titik kesetimbangan bebas penyakit adalah:

(S , I ,T , A)=

(

^Λ^μ ^,⁰^,⁰^,⁰

)

⁼⁽⁵⁵^,⁰^,⁰^,⁰⁾

Adapun hasil simulasinya dapat dilihat pada gambar berikut,

(6)

Pada gambar tersebut menunjukkan bahwa grafik dari masing-masing yakni subpopulasi Susceptible (𝑆), subpopulasi Infected (𝐼), subpopulasi Treatment (𝑇) dan subpopulasi AIDS (𝐴). Pada subpopulasi Susceptible (𝑆) kondisi awal berjumlah 200 individu, kemudian menurun karena mengalami kontak dengan subpopulasi Infected (𝐼) dan naik kembali hingga menuju titik equilibrium di angka 55. Pada subpopulasi Infected (𝐼) kondisi awal berjumlah 55 individu kemudian menurun karena mengalami perpindahan ke subpopulasi Treatment (𝑇). Hal ini terjadi karena laju treatment yang diberikan kepada subpopulasi Infected (𝐼) cukup besar. Selanjutnya seiring berjalannya waktu subpopulasi Infected terus menurun hingga menuju titik equilibrium di angka 0.

Pada gambar 1 juga terlihat jelas bahwa subpopulasi Treatment (𝑇) dengan kondisi awal berjumlah 30 individu mengalami kenaikan akibat banyaknya perpidahan dari subpopulasi Infected (𝐼) yang mendapatkan treatment. Namun seiring berjalannya waktu jumlah individu pada subpopulasi ini menurun hingga akhirnya mencapai titik equilibrium di angka 0.

Terakhir pada subpopulasi AIDS (𝐴) dari kondisi awal berjumlah 25 individu mengalami penurunan hingga mencapai titik equilibrium di 0. Hal ini disebabkan karena adanya kematian alami dan juga kematian karena AIDS yang dialami oleh individu pada subpopulasi ini. Ini berarti, untuk jangka waktu tertentu penyakit HIV/AIDS akan menghilang dalam populasi, atau dengan kata lain bisa disimpulkan bahwa titik ekuilibrium bebas penyakit stabil pada saat ^R0 = 0,934821 < 1.

S_n₊₁=S_n−β .S_n. I_n

N −v . S_n I_n+1=I_n+β .S_n. I_n

N −γ . I_n R_n+1=R_n+γ . I_n+v . S_n

(7)

Dengan N=S_n+I_n+R_n

S_n

I_n

R_n

N β γ v

S_n+1=Sn=S^¿, I_n+1=I_n=I^¿, R_n₊₁=R_n=R^¿

0=−β .S^¿. I^¿

N −v . S^¿⇒−S^¿

(

^{β I}^N^¿^+v

)

⁼⁰

S^¿=0

0=β .0.I^¿

N −γ . I^¿⇒−γ . I^¿=0⇒I^¿=0 I^¿=0

S^¿+I^¿+R^¿=N⇒0+0+R^¿=N⇒R^¿=N (^S^¿^{, I}^¿^{, R}^¿)=(0,0, N)

(8)

J=

[

^{∂ S}^{∂ I}^{∂ S}^{∂ S}ⁿ⁺¹ⁿ⁺¹ⁿⁿ ^{∂ S}^{∂ I}^{∂ I}^{∂ I}ⁿ⁺¹ⁿ⁺¹ⁿⁿ

]

∂ S_n+1

∂ S_n =1−β .I_n N−v

∂ S_n+1

∂ I_n =−β .S_n N

∂ I_n+1

∂ S_n =β .I_n N

∂ I_n+1

∂ I_n =1+β .S_n N−γ

S_n=0, I_n=0

J(0,0)=

[

^1−v⁰ ¹⁻⁰^γ

]

λ J det(J−λI)=0

J−λI=

[

⁽¹⁻^v⁰⁾⁻^λ ^(1−γ⁰⁾⁻^λ

]

det(^J−λI)=

[

⁽¹⁻^v⁾⁻^λ

]

^.

[

⁽^1−γ⁾⁻^λ

] [

⁽^1−v⁾⁻^λ

]

^.

[

⁽¹⁻^γ⁾⁻^λ

]

⁼⁰

λ₁=1−v , λ₂=1−γ

|

^λⁱ

|

^<¹

0<v<1 0<γ<1

|¹−v|<1,|¹−γ|<1

(9)

N=1000 S₀=990

I₀=10 R₀=0

β=0.3 γ=0.1 v=0.05

n=100