PENERAPAN STRUCTURAL VECTOR ERROR CORRECTION MODEL (STRUCTURAL VECM) (Studi Kasus : Analisis Hubungan Antara Pertumbuhan
Ekonomi dan Ekspor Indonesia )
SKRIPSI
oleh : AFRIZA NORA 145090501111026
PROGRAM STUDI SARJANA STATISTIKA JURUSAN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS BRAWIJAYA
MALANG 2018
i
HALAMAN JUDUL
PENERAPAN STRUCTURAL VECTOR ERROR CORRECTION MODEL (STRUCTURAL VECM) (Studi Kasus : Analisis Hubungan Antara Pertumbuhan
Ekonomi dan Ekspor Indonesia )
SKRIPSI
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Statistika
oleh : AFRIZA NORA 145090501111026
PROGRAM STUDI SARJANA STATISTIKA JURUSAN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS BRAWIJAYA
MALANG 2018
ii
HALAMAN PENGESAHAN SKRIPSI PENERAPAN STRUCTURAL VECTOR ERROR CORRECTION MODEL (STRUCTURAL VECM) (Studi Kasus : Analisis Hubungan Antara Pertumbuhan
Ekonomi dan Ekspor Indonesia )
oleh:
AFRIZA NORA 145090501111026
Setelah dipertahankan di depan Majelis Penguji pada tanggal 6 Juli 2018 dan dinyatakan memenuhi syarat untuk
memperoleh gelar Sarjana Statistika
Dosen Pembimbing
Ir. Heni Kusdarwati, MS NIP. 196112081987012001
Mengetahui, Ketua Jurusan Statistika Fakultas MIPA Universitas Brawijaya
Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc., Ph.D.
NIP. 197603281999032001
iii
LEMBAR PERNYATAAN Saya yang bertanda tangan di bawah ini:
Nama : Afriza Nora
NIM : 145090501111026
Jurusan : Statistika
Penulis Skripsi berjudul :
PENERAPAN STRUCTURAL VECTOR ERROR CORRECTION MODEL (STRUCTURAL VECM) (Studi Kasus : Analisis Hubungan Antara Pertumbuhan
Ekonomi dan Ekspor Indonesia) Dengan ini menyatakan bahwa:
1. Isi dari Skripsi yang saya buat adalah benar-benar karya sendiri dan tidak menjiplak karya orang lain, selain nama- nama yang termasuk di isi dan tertulis di daftar pustaka dalam Skripsi ini.
2. Apabila dikemudian hari ternyata Skripsi yang saya tulis terbukti hasil jiplakan, maka saya akan bersedia menanggung segala resiko yang akan saya terima.
Demikian pernyataan ini dibuat dengan segala kesadaran.
Malang, 6 Juli 2018 Yang menyatakan,
Afriza Nora NIM. 145090501111026
iv
PENERAPAN STRUCTURAL VECTOR ERROR CORRECTION MODEL (STRUCTURAL VECM)
(Studi Kasus : Analisis Hubungan Antara Pertumbuhan Ekonomi dan Ekspor Indonesia)
ABSTRAK
Model Vector Autoregressive (VAR) merupakan salah satu model multivariat time series yang dapat menangkap hubungan timbal balik yang dinamis antar variabel yang mana mengharuskan semua variabel stasioner. Apabila data deret waktu tidak stasioner dan terdapat hubungan kointegrasi maka dapat menerapkan Vector Error Correction Model (VECM). Jika model VECM yang terbentuk memiliki sisaan yang tidak white noise, maka perlu dilakukan pemodelan terhadap sisaan tersebut. Model deret waktu multivariat yang tepat untuk memodelkan sisaan tersebut adalah Structural Vector Error Correction Model (structural VECM). Selain dari itu structural VECM dapat digunakan untuk mengidentifikasi guncangan (shock) melalui respon impuls dengan metode bootstrap.
Tujuan dari penelitian ini yaitu memodelkan hubungan antara pertumbuhan ekonomi dan ekspor Indonesia serta mengetahui efek terjadinya shock terhadap kedua variabel tersebut. Berdasarkan hasil analisis diperoleh model VECM (3), di mana memiliki sisaan yang tidak white noise sehingga dilanjutkan dengan pendugaan parameter structural VECM yang menghasilkan matriks jangka panjang dan matriks efek sementara dari shock. Hasil analisis respon impuls diketahui bahwa jika shock berasal dari ekspor, PDB akan mencapai keseimbangan dalam jangka waktu sekitar 13 tahun dan ekspor akan mencapai keseimbangan dalam jangka waktu sekitar 2 tahun. Jika shock berasal dari PDB, PDB akan mencapai keseimbangan dalam jangka waktu sekitar 15 tahun dan ekspor akan mencapai keseimbangan dalam jangka waktu sekitar 13 tahun.
Kata kunci : VAR, VECM, Structural VECM, Shock, Bootstrap
v
STRUCTURAL VECTOR ERROR CORRECTION MODEL (STRUCTURAL VECM)
(Case Study : Analysis of the Relationship Between Economic Growth and Export Indonesia)
ABSTRACT
The Vector Autoregressive (VAR) model is one of the time series multivariate models that can capture dynamic interrelationships between variables which require all stationary variables. If the time series data is not stationary and there is a cointegration relationship then it can apply Vector Error Correction Model (VECM). If the VECM model that is formed has a non-white noise, it is necessary to model the rest. The right multivariate time series model for modeling the foregoing is the Structural Vector Error Correction Model (structural VECM). In addition structural VECM can be used to identify shock through impulse response. The purpose of this study is to model the relationship between economic growth and Indonesia's exports as well as to know the effects of shock on both variables. Based on the results obtained by VECM(3), which has a non white noise so that it is followed by the estimation of VECM structural parameters that yield the long-term matrix and the temporary effect matrix from shock. The results of the impulse response analysis are known that if shock comes from exports, GDP will reach equilibrium within 13 years and exports will reach equilibrium within a period of about 2 years. If shock comes from GDP, GDP will reach equilibrium within a period of about 15 years and exports will reach equilibrium within a period of about 13 years.
Keywords : VAR, VECM, Structural VECM, Shock, Bootstrap
vi
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT, atas rahmat dan karunia- Nya kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “Penerapan Structural Vector Error Correction Model (Structural VECM)” pada studi kasus analisis hubungan antara pertumbuhan ekonomi dan ekspor Indonesia.
Dalam penyelesaian skripsi ini tidak sedikit hambatan dan rintangan yang dialami oleh penulis, namun berkat bantuan, dukungan dan do’a dari berbagai pihak, skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik. Oleh karena itu, penulis mengucapkan banyak terimakasih dan rasa hormat kepada:
1. Ibu Ir. Heni Kusdarwati, MS selaku dosen pembimbing skripsi atas waktu, bimbingan dan arahan dalam penulisan skripsi ini.
2. Ibu Nurjannah, S.Si., M.Phil., Ph.D. selaku dosen penguji 1 atas waktu dan bimbingan yang telah diberikan.
3. Ibu Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc., Ph.D. selaku dosen penguji 2 atas waktu dan bimbingan yang telah diberikan.
4. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Statistika atas ilmu dan bimbingan yang diberikan.
5. Seluruh staff dan karyawan Program Studi Statistika Fakultas MIPA Universitas Brawijaya.
6. Papa, Ibu, Dedek, Indah dan seluruh keluarga yang telah memberikan do’a, dukungan dan kasih sayang kepada penulis.
7. Gengs serta sahabat statistika 2014 yang telah memberikan do’a, bantuan, dukungan dan semangat dalam penyusunan skripsi ini.
8. Seluruh sahabat khususnya Indra, Roza , Inil dan Faiza atas do’a dan dukungan dalam penyusunan skripsi ini.
9. Semua pihak yang telah membantu penulisan skripsi ini yang tidak dapat disebutkan satu per satu.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh sebab itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun demi kesempurnaan skripsi ini. Semoga skripsi ini memberikan manfaat kepada semua pembaca terutama penulis sendiri.
Malang, Juli 2018 Penulis
vii DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL... i
HALAMAN PENGESAHAN SKRIPSI ... ii
LEMBAR PERNYATAAN ... iii
ABSTRAK ... iv
ABSTRACT ... v
KATA PENGANTAR ... vi
DAFTAR ISI ... vii
DAFTAR TABEL ... ix
DAFTAR GAMBAR ... x
DAFTAR LAMPIRAN ... xi
BAB I PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Rumusan Masalah ... 3
1.3 Tujuan Masalah ... 3
1.4 Manfaat Penelitian... 3
1.5 Batasan Penelitian ... 3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 5
2.1 Analisis Deret Waktu ... 5
2.2 Stasioneritas Deret Waktu ... 5
2.2.1 Kestasioneran terhadap Ragam ... 5
2.2.2 Kestasioneran terhadap Rata-rata ... 8
2.3 Pengujian Kausalitas Granger ... 10
2.4 Model Vector Autoregressive (VAR) ... 12
2.5 Vector Error Correction Model (VECM) ... 12
2.6 Kontegrasi ... 13
2.7 Matrix Autocorrelation Function (MACF) ... 15
2.8 Matrix Partial Autocorrelation Function (MPACF) ... 16
2.9 Structural Vector Error Correction Model (Structural VECM) ... 17
2.10 Pendugaan Parameter Model ... 20
2.10.1 Pendugaan Parameter VECM ... 20
2.10.2 Pendugaan Parameter Structural VECM ... 22
2.11 Uji Kesesuaian Model ... 23
2.11.1 Uji Autokorelasi Sisaan... 24
2.11.2 Uji Normalitas Sisaan ... 24
2.12 Bootstraping Impulse Respons ... 26
viii
2.13 Tinjauan Non Statistika ... 27
2.14.1 Pertumbuhan Ekonomi ... 27
2.14.2 Ekspor ... 28
2.14.3 Hubungan antara Pertumbuhan Ekonomi dan Ekspor 29 BAB III METODE PENELITIAN ... 31
3.1 Sumber Data ... 31
3.2 Metode Analisis ... 31
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ... 35
4.1 Plot Data Deret Waktu ... 35
4.2 Uji Stasioneritas ... 36
4.2.1 Kestasioneran terhadap Ragam ... 36
4.2.2 Kestasioneran terhadap Rata-rata ... 37
4.3 Uji Kausalitas Granger ... 38
4.4 Uji Kointegrasi ... 39
4.5 Penentuan Panjang Lag Optimum ... 40
4.6 Pendugaan Parameter VECM ... 40
4.7 Uji Kesesuaian Model VECM ... 44
4.7.1 Uji Autokorelasi Sisaan ... 44
4.7.1 Uji Normalitas Sisaan ... 45
4.8 Pendugaan Parameter Structural VECM ... 45
4.9 Bootstraping Impulse Response ... 48
BAB V PENUTUP ... 51
5.1 Kesimpulan ... 51
5.2 Saran ... 51
DAFTAR PUSTAKA ... 53
LAMPIRAN ... 55
ix
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Nilai 𝝀 dan Transformasinya ... 6
Tabel 4.1 Pengujian Stasioneritas pada Data Awal ... 37
Tabel 4.2 Pengujian Stasioneritas pada Data Transformasi 1 ... 37
Tabel 4.3 Pengujian DF pada Data Transformasi 1 ... 38
Tabel 4.4 Pengujian DF differencing 1... 38
Tabel 4.5 Hasil Uji Kausalitas Granger ... 39
Tabel 4.6 Hasil Uji Kointegrasi dengan Trace Test ... 39
Tabel 4.7 Skema MACF (a) dan MPACF (b) ... 40
Tabel 4.8 Pendugaan Parameter VECM(3) ... 41
Tabel 4.9 Koefisien Jangka Pendek (𝜶) dan Jangka Panjang (𝜷) .. 41
Tabel 4.10 Hasil Uji Portmanteau Autocorrelation VECM(3) ... 44
Tabel 4.11 Hasil Uji Jarque-Berra Multivariat ... 45
x
DAFTAR GAMBAR
Gambar 3.1. Diagram Alir Metode Penelitian ... 33 Gambar 4.1. Plot Data PDB di Indonesia Periode 2002:Q1 sampai
dengan 2017:Q4 ... 35 Gambar 4.2. Plot Data Ekspor di Indonesia Periode 2002:Q1 sampai
dengan 2017:Q4 ... 36 Gambar. 4.3 Analisis Respon Impuls jika Shock Berasal dari Ekspor ... 48 Gambar. 4.4 Analisis Respon Impuls jika Shock Berasal dari PDB . 49
xi
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Data Kuartalan PDB dan Ekspor Indonesia Periode 2002:Q1 sampai dengan 2017:Q4 dengan Satuan
Trilliun Rupiah ... 55
Lampiran 2. Hasil Uji Stasioneritas Ragam ... 56
Lampiran 3. Hasil Uji Stasioneritas Rata-rata ... 57
Lampiran 4. Hasil Uji Kausalitas Granger... 58
Lampiran 5. Hasil Uji Kointegrasi dengan Trace Test ... 59
Lampiran 6. Skema MACF dan MPACF ... 60
Lampiran 7. Hasil Pendugaan Parameter VECM ... 61
Lampiran 8. Hasil Uji Sisaan VECM ... 63
Lampiran 9. Hasil Pendugaan Parameter Structural VECM ... 65
Lampiran 10. Hasil Bootstrapping Impulse Response ... 66
1 BAB I
PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
Model Vector Autoregressive (VAR) merupakan salah satu model multivariat time series yang dapat menangkap hubungan timbal balik yang dinamis antar variabel yang mana mengharuskan semua variabel stasioner. Menurut Enders (2004), selain kestasioneran perlu mempertimbangkan keberadaan kointegrasi dalam model, yaitu untuk mengetahui hubungan kesetimbangan jangka panjang antara variabel dependen dan variabel independen dengan kata lain apakah terdapat variabel yang dipengaruhi oleh efek jangka panjang. Apabila data deret waktu tidak stasioner dan terdapat hubungan kointegrasi maka dapat menerapkan Vector Error Correction Model (VECM). Jika model VECM yang terbentuk memiliki sisaan yang tidak white noise, maka perlu dilakukan pemodelan terhadap sisaan tersebut. Salah satu model deret waktu multivariat yang dapat digunakan untuk memodelkan sisaan tersebut adalah Structural Vector Error Correction Model (structural VECM).
Pada model VECM tidak secara eksplisit menyertakan asumsi ekonomi, sebagai contoh yaitu guncangan (shock) dari kebijakan- kebijakan moneter dan informasi yang terkandung dalam matriks kointegrasi tidak digunakan untuk mengidentifikasi batasan pada guncangan (shock), dimana pada model structural VECM informasi tersebut digunakan untuk mengidentifikasi guncangan (shock) melalui respon impuls. Pada model structural VECM diterapkan batasan jangka panjang dan jangka pendek pada matriks kointegrasi.
Guncangan (shock) tidak dapat diprediksi dari masa lalu proses, sehingga diperlukan asumsi untuk mengidentifikasinya. Pada model Structural VECM, matriks kovarian berdistribusi normal asimtotik, oleh karena itu diterapkan metode bootstrap. Metode bootstrap digunakan untuk menyusun interval kepercayan (Cl) dari fungsi respon impuls pada model structural VECM.
Pada penelitian sebelumnya, Kruseck (2003) telah melakukan pemodelan Structural Vector Error Correction Model (structural VECM) pada data GDP di empat negara yang termasuk ke dalam EMU OECD dan empat negara yang tidak termasuk EMU OECD di Eropa. Identifikasi shock didapatkan dengan membedakan
2
guncangan jangka panjang dan guncangan jangka pendek dan menunjukkan bahwa guncangan (shock) belanja pemerintah berpengaruh terhadap GDP. Sumara (2017) telah meneliti efek terjadinya shock pada perubahan pertumbuhan ekonomi dan ekspor di indonesia menggunakan model Bayesian Vector Auotoregressive (BVAR). Hasil analisis menunjukkan variabel pertumbuhan ekonomi dan ekspor terintegrasi pada ordo yang sama yaitu I(1), maka kemungkinan terdapat hubungan jangka panjang (long run) antar kedua variabel tersebut.
Produk Domestik Bruto (PDB) merupakan salah satu indikator penting untuk mengetahui perkembangan perekonomian di suatu negara dalam suatu periode tertentu, baik atas dasar harga berlaku maupun atas dasar harga konstan. PDB menurut harga berlaku digunakan untuk mengetahui pergeseran, dan struktur ekonomi suatu negara. Agar tercapai pertumbuhan ekonomi yang baik, pemerintah di setiap negara memiliki kebijakan-kebijakan, salah satunya melalui kebijakan perdagangan internasional yaitu ekspor dan impor.
Perdagangan internasional merupakan salah satu faktor penting yang memberikan kontribusi dalam meningkatkan pertumbuhan ekonomi Indonesia, proses perdagangan internasional umum disebut sebagai ekspor dan impor. Ekspor merupakan bagian penting dari perdagangan internasional. Data dari Badan Pusat Statistik (BPS) juga menyebutkan bahwa sektor perdagangan sebagai penyumbang ketiga terbesar bagi pertumbuhan ekonomi dalam lima tahun terakhir.
Teori ekonomi makro menjelaskan bahwa pertumbuhan ekonomi dan ekspor memiliki hubungan, dimana ekspor merupakan bagian dari tingkat pendapatan nasional. Hubungan jangka pendek (short run) maupun jangka panjang (long run) dari pertumbuhan ekonomi dan ekspor secara empiris merupakan kasus menarik untuk dibahas. Dari perkembangan ekspor Indonesia dapat menggerakkan pertumbuhan ekonomi dan sebaliknya pertumbuhan ekonomi yang mapan dapat meningkatkan ekspor.
Berdasarkan penelitian terdahulu dan beberapa penjelasan mengenai adanya hubungan sebab akibat antara pertumbuhan ekonomi dan ekspor Indonesia, serta untuk mengetahui efek shock maka penerapan model structural VECM dapat digunakan sebagai alternatif pemodelan yang tepat. Model tersebut dapat diterapkan
3 pada data PDB dan ekspor kuartalan di Indonesia sebagai variabel endogen.
1.2 Rumusan Masalah
Rumusan masalah yang akan dibahas pada skripsi ini sebagai berikut:
1. Bagaimana penerapan Structural Vector Error Correction Model (structural VECM) dalam memodelkan pertumbuhan ekonomi dan ekspor Indonesia?
2. Bagaimana efek shock pada variabel pertumbuhan ekonomi dan ekspor Indonesia melalui analisis respon impuls?
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini yaitu sebagai berikut:
1. Menerapkan Structural Vector Error Correction Model (structural VECM) pada data pertumbuhan ekonomi dan ekspor Indonesia.
2. Analisis efek terjadinya shock terhadap pertumbuhan ekonomi dan ekspor Indonesia melalui respon impuls.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Memberikan informasi tentang Structural Vector Error Correction Model (Structural VECM) yang diterapkan pada data pertumbuhan ekonomi dan ekspor Indonesia.
2. Mengetahui efek terjadinya shock terhadap pertumbuhan ekonomi dan ekspor Indonesia melalui respon impuls.
1.5 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini terdapat beberapa batasan masalah, yaitu sebagai berikut:
1. Data kuartalan ekspor Indonesia diperoleh dari proses perhitungan rata-rata dengan tidak memperhitungkan adanya efek akumulasi nilai yang akan ditimbulkan.
2. Batasan yang diterapkan pada matriks parameter adalah batasan jangka panjang (long run restriction).
3. Data yang digunakan dalam analisis Vector Error Correction Model (VECM) adalah data asli (data sebelum transformasi).
4
5 BAB II
TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Analisis Deret Waktu
Deret waktu merupakan serangkaian hasil pengamatan yang disusun menurut urutan waktu. Secara umum terdapat dua tujuan dari analisis deret waktu. Tujuan pertama adalah untuk memodelkan mekanisme stokastik. Tujuan kedua adalah untuk meramalkan nilai pada masa mendatang berdasarkan data pada masa lalu dan faktor lain yang masih berhubungan (Cryer, 2008).
Menurut Box dan Jenkins (1976), deret waktu adalah sekelompok nilai-nilai pengamatan yang diperoleh pada titik waktu yang berbeda dengan selang waktu yang sama dan barisan data diasumsikan saling bebas satu sama lain. Jadi, model deret waktu adalah suatu model dimana observasi yang satu dengan yang lain saling berkorelasi. Ciri-ciri dalam pembentukan model deret waktu adalah data stasioner terhadap ragam dan rata-rata.
2.2 Stasioneritas Deret Waktu
Menurut Makridakis dkk. (1997), suatu data deret waktu dikatakan stasioner apabila tidak terdapat penambahan atau penurunan data dari waktu ke waktu, data menyebar di sekitar rata- rata dan ragam yang konstan. Artinya sifat statistiknya tidak bergantung pada waktu tertentu (periode) di mana dilakukan pengamatan.
Menurut Cryer (2008), suatu deret waktu dikatakan stasioner apabila peluang dari perilaku proses tidak berubah menurut waktu.
Jadi, dengan kata lain prosesnya berada dalam kesetimbangan.
Pemeriksaan stasioneritas data deret waktu terdiri dari dua jenis, yaitu stasioneritas terhadap ragam dan rata-rata.
2.2.1 Kestasioneran terhadap Ragam
Stasioneritas terhadap ragam dapat diperiksa melalui plot Box-Cox. Data deret waktu dikatakan stasioner terhadap ragam apabila data berfluktuasi dengan ragam konstan dari waktu ke waktu. Menurut Wei (2006), jika nilai parameter transformasi lambda (𝜆) sama dengan satu atau mendekati satu maka data tersebut telah stasioner terhadap ragam. Data deret waktu yang
6
tidak stasioner terhadap ragam maka dapat distasionerkan melalui transformasi Box-Cox. Menurut Draper dan Smith(1998), rumus trnasformasi Box-Cox seperti berikut :
𝑇(𝑌𝑡) = 𝑌𝑡(𝜆) = {𝑌𝑡
𝜆−1 𝜆 , 𝜆 ≠ 0
ln 𝑌𝑡, 𝜆 = 0 (2.1) dimana 𝜆 merupakan parameter transformasi Box-Cox.
Jika nilai 𝜆 pada persamaan (2.1) sama dengan satu atau mendekati satu, maka tidak perlu dilakukan transformasi. Beberapa nilai lambda dan transformasi yang umum digunakan disajikan dalam Tabel 2.1.
Tabel 2.1. Nilai 𝜆 dan Transformasi
Nilai Lambda -1 -0,5 0 0,5 1
Hasil Transformasi
1 𝑌𝑡
1
√𝑌𝑡
ln 𝑌𝑡 √𝑌𝑡 𝑌𝑡
Menurut Ispriyanti (2004), pendugaan terhadap nilai lambda (λ) menggunakan metode kemungkinan maksimum sebagai berikut:
𝑻(𝑌𝑡) = [ 𝑌1(𝜆) 𝑌2(𝜆)
⋮ 𝑌𝑡(𝜆)
] = 𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝜺
Dengan fungsi kepekatan peluang sebagai berikut:
𝑓 ((𝑌1(𝜆), … , 𝑌𝑡(𝜆)), 𝛽0, 𝛽1, … , 𝛽𝑝−1, 𝜎2, 𝜆) =
(2𝜋𝜎2)−𝑇2exp (−2𝜎12((𝑻(𝑌𝑡) − 𝑿𝜷)′(𝑻(𝑌𝑡) − 𝑿𝜷))) (2.2) Berdasarkan persamaan (2.2) diperoleh :
1. Pendugaan Parameter 𝛽
𝜕 ln 𝑓(𝑻(𝑌𝑡), 𝛽0, 𝛽1, … , 𝛽𝑝−1, 𝜎2, 𝜆)
𝜕𝛽 = 0
𝜕 {− (𝑇
2) ln(2𝜋𝜎2) − ( 12𝜎2) [(𝑻(𝑌𝑡) − 𝑿𝜷)′(𝑻(𝑌𝑡) − 𝑿𝜷)]}
𝜕𝛽 = 0
(𝑿′𝑿)𝜷 − 𝑿′𝑻(𝑌𝑡) = 0
7 (𝑿′𝑿)𝜷 = 𝑿′𝑻(𝑌𝑡)
𝑏 = (𝑿′𝑿)−1𝑿′𝑻(𝑌𝑡) (2.3) 2. Pendugaan Parameter 𝜎2
𝜕 ln 𝑓(𝑻(𝑌𝑡), 𝛽0, 𝛽1, … , 𝛽𝑝−1, 𝜎2, 𝜆)
𝜕𝜎2 = 0
𝜕 {− (𝑇
2) ln(2𝜋𝜎2) − ( 12𝜎2) [(𝑻(𝑌𝑡) − 𝑋𝛽)′(𝑻(𝑌𝑡) − 𝑋𝛽)]}
𝜕𝜎2 = 0
𝜕 {− (𝑇
2) ln(2𝜋) − (𝑇
2) ln(𝜎2) − ( 12𝜎2) [(𝑻(𝑌𝑡) − 𝑋𝛽)′(𝑻(𝑌𝑡) − 𝑋𝛽)]}
𝜕𝜎2 = 0
− 𝑇
2𝜎2+ 1
2(𝜎2)2(𝑻(𝑌𝑡) − 𝑋𝑏)′(𝑻(𝑌𝑡) − 𝑋𝑏) = 0 𝑇
2𝜎2=(𝑻(𝑌𝑡) − 𝑋𝑏)′(𝑻(𝑌𝑡) − 𝑋𝑏) 2(𝜎2)2
𝑻(𝑌𝑡) = 𝑋𝛽 = 𝑋(𝑋′𝑋)−1𝑋′𝑻(𝑌𝑡) maka diperoleh :
𝜎̂2(𝜆) =(𝑻(𝑌𝑡)−𝑋𝑏)′(𝑻(𝑌𝑇 𝑡)−𝑋𝑏)=𝑆𝑆𝐸
𝑇 (2.4) 3. Pendugaan Parameter 𝜆
𝑓(𝑻(𝑌𝑡), 𝜷, 𝜎2, 𝜆) = (2𝜋𝜎2)−𝑇2exp (− 1
2𝜎2((𝑻(𝑌𝑡) − 𝑿𝜷)′(𝑻(𝑌𝑡) − 𝑿𝜷))) 𝐿 maks(𝜆) = −𝑇
2ln(2𝜋) −𝑇
2ln(𝜎2) − 1
2𝜎2[(𝑻(𝑌𝑡) − 𝑋𝑏)′(𝑻(𝑌𝑡) − 𝑋𝑏)]
𝐿 maks(𝜆) = −𝑇
2ln(2𝜋) −𝑇 2ln (𝑆𝑆𝐸
𝑇 ) − 𝑇
2𝑆𝑆𝐸[(𝑻(𝑌𝑡) − 𝑋𝑏)′(𝑻(𝑌𝑡) − 𝑋𝑏)]
𝐿 maks(𝜆) = −𝑇
2ln(2𝜋) −𝑇
2ln (𝑆𝑆𝐸
𝑇 ) − 𝑇 2𝑆𝑆𝐸
𝑇𝑆𝑆𝐸 𝑇 𝐿 maks(𝜆) = −𝑇
2ln(2𝜋) −𝑇
2ln (𝑆𝑆𝐸
𝑇 ) −𝑇
2 (2.5) Dengan memisalkan 𝑐 = −𝑇2ln(2𝜋) −𝑇2, maka persamaan (2.5) menjadi :
8
𝐿 maks(𝜆) = 𝑐 −𝑇2ln (𝑆𝑆𝐸𝑇 ) = 𝑐 −𝑇2ln 𝜎̂2(𝜆) (2.6) dengan selang kepercayaan (confidence interval) sebagai berikut :
𝐶𝐼 = 𝐿 maks (𝜆) −1
2𝜒(1),(1−𝛼)2 (2.7) di mana:
𝑿 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑇)𝑇 𝜷 = 𝛽0, 𝛽1, … , 𝛽𝑝−1 𝑇 : banyaknya amatan
Berdasarkan persamaan (2.6) dipilih nilai 𝜆 (lambda) yang meminimukan nilai 𝜎(𝜆)2 (ragam sisaan).
2.2.2 Kestasioneran terhadap Rata-rata
Menurut Makridakis, dkk. (1997), jika suatu data deret waktu tidak terdapat perubahan rata-rata dari waktu ke waktu, maka dapat dikatakan data tersebut stasioner terhadap rata-rata.
Untuk mempermudah, kestasioneran dapat juga dilihat plot ACF dan PACF dari data deret waktu. Jika pada plot ACF menurun secara perlahan seperti jumlah lag meningkat, maka data dikatakan tidak stasioner terhadap rata-rata. Salah satu cara untuk menghilangkan ketidakstasoneran adalah dengan differencing dengan memberi notasi d untuk banyaknya proses differencing yang dilakukan. Bentuk differencing pertama adalah sebagai berikut :
∇𝑌𝑡 = (1 − 𝐵)𝑌𝑡 = 𝑌𝑡− 𝐵𝑌𝑡 = 𝑌𝑡− 𝑌𝑡−1 (2.8) Apabila telah dilakukan differencing pertama namun autokorelasi data tidak mendekati nol sesudah lag kedua atau ketiga, hal ini menunjukkan bahwa stasioneritas belum terpenuhi sehingga diperlukan differencing kedua dengan bentuk seperti berikut :
∇2𝑌𝑡 = (𝑌𝑡− 𝑌𝑡−1) − (𝑌𝑡−1− 𝑌𝑡−2) = ∇𝑌𝑡− ∇𝑌𝑡−1 (2.9) Proses differencing orde ke-d dapat ditulis sebagai berikut :
∇𝑑𝑌𝑡 = (1 − 𝐵)𝑌𝑡 (2.10)
9 di mana:
𝑌𝑡 : pengamatan pada periode waktu ke-t 𝑌𝑡−1 : pengamatan pada periode waktu ke-t-1
∇𝑌𝑡 : data hasil pembeda pertama pada periode waktu ke-t
∇2𝑌𝑡 : data hasil pembeda kedua pada periode waktu ke-t
∇𝑑𝑌𝑡 : data hasil pembeda ke-d pada periode waktu ke-t
Namun pada praktiknya jarang diperlukan lebih dari dua kali differencing karena data asli pada umumnya tidak stasioner dengan hanya satu atau dua tingkat. Selain menggunakan plot ACF, terdapat metode pengujian stasioneritas rata-rata yang lebih formal yaitu uji akar-akar unit (Unit Root Test).
Uji akar unit dilakukan agar tidak terjadi masalah regresi lancung (spurious regression). Jika sebuah variabel memiliki akar unit, maka dapat dikatakan bahwa variabel tersebut tidak stasioner.
Pada prinsipnya pengujian akar unit sangat penting dilakukan untuk mengetahui derajat integrasi pada masing-masing variabel yang digunakan dalam model, untuk menentukan apakah variabel stasioner atau tidak, serta untuk menentukan berapa kali harus dilakukan pembedaan hingga menghasilkan rangkaian variabel yang stasioner (Harris dan Sollis, 2003).
Salah satu cara untuk menguji akar unit yang dikembangkan oleh Dickey dan Fuller (1979) adalah Uji Dickey-Fuller. Untuk memudahkan mengenai uji Dickey-Fuller diberikan model AR(1) seperti berikut:
𝑌𝑡 = 𝜙𝑌𝑡−1+ 𝑢𝑡 (2.11) Kemudian persamaan (2.11) dilakukan pengurangan kedua sisi dengan 𝑌𝑡−1 sehingga diperoleh persamaan seperti berikut :
𝑌𝑡− 𝑌𝑡−1 = 𝜙𝑌𝑡−1− 𝑌𝑡−1+ 𝑢𝑡
∇𝑌𝑡 = (𝜙 − 1)𝑌𝑡−1+ 𝑢𝑡
∇𝑌𝑡= 𝛿𝑌𝑡−1+ 𝑢𝑡 (2.12) di mana:
𝑢𝑡~𝐼𝐼𝐷(0, 𝜎2) 𝛿 = 𝜙 − 1
𝑌𝑡 : variabel yang diamati pada waktu ke-t 𝑡 : waktu
10
Hipotesis uji Dickey-Fuller seperti berikut:
𝐻0: 𝛿 = 0 (data tidak stasioner) 𝐻1: 𝛿 < 0 (data stasioner) Statistik uji yang digunakan adalah :
𝑡 =𝑆𝑒(𝛿̂)𝛿̂ (2.13) dengan:
𝛿̂ =∑∑𝑇𝑡=1𝑌𝑡−1𝑌𝑡
𝑌2𝑡−1 𝑇𝑡=1 𝜎̂𝑎2=∑ (𝑌𝑡−𝛿̂𝑌𝑡−1)
𝑇 2 𝑡=1
𝑇−1
𝑆𝑒(𝛿̂) = 𝜎̂𝑎
√∑𝑇𝑡=1𝑌2𝑡−1 di mana:
𝛿̂ : nilai duga parameter autoregressive 𝑆𝑒(𝛿̂) : standar error 𝛿̂
Jika statistik uji 𝑡 lebih kecil dari 𝑡𝛼,𝑇 Dickey-Fuller maka 𝐻0 ditolak yang berarti data sudah stasioner terhadap rata-rata. Jika statistik uji 𝑡 lebih besar dari 𝑡𝛼,𝑇 Dickey-Fuller maka 𝐻0 diterima yang berarti data tidak stasioner terhadap rata-rata sehingga perlu dilakukan differencing. Proses differencing dilakukan hingga data hasil differencing menunjukkan kondisi stasioner.
2.3 Pengujian Kausalitas Granger
Uji kausalitas bertujuan untuk menguji apakah terdapat hubungan dua arah atau hanya satu arah antar variabel yang terdapat dalam model. Konsep kausalitas diperkenalkan oleh Granger (1969), di mana pengujian kausalitas Granger dilakukan karena ketidaktahuan adanya pengaruh antar variabel. Jika ada dua variabel 𝑌𝑖,𝑡 dan 𝑌𝑗,𝑡, maka ingin diketahui apakah 𝑌𝑖,𝑡 menyebabkan 𝑌𝑗,𝑡, atau 𝑌𝑗,𝑡 meyebabkan 𝑌𝑖,𝑡 atau berlaku keduanya atau tidak ada hubungan keduanya. Variabel 𝑌𝑗,𝑡 menyebab variabel 𝑌𝑖,𝑡 artinya berapa banyak nilai 𝑌𝑖,𝑡 pada periode sekarang dapat dijelaskan oleh nilai 𝑌𝑖,𝑡 pada periode sebelumnya dan nilai 𝑌𝑗,𝑡 pada periode sebelumnya (Lutkepohl dan Kratzig, 2004).
11 Uji kausalitas Granger untuk dua variabel 𝑌𝑖,𝑡 dan 𝑌𝑗,𝑡 yang merupakan variabel stasioner, dapat dirumuskan sebagai berikut:
∇𝑌𝑖,𝑡= 𝑎0+ ∑𝑙1=1𝑎𝑖∇𝑌𝑖,𝑡−𝑙+ ∑𝑙1=1𝛽𝑖∇𝑌𝑗,𝑡−𝑙+ 𝜋𝑡𝑌𝑖,𝑡−1+ 𝑢𝑡(2.14)
∇𝑌𝑗,𝑡= 𝜆0+ ∑𝑙1=1𝜆𝑖∇𝑌𝑗,𝑡−𝑙+ ∑𝑙1=1𝛿𝑖∇𝑌𝑖,𝑡−𝑙+ 𝜋𝑡𝑌𝑗,𝑡−1+ 𝑢𝑡 (2.15) di mana:
𝑖 ≠ 𝑗
𝑌𝑖,𝑡 : variabel ke-i yang dapat diamati pada waktu ke-t 𝑌𝑗,𝑡 : variabel ke-j yang dapat diamati pada waktu ke-t 𝜀𝑡 : galat white noise
𝑎0, 𝜆0 : konstanta
𝑎𝑖 : koefisien regresi dari variabel 𝑌𝑖,𝑡 pada pengujian 𝑌𝑗,𝑡 sebagai variabel bebas dan 𝑌𝑖,𝑡 sebagai variabel respon 𝛽𝑖 : koefisien regresi dari variabel 𝑌𝑗,𝑡 pada pengujian 𝑌𝑗,𝑡
sebagai variabel bebas dan 𝑌𝑖,𝑡 sebagai variabel respon 𝜆𝑖 : koefisien regresi untuk variabel 𝑌𝑖,𝑡 pada pengujian 𝑌𝑖,𝑡
sebagai variabel bebas dan 𝑌𝑗,𝑡 sebagai variabel respon 𝛿𝑖 : koefisien regresi untuk variabel 𝑌𝑗,𝑡 pada pengujian 𝑌𝑖,𝑡
sebagai variabel bebas dan 𝑌𝑗,𝑡 sebagai variabel respon 𝜋𝑡 : koefisien dari error correction
Hipotesis untuk pengujian kausalitas Granger adalah sebagai berikut:
1. Hipotesis yang digunakan untuk menguji variabel 𝑌𝑗,𝑡 adalah:
𝐻0: 𝛽1= 𝛽2= ⋯ = 𝛽𝑙 = 0 vs
𝐻1: paling tidak terdapat satu nilai 𝛽𝑙 ≠ 0
2. Hipotesis yang digunakan untuk menguji variabel 𝑌𝑖,𝑡 adalah:
𝐻0: 𝛿1 = 𝛿2= ⋯ = 𝛿𝑙 = 0 vs
𝐻1: paling tidak terdapat satu nilai 𝛿𝑙 ≠ 0
Untuk menguji hipotesis tersebut, digunakan statistik uji F seperti berikut:
𝐹 =𝑅𝑆𝑆𝑅−𝑅𝑆𝑆𝑢⁄𝑚
𝑅𝑆𝑆𝑢 (𝑇−𝑘)⁄ (2.16) di mana:
𝑅𝑆𝑆𝑅 : jumlah kuadrat sisaan untuk restricted regression 𝑅𝑆𝑆𝑢 : jumlah kuadrat sisaan untuk unrestricted regression
12
𝑚 : banyaknya suku time lag yang tidak diikutsertakan dalam restricted regression
𝑇 : banyaknya sampel pengamatan
𝑘 : banyaknya parameter yang diestimasi pada model unrestricted regression
Kriteria pengujian uji kausalitas Granger adalah membandingkan nilai stastik uji F dengan nilai F tabel atau membandingkan probabilitas dengan nilai signifikansi 5%. Jika nilai stastik uji F lebih besar dari nilai F tabel atau nilai probabilitas kurang dari 5% maka H0 ditolak, artinya antar variabel endogen terdapat hubungan dan saling mempengaruhi.
2.4 Model Vector Autoregressive (VAR)
Model VAR diperkenalkan oleh Cristopher Sims pada tahun 1972. Model VAR merupakan suatu model deret waktu yang digunakan untuk menjelaskan hubungan independensi dan kausalitas antara variabel-variabel ekonomi. Menurut Enders (2015), model VAR merupakan suatu sistem persamaan dinamis di mana pendugaan suatu variabel pada periode tertentu bergantung pada pergerakan variabel tersebut dan variabel lain yang terlibat dalam sistem pada periode-periode sebelumnya.
Menurut Lutkepohl dan Kratzig (2005), jika diberikan 𝑀 variabel endogen 𝑌𝑡 = (𝑌1𝑡, 𝑌2𝑡, … , 𝑌𝑀𝑡) maka dapat dibentuk persamaan model VAR dengan ordo p sebagai berikut :
𝑌𝑡 = ∑𝑝𝑖=1𝐴𝑖𝑌𝑡−𝑖+ 𝑢𝑡 (2.17) di mana:
𝑌𝑡 : matriks berukuran 𝑀 × 1
𝐴𝑖 : matriks koefisien variabel endogen yang berukuran 𝑀 × 𝑀 𝑢𝑡 : sisaan yang bersifat white noise berdimensi 𝑀
𝑀 : banyaknya variabel endogen
2.5 Vector Error Correction Model (VECM)
Menurut Lutkepohl dan Kratzig (2004), Vector Error Correction Model (VECM) digunakan apabila data tidak stasioner dan terkointegrasi serta setiap variabel selain dipengaruhi oleh nilai masa lalu peubah itu sendiri juga dipengaruhi oleh nilai masa lalu peubah-peubah lain yang terdapat dalam model. Menurut Harris
13 dan Sollis (2003), VECM merupakan suatu metode yang dapat digunakan untuk mengatasi permasalahan data deret waktu yang tidak stasioner dan terjadi regresi lancung (spurious regression) dalam analisis ekonometrika.
Bentuk umum VECM adalah sebagai berikut,
𝛁𝒀𝒕= 𝚷𝑌𝑡−1+ 𝚪1𝛁𝒀𝒕−𝟏+ 𝚪2𝛁𝒀𝒕−𝟐+ ⋯ + 𝚪𝑝−1𝛁𝒀𝒕−𝒑+𝟏+ 𝒖𝒕
𝛁𝒀𝒕= 𝚷𝒀𝒕−𝟏+ ∑𝑝−1𝑖=1 𝚪𝑖𝛁𝒀𝒕−𝒊+ 𝒖𝑡 (2. 18) dengan
∇𝒀𝒕 = [
∇𝑌1𝑡
∇𝑌2𝑡
⋮
∇𝑌𝑀𝑡 ]
𝑀×1
𝒀𝒕−𝟏= [ 𝑌1,𝑡−1 𝑌2,𝑡−1
⋮ 𝑌𝑀,𝑡−1
]
𝑀×1
𝛁𝒀𝒕−𝒊= [
∇𝑌1,𝑡−𝑖
∇𝑌2,𝑡−𝑖
⋮
∇𝑌𝑀,𝑡−𝑖 ]
𝑀×1
𝚷 = [
Π11 Π12 … Π1𝑀 Π21 Π22 … Π2𝑀
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
Π𝑀1 Π𝑀2 … Π𝑀𝑀 ]
𝑀×𝑀
𝚪𝑖= [
Γ11,𝑖 Γ12,𝑖 ⋯ Γ𝑀1,𝑖 Γ21,𝑖 Γ22,𝑖 ⋯ Γ𝑀2,𝑖
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
Γ𝑀1,𝑖 Γ𝑀2,𝑖 ⋯ Γ𝑀𝑀,𝑖]𝑀×𝑀
𝑢𝑡 = [ 𝑢1𝑡 𝑢2𝑡
⋮ 𝑢𝑀𝑡
]
𝑀×1
di mana:
𝛁𝒀𝒕 : vektor pembeda pertama variabel endogen berdimensi 1 𝑌𝑡 : variabel yang dapat diamati pada waktu ke-t
𝚷 : matriks kointegrasi berukuran 𝑀 × 𝑀 𝚪𝒊 : matriks koefisien parameter 𝑀 × 𝑀
𝒖𝒕 : vektor sisaan yang bersifat white noise berukuran 𝑀 × 1 Misalkan terdapat dua variabel endogen 𝑌1 dan 𝑌2, maka bentuk VECM (1) adalah sebagai berikut:
[∇𝑌1𝑡
∇𝑌2𝑡] = [Π11 Π12 Π21 Π22] [
𝑌1,𝑡−1
𝑌2,𝑡−1] + [Γ11,1 Γ12,2
Γ21,1 Γ22,2] [∇𝑌1,𝑡−1
∇𝑌2,𝑡−1] + [𝑢1𝑡 𝑢2𝑡]
2.6 Kointegrasi
Pengujian kointegrasi merupakan salah satu metode untuk mengindikasikan kemungkinan adanya hubungan kesetimbangan jangka panjang antara variabel dependen dan variabel independen.
Menurut Harris dan Sollis (2003), kointegrasi dapat diartikan
14
sebagai kombinasi linier dari variabel yang tidak stasioner dan terintegrasi pada ordo yang sama. Jika sebuah data deret waktu dilakukan pembeda sebanyak d kali hingga tercapai stasioneritas, maka data deret waktu tersebut dikatakan terintegrasi dengan derajat d yang dilambangkan dengan I(d). Komponen-komponen dari vektor 𝑌𝑡 = (𝑌1𝑡, 𝑌2𝑡, … , 𝑌𝑛𝑡)′ dikatakan terintegrasi pada ordo d,b* atau dilambangkan dengan 𝑌𝑡~𝐶𝐼(𝑑, 𝑏∗) jika :
1. Semua komponen dari 𝑌𝑡 terintegrasi pada ordo d atau dinotasikan dengan I(d).
2. Kombinasi linier dari 𝑌𝑡 memiliki sifat 𝑢𝑡~𝐶(𝑑 − 𝑏∗), 𝑏 > 0 atau proses stasioner.
Harris dan Sollis (2003) menyatakan bahwa uji kointegrasi yang dapat digunakan adalah kointegrasi yang dikembangkan Johansen. Diketahui model VECM seperti persamaan (2.18) dan dapat ditulis sebagai berikut:
𝛁𝒀𝒕 = 𝚷𝒀𝒕−𝟏+ ∑𝑝−1𝑖=1 𝚪𝑖𝛁𝒀𝒕−𝒊+ 𝒖𝑡
Persamaan (2.18) mengandung informasi jangka panjang dan jangka pendek terhadap perubahan 𝑌𝑡. Rank matriks kointegrasi dilambangkan dengan r yaitu untuk menentukan berapa banyak kombinasi linier stasioner 𝑌𝑡. Matriks kointegrasi (𝚷) dapat difaktorisasi sehingga 𝚷 = 𝛂𝛃′, apabila terdapat M variabel endogen, maka 𝚷 dapat dinyatakan sebagai berikut :
𝚷 = 𝛂𝛃′ (2.19)
[
Π11 Π12 ⋯ Π1𝑀
Π21 Π22 ⋯ Π2𝑀
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
Π𝑀1 Π𝑀1 ⋯ Π𝑀𝑀
] = [
α11 α12 … α1𝑟
α21 α22 … α2𝑟
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
α𝑀1 α𝑀2 … α𝑀𝑟 ] [
β11 β21 … β𝑀1
β12 β22 … β𝑀2
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
β1𝑟 β2𝑟 … β𝑀𝑟
]
di mana:
𝛂 : matriks penyesuaian keseimbangan jangka pendek
𝛃 : matriks koefisien jangka panjang yang mengandung vektor kointegrasi
Salah satu uji yang dapat digunakan untuk menentukan banyaknya vektor kointegrasi yaitu uji penelusuran (trace test). Uji ini dilakukan untuk menguji apakah paling banyak terdapat r atau (r+1) vektor kointegrasi. Jika terdapat M peubah endogen, maka dapat dibentuk hipotesis seperti berikut :
15 𝐻0∶ 𝑟 = 𝑞𝑖
𝐻1∶ 𝑟 = 𝑞𝑖+ 1 di mana:
𝑞𝑖 = 0,1,2, … , 𝑀 − 1
Statistik uji yang dapat digunakan adalah:
𝜆𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒 = −𝑇 ∑𝑀𝑖=𝑟+1ln(1 − 𝜆̂𝑖) (2.20) di mana:
𝑟 = 0,1,2, … , 𝑛 − 2, 𝑛 − 1
𝑀 : banyaknya variabel endogen
𝜆̂𝑖 : pendugaan nilai eigen yang diperoleh dari pendugaan terhadap matriks kointegrasi (Π)
𝑇 : banyaknya pengamatan
Menurut Harris dan Sollis (2003), kriteria pengambilan keputusan berdasarkan tabel nilai kritis uji ranking kointegrasi. Jika nilai 𝜆𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒> 𝜆trace(𝑀−𝑟) atau nilai p-value < nilai α, maka tolak 𝐻0 yang berarti terdapat ranking kointegrasi. Jika 𝜆𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒<
𝜆trace(𝑀−𝑟) atau nilai p-value > nilai α maka terima 𝐻0 yang berarti tidak terdapat ranking kointegrasi.
2.7 Matrix Autocorrelation Function (MACF)
Jika diberikan data deret waktu n observasi 𝑌1, 𝑌2, … , 𝑌𝑛 maka dapat ditentukan fungsi matriks autokorelasi (MACF) dengan rumus sebagai berikut:
𝝆̂(𝑘) = [𝜌̂𝑖𝑗(𝑘)] (2.21) dengan 𝜌̂𝑖𝑗 merupakan korelasi silang contoh dari komponen data ke-i dan ke-j yaitu,
𝜌̂𝑖𝑗 = ∑𝑛−𝑘𝑡=1(𝑌𝑖,𝑡−𝑌̅𝑖)(𝑌𝑗,𝑡+𝑘−𝑌̅𝑗)
[∑𝑛𝑡=1(𝑌𝑖,𝑡−𝑌̅𝑖)2∑𝑛𝑡=1(𝑌𝑗,𝑡−𝑌̅𝑗)2]1 2⁄ (2.22) di mana 𝑌̅𝑖 dan 𝑌̅𝑗 merupakan rata-rata contoh dari komponen data yang bersesuaian (Wei,2006).
16
2.8 Matrix Partial Autocorrelation Function (MPACF)
Menurut Enders (2004), Matrix Partial Autocorrelation Function (MPACF) digunakan untuk menentukan panjang lag optimum pada model VAR. Penentuan panjang lag optimum merupakan salah satu prosedur penting dalam pembentukan model VECM. Panjang lag optimum VECM didapatkan dari panjang lag optimum model VAR dikurangi satu (𝑝 − 1).
Tiao dan Box (1981) dalam Wei (2006), mendefinisikan matriks fungsi korelasi parsial pada lag ke-s yang dinotasikan dengan 𝓟(𝑠) sebagai koefisien matriks terakhir jika pada data diterapkan untuk suatu proses VAR pada ordo ke-s dimana 𝓟(𝑠) sama dengan 𝚽𝑠,𝑠. Merujuk kepada generalisasi multivariat dari persamaan Yule-Walker sebagai berikut:
[
𝚪(0) 𝚪′(1) ⋯ 𝚪′(s − 1) 𝚪(1) 𝚪(0) ⋯ 𝚪′(s − 2)
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝚪(s − 1) 𝚪(s − 2) ⋯ 𝚪(0) ]
𝑠×𝑠[ 𝚽′𝑠,1
𝚽′𝑠,2
⋮ 𝚽′𝑠,𝑠]𝑠×1
= [ 𝚪(1) 𝚪(2) 𝚪(s)⋮ ]
𝑠×1
(2.23)
Definisi dari 𝓟(𝑠) dan 𝚽𝑠,𝑠 untuk s ≥ 2 mengarah kepada pemecahan persamaan (2.23) dengan memisalkan
𝑨(𝑠)= [
𝚪(0) 𝚪′(1) ⋯ 𝚪′(s − 1) 𝚪(1) 𝚪(0) ⋯ 𝚪′(s − 2)
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝚪(s − 2) 𝚪(s − 3) ⋯ 𝚪(0) ]
(𝑠−1)×(𝑠−1)
𝒃(𝑠)= [
𝚪′(s − 1) 𝚪′(s − 2)
⋮ 𝚪′(1)
]
(𝑠−1)×1
𝒄(𝑠)= [ 𝚪(1) 𝚪(2) 𝚪(s − 1)⋮
] (𝑠−1)×1
dan
𝚽′∗(𝑠 − 1) = [
𝚽′𝑠,1 𝚽′𝑠,2
⋮
𝚽′𝑠,𝑠−1](𝑠−1)×1
(2.24)
Sehingga persamaan (2.24) dapat dituliskan sebagai berikut:
[𝑨(𝑠) 𝒃(𝑠)
𝒃′(𝑠) 𝚪(0)] [𝚽′∗(𝑠 − 1)
𝚽′𝑠,𝑠 ] = [𝒄(𝑠)
𝚪(s)] (2.25)
17 atau
𝑨(𝑠)𝚽′∗(𝑠 − 1) + 𝒃(𝑠)𝚽′𝑠,𝑠= 𝒄(𝑠) (2.26) 𝒃′(𝑠)𝚽′∗(𝑠 − 1) + 𝚪(0)𝚽′𝑠,𝑠= 𝚪(s) (2.27) Persamaan (2.25) dapat dijabarkan seperti berikut:
[𝑨(𝑠)]−1𝑨(𝑠)𝚽′∗(𝑠 − 1) + [𝑨(𝑠)]−1𝒃(𝑠)𝚽′𝑠,𝑠 = [𝑨(𝑠)]−1𝒄(𝑠) 𝚽′∗(𝑠 − 1) + [𝑨(𝑠)]−1𝒃(𝑠)𝚽′𝑠,𝑠 = [𝑨(𝑠)]−1𝒄(𝑠)
𝚽′∗(𝑠 − 1) = [𝑨(𝑠)]−1𝒄(𝑠) − [𝑨(𝑠)]−1𝒃(𝑠)𝚽′𝑠,𝑠 (2.28) Dengan mensubsitusikan persamaan (2.27) ke persamaan (2.28) dan pemecahan masalah untuk 𝚽′𝑠,𝑠 didapatkan:
𝚽′𝑠,𝑠= {𝚪(0) − 𝒃′(𝑠)[𝑨(𝑠)]−1𝒃(𝑠)}−1{𝚪(s) − 𝒃′(𝑠)[𝑨(𝑠)]−1𝒄(𝑠)} (2.29) Maka matriks fungsi korelasi parsial adalah sebagai berikut:
𝓟(𝑠) = { Γ′(1)[Γ(0)]−1, 𝑠 = 1
{Γ′(s) − 𝑐′(𝑠)[𝐴(𝑠)]−1𝑏(𝑠)}{Γ(0) − 𝑏′(𝑠)[𝐴(𝑠)]−1𝑏(𝑠)}−1, 𝑠 > 1(2.30) Di mana matriks 𝓟(𝑠), 𝚪(s), dan 𝚽′𝑠,𝑠 berukuran 𝑀 × 𝑀. Matriks kovarian 𝚪(s) dapat diduga dengan matriks kovarian sampel 𝚪̂(s):
𝚪̂(s) =1𝑛∑𝑛−𝑠𝑡=1(𝑌𝑡− 𝑌̅)(𝑌𝑡+𝑠− 𝑌̅)′, 𝑠 = 1,2,3, … (2.31) dimana 𝑌̅ = (𝑌̅1, 𝑌̅2, … , 𝑌̅𝑚) merupakan vektor rata-rata sampel.
2.9 Structural Vector Error Correction Model (Structural VECM)
Menurut Lutkepohl dan Kratzig (2004), Structural VECM merupakan suatu pendekatan untuk mengidentifikasi guncangan (shock) dengan menerapkan batasan pada matriks parameter. Pada Structural VECM ini diasumsikan data deret waktu stasioner pada differencing 1 yang dinotasikan dengan 𝐼(1) dan rank kointegrasi adalah r yang diperoleh dari model VECM pada persamaan (2.18).
Menurut Lutkepohl dan Kratzig (2005), untuk mengidentifikasi guncangan (shock) digunakan model Β dengan mencari matriks 𝚩. Guncangan (shock) dilambangkan dengan 𝜀𝑡. Secara matematis, hubungan 𝑢𝑡 dengan 𝜀𝑡 dapat dituliskan sebagai berikut:
𝑢𝑡 = 𝚩𝜀𝑡 (2.32)
18
Σ𝑢 = 𝚩Σ𝜀𝐁′ (2.33) dengan asumsi 𝜀𝑡~(0, 𝐼𝑀) maka diperoleh matriks kovarian dari 𝑢𝑡 seperti berikut :
Σ𝑢= 𝚩𝐁′
𝑣𝑒𝑐ℎ(Σ𝑢) = 𝑣𝑒𝑐ℎ(𝚩𝐁′) (2.34) Sehingga matriks 𝚩 diidentifikasi menggunakan differensiasi matriks dan vektor seperti berikut :
𝜕𝑣𝑒𝑐ℎ(𝚩𝐁′)
𝜕𝑣𝑒𝑐(𝚩)′ = 𝐃𝑀+ 𝜕𝑣𝑒𝑐ℎ(𝚩𝐁′)
𝜕𝑣𝑒𝑐(𝚩)′ = 𝐃𝑀+(𝐼𝑀2+ 𝐊𝑀𝑀)(𝚩 ⊗ 𝐼𝑀)
= 2𝐃𝑀+(𝚩 ⊗ 𝐼𝑀) (2.35) dengan 𝐃𝑀+ = (𝐃𝑀′ 𝐃𝑀)−𝟏𝐃𝑀′
di mana:
𝚩 : matriks efek jangka pendek dari shock berukuran 𝑀 × 𝑀 Σ𝑢 : matriks kovarian dari 𝑢𝑡 berukuran 𝑀 × 𝑀
Σ𝜀 : matriks kovarian dari 𝜀𝑡 berukuran 𝑀 × 𝑀 𝐃𝑀 : matriks duplikat berukuran 𝑀2× 𝑀(𝑀 + 1) 2⁄ Berikut bentuk matriks duplikat (𝐃𝑀) jika 𝑀 = 2:
𝐃2 = [
1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 ]
4×3
Berdasarkan persamaan (2.18) dan (2.32) bentuk umum model structural VECM dapat dituliskan sebagai berikut:
∇𝒀𝒕= 𝚷𝒀𝒕−𝟏+ Γ1∇𝒀𝒕−𝟏+ Γ2∇𝑌𝑡−2+ ⋯ + Γ𝑝−1∇𝑌𝑡−𝑝+1+ 𝚩𝜀𝑡
∇𝒀𝒕 = 𝚷𝒀𝒕−𝟏+ ∑𝑝−1𝑖=1 𝚪𝒊∇𝒀𝒕−𝒊+ 𝚩𝜀𝑡 (2.36) dengan
∇𝒀𝒕= [
∇𝑌1𝑡
∇𝑌2𝑡
⋮
∇𝑌𝑀𝑡 ]
𝑀×1
𝒀𝒕−𝟏= [ 𝑌1,𝑡−1 𝑌2,𝑡−1
⋮ 𝑌𝑀,𝑡−1
]
𝑀×1
∇𝒀𝒕−𝒊= [
∇𝑌1,𝑡−𝑖
∇𝑌2,𝑡−𝑖
⋮
∇𝑌𝑀,𝑡−𝑖 ]
𝑀×1
19 𝚷 = [
Π11 Π12 ⋯ Π1𝑀 Π21 Π22 ⋯ Π2𝑀
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
Π𝑀1 Π𝑀1 ⋯ Π𝑀𝑀 ]
𝑀×𝑀
𝚪𝒊= [
Γ11,𝑖 Γ12,𝑖 ⋯ Γ𝑀1,𝑖 Γ21,𝑖 Γ22,𝑖 ⋯ Γ𝑀2,𝑖
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
Γ𝑀1,𝑖 Γ𝑀2,𝑖 ⋯ Γ𝑀𝑀,𝑖]𝑀×𝑀
𝚩 = [
𝑏11 𝑏11 … 𝑏1𝑀 𝑏11 𝑏22 … 𝑏2𝑀
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑏𝑀1 𝑏𝑀2 … 𝑏𝑀𝑀 ]
𝑀×𝑀
𝜀𝑡 = [ 𝜀1𝑡 𝜀2𝑡
⋮ 𝜀𝑀𝑡
]
𝑀×1
di mana:
𝑖 = 1,2, … , 𝑝 − 1
∇𝒀𝒕 : vektor pembeda pertama variabel endogen berdimensi 𝑀 𝑌𝑡 : variabel yang dapat diamati pada waktu ke-t
𝚷 : matriks kointegrasi berukuran 𝑀 × 𝑀
𝚪𝒊 : matriks koefisien parameter berukuran 𝑀 × 𝑀
𝚩 : matriks efek jangka pendek dari shock berukuran 𝑀 × 𝑀 𝜺𝒕 : vektor structural shock berdimensi 𝑀
Berdasarkan persamaan (2.36) dapat dilihat bahwa galat model structural VECM merupakan campuran dari guncangan struktural. Disajikan kembali persamaan (2.18) seperti berikut:
𝛁𝒀𝒕= 𝚷𝒀𝒕−𝟏+ ∑𝑝−1𝑖=1 𝚪𝑖𝛁𝒀𝒕−𝒊+ 𝒖𝑡
𝛁𝒀𝒕= 𝛂𝛃′𝒀𝒕−𝟏+ ∑𝑝−1𝑖=1 𝚪𝑖𝛁𝒀𝒕−𝒊+ 𝒖𝑡
Kemudian 𝑌𝑡 memiliki representasi atau yang disebut juga dengan representasi Beveridge-Nelson seperti berikut:
𝑌𝑡 = 𝚵 ∑𝑡𝑖=1𝑢𝑖 + ∑∞𝑗=0𝚵𝒋∗𝑢𝑡−𝑗+ 𝑌0∗ (2.37) dengan
𝚵 = β⊥[𝛼′⊥(𝐼𝑀− ∑ Γ𝑖
𝑝−1
𝑖=1
) β⊥]
−1
𝛼′⊥
20
di mana:
𝑌𝑡 : variabel yang dapat diamati pada waktu ke-t 𝚵 : matriks rank 𝑀 − 𝑟
𝛼⊥ : matriks koefisien loading yang ortogonal berukuran 𝑀 × 𝑀 β⊥ : matriks kointegrasi yang ortogonal berukuran 𝑀 × 𝑀
𝑌𝑡 dikatakan terintegrasi pada ordo 1 atau I(1) jika persamaan (2.37) tidak sama dengan nol. Berdasarkan persamaan (2.37) efek jangka panjang dari guncangan (shock) terdapat pada
𝚵 ∑ 𝑢𝑖
𝑡
𝑖=1
dengan mensubsitusikan persamaan (2.32) diperoleh 𝚵 ∑ 𝑢𝑖
𝑡 𝑖=1
= 𝚵𝚩 ∑ 𝜀𝑖
𝑡
𝑖=1
sehingga efek jangka panjang dari guncangan (shock) dinyatakan seperti berikut:
𝚵B (2.38)
Batasan struktural untuk model structural VECM diberikan dalam bentuk batasan 𝚵𝐁 dan B seperti berikut:
𝐶𝚵𝐵𝑣𝑒𝑐(𝚵Β) = 𝒄𝒍 atau 𝐶𝑙𝑣𝑒𝑐(Β) = 𝒄𝒍 dan 𝐶s𝑣𝑒𝑐(Β) = 𝒄𝒔 (2.39) dimana
𝑪𝒍 : matriks batasan jangka panjang 𝑪𝐬 : matriks batasan jangka pendek
dengan batasan total adalah 𝑀(𝑀−1)2 , batasan efek jangka pendek adalah sebanyak 𝑟, dan batasan efek jangka panjang adalah 𝑀 − 𝑟, dimana 𝑀 adalah banyaknya variabel endogen.
2.10 Pendugaan Parameter Model 2.10.1 Pendugaan Parameter VECM
Pendugaan parameter VECM dapat menggunakan sistem persamaan Seemingly Unrelated Regression (SUR). Menurut Judge (1988), sistem persamaan SUR adalah sistem persamaan yang terdiri dari beberapa sistem persamaan regresi dimana tidak
21 terdapat korelasi residual antar pengamatan dalam satu persamaan, tetapi terdapat korelasi antar persamaan didalamnya. Secara umum model SUR adalah sebagai berikut:
𝑌𝑢 = 𝑋𝑢𝛽𝑢+ 𝑒𝑢 (2.40) atau dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut:
[ 𝑌1 𝑌2
⋮ 𝑌𝑀
] = [
𝑋1 0 … 0 0 𝑋2 … 0
⋮ ⋮
