STUDI PERBANDINGAN METODE SAMPLING ANTARA SIMPLE RANDOM DENGAN STRATIFIED RANDOM

18

STUDI PERBANDINGAN METODE SAMPLING ANTARA

SIMPLE RANDOM DENGAN STRATIFIED RANDOM

Nurhayati

Jurusan Sistem Informasi, Fakultas Teknologi Komunikasi dan Informatika, Universitas Nasional Jurusan Manajemen Informatika, Fakultas Teknologi Komunikasi dan Informatika,

Universitas Nasional

Jl. Sawo Manila, Pejaten Pasar Minggu No.61, Jakarta 12520 Abstract

On this paper being exposed the detail of the simple and stratified random method that are commonly in statistic. The slighty different be twen those method also being described. Hence this lead to the implementation techniue.

Keywords: simple and stratified random method, statistic, data. Abstrak

Aplikasi ilmu statistika banyak diterapkan dalam kehidupan ini. Salah satunya adalah tentang metode penarikan sampel. Sebelum melakukan penarikan sampel, terlebih dahulu dilakukan pengumpulan data. Menurut Webster’s New World Dictionary : data = thing known or assumed, data berarti sesuatu yang diketahui atau dianggap. Diketahui berarti sesuatu yang sudah terjadi, misalnya produksi beras tahun tertentu 30 juta ton, hasil penjualan perusahaan “X” pada tahun 1993 mencapai 100 juta, sedangkan dianggap merupakan sesuatu pendapat, hipotesis yang mungkin belum terjadi atau mungkin tidak benar.

Kata kunci: Metode Simple Random Sampling, Stratified.

I. PENDAHULUAN

Dalam pengambilan suatu data terdapat dua metode pengumpulan data yaitu : sensus dan sampling. Sensus dilakukan jika seluruh elemen / anggota diobservasi dan hasilnya merupakan data sebenarnya (parameter) sedangkan sampling dilakukan jika sebagian saja anggota populasi yang menjadi sampel diobservasi dan hasilnya merupakan data perkiraan (estimate). Peneliti biasanya menggunakan pengumpulan data dengan menggunakan metode sampling, karena dengan sampling kita dapat mengambil kesimpulan tentang keadaan populasi dengan hanya menarik sebagian sampel untuk diobservasi tanpa mengobservasi populasi secara keseluruhan. Teknik penarikan sampel terbagi menjadi dua yaitu :

a. Penarikan sampel secara acak / random (Probability Sampling )

Ciri-ciri dari probability sampling ini adalah setiap anggota populasi mempunyai kesempatan yang sama untuk terpilih sebagai sampel, pemilihan sampel bersifat objektif, estimasi parameter dapat dilakukan, bias dapat diperkirakan. Beberapa teknik penarikan sampel dengan probability sampling adalah serbagai berikut :

a. Sampling acak sederhana (Simple Random Sampling ) b. Sampling acak sistematis (Systematic Random Sampling) c. Sampling acak berlapis (Stratified Random Sampling)

19 d. Sampling acak kelompok (Clustered Random Sampling).

b. Penarikan sampel tidak secara acak (Non Probability Sampling)

Ciri-ciri dari non probability sampling ini adalah setiap anggota populasi tidak mempunyai peluang yang sama untuk terpilih sebagai sampel, sifatnya subyektif, bias tidak dapat diperkirakan besarnya, tidak dapat digunakan untuk estimasi parameter. Beberapa teknik penarikan sampel dengan non probability sampling adalah sebagai berikut :

a. Sampling kemudahan (Convinience Sampling) b. Sampling pertimbangan (Judgement Sampling) c. Quota Sampling

d. Snowball Sampling

Dalam probability sampling kerangka sampel mutlak diperlukan, kerangka sampel adalah suatu daftar yang memuat semua anggota / elemen dari populasi yang akan dijadikan dasar bagi pemilihan sampel.

Teknik penarikan sampel dengan SRS dilakukan jika suatu sampel dengan n elemen dipilih dari suatu populasi dengan N elemen sedemikian rupa sehingga setiap kemungkinan sampel dengan n elemen mempunyai kesempatan yang sama untuk terpilih. Cara pengambilan sampel sebanyak n elemen dari suatu populasi dengan N elemen antara lain menggunakan :

1. Undian

2. Tabel acak, merupakan suatu daftar yang memuat angka -angka 0-9 yang frekuensi kemunculan masing-masing angka sama

3. Data acak dari Simulasi Monte Carlo.

Dalam sampling acak be rlapis (Stratified Random Sampling ), metode penarikan sampel dilakukan dengan cara membagi populasi menjadi populasi yang lebih kecil (stratum), pembentukan stratum harus sedemikian rupa sehingga setiap sratum homogen berdasarkan suatu atau beberapa kriter ia tertentu, kemudian dari setiap stratum diambil sampel secara acak.

Dalam suatu survei, biasanya teknik yang digunakan dievaluasi dengan melihat nilai standard error (kesalahan baku). Suatu teknik yang memiliki nilai standard error yang lebih kecil dika takan lebih efisien dibandingkan dengan teknik yang lain.

Dalam jurnal ini, saya mencoba membandingkan nilai standard error dari sampel yang dipilih dengan teknik Simple Random Sampling (SRS) & Stratified Random Sampling dengan menggunakan data bangkitan kemudian akan dievaluasi teknik mana yang lebih efisien.

Jurnal ini bertujuan untuk membandingkan efiensi kedua teknik penarikan sampel secara acak / random (Probability Sampling), kedua desain sampel tersebut yaitu Simple Random Sampling (SRS ) & Stratified Random Sampling .

Dalam jurnal ini saya hanya akan membahas tentang teknik penarikan sampel secara acak / random yang hanya dibatasi pada Simple Random Sampling (SRS ) & Stratified Random Sampling dan perbandingan efisiensi kedua teknik penarikan sampel tersebut. Data-data yang diobservasi merupakan data acak dari simulasi Monte Carlo pada program Microsoft Quick Basic.

II. LANDASAN TEORI

2.1 Pengertian Tentang Sampel

Metode pengumpulan data dapat dilakukan melalui dua cara yaitu : sensus dan survei. Sensus dilakukan apabila semua anggota populasi diobservasi atau diteliti, populasi memiliki arti bahwa keseluruhan anggota atau elemen yang diobservasi dalam ruang lingkup penelitian. Dalam sensus akan diperoleh gambaran yang sebenarnya dari keadaan populasi, sehingga parameter yaitu suatu nilai yang dapat menggambarkan ciri / karakteristik populasi tersebut dapat diperoleh.

20 Penelitian melalui sensus kurang efisien karena memerlukan biaya, waktu, dan tenaga yang besar, sebagai alternatifnya dilakukan metode pengumpulan data melalui survei yaitu jika sebagian saja anggota populasi yang menjadi sampel diobservasi. Sampel adalah sebagian anggota dari populasi yang dipilih sehingga diharapkan dapat mewakili populasinya. Dalam survei hasil yang diperoleh merupakan data perkiraan (estimate) dan suatu nilai yang dapat menggambarkan ciri sampel disebut dengan statistik .

Sampel digunakan dalam suatu penelitian yang didasarkan pada berbagai pertimbangan antara lain sebagai berikut :

1. Seringkali tidak mungkin mengamati seluruh anggota populasi 2. Pengamatan terhadap seluruh anggota populasi dapat bersifat merusak 3. Menghemat waktu, biaya, dan tenaga

4. Mampu memberikan informasi yang lebih menyeluruh dan mendalam (komperhensif).

Tujuan dari dilakukannya penarikan sampel adalah untuk memperoleh data yang representatif dalam kaitannya dengan populasi yang menjadi sasaran penelitian. Agar data yang diambil berguna maka data tersebut haruslah objektif (sesuai dengan kenyataan yang sebenarnya), representatif (mewakili keadaan yang sebenarnya), variansnya kecil, tepat waktu dan relevan untuk menjawab persoalan yang sedang menjadi pokok bahasan.

Dalam mencapai tujuan tersebut, diperlukan penggunaan metode penarikan sampel yang tepat agar dari sampel yang diambil dapat diperoleh sta tistik yang dapat digunakan

sebagai penduga (estimator) bagi parameter populasi. Jika adalah suatu statistik yang akan digunakan untuk mengestimasi nilai parameter ? maka perlu diperiksa apakah statistik tersebut memenuhi sifat-sifat sebagai penduga yang baik. Beberapa sifat penduga adalah sebagai berikut :

1. Tidak bias (unbiased)

Suatu penduga dikatakan tidak bias apabila nilai yang diharapkan (expected value) dari statistik adalah sama dengan nilai parameternya, atau dapat dituliskan :

2. Efisien

Jika terdapat dua penduga yang tidak bias bagi parameter ?, yaitu dan maka lebih efisien dari apabila :

3. Konsisten

Suatu penduga dikatakan konsisten apabila varians penduga akan makin kecil jika sampelnya diperbesar atau dapat dituliskan :

Untuk mempermudah penarikan sampel biasanya dibuat kerangka sampel terlebih dahulu. Kerangka sampel (sampling frame) merupakan suatu daftar yang memuat keseluruhan anggota dari populasi sebagai dasar penarikan sampel.

2.2 Ukuran Sampel dan Kesalahan Baku / Standard Error (s.e)

Penetapan besarnya ukuran sampel dapat dilakukan apabila diketahui batas atas kesalahan pendugaan dan atas dasar informasi keragaman dari anggota penyusun populasi dan tingkat ketelitian yang diinginkan. Semakin besar keragaman dari anggota populasi maka semakin besar ukuran sampel yang diperlukan, agar semakin banyak informasi yang dapat terambil.

( )

θˆ = θ E θˆ 1 ˆ θ 1 ˆ θ _θˆ₂

( )

θˆ₁ V

( )

θˆ₂ . V <

( )

ˆ 0 lim = ∞ → V θ n

21 Penarikan sampel yang berulang-ulang biasanya menghasilkan besaran suatu karakteristik populasi yang berbeda -beda antar satu sampel ke sampel lainnya. Dalam hal

ini standard error yang mencerminkan keheterogenan atau peluang munculnya perbedaan dari satu sampel dengan sampel yang lain karena perbedaan anggota yang terpilih dari berbagai sampel tersebut. Jika suatu statistik yang digunakan untuk mengestimasi atau menduga , maka suatu ukuran yang akan menggambarkan keheterogenan sampel adalah :

(2.1)

Jika merupakan penduga tak bias bagi maka , sehingga :

(2.2)

Standard error adalah akar dari atau dapat dituliskan :

(2.3)

Standard error merupakan ukuran tingkat ketelitian suatu penduga. Makin kecil standard error maka makin teliti suatu penduga atau makin dekat dengan nilai parameter yang diperkirakan. Contoh : jika adalah statistik yang akan digunakan untuk mengestimasi maka :

(2.4) Di mana :

Dari contoh dapat disimpulkan bahwa nilai standard error berbanding terbalik dengan jumlah sampel. Nilai standard error dapat diperkecil dengan cara memperbesar ukuran sampel, tetapi upaya ini mengakibatkan peningkatan waktu, tenaga dan biaya survei. Sebagai alternatifnya diplih suatu metode penarikan sampel yang akan menghasilkan standard error yang lebih kecil untuk jumlah sampel yang sama.

2.3 Teknik Simple Random Sampling (SRS)

Metode SRS adalah metode yang digunakan untuk memilih sampel dari populasi dengan cara sedemikian rupa sehingga setiap anggota populasi mempunyai peluang yang sama besar untuk diambil sebagai sampel. Seluruh anggota populasi menjadi anggota dari kerangka sampel. SRS biasa digunakan jika populasi bersifat homogen. Cara pengambilan sampel bisa dilakukan dengan pengembalian atau tanpa pengembalian.

Populasi dalam Random Sampling dapat dibedakan menjadi dua kategori, yaitu : 1. Populasi Terbatas (Finite Population)

a. Suatu populasi dikatakan sebagai populasi terbatas jika jumlah anggota populasi (N) dapat ditentukan.

b. SRS untuk populasi terbatas berukuran N adalah sampel yang dipilih sedemikian sehingga masing-masing kemungkinan sampel berukuran n memiliki peluang yang sama untuk terpilih.

2. Populasi Tidak Terbatas (Infinite Population)

(

N→∞

)

.

( )

[

( )

]

2 ˆ ˆ ˆ _{θ θ} θ E E V = − θˆ

_{( )}

θ θˆ = E

( )

[

]

2 ˆ ˆ _{θ θ} θ = E − V θ

( )

θˆ V

( )

θˆ

( )

θˆ .e V s =

X

µ

( )

n X V 2 σ = ) ( 2 i X Var = σ

22 a. Suatu populasi dikatakan sebagai populasi tidak terbatas jika jumlah anggota

populasi tidak ditentukan atau dapat ditentukan tetapi sangat besar

b. SRS dari populasi tidak terbatas merupakan sampel yang dipilih sedemikian sehingga kondisi berikut terpenuhi:

1) Masing-masing anggota dipilih dari populasi yang sama 2) Setiap anggota dipilih secara bebas (independent). Metode pengambilan sampel dalam SRS

Dalam teknik penarikan sampel dengan SRS terdapat tiga metode yang dapat digunakan untuk memilih elemen anggota sampel. Ketiga metode tersebut yaitu :

1) Undian (lotere),

Cara lotere dilakukan jika elemen populasinya sedikit (=100). 2) Tabel acak

Tabel acak merupakan tabel yang memuat bilangan atau angka -angka sedemikian rupa sehingga dapat dipergunakan untuk memilih sampel secara acak, tabel acak dibuat sedemikian rupa sehingga angka 0 hingga 9 yang frekuensi kemunculan masing-masing angka sama. Setiap baris dan kolom dalam blok terdapat satu angka. Langkah-langkah penarikan sampel yang dapat ditempuh adalah sebagai berikut :

a) Mendefinisikan populasi yang akan diteliti, kemudian tentukan individu-individu yang termasuk anggota populasi tersebut serta karakteristik populasi yang akan diobservasi

b) Menentukan jumlah anggota populasi yang akan dipilih sebagai sampel c) Memberikan nomor urut pada semua satuan sampel

d) Mengguna kan tabel acak untuk memilih individu sampel yang akan digunakan untuk mewakili populasinya.

Prosedur penggunaan tabel acak adalah sebagi berikut :

a. Menentukan titik awal dan angka terpilih pada tabel angka random

Penentuan titik awal dilakukan dengan cara menjatuhkan pensil yang runcing dengan mata tertutup (blind stab) atau menusuk dengan mata tertutup. Ujung pensil akan menunjuk suatu titik awal pada tabel acak. Untuk melengkapi angkanya dapat ditambah beberapa angka di sebelah kiri atau kanannya sesuai dengan digit yang ditentukan, hingga terpilih angka acak sebanyak yang dibutuhkan.

b. Salin angka-angka yang terambil dari tabel acak i. Untuk N = 10, salin satu digit

ii. Untuk N = 100, salin dua digit iii. Untuk N = 1000, tiga digit iv. Untuk N = 10000, empat digit.

c. Tentukan kelipatan maksimal dari jumlah anggota populasi

Tujuan dari penentuan kelipatan maksimal yaitu agar diperoleh peluang yang sama bagi semua individu anggota populasi.

d. Tentukan anggota populasi yang terambil sebagai sampel berdasarkan dari tabel acak. Jika terdapat anggota populasi yang terambil dua kali, maka yang terakhir dibuang dan diganti dengan angka yang berikutnya dari tabel acak.

Contoh : Dengan menggunakan tabel acak akan diambil 5 individu sampel dari populasi yang terdiri dari 22 orang. Langkah-langkah yang dapat ditempuh adalah sebagai berikut :

1. Jumlah N=22 dan n=5, angka kelipatan maksimal dari 22 yang berada di bawah 100 adalah 88, berarti angka di atas 88 tidak dipakai

2. Apabila titik awal ditentukan dari tabel acak dan yang terpilih adalah baris ke-1 kolom-3, maka dapat dicatat dua digit terakhir turun ke bawah sebagai

23 berikut : 36, 95, 27, 43, 37, 08, 20, 63 (mengambilnya dilebihkan dari kebutuhan untuk berjaga-jaga bila ada angka terpilih yang sama).

3. Maka anggota populasi ya ng terpilih sebagai sampel adalah : a) Nomor (36-22) = anggota populasi nomor 14

b) Nomor 95, tidak digunakan karena di atas 88 c) Nomor (27-22) = nomor 5

d) Nomor (43-22) = nomor 21 e) Nomor (37-22) = nomor 15 f) Nomor 8

Individu yang terpilih secara acak adalah anggota populasi nomor 14, 5, 21, 15 dan 8. 3) Simulasi Monte Carlo

Data lengkap acak dengan cara membangkitkan data dari simulasi Monte Carlo dengan program Microsoft Quick Basic.

II.3.2 Estimasi dan ukuran sampel untuk data yang berasal dari sebaran normal

Tipe pendugaan mengenai populasi terbagi menjadi dua, yaitu pendugaan titik (point estimation) dan pendugaan selang (interval estimation). Penduga titik adalah sebuah nilai tunggal yang digunakan untuk menduga sebuah parameter populasi. Pendugaan interval tertentu dilakukan dengan membuat batas-batas yang disebut dengan batas bawah dan batas atas dari selang pendugaan. Dalam selang pendugaan terdapat tingkat kepercayaan dan selang kepercayaan. Tingkat kepercayaan adalah presentase dugaan selang memenuhi parameter yang diduga apabila dilakukan pengambilan sampel berulang. Selang kepercayaan adalah batas-batas nilai yang memenuhi pendugaan sesuai dengan tingkat kepercayaan yang dibuat. Tingkat kepercayaan biasanya tidak diketahui, tetapi diganti dengan suatu nilai yang disimbolkan dengan “a” yaitu peluang dugaan parameter tidak memenuhi selang. Sehingga a = 1 – (tingkat kepercayaan).

Peubah acak berdimensi (X1, X2, …, Xn ) merupakan n sampel dari suatu populasi berdistribusi normal dengan rata-rata (µ ) dan varians (s²).

1. Estimasi titik dan estimasi selang untuk populasi terbatas

Penduga (estimator) dari rata-rata populasi µ untuk SRS pada populasi terbatas adalah sebagai berikut :

(2.5)

(2.6)

(2.7)

Jika tidak diketahui maka digunakan .

Sebagai penduga bagi varians untuk SRS pada populasi terbatas adalah sebagai berikut : (2.8) (2.9)

∑

₌ = = n i i n X X 1 ˆ µ

( )

      −       = = N n N n X V _X 2 2 σ σ

(

)

∑

= − − = n i i n X X S 1 2 2 1 X

( )

_{ˆ ˆ}2 . ˆ e X _{X X} s = σ = σ       −     = N n N n S X 2 2 ˆ σ 2 σ σ_ˆ2 =_S2

( )

      − = N n N n X e s 2 . σ

24 Di mana :

(2.10) dengan adalah varians sampel

Penduga selang bagi µ jika standard deviasi populasi ( s) diketahui adalah sebagai berikut : atau : (2.11)

Keterangan : = rata-rata sampel

a = 1 – (tingkat kepercayaan) = nilai Z (dari tabel Z) s = standard deviasi populasi n = banyaknya anggota sampel

Jika standard devia si populasi (s) tidak diketahui maka penduga selang untuk µ adalah sebagai berikut :

atau : (2.12)

Keterangan : = rata-rata sampel

a = 1 – (tingkat kepercayaan)

= nilai t (dari table t-student) dengan derajat bebas V = n-1 S = standard deviasi sampel

n = banyaknya anggota sampel

Penentuan besarnya sampel (n) guna memperkirakan parameter (µ ) dengan margin error / batas kesalahan maksimum yang dapat ditolerir sebesar d, maka dapat ditentukan ukuran sampel dengan perumusan sebagai berikut :

(2.13)

(2.14)

Keterangan : N = jumlah anggota populasi s ² = varians populasi

(1-a) = tingkat kepercayaan yang diinginkan d = Margin error

Besarnya sampel (n) biasanya tidak diketahui karena tergantung pada nilai varian dari populasi (s²). Dalam mengatasi permasalahan tersebut nilai s² harus diperkirakan, misalkan berdasarkan penelitian terdahulu, dilakukan penelitian pendahuluan, atau berdasarkan rumus tertentu sebagai suatu pendekatan. Pendekatan rumus di mana selisih nilai pengamatan terbesar dan terkecil (range) nilai observasi sekitar 4 simpangan baku (4s), dengan demikian rumus s menjadi : 2. Estimasi titik dan estimasi selang untuk populasi tak terbatas

Penduga (estimator) dari mean populasi µ untuk SRS pada populasi tak terbatas adalah sebagai berikut : (2.15) (2.16)

)

(

.

.

2

X

e

s

Z

d

=

_α 2 2 2 2 2 2 2 Nd Z NZ n + = σ σ α α X X X Z Z X _α σ µ _α σ 2 2 + ≤ ≤ − X V X V X t t X − _α2; σˆ ≤µ≤ + _α2; σˆ X Z X _α σ 2 ± X V t X± _{α 2;} σˆ 2 α Z V t ; 2 α X X 4 R ≈ σ

∑

₌ = = n i i n X X 1 ˆ µ

( )

= = _ _ n X V _X 2 2 σ σ

( )

n X e s 2 . = σ 2 S

25 (2.17) Penduga bagi varians untuk SRS pada populasi tak terbatas adalah sebagai berikut :

(2.18)

Penduga selang bagi µ jika standard deviasi populasi ( s) diketahui adalah sebagai berikut : atau : (2.19) Jika standard deviasi populasi (s) tidak diketahui maka penduga selang untuk µ adalah sebagai berikut :

atau : (2.20)

Dalam penentuan besarnya sampel (n) pada populasi tak terbatas guna memperkirakan parameter (µ ) dengan margin error / batas kesalahan maksimum yang dapat ditolerir sebesar d, dengan menentukan margin error yang dapat ditolerir sebesar d maka dapat ditentukan ukuran sampel dengan perumusan sebagai berikut :

(2.21)

Keterangan : N = jumlah anggota populasi s ² = varians populasi

(1-a) = tingkat kepercayaan yang diinginkan d = Margin error

Estimasi dan ukuran sampel untuk data proporsi

Jika X1, X2, …, Xn merupakan peubah acak yang saling bebas yang berasal dari sebaran Bernoulli (P), sehingga :

(2.22) Di mana :

1. Estimasi titik dan estimasi selang untuk populasi terbatas

Penduga dari proporsi P untuk SRS pada populasi terbatas adalah sebagai berikut :

(2.23)

(2.24)

Jika P tidak diketahui maka digunakan .

Penduga bagi varians proporsi p untuk SRS pada populasi terbatas adalah sebagai berikut : (2.25) 2 2 2 2 d Z n σ α = X X X Z Z X _α σ µ _α σ 2 2 ≤ ≤ + − X V X V X t t X − _α2; σˆ ≤µ ≤ + _{α 2;} σˆ X Z X _α σ 2 ± X V t X ± _α2; σˆ X     = n S X 2 2 ˆ σ n X p X n i i

∑

₌ = = 1

( )

      −       = = n n N n PQ X V _P2 ˆ σ

(

X

)

P E _i =

( )

X PQ V i = P Q = 1 −













−













=

n

n

N

n

pq

P 2 ˆ

ˆ

σ

p

P

ˆ

=

26 (2.26)

Di mana :

X = banyaknya anggota sampel yang masuk dalam kategori yang diteliti.

Selang kepercayaan untuk parameter P jika p adalah proporsi sukses dalam suatu peubah acak berukuran n dan adalah sebagai berikut :

atau (2.27)

Keterangan :

P = proporsi sukses populasi p = proporsi sukses sampel q = 1 - p

a = 1 – (tingkat kepercayaan) = nilai Z (dari table Z)

n = banyaknya anggota sampel

Varians dala m proporsi untuk variabel X dengan nilai 0 atau 1 sebesar PQ, maka untuk menentukan n dalam menduga P varians (s²) diganti dengan PQ, sehingga rumus untuk menentukan ukuran sampel dalam proporsi untuk populasi tak terbatas adalah sebagai berikut :

(2.28)

Keterangan : N = jumlah anggota populasi PQ = varians populasi

(1-a) = tingkat kepercayaan yang diinginkan d = Margin error

2. Estimasi titik dan estimasi selang untuk populasi tak terbatas

Penduga dari proporsi P untuk SRS pada populasi tak ter batas adalah sebagai berikut :

(2.29)

(2.30) Penduga bagi varians proporsi p untuk SRS pada populasi tak terbatas adalah sebagai berikut :

(2.31)

Selang kepercayaan untuk parameter P jika p adalah proporsi sukses dalam suatu peubah acak berukuran n adalah sebagai berikut :

atau (2.32) P P P p Z Z p ˆ 2 ˆ 2 ˆ ˆ σ σ _α α < < + − p Z _Pˆ 2 ˆ σ α ± n X p X n i i

∑

= = = 1

( )

      = = n PQ X V _P2 ˆ σ 2 2 2 2 2 Nd PQ Z PQ NZ n + = α α

n

pq

P

=

2 ˆ

ˆ

σ

P P P p Z Z p ˆ 2 ˆ 2 ˆ ˆ σ σ _α α < < + − p Z _Pˆ 2 ˆ σ α ± 2 α Z

( )

_{ˆ ˆ} 2 . ˆ e p _{p p} s = σ = σ

p

q

=

1

−

27 Keterangan : P = proporsi sukses populasi

p = proporsi sukses sampel q = 1 - p

a = 1 – (tingkat kepercayaan) = nilai Z (dari table Z)

n = banyaknya anggota sampel

Varians dalam proporsi untuk variabel X dengan nilai 0 atau 1 sebesar PQ, maka untuk menentukan n dalam menduga P varians (s²) diganti dengan PQ, sehingga rumus untuk menentukan ukuran sampel dalam proporsi untuk populasi tak terbatas adalah sebagai berikut :

(2.33)

Keterangan : N = jumlah anggota populasi

PQ = varians populasi

(1-a) = tingkat kepercayaan yang diinginkan d = Margin error

III. STRATIFIED RANDOM SAMPLING (SAMPEL ACAK TERSTRATIFIKASI)

Metode pengambilan sampel acak terstratifikasi adalah metode pemilihan sampel dengan cara membagi populasi ke dalam kelompok-kelompok yang homogen yang disebut strata kemudian sampel diambil secara acak dari tiap strata tersebut dan dibuat perkiraan untuk mewakili strata yang bersangkutan. Perkiraan secara menyeluruh (over all estimation) diperoleh secara gabungan. Apabila anggota-anggota populasi tidak bersifat homogen tetapi bisa dikelompokkan dalam kelompok-kelompok yang relatif homogen, maka proses pengambilan sampelnya akan menimbulkan bias karena keheterogenan yang terdapat dalam anggota populasi sehingga berpengaruh terhadap informasi yang diperoleh dari variabel yang diteliti.

Stratified random sampling dapat dibedakan menjadi dua bagian, yaitu : 1) Sampel Terstratifikasi Proporsional (Proportionate Stratified Sampling )

a. Merupakan sampel terstratifikasi dengan populasi dibagi atas kelompok-kelompok yang homogen (Strata). Dari masing-masing kelompok diambil sampel secara proporsional.

b. Ciri dari kelompok sampel : homogen pada satu kelompok, namun sangat berbeda antar kelompok (varian besar).

c. Contoh : Seorang peneliti ingin mengetahui rata -rata pengeluaran per bulan karyawan suatu perusahaan. Untuk mengetahui hal ini, para karyawan dibagi atas latar belakang pendidikan sebagai berikut:

Latar Pendidikan Jumlah Karyawan (Orang)

SD – SMP 100

SMA/ SMK 200

D3/ Akademi/ Politeknik 300 Perguruan Tinggi 100

2) Sampel Terstratifikasi Tidak Proporsional (Disproportionate Stratified Sampling )

2 α Z 2 2 2 d PQ Z n = α

28 a. Merupakan sampel terstratifikasi dengan populasi dibagi atas kelompok-kelompok yang homogen (Strata). Dari masing-masing kelompok diambil sampel namun tidak proporsional.

b. Contoh : Seorang peneliti ingin mengetahui rata -rata pengeluaran per bulan karyawan suatu perusahaan.Untuk mengetahui hal ini, para karyawan dibagi atas latar belakang pendidikan sebagai berikut:

Latar Pendidikan Jumlah Karyawan (Orang)

SD – SMP 10

SMA/ SMK 200

D3/ Akademi/ Politeknik 300 Perguruan Tinggi 50

Pengambilan sampel dengan stratified random sampling

Langkah-langkah penarikan sampel dalam metode Stratified Random Sampling adalah sebagai berikut :

1. Tentukan dasar strarifikasi (strata)

2. Tempatkan setiap anggota dalam populasi pada strata yang sesuai 3. Tentukan ukuran sampel (n)

4. Tentukan jumlah sampel yang harus diambil dari setiap strata

5. Lakukan pengambilan sampel dari setiap strata dengan metode Simple Random Sampling.

Estimasi untuk data yang berasal dari sebaran normal

Peubah acak berdimensi (X1, X2, …, Xn ) merupakan n sampel dari suatu populasi berdistribusi normal dengan rata-rata (µ ) dan varians (s²).

1. Estimasi titik dan estimasi selang untuk populasi terbatas

Pendugaan untuk rata-rata (µ) dengan L merupakan jumlah strata adalah sebagai berikut: (2.34) Di mana :

(2.35)

Rata -rata sampel pada strata ke-h.

Penduga bagi varians untuk stratified random sampling pada populasi terbatas:

(2.36) Di mana :

(2.37)

dengan adalah varians sampel pada strata ke-h.

Penduga selang bagi µ dengan tingkat keyakinan (1-a)100% adalah sebagai berikut : Penentuan besarnya sampel ditentukan oleh tiga hal, yaitu :

(1) Jumlah unit pengamatan tiap strata

h L h h st X N N X

∑

=       = 1 h n j hj h n X X h

∑

= = 1 2 h

S

( )













−

=

=

∑

= h h h h h L h h X st

N

n

N

n

S

N

N

X

V

st 2 1 2 2 2

1

ˆ

σ

(

)

1 2 1 2 − − =

∑

= h n j h hj h n X X S h

29 (2.38) (2) Tingkat variasi atau heterogenitas populasi dari setiap strata

Apabila nilai varians populasi tidak diketahui maka ada beberapa pendekatan yang bisa dilakukan, antara lain sebagai berikut :

Ø Berdasarkan penelitian terdahulu Ø Dilakukan penelitian pendahuluan Ø Menggunakan pendekatan rumus :

(3) Biaya pengambilan sampel per anggota setiap strata.

Jika besarnya sampel acak yaitu nilai n sudah ditentukan maka selanjutnya adalah mengalokasikan n kesetiap strata. Alokasi sampel ke dalam setiap strata dipengaruhi oleh tiga faktor, yaitu :

(1) Banyaknya anggota dalam setiap strata

(2) Tingkat heterogenitas atau variasi dari setiap strata

(3) Biaya untuk memperoleh satu observasi dalam setiap strata.

Pengalokasian sampel kesetiap strata untuk stratified random sampling pada populasi terbatas terbagi menjadi tiga metode, yaitu :

(1) Alokasi Optimum

Metode alokasi optimum dapat digunakan jika bia ya penarikan sampel dan nilai variansnya dianggap berbeda. Rumus untuk alokasi optimum adalah sebagai berikut :

(2.39)

(2.40)

Di mana : n = ukuran (total) sampel N = ukuran (total) populasi Nh = ukuran tiap strata populasi nh = ukura n tiap strata sampel d = kesalahan yang bisa ditolerir

= nilai distribusi normal baku (tabel-Z) pada a tertentu Sh = standard deviasi strata

Ch = biaya setiap unit sampling per strata.

(2) Alokasi Neyman

Metode alokasi neyman dapat digunakan jika biaya penarikan unit sampel tiap strata dianggap sama tetapi nilai variansnya berbeda. Rumus untuk alokasi neyman adalah sebagai berikut : n C S N C S N n h h h h h h h             =

∑

(

)

∑

∑

∑

+         = _{2 2} 2 2 2 2 2 h h h h h h h h S N Z d N C S N C S N Z n α α 2 α Z

(

)

∑

∑

+ = _{2 2} 2 2 2 2 2 2 h h h h S N Z d N S N Z n α α 4 R ≈ σ 2 2 2 2 Xst st Xst st

Z

X

Z

X

−

_α

σ

≤

µ

≤

+

_α

σ

30 (2.41) (2.42)

(3) Alokasi Proporsional

Metode alokasi proporsional dapat digunakan jika biaya penarikan sampel dan nilai variansnya dianggap sama. Rumus untuk alokasi proporsional adalah sebagai berikut :

(2.43)

(2.44) 2. Estimasi titik dan estimasi selang untuk populasi tak terbatas

Penduga bagi varians untuk stratified random sampling pada populasi terbatas

(2.45)

Estimasi untuk data proporsi

Jika X1, X2, …, Xn merupakan peubah acak yang saling bebas yang berasal dari sebaran Bernoulli (P).

1. Estimasi titik dan estimasi selang untuk populasi terbatas

Penduga dari proporsi P dengan L merupakan jumlah strata adalah sebagai berikut:

(2.46)

Di mana : Proporsi sukses pada sampel strata ke -h Jumlah sukses pada strata ke-h

Jumlah sampel pada strata ke-h

Sebagai penduga bagi varians untuk stratified random sampling pada populasi terbatas adalah sebagai berikut :

(2.47)

Penduga selang untuk P dengan tingkat keyakinan (1-a ) adalah sebagai berikut :

(2.48)

Pengalokasian sampel dalam proporsi pada populasi terbatas kesetiap strata terbagi menjadi tiga metode, yaitu :

(1) Alokasi Optimum

Rumus untuk alokasi optimum pada data proporsi adalah sebagai berikut :

h L h h st P N N P

∑

=      = 1









−

=

∑

= h h h L h h h h h P

N

n

N

n

Q

P

N

N

st 1 2 2 2

1

ˆ

σ

st st st P P st

Z

P

P

Z

P

_α

σ

ˆ

_α

σ

ˆ

2 2

+

≤

≤

−

=

h

P

= h P st

P

n S N S N n h h h h h         =

∑

n

N

N

n

h h









=

∑

∑

+ = _{2 2} 2 2 2 2 2 2 h h h h S N Z d N S N NZ n α α h h L h h X

n

S

N

N

st 2 1 2 2 2

1

ˆ

∑

=

=

σ

st

X

31 (2.49)

(2.50)

Di mana : n = ukuran (total) sampel N = ukuran (total) populasi Nh = ukuran tiap strata populasi nh = ukuran tiap strata sampel d = kesalahan yang bisa ditolerir

= nilai distribusi normal baku (tabel-Z) pada a tertentu Ph = Proporsi populasi tiap strata

Qh = 1 - Ph

Ch = biaya setiap unit sampling per strata. (2) Alokasi Neyman

Rumus untuk alokasi optimum pada data proporsi adalah sebagai berikut :

(2.51)

(2.52)

(3) Alokasi Proporsional

Rumus untuk alokasi proporsional pada data proporsi adalah sebagai berikut :

(2.53)

(2.54) 2. Estimasi titik dan estimasi selang untuk populasi tak terbatas

Penduga bagi varians untuk stratified random sampling pada populasi terbatas adalah sebagai berikut :

(2.55)

Relatif Efisiensi (r.e)

n C Q P N C Q P N n h h h h h h h h h             =

∑

n

Q

P

N

Q

P

N

n

h h h h h h h

















=

∑

n N N n h h     =

(

)

∑

∑

∑

+         = h h h h h h h h h h h Q P N Z d N C Q P N C Q P N Z n ₂ 2 2 2 2 2 α α

(

)

∑

∑

+ = h h h h h h Q P N Z d N Q P N Z n ₂ 2 2 2 2 2 2 α α

∑

∑

+ = h h h h h h Q P N Z d N Q P N NZ n ₂ 2 2 2 2 2 α α 2 α Z

∑

=

−

=

L h h h h h P

n

Q

P

N

N

st 1 2 2 2

1

1

ˆ

σ

st P

32 Relatif efisien antara dua metode dapat ditunjukkan dengan r.e = Var(A) / Var(B), jika r.e>1 maka metode B dikatakan lebih efisien sebesar r.e kali dibandingkan dengan metode A.

IV. KESIMPULAN

Banyaknya anggota dalam setiap strata mempengaruhi tingkat ketelitian informasi yang diperoleh dari sampel. Suatu sampel sebanyak 20 anggota dari populasi dengan 200 anggota akan menghasilkan informasi dengan tingkat ketelitian yang lebih tinggi apabila dibandingkan dengan sampel sebanyak 20 anggota dari populasi sejumlah 20000 anggota. Strata dengan banyak anggota lebih baik diambil sampel yang lebih besar daripada strata dengan elemen yang lebih sedikit.

Tingkat variasi atau heterogenitas dari setiap strata perlu diperhatikan. Strata yang sangat heterogen harus diambil sampel yang lebih besar daripada strata yang relatif homogen.

Apabila biaya per anggota atau per observasi berbeda -beda dari strata ke strata maka strata dengan biaya yang tinggi harus diambil sampel yang lebih kecil, dengan demikian akan diperoleh biaya yang minimum.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Supranto J, M.A., Teknik Sampling Untuk Survei & Ekperimen, terbitan ketiga, penerbit PT Rineka Cipta, 2000.

[2] Walpole , R.E., Pengantar Statistika, edisi ketiga, penerbit PT Gramedia Pustaka Utama, Jakarta, 1995.

[3] Sugiarto, Siagian, D, Sunaryanto, L.T, Oetomo, D.S, Teknik Sampling , penerbit PT Gramedia Pustaka Utama, Jakarta, 2003.

[4] Cochran, W.G, Sampling Techniques, 3d ed, John Wiley & Sons, New York, 1977. [5] Situs www.random sampling.com.