MATEMATIKA REKAYASA 1
AULIA SITI AISJAH – TEKNIK FISIKA ITS
PERSAMAAN ALJABAR LINIER
PENYELESAIAN DG MET. ELIMINASI GAUSS
Kajian:
1. Metode Eliminasi Gauss Forward 2. Metode Eliminasi Gauss Backward
Capaian Pembelajaran:
•
Mampu menggunakan hukum fisika yang berlaku pada sistem dinamik - dan menyusun nya dalam bentuk persamaan aljabar linier.
•
Mampu menyelesaikan persamaan aljabar linier dengan metode
eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss
Bentuk persamaan matriks A X= C
Dua tahap penyelesaian 1. Forward Elimination
2. Back Substitution
Eliminasi Maju - Forward
−
=
−
−
735 .
0
21 . 96
8 . 106
7 . 0 0
0
56 . 1 8
. 4 0
1 5
25
3 2 1
x x x
=
2 . 279
2 . 177
8 . 106
1 12
144
1 8
64
1 5
25
3 2 1
x x x
Tujuan → membentuk matriks dalam bentuk segitiga atas
Eliminasi Forwad
1 1
3 13 2
12 1
11
x a x a x ... a x b
a + + + +
n n=
2 2
3 23 2
22 1
21
x a x a x ... a x b
a + + + +
n n=
n n
nn n
n
n
x a x a x a x b
a
1 1+
2 2+
3 3+ ... + =
. . . . . .
Ada (n-1) step
Eliminasi forward
Step 1
Untuk pers. brs 2, bagi dengan pers. brs 1 dan kalikan dg
) ...
(
11 1 12 2 13 3 1 111
21
a x a x a x a x b
a a
n
n
=
+ +
+
+
1 11 21 1
11 21 2
12 11
21 1
21
... b
a x a
a a x a
a a x a
a + + +
n n=
a
11a
21Eliminasi Gauss
1 11
21 1
11 21 2
12 11
21 1
21
... b
a x a
a a x a
a a x a
a + + +
n n=
2 2
3 23 2
22 1
21
x a x a x ... a x b
a + + + +
n n=
1 11 21 2
1 11
21 2
2 12
11 21
22
... b
a b a
x a a
a a x
a a
a a
n n
n= −
−
+
+
−
' 2 '
2 2
'
22
x ... a x b
a + +
n n=
Kurangkan dg pers. Brs 2
−
_________________________________________________
or
Eliminasi Gauss
Ulangi prosedur (pd step 1) utk brs – brs berikutnya
1 1
3 13 2
12 1
11
x a x a x ... a x b
a + + + +
n n=
' 2 '
2 3
' 23 2
'
22x a x ... a x b
a + + + n n =
' 3 '
3 3
' 33 2
'
32x a x ... a x b
a + + + n n =
' '
3 '
3 2
'
2 n ... nn n n
n x a x a x b
a + + + =
. . .
. . .
. . .
End - step 1
Step 2
Ulangi cara di step 1 untuk brs ke 3, 4 dst.
Eliminasi Forward
1 1
3 13 2
12 1
11x a x a x
...
a x ba + + + + n n =
' 2 '
2 3
' 23 2
'
22x a x ... a x b
a + + + n n =
"
3
"
3 3
"
33x ... a x b
a + + n n =
"
"
3
"
3 ... nn n n
n x a x b
a + + =
. .
. .
. .
End of Step 2
Eliminasi Forward
Sapai pada step ke (n-1)
' 2 '
2 3
' 23 2
'
22
x a x ... a x b
a + + +
n n=
"
3
"
3 3
"
33
x ... a x b
a + +
n n=
(n−1) n
=
n(
n−1)
nn
x b
a
. .
. .
. .
1 1
3 13 2
12 1
11
x a x a x ... a x b
a + + + +
n n=
End Step (n-1)
Akhir dari step dalam eliminasi – menghasilkan matrik
=
− (n- )
n
"
'
n )
(n nn
"
n
"
' n '
'
n
b b b b
x x x x
a a a
a a
a
a a
a a
1 3 2 1
3 2 1
1 3 33
2 23
22
1 13
12 11
0 0
0 0
0 0
0
Substitusi balik
−
=
−
−
735 .
0
21 .
96 8 . 106
7 . 0 0
0
56 .
1 8
. 4 0
1 5
25
3 2 1
x x x
Untuk menyelesaikan bentuk pers. Matrik di bawah – lakukan secara balik – perlakuan eliminasi
contoh
Substitusi balik
' 2 '
2 3
' 23 2
'
22
x a x ... a x b
a + + +
n n=
"
3
"
3
"
33 x ... a x b
a + +
n n=
(
n−1)
n=
n(
n−1)
nn
x b
a
. .
. .
. .
1 1
3 13
2 12
1
11
x a x a x ... a x b
a + + + +
n n=
Substitusi balik
Mulai dengan persamaan baris terakhir
) 1 (
) 1 (
−
=
n− nn n nn
a
x b
Substitusi balik
( ) ( ) ( ) ( )
( )
... for 1 ,..., 1
1
1 , 2
1 2 , 1
1 1 , 1
−
− =
−
−
= −
−+ −
−+
− +
− +
n a i
x a
x a
x a
x b
iii
n i
n i i
i i i i
i i i i
i i
( ) ( )
( )11
for 1 ,..., 1
1 1
−
=
−
=
= −+−
−
n a i
x a
b
x
iii n
i
j j
i ij i
i i
) 1 (
) 1 (
−
−
=
nnn n n
n
a
x b
contoh 1
Time, Velocity,
5 106.8
8 177.2
12 279.2
Kecepatan ke atas – sebuah roket
Pers. Kecepatan didekati dengan bentuk :
( ) t = a
1t
2+ a
2t + a
3, 5 t 12.
v
Tentukan saat t=6 second → kecepatan roket tsb.
( ) s
t v ( ) m/s
Table 1 Velocity vs. waktu
( )t a t a t a , 5 t 12.
v = 1 2 + 2 + 3
Assume
=
3 2 1
3 2
3
2 2
2
1 2
1
1 1 1
v v v
a a a
t t
t t
t t
3 2 1
Hasil bentuk persamaan matrik, dengan memasukkan data dari Tabel:
Saat t = 5:
=
2 . 279
2 . 177
8 . 106
1 12 144
1 8
64
1 5
25
3 2 1
a a a
=
2 279 1
12 144
2 177 1
8 64
8 106 1
5 25
2 279
2 177
8 106
1 12
144
1 8
64
1 5
25
3 2 1
. . .
. . .
a a a
Lakukan eliminasi dengan forward dan kemudian backward
Bentuk matrik - augmented
=
2 279 1
12 144
2 177 1
8 64
8 106 1
5 25
2 279
2 177
8 106
1 12
144
1 8
64
1 5
25
3 2 1
. . .
. . .
a a a
Bentuk matrik - augmented
Forward Elimination
Jumlah step dalam forward – dapat diperoleh dari orde matrik (orde matrik dalam contoh n =3)
Jumlah step eliminasi forward
(n-1)=(3-1)=2
Step 1
Bagi pers.1 dg 25 dan
Kalikan dg 64, .
2 . 279 1
12 144
2 . 177 1
8 64
8 . 106 1
5 25
.
25 5 1 106.8
2.56 =
64 12.8 2.56 273.408
0 4.8 1.56 96.208
408 .
273
56 . 2 8
. 12 64
177.2
1 8
64
−
−
−
−
−
−
−
2 . 279 1
12 144
208 .
96 56
. 1 8
. 4 0
8 . 106 1
5 25
56 . 25 2
64 =
Kurangkan hasilnya dg pers. 2
Substitusi pers. 2
−
−
−
2 . 279 1
12 144
208 .
96 56
. 1 8
. 4 0
8 . 106 1
5 25
.
25 5 1 106 . 8 5 . 76 = 144 28 . 8 5 . 76 615 . 168
0 16.8 4.76 335.968
168 .
615
76 . 5 8 . 28 144
279.2
1 12
144
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
968 .
335 76
. 4 8
. 16 0
208 .
96 56
. 1 8
. 4 0
8 . 106 1
5 25
Bagi pers.1 dg 25 dan
Kalikan dg 144, .5.76 25
144 =
Kurangkan hasil nya dg pers.3
Substitusi pers baru ke pers. 3
Step 2
0 −4.8 −1.56 −96.208
3.5 =
0 −16.8 −5.46 −336.728
−
−
−
−
−
−
968 .
335 76
. 4 8
. 16 0
208 .
96 56
. 1 8
. 4 0
8 . 106 1
5 25
0 0 0.7 0.76
728 .
336 46
. 5 16.8
0
335.968
76 . 4 16.8
0
−
−
−
−
−
−
−
−
−
76 . 0 7
. 0 0
0
208 .
96 56
. 1 8
. 4 0
8 . 106 1
5 25
Bagi pers. 2 dg −4.8
Dan kalikan dg −16.8, 5.
. 8 3
. 4
8 . 16 =
−
−
Kurangkan hasilnya dg pers. 3
Substitusi pers baru ke pers. 3
Substitusi balik
Substitusi balik
−
=
−
−
−
−
−
76 . 0
208 .
96 8 . 106
7 . 0 0
0
56 . 1 8
. 4 0
1 5
25
7 . 0 7
. 0 0
0
2 . 96 56
. 1 8
. 4 0
8 . 106 1
5 25
3 2 1
a a a
08571 .
1
7 . 0
76 . 0
76 . 0 7
. 0
3 3 3
=
=
=
a a a
Penyelesaian untuk a
3Substitusi balik
Penyelesaian untuk a
26905 19.
4.8
1.08571 1.56
96.208 8 . 4
56 . 1 208 .
96
208 .
96 56
. 1 8
. 4
2 2
3 2
3 2
=
−
+
= −
− +
= −
−
=
−
−
a a a a a a
−
=
−
−
76 . 0
208 .
96 8 . 106
7 . 0 0
0
56 . 1 8
. 4 0
1 5
25
3 2 1
a a a
Substitusi balik
Peny untuk a
1290472 .
0
25
08571 .
1 6905 .
19 5
8 . 106
25 5 8 . 106
8 . 106 5
25
3 2
1 3 2
1
=
−
= −
−
= −
= +
+
a a a
a a
a
−
=
−
−
76 . 0
2 . 96
8 . 106
7 . 0 0
0
56 . 1 8
. 4 0
1 5
25
3 2 1
a a a
Penyelesaian Gauss
=
2 279
2 177
8 106
1 12
144
1 8
64
1 5
25
3 2 1
. .
.
a a a
=
08571 .
1
6905 .
19
290472 .
0
3 2 1
a
a
a
Contoh 1 – diperoleh hasil
( ) ( ) ( )
. m/s 686
. 129
08571 .
1 6
6905 .
19 6
290472 .
0
6
2=
+ +
= v
Vektor dari a
=
08571 .
1
6905 .
19
290472 .
0
3 2 1
a a a
Kecepatan
( )
12 5
, 08571 .
1 6905
. 19 290472
.
0
23 2
2 1
+
+
=
+ +
=
t t
t a t
a t
a t
v
Tugas – dikumpulkan Jam 16.00 (6 Oktober 2020)
Pilih 2 dari 3 soal
Dikerjakan semua
Kerjakan Tugas – sesuai dg Panduan
(4 soal dari 5 soal)
