Pengenalan Prinsip dan Kategorinya

Teori Antrian

Oleh : Niswatul Qona’ah, S.Si, M.Stat

Istilah dalam Sistem Antrian

• Disebut juga populasi; pelanggan yang datang untuk minta jasa pelayanan. Perhitungan sumber lebih mudah untuk kasus infinite karena biasanya relatif besar. Asumsi umum dari sumber (input) mengikuti proses poisson, dan waktu antar kedatangan ke sistem antrian berdistribusi eksponensial dimana kedatangannya terjadi secara random.

Sumber (Input)

• Disebut juga garis tunggu ; jumlah pelanggan maksimum yang diijinkan untuk menunggu dilayani dalam sistem antrian. Antrian bisa finite atau infinite

Antrian

Istilah dalam Sistem Antrian

• First Come-First Served (FCFS) / First In-First Out (FIFO)

• Prioritas

• Random

• Last In-First Out (LIFO) Disiplin Antrian

• Single server, single phase -> hanya ada 1 server dan setiap pelanggan hanya dilayani 1 kali

• Single server, multi phase -> hanya ada 1 server, setiap pelanggan dilayani lebih dari 1 kali proses pelayanan

• Multi server, single phase -> ada lebih dari 1 server, setiap pelanggan hanya dilayani 1 kali proses pelayanan

• Multi server, multi phase -> ada lebih dari 1 server, setiap pelanggan dilayani lebih dari 1 kali proses pelayanan

Pelayanan

Terminologi dan Notasi

▪

Panjang antrian : jumlah pelanggan yang menunggu untuk dilayani

▪

N(t) : Jumlah pelanggan dalam sistem antrian pada waktu

– t

▪ 𝑷_𝒏 𝒕

: Probabilitas terdapat

n

pelanggan dalam sistem antrian pada waktu

– t

▪ 𝒔

: Jumlah server (fasilitas pelayanan) parallel

▪ 𝝀_𝒏

: Laju kedatangan rata-rata dalam sistem antrian, jika ada

n

pelanggan dalam sistem

(Ekspektasi jumlah kedatangan dalam sistem antrian persatuan waktu). Jika laju

kedatangan konstan untuk setiap

n, maka 𝝀_𝒏 = 𝝀

Terminologi dan Notasi

▪ ^𝟏

𝝀

: Waktu antar kedatangan per satuan waktu yaitu selisih antara kedatangan dengan kedatangan berikutnya

▪ 𝝁_𝒏

: Laju pelayanan rata-rata pada sistem antrian, jika ada

n

pelanggan dalam sistem (Ekspektasi jumlah pelanggan yang dapat dilayani per satuan waktu). Jika laju pelayanan rata-rata setiap server konstan untuk setiap

n, maka 𝝁_𝒏 = 𝝁

▪ ^𝟏

𝝁

: Waktu pelayanan per satuan waktu ; waktu yang digunakan server untuk melayani 1

pelanggan

Terminologi dan Notasi

▪ 𝝆

: Utilitas sistem (kegunaan sistem), besarnya

𝝆 = 𝝀/𝒔𝝁

▪ 𝑳_𝒒

: Panjang antrian; ekspektasi jumlah pelanggan dalam antrian (Rata-rata jumlah pelanggan yang sedang antri)

▪ 𝑳

: Ekspektasi jumlah pelanggan dalam sistem antrian (rata-rata jumlah pelanggan yang sedang antri dan dilayani)

▪ 𝑾

: Ekspektasi waktu menunggu dalam sistem antrian (Rata-rata waktu yang diperlukan dalam antrian dan pelayanan

▪ 𝑾_𝒒

: Ekspektasi waktu menunggu dalam antrian (rata-rata waktu yang diperlukan

untuk menunggu dalam antrian)

Proses Kelahiran dan Kematian

▪ Bentuk kelahiran adalah kedatangan pelanggan baru yang akan masuk sistem antrian.

▪ Bentuk kematian adalah kepergian pelanggan yang sudah dilayani

Terjadi secara random

Asumsi Proses Kelahiran dan Kematian

a. Jika N(t)=n, maka waktu kelahiran dengan kelahiran berikutnya mengikuti distribusi eksponensial dengan parameter 𝜆_𝑛, dimana n=0,1,2,…

b. Jika N(t)=n, maka waktu kematian dengan kematian berikutnya mengikuti distribusi eksponensial dengan parameter 𝜇_𝑛, dimana n=1,2,3,…

c. Pada suatu waktu hanya ada satu kelahiran dan satu kematian saja.

Proses Kelahiran dan Kematian

Diagram rate proses kelahiran dan kematian

Diasumsikan 𝜆₀ = 𝜆₁ = ⋯ = 𝜆_𝑛−1 = 𝜆_𝑛 khususnya untuk laju kedatangan infinite, sedangkan untuk single server diasumsikan 𝜇₁ = 𝜇₂ = ⋯ = 𝜇_𝑛 = 𝜇_𝑛+1

Proses Kelahiran dan Kematian

Prinsip Rate In = Rate Out / Persamaan Balance

𝑃₁: Probabilitas state 1 pindah ke state 0 𝜇₁: laju rata-rata yang masuk ke state 0 𝜇₁𝑃₁: rata-rata kejadian yang masuk ke

state 0

𝑃₀: Probabilitas state 0 pindah ke state 1 𝜆₀: laju rata-rata yang keluar dari state 0 𝜆₀𝑃₀: rata-rata kejadian yang keluar dari

state 0

State Rate In Rate Out Akibatnya

0 𝜇₁𝑃₁ 𝜆₀𝑃₀

𝑃₁ = 𝜆₀ 𝜇₁𝑃₀ 1 𝜆₀𝑃₀ + 𝜇₂𝑃₂ 𝜆₁𝑃₁ + 𝜇₁𝑃₁

𝑃₂ = 𝜆₀𝜆₁ 𝜇₁𝜇₂𝑃₀

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

𝑛 − 1 𝜆_𝑛−2𝑃_𝑛−2 + 𝜇_𝑛𝑃_𝑛 𝜆_𝑛−1𝑃_𝑛−1 + 𝜇_𝑛−1𝑃_𝑛−1

𝑃_𝑛 = 𝜆₀𝜆₁… 𝜆_𝑛−1 𝜇₁𝜇₂… 𝜇_𝑛 𝑃₀ 𝑛 𝜆_𝑛−1𝑃_𝑛−1 + 𝜇_𝑛+1𝑃_𝑛+1 𝜆_𝑛𝑃_𝑛 + 𝜇_𝑛𝑃_𝑛

𝑃_𝑛 = 𝜆₀𝜆₁… 𝜆_𝑛 𝜇₁𝜇₂… 𝜇_𝑛+1𝑃₀

State Rate In Rate Out Akibatnya

0 𝜇₁𝑃₁ 𝜆₀𝑃₀

𝑃₁ = 𝜆₀ 𝜇₁𝑃₀ 1 𝜆₀𝑃₀ + 𝜇₂𝑃₂ 𝜆₁𝑃₁ + 𝜇₁𝑃₁

𝑃₂ = 𝜆₀𝜆₁ 𝜇₁𝜇₂𝑃₀

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

𝑛 − 1 𝜆_𝑛−2𝑃_𝑛−2 + 𝜇_𝑛𝑃_𝑛 𝜆_𝑛−1𝑃_𝑛−1+ 𝜇_𝑛−1𝑃_𝑛−1

𝑃_𝑛 = 𝜆₀𝜆₁… 𝜆_𝑛−1 𝜇₁𝜇₂… 𝜇_𝑛 𝑃₀ 𝑛 𝜆_𝑛−1𝑃_𝑛−1 + 𝜇_𝑛+1𝑃_𝑛+1 𝜆_𝑛𝑃_𝑛 + 𝜇_𝑛𝑃_𝑛

𝑃_𝑛 = 𝜆₀𝜆₁… 𝜆_𝑛 𝜇₁𝜇₂… 𝜇_𝑛+1𝑃₀

Secara umum, 𝑃_𝑛 = 𝐶_𝑛𝑃₀, untuk 𝑛 = 1,2, , … , 𝑛 Dimana, 𝐶_𝑛 = ^{𝜆0𝜆1…𝜆𝑛}

𝜇₁𝜇₂…𝜇_𝑛+1 ,

𝐿 = ෍

𝑛=0

∞

𝑛𝑃_𝑛 𝐿_𝑞 = ෍

𝑛=0

∞

(𝑛 − 𝑠)𝑃_𝑛 𝑊 = 𝐿

ҧ𝜆 𝑊_𝑞 = 𝐿_𝑞

ҧ𝜆 ҧ𝜆 = ෍

𝑛=0

∞

𝜆_𝑛𝑃_𝑛 , sehingga

෍

𝑛=0

∞

𝑃_𝑛 = 1 (1 + σ_𝑛=1^∞ 𝑃_𝑛)𝑃₀ = 1

Akibatnya 𝑃₀ = 1

1 + σ_𝑛=1^∞ 𝑃_𝑛

Model Sistem Antrian dengan Jumlah Server 1 (M/ M/ 1/ I/ I)

(M/ M/ 1/ I/ I)

M → Tingkat kedatangan berdistribusi poisson

M → waktu antar kedatangan berdistribusi eksponensial 1 → jumlah server = 1

I → Populasi Infinite

I → Panjang antrian Infinite

𝜆_𝑛 = 𝜆 untuk 𝑛 = 0,1,2, … 𝜇_𝑛 = 𝜇 untuk 𝑛 = 0,1,2, …

𝜆 𝜆 𝜆 𝜆 𝜆 𝜆

𝜇 𝜇 𝜇 𝜇 𝜇 𝜇

𝜌

𝑃₀ 𝜌 𝜌

𝜌

𝜌 𝜌

𝑃_𝑛 = 𝜆 𝜇

𝑛

𝑃₀ = 𝜌^𝑛𝑃₀

Contoh Soal

Seorang tukang potong rambut, memerlukan rata-rata waktu untuk memotong rambut seorang pelanggan adalah 12 menit, dimana waktu yang diperlukan untuk memotong rambut berdistribusi eksponensial, sedangkan waktu antar kedatangan seorang pelanggan dengan pelanggan berikutnya berdistribusi eksponensial dengan rata-rata 15 menit. Tentukan :

a. Berapa probabilitas tukang potong tersebut menganggur ?

b. Berapa probabilitas ada 2 pelanggan di tempat tukang potong rambut tersebut ? c. Berapa probabilitas ada 2 pelanggan menunggu di tukang potong rambut tersebut ?

d. Berapa waktu yang diperlukan oleh seorang pelanggan harus menunggu untuk dilayani ? e. Berapa waktu yang diperlukan seorang pelanggan di tukang potong rambut tersebut ? f. Berapa rata-rata banyaknya pelanggan yang menunggu untuk dilayani ?

g. Berapa rata-rata banyaknya pelanggan yang berada di tukang potong rambut tersebut ?

Penyelesaian

Diketahui :

1

𝜇 = 12𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡/𝑝𝑙𝑔, 𝜇 = 5𝑝𝑙𝑔/𝑗𝑎𝑚, ¹

𝜆 = 15𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡/𝑝𝑙𝑔, 𝜆 = 4𝑝𝑙𝑔/𝑗𝑎𝑚 a. Berapa probabilitas tukang potong tersebut menganggur ?

𝑃₀ = 1 − 𝜌 = 1 − 𝜆

𝜇 = 1 − 4

5 = 1

5 = 20%

b. Berapa probabilitas ada 2 pelanggan di tempat tukang potong rambut tersebut ?

𝑃₂ = 𝜆 𝜇

2

𝑃₀ = 4 5

2 1

5 = 16

125 = 0,128 c, d, e, f, g silahkan dikerjakan sendiri untuk latihan

Model Sistem Antrian dengan Jumlah Server >1 (M/ M/ s/ I/ I)

(M/ M/ s/ I/ I)

M → Tingkat kedatangan berdistribusi poisson

M → waktu antar kedatangan berdistribusi eksponensial 1 → jumlah server = s

I → Populasi Infinite

I → Panjang antrian Infinite

𝜆_𝑛 = 𝜆 untuk 𝑛 = 0,1,2, … 𝜇_𝑛 = 𝑠𝜇 untuk 𝑛 = 0,1,2, …

𝜆 𝜆 𝜆 𝜆 𝜆 𝜆

𝜇 2𝜇 3𝜇 s𝜇 s𝜇 𝑠𝜇

𝜌

𝜌

𝜌

-1

Soal Latihan

Suatu bank perkreditan melakukan penelitian untuk pelayanan nasabahnya, dimana waktu antar kedatangan berdistribusi eksponensial dengan rata-rata 4 menit pernasabah, waktu yang diperlukan oleh seorang teller untuk melayani nasabah berdistribusi eksponensial dengan rata-rata 6 menit pernasabah. Jika bank tersebut mempunyai 2 teller untuk melayani nasabah, maka tentukan :

a. Probabilitas kedua teller menganggur b. Probabilitas ada teller yang menganggur

c. Rata-rata jumlah nasabah yang menunggu dilayani

d. Rata-rata waktu yang diperlukan nasabah menunggu untuk dilayani e. Rata-rata waktu yang diperlukan nasabah di dalam bank tersebut f. Rata-rata jumlah nasabah di dalam bank tersebut

Model Sistem Antrian dengan Panjang Antrian Finite

Model Sistem Antrian dengan Jumlah Server Satu (M/ M/ 1/ I/ F)

(M/ M/ 1/ I/ F)

M → Tingkat kedatangan berdistribusi poisson

M → waktu antar kedatangan berdistribusi eksponensial 1 → jumlah server = 1

I → Populasi Infinite

F → Panjang antrian finite 𝜆_𝑛 = 𝜆 untuk 𝑛 = 0,1,2, … , 𝐹 − 1

𝜆_𝑛 = 0 untuk 𝑛 ≥ 𝐹

𝜆 𝜆 𝜆 𝜆 𝜆 𝜆

𝜇 𝜇 𝜇 𝜇 𝜇 𝜇

F-2 F-1 F

𝑃_𝑛 = ^𝜆

𝜇

𝑛 𝑃₀ = 𝜌^𝑛𝑃₀; untuk 𝑛 = 1,2, … , 𝐹 𝑃_𝑛 = 0; untuk 𝑛 ≥ 𝐹

𝑃₀ = 1 σ_𝑛=0^𝐹 𝜆ൗ

𝜇

𝑛 = 1 − 𝜌 1 − 𝜌^𝐹+1

𝑃_𝑛 = 1 − 𝜌

1 − 𝜌^𝐹+1 𝜌^𝑛 𝐿 = 𝜌

1 − 𝜌 − 𝐹 + 1 𝜌^𝐹+1 1 − 𝜌^𝐹+1 𝑊 = 𝐿

ҧ𝜆𝐿_𝑞 = 𝐿 − (1 − 𝑃₀) 𝑊_𝑞 = 𝐿_𝑞

ҧ𝜆 ҧ𝜆 = 𝜆(1 − 𝑃_F)

Latihan Soal

Suatu bengkel mobil memiliki ruangan berukuran 10 x 30 meter yang terbagi menjadi 2, yaitu 10 x 8 meter untuk tempat teknisi memperbaiki mobil dan sisanya untuk tempat menunggu mobil-mobil yang akan diperbaiki. Setiap mobil memerlukan tempat 4 x 7 meter untuk tempat partir menunggu dilayani. Mobil yang akan diperbaiki di bengkel tsb dilarang parker di pinggir jalan. Waktu antar kedatangan mobil tersebut berdist eksponensial dengan rata-rata 12 menit per mobil, sedangkan rata-rata kemampuan teknisi memperbaiki mobil 4 mobil per jam. Jika bengkel tsb hanya punya 1 teknisi, berapa :

a. Probabilitas teknisi menganggur

b. Probabilitas mobil yang datang akan balking c. Rata-rata banyaknya mobil di bengkel tsb d. Rata-rata lamanya mobil di bengkel tsb

Model Sistem Antrian dengan Panjang Antrian Finite

Model Sistem Antrian dengan Jumlah Server > 1 (M/ M/ s/ I/ F)

(M/ M/ s/ I/ F)

M → Tingkat kedatangan berdistribusi poisson

M → waktu antar kedatangan berdistribusi eksponensial s → jumlah server = s

I → Populasi Infinite

F → Panjang antrian finite

𝜆_𝑛 = 𝜆 untuk 𝑛 = 0,1,2, … , 𝐹 − 1 𝜆_𝑛 = 0 untuk 𝑛 ≥ 𝐹

𝜆 𝜆 𝜆 𝜆 𝜆 𝜆

𝜇 2𝜇 3𝜇 s𝜇 𝑠𝜇 s𝜇

F-2 F-1 F

𝑃_𝑛 =

𝜆 𝜇

𝑛

𝑃₀

𝑛! ; untuk 𝑛 = 1,2, … , 𝑠 𝑃_𝑛 =

𝜆 𝜇

𝑛

𝑠!𝑠^𝑛−𝑠; untuk 𝑛 = 𝑠, 𝑠 + 1, … , 𝐹

𝑃₀ = 1

σ_𝑛=0^𝑠 𝜆ൗ 𝜇

𝑛

𝑛! + 𝜆ൗ 𝜇

𝑠σ_𝑛=𝑠+1^𝐹 𝜆ൗ 𝑠𝜇

𝑛−𝑠

𝑠!

𝐿_𝑞 = 𝑃₀ 𝜆ൗ

𝜇 𝑠𝜌

𝑠! 1 − 𝜌 ² 1 − 𝜌^𝐹−𝑠 − 𝐹 − 𝑠 𝜌^𝐹−𝑠(1 − 𝜌)

𝑊 = 𝐿

ҧ𝜆𝐿 = σ_𝑛=0^𝑠−1 𝑛𝑃_𝑛 + 𝐿_𝑞 + 𝑠 1 − σ_𝑛=0^𝑠−1 𝑃_𝑛 𝑊_𝑞 = 𝐿_𝑞

ҧ𝜆 ҧ𝜆 = 𝜆(1 − 𝑃_F)

Contoh Soal

Suatu bengkel mobil memiliki ruangan berukuran 10 x 30 meter yang terbagi menjadi 2; 10 x 8 meter untuk tempat teknisi memperbaiki mobil dan sisanya untuk tempat menunggu mobil-mobil yang akan diperbaiki. Setiap mobil memerlukan tempat 4 x 7 meter untuk tempat parker menunggu dilayani. Mobil yang akan diperbaiki di bengkel tsb dilarang parker di pinggir jalan. Waktu antar kedatangan mobil berdistribusi poisson dengan rata- rata 10 menit per mobil, sedangkan rata-rata kemampuan teknisi memperbaiki mobil adalah 4 mobil per jam. Jika bengkel tsb memiliki 2 teknisi, berapa :

a. Probabilitas semua teknisi menganggur b. Probabilitas ada teknisi yang menganggur c. Probabilitas mobil yang datang akan balking

d. Rata-rata banyaknya mobil menunggu di bengkel tsb e. Rata-rata lamanya mobil di bengkel tsb