Pengambilan Sampel Berstrata (Stratified Random Sampling)

LOGO

PERTEMUAN 6

LOGO

Pengertian

 Populasi sebanyak 𝑁 unit dikelompokkan menjadi

𝐿 subpopulasi, masing-masing subpopulasi terdiri dari 𝑁₁, 𝑁₂, …, 𝑁_𝐿 unit

 Subpopulasi yang terbentuk tidak boleh saling tumpang tindih (overlapping).

 Jumlah unit dari semua subpopulasi sama dengan jumlah populasi, sehingga:

𝑁₁ + 𝑁₂ + ⋯ + 𝑁_𝐿 = 𝑁

 Subpopulasi ini disebut strata.

 Penarikan sampel dilakukan untuk setiap strata, dan bersifat independent antara strata satu dengan strata lainnya.

𝑛₁ + 𝑛₂ + ⋯ + 𝑛_𝐿 = 𝑛

 Jika penarikan sampel di setiap strata dilakukan secara SRS, prosedur ini disebut stratified random sampling.

Keuntungan

 Meningkatkan efisiensi desain/presisi estimasi karakteristik populasi.

Prinsip:

1. Unit/elemen yang karakteristiknya hampir sama dikelompokkan dalam satu strata.

Unit-unit dalam strata (within stratum) -- > homogen 2. Perbedaan rata-ratakarakteristik antarstrata dibuat

sebesar mungkin.

Unit-unit antar strata (between stratum) -- > heterogen

 Masing-masing strata bisa dianggap sebagai populasi

tersendiri sehingga bisa diterapkan desain sampling yang berbeda.

 Estimasi bisa dilakukan untuk penyajian sampai level strata.

 Untuk kemudahan administratif.

LOGO

Skema Pembentukan Strata

♦ ♠ ♦ ♥ ♥ ♠ ♥ ♣ ♦ ♠ ♦ ♣

♠ ♦ ♠ ♣ ♠ ♥ ♠ ♦ ♠ ♠ ♣ ♠

♣ ♥ ♣ ♦ ♣ ♦ ♣ ♥ ♣ ♣ ♥ ♦

♥ ♣ ♥ ♠ ♥ ♣ ♥ ♥ ♠ ♦ ♥ ♥

♦ ♦ ♦ ♠ ♠ ♠ ♣ ♣ ♣ ♥ ♥ ♥

♦ ♦ ♦ ♠ ♠ ♠ ♣ ♣ ♣ ♥ ♥ ♥

♦ ♦ ♠ ♠ ♠ ♣ ♣ ♣ ♥ ♥ ♥♥

♦ ♦ ♠ ♠ ♠ ♣ ♣ ♣ ♥ ♥ ♥♥

Strata 1 Strata 2 Strata 3 Strata 4

POPULASI

STRATIFIKASI POPULASI

Skema Penarikan Sampel (1)

TAR halaman 1, baris 1, kolom 1, remainder approach

Baris Kolom (1-5) 1 88347 2 57140 3 74686 4 68013 5 57477 6 89127 7 26519 8 48045 9 22531 10 84887 11 72047 12 19645 13 46884 14 92289

1. ♠ 5. ♠ 9.♠

2. ♠ 6. ♠ 10.♠

3. ♠ 7. ♠ 11.♠

4. ♠ 8. ♠ 12.♠

STRATA 2

1. ♠ 5. ♠ 9.♠

2. ♠ 6. ♠ 10.♠

3. ♠ 7. ♠ 11.♠

4. ♠ 8. ♠ 12.♠

STRATA 2

𝑁₂ = 12, 𝑁₂^′ = 96

•74/12 sisa 2

•68/12 sisa 8

•57/12 sisa 9

1.♦ 5.♦ 9.♦

2.♦ 6.♦ 10.♦

3.♦ 7.♦

4.♦ 8.♦

STRATA 1

𝑵_𝟏 = 𝟏𝟎

1.♦ 5.♦ 9.♦

2.♦ 6.♦ 10.♦

3.♦ 7.♦

4.♦ 8.♦

STRATA 1

𝒏_𝟏 = 𝟐 𝑁₁ = 10,

𝑁₁^′ = 90

•88/10 sisa 8

•57/10 sisa 7

POPULASI SAMPEL

LOGO

Skema Penarikan Sampel (2)

Baris Kolom (1-5) 1 88347 2 57140 3 74686 4 68013 5 57477 6 89127 7 26519 8 48045 9 22531 10 84887 11 72047 12 19645 13 46884 14 92289

1.♥ 5.♥ 9.♥

2.♥ 6.♥ 10.♥

3.♥ 7.♥ 11.♥ 13.♥

4.♥ 8.♥ 12.♥ 14.♥

STRATA 4

𝑵_𝟒 = 𝟏𝟒

𝑁₄ = 14, 𝑁₄^′ = 98

•22/14 sisa 8

•84/14 sisa 0

•72/14 sisa 2

•19/14 sisa 5

1.♥ 5.♥ 9.♥

2.♥ 6.♥ 10.♥

3.♥ 7.♥ 11.♥ 13.♥

4.♥ 8.♥ 12.♥ 14.♥

STRATA 4

𝒏_𝟒 = 𝟒

1.♣ 5.♣ 9.♣

2.♣ 6.♣ 10.♣

3.♣ 7.♣ 11.♣

4.♣ 8.♣ 12.♣

STRATA 3

𝑵_𝟑 = 𝟏𝟐

𝑁₃ = 12, 𝑁₃^′ = 96

•89/12 sisa 5

•26/12 sisa 2

•48/12 sisa 0

POPULASI SAMPEL

1.♣ 5.♣ 9.♣

2.♣ 6.♣ 10.♣

3.♣ 7.♣ 11.♣

4.♣ 8.♣ 12.♣

STRATA 3

𝒏_𝟑 = 𝟑

Pembentukan Strata Untuk Meningkatkan Presisi

 Untuk membentuk strata diperlukan variabel pendukung untuk mengelompokkan unit sampling sehingga varians dari nilai variabel di dalam strata menjadi lebih homogen.

 Bila memungkinkan lebih baik lagi bila dapat diusahakan agar perbedaan rata-rata nilai karakteristik antar strata dibuat sebesar mungkin.

 Untuk meningkatkan presisi maka perlu dipilih suatu variabel yang diperkirakan mempunyai korelasi dengan data yang akan dikumpulkan.

 Contoh: variabel yang baik untuk dasar stratifikasi survei sosial ekonomi nasional antara lain pengelompokan wilayah elit dan non elit, atau daerah perkotaan dan daerah pedesaan.

LOGO

Dasar-dasar Pembentukan Strata

Dasar pembentukan strata tergantung dari tujuan pembentukan strata dan sifat-sifat variabel yang akan dijadikan dasar

pembentukan strata, contohnya:

a. Unit sampling itu sendiri, misalkan mahasiswa laki-laki dan mahasiswa perempuan

b. Variabel wilayah administrasi,misalnya desa perkotaan dan desa pedesaan.

c. Variabel letak geografis, misalnya desa pantai dan desa bukan pantai.

d. Variabel lainnya misalnya kepadatan penduduk, jenis lapangan usaha (daerah pertanian dan non pertanian).

e. Perusahaan/usaha bisa dibedakan usaha skala besar, sedang, dan kecil, misalnya berdasarkan omzet atau jumlah tenaga kerja.

f. Sekolah, bisa sekolah negeri dan sekolah swasta.budy@stis.ac.id ^MPC1

Notasi

𝑦_ℎ𝑖 : nilai karakteristik unit ke-i strata ke-h 𝑁 : jumlah populasi

𝑁_ℎ : jumlah populasi di strata ke-h

෍

ℎ=1 𝐿

𝑁_ℎ = 𝑁

𝑊_ℎ : penimbang strata ke-h (stratum weight) 𝑊_ℎ = 𝑁_ℎ

𝑁 𝑛 : jumlah sampel

𝑛_ℎ : jumlah sampel di strata ke-h

෍

ℎ=1 𝐿

𝑛_ℎ = 𝑛 𝑓_ℎ : fraksi sampling strata ke-h

𝑓 = 𝑛_ℎ

LOGO

Rata-rata Populasi

 Rata-rata karakteristik populasi di strata ke-h 𝑌 ത

_ℎ

= 1

𝑁

_ℎ

෍

𝑖=1 𝑁_ℎ

𝑌

_ℎ𝑖

 Rata-rata karakteristik populasi 𝑌 = ത 1

𝑁 ෍

ℎ=1 𝐿

෍

𝑖=1 𝑁_ℎ

𝑌

_ℎ𝑖

= 1

𝑁 ෍

ℎ=1 𝐿

𝑁

_ℎ

∙ ത 𝑌

_ℎ

= ෍

ℎ=1 𝐿

𝑊

_ℎ

∙ ത 𝑌

_ℎ

Varians Populasi

 Varians karakteristik populasi di strata ke-h 𝜎

_ℎ²

= 1

𝑁

_ℎ

෍

𝑖=1 𝑁_ℎ

𝑌

_ℎ𝑖

− ෠ 𝑌

_ℎ ²

𝑆

_ℎ²

= 1

𝑁

_ℎ

− 1 ෍

𝑖=1 𝑁_ℎ

𝑌

_ℎ𝑖

− ෠ 𝑌

_ℎ ²

 Varians karakteristik populasi 𝜎

²

= 1

𝑁 ෍

𝑖=1 𝑁

𝑌

_𝑖

− ത 𝑌

²

LOGO

Estimasi Rata-rata

 Estimasi rata-rata karakteristik di strata ke-h ത

𝑦_ℎ = 1

𝑛_ℎ ෍

𝑖=1 𝑛_ℎ

𝑦_ℎ𝑖

 Estimasi rata-rata karakteristik populasi:

ത

𝑦_𝑠𝑡 = 1

𝑁 ෍

ℎ=1 𝐿

𝑁_ℎ ∙ ത𝑦_ℎ = ෍

ℎ=1 𝐿

𝑊_ℎ ∙ ത𝑦_ℎ

Estimator rata-rata di atas merupakan unbiased estimator, dibuktikan:

𝐸 ത𝑦_𝑠𝑡 = 𝐸 1

𝑁 ෍

ℎ=1 𝐿

𝑁_ℎ ∙ ത𝑦_ℎ

= 1

𝑁 ෍

ℎ=1 𝐿

𝑁_ℎ ∙ 𝐸 ത𝑦_ℎ = 1

𝑁 ෍

ℎ=1 𝐿

𝑁_ℎ ∙ ത𝑌_ℎ = ෍

ℎ=1 𝐿

𝑊_ℎ ∙ ത𝑌_ℎ = ത𝑌

Sampling Varians

𝑉 ത𝑦_𝑠𝑡 = 𝑉 ෍

ℎ=1 𝐿

𝑊_ℎ ∙ ത𝑦_ℎ = ෍

ℎ=1 𝐿

𝑊_ℎ² ∙ 𝑉( ത𝑦_ℎ)

Jika masing-masing strata dilakukan penarikan sampel secara SRS WOR, maka:

𝑉 ത𝑦_ℎ = 1 − 𝑓_ℎ ∙ 𝑆_ℎ² 𝑛_ℎ 𝑉 ത𝑦_𝑠𝑡 = ෍

ℎ=1 𝐿

𝑊_ℎ² ∙ 1 − 𝑓_ℎ ∙ 𝑆_ℎ² 𝑛_ℎ

Unbiased estimator dari 𝑆_ℎ² adalah 𝑠_ℎ² sehingga unbiased estimator dari sampling varians adalah

𝑣 ത𝑦_𝑠𝑡 = ෍

𝐿

𝑊_ℎ² ∙ 1 − 𝑓_ℎ ∙ 𝑠_ℎ² 𝑛_ℎ

LOGO

Estimasi Total

 Estimasi total karakteristik di strata ke-h 𝑌෠_ℎ = 𝑁_ℎ

𝑛_ℎ ෍

𝑖=1 𝑛_ℎ

𝑦_ℎ𝑖 = 𝑁_ℎ ∙ ത𝑦_ℎ

 Varians estimasi total karakteristik di strata ke-h 𝑣 ෠𝑌_ℎ = 𝑁_ℎ² ∙ 𝑣 ത𝑦_ℎ

 Estimasi total karakteristik populasi:

𝑌෠_𝑠𝑡 = 𝑁 ത𝑦_𝑠𝑡 = ෍

ℎ=1 𝐿

𝑁_ℎ ∙ ത𝑦_ℎ

 Varians estimasi total karakteristik:

𝑣 ෠𝑌_𝑠𝑡 = 𝑁² ∙ 𝑣 ത𝑦_𝑠𝑡

Proporsi Populasi

 Misalkan, populasi sebanyak N unit dibagi menjadi L strata

sehingga sehingga banyaknya unit untuk strata ke-h adalah 𝑁_ℎ.

 𝑌_ℎ𝑖 adalah nilai karakteristik dari variabel kategorik (bernilai 0 atau 1) untuk unit ke-i strata ke-h, sehingga jumlah kejadian untuk variabel tsb di strata ke-h adalah:

𝐴_ℎ = ෍

𝑖=1 𝑁_ℎ

𝑌_ℎ𝑖

 Proporsi populasi di strata ke-h:

𝑃_ℎ = 1

𝑁_ℎ ෍

𝑖=1 𝑁_ℎ

𝑌_ℎ𝑖 = 𝐴_ℎ 𝑁_ℎ

 Proporsi populasi:

𝑃 = ෍

ℎ=1 𝐿 𝑁_ℎ

𝑁 ∙ 𝑃_ℎ = ෍

ℎ=1 𝐿

𝑊_ℎ ∙ 𝑃_ℎ

LOGO

Estimasi Proporsi

 Jika 𝑦_ℎ1, 𝑦_ℎ2, … , 𝑦_ℎ𝑛ℎ adalah random sampel dengan

ukuran 𝑛_ℎ yang diambil dari populasi sebanyak 𝑁_ℎ, maka estimasi proporsi di strata ke-h:

𝑝_ℎ = 1

𝑛_ℎ ෍

𝑖=1 𝑛_ℎ

𝑦_ℎ𝑖 = 𝑎_ℎ 𝑛_ℎ Keterangan:

𝑦_ℎ𝑖 harus bernilai 0 atau 1

෍

𝑖=1 𝑛_ℎ

𝑦_ℎ𝑖 = 𝑎_ℎ Estimasi proporsi populasi:

𝑝_𝑠𝑡 = ෍

ℎ=1 𝐿

𝑊_ℎ ∙ 𝑝_ℎ

Varians Estimasi Proporsi

 Sampling varians dari estimasi proporsi:

𝑉 𝑝_𝑠𝑡 = ෍

ℎ=1 𝐿

𝑊_ℎ² ∙ 𝑃_ℎ ∙ 𝑄_ℎ

𝑛_ℎ (𝑤𝑟) 𝑉 𝑝_𝑠𝑡 = ෍

ℎ=1 𝐿

𝑊_ℎ² ∙ 1 − 𝑓_ℎ ∙ 𝑃_ℎ ∙ 𝑄_ℎ

𝑛_ℎ (𝑤𝑜𝑟)

 Unbiased estimator dari sampling varians di atas:

𝑣 𝑝_𝑠𝑡 = ෍

ℎ=1 𝐿

𝑊_ℎ² ∙ 𝑝_ℎ ∙ 𝑞_ℎ

𝑛_ℎ − 1 (𝑤𝑟) 𝑣 𝑝_𝑠𝑡 = ෍

ℎ=1 𝐿

𝑊_ℎ² ∙ 1 − 𝑓_ℎ ∙ 𝑝_ℎ ∙ 𝑞_ℎ

𝑛_ℎ − 1 (𝑤𝑜𝑟)

LOGO

Estimasi Rata-rata

Estimasi Domain

Strata ke-h Populasi

Rata-rata 𝑦ത_ℎ = 1

𝑛_ℎ ෍

𝑖=1 𝑛_ℎ

𝑦_ℎ𝑖 𝑦ത_𝑠𝑡 = ෍

ℎ=1 𝐿 𝑁_ℎ

𝑁 ∙ ത𝑦_ℎ= ෍

ℎ=1 𝐿

𝑊_ℎ ∙ ത𝑦_ℎ Varians rata-

rata 𝑣 ത𝑦_ℎ = 1 − 𝑓_ℎ 𝑠_ℎ²

𝑛_ℎ 𝑣 ത𝑦_𝑠𝑡 = ෍

ℎ=1 𝐿

𝑊_ℎ² ∙ 𝑣( ത𝑦_ℎ) Standar

Error 𝑠𝑒 ത𝑦_ℎ = 𝑣 ത𝑦_ℎ 𝑠𝑒 ത𝑦_𝑠𝑡 = 𝑣 ത𝑦_𝑠𝑡 RSE 𝑅𝑆𝐸 ത𝑦_ℎ = 𝑠𝑒 ത𝑦_ℎ

ത

𝑦_ℎ × 100% 𝑅𝑆𝐸 ത𝑦_𝑠𝑡 = 𝑠𝑒 ത𝑦_𝑠𝑡 ത

𝑦_𝑠𝑡 × 100%

1 − 𝛼 % Confidence interval

ത

𝑦_ℎ − 𝑍^𝛼

2 ∙ 𝑠𝑒 ത𝑦_ℎ ; ത

𝑦_ℎ + 𝑍^𝛼

2 ∙ 𝑠𝑒 ത𝑦_ℎ

ത

𝑦_𝑠𝑡 − 𝑍^𝛼

2 ∙ 𝑠𝑒 ത𝑦_𝑠𝑡 ; ത

𝑦_𝑠𝑡 + 𝑍^𝛼

2 ∙ 𝑠𝑒 ത𝑦_𝑠𝑡

Estimasi Total

Estimasi Domain

Strata ke-h Populasi

Total 𝑌෠_ℎ = 𝑁_ℎ ∙ ത𝑦_ℎ 𝑌෠_𝑠𝑡 = 𝑁 ∙ ത𝑦_𝑠𝑡 = ෍

ℎ=1 𝐿

𝑌෠_ℎ Varians

Total 𝑣 ෠𝑌_ℎ = 𝑁_ℎ² ∙ 𝑣 ത𝑦_ℎ 𝑣 ෠𝑌_𝑠𝑡 = 𝑁² ∙ 𝑣 ത𝑦_𝑠𝑡 = ෍

ℎ=1 𝐿

𝑣( ෠𝑌_ℎ) Standar

Error 𝑠𝑒 ෠𝑌_ℎ = 𝑣 ෠𝑌_ℎ 𝑠𝑒 ෠𝑌_𝑠𝑡 = 𝑣 ෠𝑌_𝑠𝑡 RSE 𝑅𝑆𝐸 ෠𝑌_ℎ = 𝑠𝑒 ෠𝑌_ℎ

𝑌෠_ℎ × 100% 𝑅𝑆𝐸 ෠𝑌_𝑠𝑡 = 𝑠𝑒 ෠𝑌_𝑠𝑡

𝑌෠_𝑠𝑡 × 100%

1 − 𝛼 % Confidence interval

𝑌෠_ℎ − 𝑍^𝛼

2 ∙ 𝑠𝑒 ෠𝑌_ℎ ; 𝑌෠_ℎ + 𝑍^𝛼

2 ∙ 𝑠𝑒 ෠𝑌_ℎ

𝑌෠_𝑠𝑡 − 𝑍^𝛼

2 ∙ 𝑠𝑒 ෠𝑌_𝑠𝑡 ; 𝑌෠_𝑠𝑡 + 𝑍^𝛼

2 ∙ 𝑠𝑒 ෠𝑌_𝑠𝑡

LOGO

Estimasi Proporsi

Estimasi Domain

Strata ke-h Populasi

Proporsi 𝑝_ℎ = 1

𝑛_ℎ ෍

𝑖=1 𝑛_ℎ

𝑦_ℎ𝑖 = 𝑎_ℎ

𝑛_ℎ 𝑝_𝑠𝑡 = ෍

ℎ=1 𝐿 𝑁_ℎ

𝑁 ∙ 𝑝_ℎ= ෍

ℎ=1 𝐿

𝑊_ℎ ∙ 𝑝_ℎ Varians

proporsi 𝑣 𝑝_ℎ = 1 − 𝑓_ℎ 𝑝_ℎ𝑞_ℎ

𝑛_ℎ − 1 𝑣 𝑝_𝑠𝑡 = ෍

ℎ=1 𝐿

𝑊_ℎ² ∙ 𝑣(𝑝_ℎ)

Standar Error 𝑠𝑒 𝑝_ℎ = 𝑣 𝑝_ℎ 𝑠𝑒 𝑝_𝑠𝑡 = 𝑣 𝑝_𝑠𝑡

RSE 𝑅𝑆𝐸 𝑝_ℎ = 𝑠𝑒 𝑝_ℎ

𝑝_ℎ × 100% 𝑅𝑆𝐸 𝑝_𝑠𝑡 = 𝑠𝑒 𝑝_𝑠𝑡

𝑝_𝑠𝑡 × 100%

1 − 𝛼 % Confidence interval

𝑝_ℎ − 𝑍^𝛼

2 ∙ 𝑠𝑒 𝑝_ℎ ; 𝑝_ℎ + 𝑍𝛼

2

∙ 𝑠𝑒 𝑝_ℎ

𝑝_𝑠𝑡 − 𝑍^𝛼

2 ∙ 𝑠𝑒 𝑝_𝑠𝑡 ; 𝑝_𝑠𝑡 + 𝑍𝛼

2

∙ 𝑠𝑒 𝑝_𝑠𝑡

𝑦_ℎ𝑖 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 1 𝑎_ℎ = ෍ 𝑞_ℎ = 1 − 𝑝_ℎ

𝑛_ℎ

𝑦_ℎ𝑖

Estimasi Total (jika diketahui proporsi)

Estimasi Domain

Strata ke-h Populasi

Total 𝐴መ_ℎ = 𝑁_ℎ ∙ 𝑝_ℎ 𝐴መ_𝑠𝑡 = 𝑁 ∙ 𝑝_𝑠𝑡 = ෍

ℎ=1 𝐿

𝐴መ_ℎ Varians

Total 𝑣 መ𝐴_ℎ = 𝑁_ℎ² ∙ 𝑣 𝑝_ℎ 𝑣 መ𝐴_𝑠𝑡 = 𝑁² ∙ 𝑣 𝑝_𝑠𝑡 = ෍

ℎ=1 𝐿

𝑣( መ𝐴_ℎ) Standar

Error 𝑠𝑒 መ𝐴_ℎ = 𝑣 መ𝐴_ℎ 𝑠𝑒 መ𝐴_𝑠𝑡 = 𝑣 መ𝐴_𝑠𝑡 RSE 𝑅𝑆𝐸 መ𝐴_ℎ = 𝑠𝑒 መ𝐴_ℎ

𝐴መ_ℎ × 100% 𝑅𝑆𝐸 ෠𝑌_𝑠𝑡 = 𝑠𝑒 መ𝐴_𝑠𝑡

𝐴መ_𝑠𝑡 × 100%

1 − 𝛼 % Confidence interval

𝐴መ_ℎ − 𝑍^𝛼

2 ∙ 𝑠𝑒 መ𝐴_ℎ ; 𝐴መ_ℎ + 𝑍^𝛼

2 ∙ 𝑠𝑒 መ𝐴_ℎ

𝐴መ_𝑠𝑡 − 𝑍^𝛼

2 ∙ 𝑠𝑒 መ𝐴_𝑠𝑡 ; 𝐴መ_𝑠𝑡 + 𝑍^𝛼

2 ∙ 𝑠𝑒 መ𝐴_𝑠𝑡

LOGO

Relative Efficiency (RE)

 Relative efficiency (RE) merupakan perbandingan varians dua metode sampling.

 Metode sampling dikatakan lebih efisien jika variansnya lebih kecil dibandingkan metode sampling yang lainnya.

 Relative Efficiency (RE) Stratified terhadap SRS:

𝑅𝐸 = 𝑣( ത𝑦_𝑠𝑡)

𝑣 ത𝑦_{𝑠𝑡 𝑠𝑟𝑠} × 100%

Keterangan:

𝑣( ത𝑦_𝑠𝑡)_𝑠𝑟𝑠 = 1

𝑛 − 1

𝑁 ෍

ℎ=1 𝑛_ℎ

𝑊_ℎ ∙ 𝑠_ℎ² + ෍

ℎ=1 𝑛_ℎ

𝑊_ℎ ∙ ത𝑦_ℎ − ത𝑦_𝑠𝑡 ²

Contoh

 Dari 36 mahasiswa kelas 2KS1, dikelompokkan menjadi 2 strata berdasarkan jenis kelamin. Jumlah mahasiswa laki-laki adalah 19 orang, perempuan 17 orang. Dari masing-masing strata diambil sejumlah sampel secara SRS WOR untuk meneliti jam belajar per minggu dan keikutsertaan dalam kegiatan UKM. Data yang diperoleh sbb:

Laki-laki Perempuan No Jam

belajar UKM No Jam

belajar UKM

1 7 Ya 1 14 Tidak

2 10 Tidak 2 18 Ya

3 3 Ya 3 21 Tidak

4 6 Ya 4 10 Tidak

5 14 Tidak 5 16 Ya

6 5 Ya

a. Perkirakan rata-rata dan total jam belajar mahasiswa kelas 2KS1 b. Perkirakan proporsi

dan total mahasiswa 2KS1 yang mengikuti kegiatan UKM.

Lengkapi dengan nilai

standar error, RSE, 95%CI dan relatif efisiensi (RE)- nya terhadap SRS !

LOGO

Estimasi Rata-rata dan Total Jam Belajar (1)

𝒉 𝑁_ℎ 𝑛_ℎ 𝑓_ℎ 𝑊_ℎ 𝑦_ℎ𝑖 𝑠_ℎ²

Rata-rata Total

ത

𝑦_ℎ 𝑊_ℎ𝑦ത_ℎ 𝑣( ത𝑦_ℎ) 𝑊_ℎ²

∙ 𝑣 ത𝑦_ℎ 𝑌෠_ℎ 𝑣 ෠𝑌_ℎ

1

7, 10,

3, 6, 14,

5

2

14, 18, 21, 10, 16 Jumlah

Estimasi Rata-rata dan Total Jam Belajar (1)

𝒉 𝑁_ℎ 𝑛_ℎ 𝑓_ℎ 𝑊_ℎ 𝑦_ℎ𝑖 𝑠_ℎ²

Rata-rata Total

ത

𝑦_ℎ 𝑊_ℎ𝑦ത_ℎ 𝑣( ത𝑦_ℎ) 𝑊_ℎ²

∙ 𝑣 ത𝑦_ℎ 𝑌෠_ℎ 𝑣 ෠𝑌_ℎ

1 19 6 0,316 0,528

7, 10,

3, 6, 14,

5

15,5 7,5 3,96 1,767 0,493 142,5 637,89

2 17 5 0,294 0,472

14, 18, 21, 10, 16

17,2 15,8 7,46 2,429 0,541 268,6 701,98

Jumlah 36 11 1 11,42 1,034 411,1 1339,87

𝑛 ෠

LOGO

Estimasi Rata-rata Jam Belajar

ത

𝑦_𝑠𝑡 = ෍

ℎ=1 𝐿

𝑊_ℎ ∙ ത𝑦_ℎ = 3,96 + 7,46 = 11,42

𝑣 ത𝑦_𝑠𝑡 = ෍

ℎ=1 𝐿

𝑊_ℎ² ∙ 𝑣( ത𝑦_ℎ) = 0,493 + 0,541 = 1,033 𝑠𝑒 ത𝑦_𝑠𝑡 = 𝑣( ത𝑦_𝑠𝑡) = 1,033 = 1,0163

𝑟𝑠𝑒 ത𝑦_𝑠𝑡 = 𝑠𝑒( ത𝑦_𝑠𝑡) ത

𝑦_𝑠𝑡 × 100 = 1,0163

11,42 × 100% = 8,9%

Confidence Interval 95%:

ത

𝑦_𝑠𝑡 − 1,96 ∙ 𝑠𝑒 ത𝑦_𝑠𝑡 < ത𝑌 < ത𝑦_𝑠𝑡 + 1,96 ∙ 𝑠𝑒 ത𝑦_𝑠𝑡

11,42 − 1,96 ∙ 1,0163 < ത𝑌 < 11,42 + 1,96 ∙ 1,0163 9,4 < ത𝑌 < 13,41

Estimasi Total Jam Belajar

𝑌෠_𝑠𝑡 = 𝑁 ∙ ത𝑦_𝑠𝑡 = 36 ∙ 11,42 = 411,12

𝑣 ෠𝑌_𝑠𝑡 = 𝑁² ∙ 𝑣 ത𝑦_𝑠𝑡 = 36² ∙ 1,034 = 1339,87 𝑠𝑒 ෠𝑌_𝑠𝑡 = 𝑣( ෠𝑌_𝑠𝑡) = 1339,87 = 36,604 𝑟𝑠𝑒 ෠𝑌_𝑠𝑡 = 𝑠𝑒( ෠𝑌_𝑠𝑡)

𝑌෠_𝑠𝑡 × 100 = 36,604

411,12 × 100% = 8,9%

Confidence Interval 95%:

𝑌෠_𝑠𝑡 − 1,96 ∙ 𝑠𝑒 ෠𝑌_𝑠𝑡 < 𝑌 < ෠𝑌_𝑠𝑡 + 1,96 ∙ 𝑠𝑒 ෠𝑌_𝑠𝑡

411,12 − 1,96 ∙ 36,604 < 𝑌 < 411,12 + 1,96 ∙ 36,604 339,38 < 𝑌 < 482,86

LOGO

𝑅𝐸 = 𝑣( ത𝑦_𝑠𝑡)

𝑣( ത𝑦_𝑠𝑡)_𝑠𝑟𝑠 × 100%

= 1,033

2,113 × 100%

= 48,89%

Estimasi Rata-Rata Jam belajar(Menghitung RE)

MPC1

𝒉 𝑁_ℎ 𝑛_ℎ 𝑓_ℎ 𝑊_ℎ 𝑦_ℎ𝑖 𝑠_ℎ²

Rata-rata

𝑾_𝒉 ∙ 𝒔_𝒉^𝟐 𝑾_𝒉

∙ ഥ𝒚_𝒉 − ഥ𝒚_𝒔𝒕 ^𝟐 ത

𝑦_ℎ 𝑊_ℎ𝑦ത_ℎ

1 19 6 0,316 0,528 7, 10, 3, 6,

14, 5 15,5 7,5 3,96 8,184 8,113

2 17 5 0,294 0,472 14, 18,

21, 10, 16 17,2

15,8 7,46 8,118 9,055

Jumlah 36 11 1 11,42 16,302 17,168

N 𝑛 𝑦ത_𝑠𝑡

𝑣( ത𝑦_𝑠𝑡)_𝑠𝑟𝑠 = 1 𝑛 − 1

𝑁 ෍

ℎ=1 𝑛_ℎ

𝑊_ℎ ∙ 𝑠_ℎ² + ෍

ℎ=1 𝑛_ℎ

𝑊_ℎ ∙ ത𝑦_ℎ − ത𝑦_𝑠𝑡 ²

= 1

11 − 1

36 16,302 + 17,168 = 2,113 𝑣 ത𝑦_𝑠𝑡 = 1,033

budy@stis.ac.id

Estimasi Proporsi Mahasiswa Yang Ikut UKM

𝒉 𝑁_ℎ 𝑛_ℎ 𝑓_ℎ 𝑊_ℎ 𝑎_ℎ 𝑠_ℎ²

Rata-rata Total

𝑝_ℎ 𝑊_ℎ𝑝_ℎ 𝑣(𝑝_ℎ) 𝑊_ℎ²

∙ 𝑣 𝑝_ℎ 𝐴መ_ℎ 𝑣 መ𝐴_ℎ

1 4

2 2

Jumlah

LOGO

Estimasi Proporsi Mahasiswa Yang Ikut UKM

𝒉 𝑁_ℎ 𝑛_ℎ 𝑓_ℎ 𝑊_ℎ 𝒂_ℎ 𝑠_ℎ²

Rata-rata Total

𝑝_ℎ 𝑊_ℎ𝑝_ℎ 𝑣(𝑝_ℎ) 𝑊_ℎ²

∙ 𝑣 𝑝_ℎ 𝐴መ_ℎ 𝑣 መ𝐴_ℎ

1 19 6 0,316 0,528 4 0,221 0,67 0,353 0,030 0,0084 12,73 10,918

2 17 5 0,294 0,472 2 0,240 0,40 0,188 0,042 0,0094 6,8 12,242

Jumlah 36 11 1 0,541 0,0178 19,53 23,160

N 𝑛 𝑝_𝑠𝑡 𝑣(𝑝_𝑠𝑡) 𝐴መ_𝑠𝑡 𝑣( መ𝐴_𝑠𝑡)

Estimasi Proporsi

𝑝_𝑠𝑡 = ෍

ℎ=1 𝐿

𝑊_ℎ ∙ 𝑝_ℎ = 0,353 + 0,188 = 0,541

𝑣 𝑝_𝑠𝑡 = σ_ℎ=1^𝐿 𝑊_ℎ² ∙ 𝑣(𝑝_ℎ) = 0,0084 + 0,0094 = 0,0178 𝑠𝑒 𝑝_𝑠𝑡 = 𝑣(𝑝_𝑠𝑡) = 0,0178 = 0,1336

𝑟𝑠𝑒 𝑝_𝑠𝑡 = 𝑠𝑒(𝑝_𝑠𝑡)

𝑝_𝑠𝑡 × 100 = 0,1336

0,541 × 100% = 24,64%

Confidence Interval 95%:

𝑝_𝑠𝑡 − 1,96 ∙ 𝑠𝑒 𝑝_𝑠𝑡 < 𝑃 < 𝑝_𝑠𝑡 + 1,96 ∙ 𝑠𝑒 𝑝_𝑠𝑡

0,541 − 1,96 ∙ 0,1336 < 𝑃 < 0,541 + 1,96 ∙ 0,1336 0,28 < 𝑃 < 0,80

LOGO

Estimasi Total

𝐴መ_𝑠𝑡 = 𝑁 ∙ 𝑝_𝑠𝑡 = 36 ∙ 0,541 = 19,53

𝑣 መ𝐴_𝑠𝑡 = 𝑁² ∙ 𝑣 𝑝_𝑠𝑡 = 36² ∙ 0,0178 = 23,160 𝑠𝑒 መ𝐴_𝑠𝑡 = 𝑣( መ𝐴_𝑠𝑡) = 23,160 = 4,81

𝑟𝑠𝑒 መ𝐴_𝑠𝑡 = 𝑠𝑒( መ𝐴_𝑠𝑡)

𝐴መ_𝑠𝑡 × 100 = 4,81

19,53 × 100% = 24,64%

Confidence Interval 95%:

𝐴መ_𝑠𝑡 − 1,96 ∙ 𝑠𝑒 መ𝐴_𝑠𝑡 < 𝐴 < መ𝐴_𝑠𝑡 + 1,96 ∙ 𝑠𝑒 መ𝐴_𝑠𝑡 19,53 − 1,96 ∙ 4,81 < 𝐴 < 19,53 + 1,96 ∙ 4,81

10,10 < 𝐴 < 28,96

𝑅𝐸 = 𝑣(𝑝_𝑠𝑡)

𝑣(𝑝_𝑠𝑡)_𝑠𝑟𝑠 × 100%

= 0,0178

0,0156 × 100%

Penyelesaian (Menghitung RE)

𝒉 𝑁_ℎ 𝑛_ℎ 𝑓_ℎ 𝑊_ℎ 𝒂_ℎ 𝑠_ℎ²

Rata-rata

𝑾_𝒉 ∙ 𝒔_𝒉^𝟐 𝑾_𝒉 ∙ 𝒑_𝒉 − 𝒑_𝒔𝒕 ^𝟐 𝑝_ℎ 𝑊_ℎ𝑝_ℎ

1 19 6 0,316 0,528 4 0,221 0,67 0,353 0,1167 0,0086

2 17 5 0,294 0,472 2 0,240 0,40 0,188 0,1133 0,0096

Jumlah 36 11 1 0,541 0,2300 0,0182

N 𝑛 𝑝_𝑠𝑡

𝑣(𝑝_𝑠𝑡)_𝑠𝑟𝑠 = 1 𝑛− 1

𝑁 ෍

ℎ=1 𝑛_ℎ

𝑊_ℎ ∙ 𝑠_ℎ² + ෍

ℎ=1 𝑛_ℎ

𝑊_ℎ ∙ 𝑝_ℎ − 𝑝_𝑠𝑡 ²

= 1

− 1

0,2300 + 0,0182 = 0,0156 𝑣 𝑝_𝑠𝑡 = 0,0178

LOGO

Latihan (ditambahkan di buku catatan)

1. Buktikan bahwa:

a. 𝑌෠_ℎ = 𝑁_ℎ ∙ ത𝑦_ℎ adalah unbiased estimator untuk parameter 𝑌_ℎ b. 𝑌 = 𝑁 ∙ ത෠ 𝑦_𝑠𝑡 adalah unbiased estimator untuk parameter 𝑌 c. 𝑣 ෠𝑌_𝑠𝑡 = 𝑁² ∙ 𝑣 ത𝑦_𝑠𝑡 dapat dinyatakan dalam bentuk

𝑣 ෠𝑌_𝑠𝑡 = ෍

ℎ=1 𝐿

𝑁_ℎ 𝑁_ℎ − 𝑛_ℎ 𝑠_ℎ² 𝑛_ℎ d. 𝑣 ෠𝑌_𝑠𝑡 = 𝑁² ∙ 𝑣 ത𝑦_𝑠𝑡 dapat dinyatakan dalam bentuk

𝑣 ෠𝑌_𝑠𝑡 = ෍

ℎ=1 𝐿

𝑣( ෠𝑌_ℎ)

2. Buktikan bahwa 𝜎² = ¹

𝑁σ_𝑖=1^𝑁 𝑌_𝑖 − ത𝑌 ² bisa dinyatakan dalam:

𝜎² = 𝜎_𝑤² + 𝜎_𝑏² Keterangan:

𝜎_𝑤² = 1 𝑁 ෍

ℎ=1 𝐿

𝑁_ℎ ∙ 𝜎_ℎ² (𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑤𝑖𝑡ℎ𝑖𝑛)

𝜎_𝑏² = 1 𝑁 ෍

𝐿

𝑁_ℎ ∙ ത𝑌_ℎ − ത𝑌 ² (𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑏𝑒𝑡𝑤𝑒𝑒𝑛)

MPC1

budy@stis.ac.id

LOGO

PERTEMUAN 6

 Alokasi Sampling pada Stratified

 Penjabaran Varian Pada Masing2 Alokasi

LOGO

Alokasi Sampel

Pengalokasian sampel dari masing-masing metode tergantung pada ketersediaan informasi awal

mengenai strata yang telah dibentuk, yaitu:

 Alokasi sembarang --> jarang digunakan

 Alokasi sama (equal)

 Alokasi sebanding (proportional)

 Alokasi Optimum

 Alokasi Neyman

Alokasi Sembarang

Misalkan suatu populasi berukuran N dibagi- bagi ke dalam L strata, sedemikian rupa

sehingga N

₁

+ N

₂

+ N

₃

+ ….+ N

_L

dan total ukuran n

dialokasikan kesetiap strata secara sembarang

(berdasarkan pertimbangan subyektif peneliti)

sedemikian rupa sehingga n

₁

+ n

₂

+n

₃

+….+n

_l

= n

LOGO

Alokasi Sama (Equal)

Misalkan suatu populasi yang berukuran N dibagi-bagi ke dalam L strata sedemikian sehingga N

₁

+N

₂

+ N

₃

+ ….+ N

_L

= N dan total ukuran n dialokasikan kesetiap strata secara sama, maka ukuran sampel pada setiap strata adalah:

L

n h  n

Alokasi Sama (Equal)

 Alokasi ini sering digunakan jika varians strata 𝑆_ℎ² hampir sama.

 Jumlah sampel untuk setiap strata sama.

 Ukuran sampel untuk strata ke-h 𝑛_ℎ = 𝑛

𝐿 𝑛 : jumlah sampel

𝑛_ℎ : jumlah sampel di strata ke-h 𝐿 : jumlah strata

 Ukuran sampel keseluruhan:

𝑛 = 𝐿 σ_ℎ=1^𝐿 𝑁_ℎ² ∙ 𝑆_ℎ² 𝑁²𝐷² + σ_ℎ=1^𝐿 𝑁_ℎ ∙ 𝑆_ℎ² Keterangan:

𝐷 = 𝑑 𝑍_𝛼/2

LOGO

Contoh 1

 Suatu survei dilakukan untuk mengetahui karakteristik wanita usia subur (WUS) di suatu kecamatan dengan menggunakan desa sebagai strata. Dari survei terdahulu, diperoleh rata-rata WUS beserta standar deviasinya.:

 Jika alokasi sampel untuk survei di atas dilakukan secara equal alocation, berapakah ukuran sampel (𝑛) dan ukuran sampel tiap desa (𝑛_ℎ) ? Diketahui tingkat kepercayaan 95% dan persentase margin ef error 5% dari nilai rata-ratanya.

No Strata Populasi rumah tangga

𝑵_𝒉

Rata-rata jumlah WUS per rumah tangga

ഥ 𝒚_𝒉

Standar deviasi 𝒔_𝒉

1 Desa A 1200 1.5 0.5

2 Desa B 800 1.25 0.4

3 Desa C 600 1.2 0.32

4 Desa D 400 0.8 0.18

Contoh 1

Ukuran sampel:

𝑍_𝛼/2 = 1,96 , 𝑑^′ = 5% = 0,05

𝐷 = 𝑑

1,96 = 𝑑^′ ∙ ത𝑦

1,96 = 0,05 ∙ ത𝑦

1,96 = ? 𝑛 = 𝐿 σ_ℎ=1^𝐿 𝑁_ℎ² ∙ 𝑆_ℎ²

𝑁²𝐷² + σ_ℎ=1^𝐿 𝑁_ℎ ∙ 𝑆_ℎ² = ? 𝑛 = 𝑛

= ?

No Strata 𝑵_𝒉 ഥ𝒚_𝒉 𝒔_𝒉 𝑊_ℎ ∙ ത𝑦_ℎ 𝑁_ℎ𝑠_ℎ² 𝑁_ℎ²𝑠_ℎ²

1 Desa A 1200 1.5

2 Desa B 800 1.25

3 Desa C 600 1.2

4 Desa D 400 0.8

Jumlah 3000

LOGO

Contoh 1

𝑍_𝛼/2 = 1,96 , 𝑑^′ = 5% = 0,05

𝐷 = 𝑑

1,96 = 𝑑^′ ∙ ത𝑦

1,96 = 0,05 ∙ ത𝑦

1,96 = 0,05 ∙ 1,28

1,96 = 0,03265 𝑛 = 𝐿 σ_ℎ=1^𝐿 𝑁_ℎ² ∙ 𝑆_ℎ²

𝑁²𝐷² + σ_ℎ=1^𝐿 𝑁_ℎ ∙ 𝑆_ℎ² = 4 ∙ 504448

3000² ∙ 0,03265² + 502,4 = 199,813 ≈ 200 𝑛_ℎ = 𝑛

𝐿 = 200

4 = 50

No Strata 𝑵_𝒉 ഥ𝒚_𝒉 𝒔_𝒉 𝑊_ℎ ∙ ത𝑦_ℎ 𝑁_ℎ𝑠_ℎ² 𝑁_ℎ²𝑠_ℎ²

1 Desa A 1200 1.5 0.5 0,600 300 360000

2 Desa B 800 1.25 0.4 0,333 128 102400

3 Desa C 600 1.2 0.32 0,240 61,44 36864

4 Desa D 400 0.8 0.18 0,107 12,96 5184

Jumlah 3000 1,28 502,4 504448

Alokasi Sebanding (Proportional)

 Alokasi ini sering digunakan jika varians strata 𝑆_ℎ² tidak berbeda signifikan antara strata yang satu dengan strata yang lainnya.

 Jumlah sampel untuk setiap strata sebanding dengan ukuran populasi di strata tsb.

 Ukuran sampel strata ke-h

𝑛_ℎ = 𝑁_ℎ 𝑁 ∙ 𝑛 𝑛 : jumlah sampel

𝑛_ℎ : jumlah sampel di strata ke-h 𝑁 : jumlah populasi

𝑁_ℎ : jumlah populasi di strata ke-h

 Ukuran sampel keseluruhan:

𝑛 = 𝑁 σ_ℎ=1^𝐿 𝑁_ℎ ∙ 𝑆_ℎ² 𝑁²𝐷² + σ^𝐿 𝑁 ∙ 𝑆 ²

LOGO

Alokasi Sebanding (Proportional)

 Fraksi sampling sama untuk setiap strata 𝑓_ℎ = 𝑛_ℎ

𝑁_ℎ = 𝑛

𝑁 = 𝑓

 Dengan menggunakan alokasi proportional, akan membentuk selfweighting design (desain yang tertimbang otomatis), hal ini dibuktikan:

ത

𝑦_𝑠𝑡 = ෍

ℎ=1 𝐿

𝑊_ℎ ∙ ത𝑦_ℎ = ෍

ℎ=1 𝐿 𝑁_ℎ

𝑁 ∙ 1

𝑛_ℎ ෍

𝑖=1 𝑛_ℎ

𝑦_ℎ𝑖 = 1

𝑛 ෍

ℎ=1 𝐿

෍

𝑖=1 𝑛_ℎ

𝑦_ℎ𝑖

𝑣 ത𝑦_𝑠𝑡 = ෍

ℎ=1 𝐿

𝑊_ℎ² ∙ 1 − 𝑓_ℎ

𝑛_ℎ ∙ 𝑠_ℎ²

= ෍

ℎ=1

𝐿 𝑁_ℎ²

𝑁² ∙ 1 − 𝑓

𝑛_ℎ ∙ 𝑠_ℎ² = 1 − 𝑓

𝑛 ෍

ℎ=1 𝐿

𝑊_ℎ ∙ 𝑠_ℎ²

Contoh 2

 Suatu survei dilakukan untuk mengetahui karakteristik wanita usia subur (WUS) di suatu kecamatan dengan menggunakan desa sebagai strata. Dari survei terdahulu, diperoleh rata-rata WUS beserta standar deviasinya.:

 Jika alokasi sampel untuk survei di atas dilakukan secara proportional alocation, berapakah ukuran sampel (𝑛) dan ukuran sampel tiap desa (𝑛_ℎ) ? Diketahui tingkat kepercayaan 95% dan persentase margin ef error 5% dari nilai rata-ratanya.

No Strata Populasi rumah tangga

𝑵_𝒉

Rata-rata jumlah WUS per rumah tangga

ഥ 𝒚_𝒉

Standar deviasi 𝒔_𝒉

1 Desa A 1200 1.5 0.5

2 Desa B 800 1.25 0.4

3 Desa C 600 1.2 0.32

4 Desa D 400 0.8 0.18

LOGO

Contoh 2

𝑍_𝛼/2 = 1,96 , 𝑑^′ = 5% = 0,05

𝐷 = 𝑑

1,96 = 𝑑^′ ∙ ത𝑦

1,96 = 0,05 ∙ ത𝑦

1,96 = 0,05 ∙ 1,28

1,96 = 0,03265 𝑛 = 𝑁 σ_ℎ=1^𝐿 𝑁_ℎ ∙ 𝑆_ℎ²

𝑁²𝐷² + σ_ℎ=1^𝐿 𝑁_ℎ ∙ 𝑆_ℎ^{2 =}

3000 ∙ 502,4

3000² ∙ 0,03265² + 502,4 = 149,2513 ≈ 150