Persamaan & Pertidaksamaan Nilai Mutlak

s

Persamaan & Per daksamaan Nilai Mutlak

Sulaeman 1 November 2017

g

Tinjauan

Penger an Nilai Mutlak Definisi Nilai Mutlak Persamaan dan Kesamaan Persamaan Nilai Mutlak Per daksamaan

Per daksamaan Nilai Mutlak

n Penger an Nilai Mutlak

Penger an Nilai Mutlak

Nilai mutlakadalah suatu konsep dalam matema ka yang menyatakan su- atu nilai tak nega f. Nilai mutlak dari suatu bilangan real𝑥dilambangkan oleh| 𝑥 |. Secara geometris,| 𝑥 |menggambarkan konsepjarakdari𝑥ke0 pada garis bilangan.

𝑏 𝑎

jarak= 3

jarak= 3 jarak= −𝑏

jarak= 𝑎

−3 −2 −1 0 1 2 3

Tampak bahwa

Jarak𝑥ke0adalah𝑥, jika𝑥 ≥ 0(posi f atau nol) Jarak𝑥ke0adalah−𝑥, jika𝑥 < 0(nega f)

Definisi Nilai Mutlak M

Definisi Nilai Mutlak

Untuk se ap bilangan real𝑥, nilai mutlak dari𝑥dilambangkan oleh

| 𝑥 |dan ditentukan oleh

| 𝑥 | =⎧{

⎨{

⎩

𝑥, jika𝑥 ≥ 0

−𝑥, jika𝑥 < 0

Perha kan gambarannya secara geometris pada garis bilangan.

𝑥 < 0 0 𝑥 > 0

| 𝑥 | = −𝑥 | 𝑥 | = 𝑥

Contoh:

(1) | 3 | = 3

(2) | − 3 | = −(−3) = 3

(3) ∣¹₂∣ = ¹₂ (4) | 0 | = 0 (5) | | − 2 | − | − 6 | | = | 2 − 6 | = | − 4 | = 4

(6) 13+| −1−4 |−3−| −8 | = 13+| −5 |−3−8 = 13+5−3−8 = 7

I Persamaan dan Kesamaan

Persamaan dan Kesamaan

Persamaan (equa on)adalah kalimat matema ka terbuka yang me- nyatakan hubungan sama dengan (=).

Contoh:

2𝑥 − 7 = 3 𝑥²+ 𝑥 − 6 = 0

| 𝑥 + 1 | = 3

Pada ke ga persamaan itu, 𝑥 adalahvariabeldan suku-suku yang dak memuat variabel adalahkonstanta. Pada (1) berlaku hanya un- tuk𝑥 = 5, pada (2) berlaku hanya untuk𝑥 = 2dan𝑥 = 3, dan pada (3) berlaku hanya untuk𝑥 = 2dan𝑥 = −4.

Kesamaan (equality)adalah kalimat matema ka tertutup yang me- nyatakan hubungan sama dengan (=)dan berlaku untuk se ap nilai penggan variabelnya.

Contoh:

(2𝑥 − 1)² = 4𝑥²− 4𝑥 + 1 4𝑥²− 9 = (2𝑥 + 3)(2𝑥 − 3)

∣ | − 3 | + 𝑥 ∣ = | 3 + 𝑥 |

Penyelesaian atauakardari suatu persamaan adalah nilai penggan- dari variabelnya yang memenuhi persamaan itu. Himpunan dari semua penyelesaian itu disebut himpunan penyelesaian (HP).

Suatu persamaan dapat diubah menjadi persamaan lain yang senilai (ekuivalen) dengan menggunakan pengerjaan (operasi) tertentu pada kedua ruasnya. Pengerjaan itu diatur oleh dalil/sifat atau teorema berikut ini.

Dalil 1

Jika𝑃(𝑥),𝑄(𝑥), dan𝑅(𝑥)adalah bentuk-bentuk penyelesai- an dalam𝑥maka untuk se ap nilai𝑥, dengan𝑃(𝑥),𝑄(𝑥), dan 𝑅(𝑥)real, kalimat terbuka𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥)senilai dengan ap-

ap persamaan berikut ini.

𝑃(𝑥) + 𝑅(𝑥) = 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥) (1)

𝑃(𝑥) ⋅ 𝑅(𝑥) = 𝑄(𝑥) ⋅ 𝑅(𝑥) (2)

𝑃(𝑥)

𝑅(𝑥) = 𝑄(𝑥)

𝑅(𝑥), 𝑅(𝑥) ≠ 0 (3)

Tiap persamaan (1), (2), dan (3) disebuttransformasi elementer.

Persamaan Nilai Mutlak b

Persamaan Nilai Mutlak Satu Variabel

Untuk se ap𝑥 ∈ ℝ,√𝑥²real dan dak nega f.

Jika𝑥 ≥ 0maka√𝑥² = 𝑥karena𝑥adalah satu-satunya bilangan yang dak nega f dan kuadratnya sama dengan𝑥².

Jika𝑥 < 0maka√𝑥² = −𝑥, karena(−𝑥) > 0dan(−𝑥)²= 𝑥². Jadi untuk se ap𝑥 ∈ ℝ,

√𝑥²= | 𝑥 | =⎧{

⎨{

⎩

𝑥, jika𝑥 ≥ 0

−𝑥, jika𝑥 < 0

Dalil 2

Untuk se ap𝑥 ∈ ℝberlaku

| 𝑥 | = | − 𝑥 | (4)

| 𝑥 |²= | − 𝑥²| = 𝑥² (5)

Dalil 3

Untuk se ap𝑥 ∈ ℝdan𝑦 ∈ ℝberlaku

| 𝑥𝑦 | = | 𝑥 | ⋅ | 𝑦 | (6)

∣𝑥

𝑦∣ = | 𝑥 |

| 𝑦 | (7)

| 𝑥 − 𝑦 | = | 𝑦 − 𝑥 | (8)

Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari| 𝑥 + 1 | = 2𝑥 − 3 Penyelesaian:

Cara I | 𝑥 + 1 |²= (2𝑥 − 3)² kedua ruas dikuadratkan (𝑥 + 1)²= (2𝑥 − 3)² dalil 2-5

Cara II √(𝑥 + 1)²= 2𝑥 − 3 definisi

(𝑥 + 1)² = (2𝑥 − 3)² (𝑥 + 1)²− (2𝑥 − 3)² = 0

{(𝑥 + 1) − (2𝑥 − 3)}{(𝑥 + 1) + (2𝑥 − 3)} = 0 (𝑥 + 1 − 2𝑥 + 3)(𝑥 + 1 + 2𝑥 − 3) = 0 (−𝑥 + 4)(3𝑥 − 2) = 0

−𝑥 + 4 = 0 atau 3𝑥 − 2 = 0 𝑥 = 4 atau 𝑥 = ²₃

Langkah pertama, kedua ruas dikuadratkan, bukanlahtransformasi elementersehingga kita perlu memeriksa hasil itu pada persamaan semula.

Kita peroleh bahwa𝑥 = ²₃ dak memenuhi.

Jadi HP= {4}.

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari| 𝑥 + 1 | = 3 Penyelesaian:

Cara I Berdasarkandefinisi,

• jika𝑥 + 1 ≥ 0sehingga𝑥 > −1maka 𝑥 + 1 = 3

𝑥 = 2

• jika𝑥 + 1 < 0sehingga𝑥 < −1maka

−(𝑥 + 1) = 3

−𝑥 − 1 = 3

−𝑥 = 4 𝑥 = −4 Jadi HP= {2, −4}.

Cara II

√(𝑥 + 1)² = 3 definisi

(𝑥 + 1)² = 3² kedua ruas dikuadratkan (𝑥 + 1)²− 3² = 0

(𝑥 + 1 − 3)(𝑥 + 1 + 3) = 0 (𝑥 − 2)(𝑥 + 4) = 0 𝑥 − 2 = 0 atau 𝑥 + 4 = 0

𝑥 = 2 atau 𝑥 = −4

Diperiksa pada persamaan semula, kedua nilai𝑥itu memenuhi.

Jadi HP= {2, −4}.

f Per daksamaan

Per daksamaan

Per daksamaan adalah kalimat matema ka terbuka yang menya- takan hubungan dak sama dengan,lebih dari,lebih dari atau sama dengan,kurang dari,kurang dari atau sama dengan.

Contoh:

𝑥 ≠ 𝑦 𝑥 < 𝑦 2𝑥 ≥ 5 𝑥²− 5𝑥 + 6 ≤ 0

| 𝑥 − 1 | > 2

Nilai penggan variabel yang memenuhi suatu per daksamaan di- sebut penyelesaian dari per daksamaan itu, dan himpunan dari se- mua penyelesaian itu disebut himpunan penyelesaian dari per dak- samaan itu.

Sifat-sifat Per daksamaan

Dalil 4

Jika𝑃(𝑥),𝑄(𝑥), dan𝑅(𝑥)adalah bentuk-bentuk penyelesai- an dalam𝑥maka untuk se ap nilai𝑥, dengan𝑃(𝑥),𝑄(𝑥), dan 𝑅(𝑥)real, kalimat terbuka𝑃(𝑥) < 𝑄(𝑥)senilai dengan ap-

ap persamaan berikut ini.

𝑃(𝑥) + 𝑅(𝑥) < 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥) (9)

𝑃(𝑥) ⋅ 𝑅(𝑥) < 𝑄(𝑥) ⋅ 𝑅(𝑥), 𝑅(𝑥) > 0 (10) 𝑃(𝑥)

𝑅(𝑥) < 𝑄(𝑥)

𝑅(𝑥), 𝑅(𝑥) > 0 (11)

𝑃(𝑥) ⋅ 𝑅(𝑥) > 𝑄(𝑥) ⋅ 𝑅(𝑥), 𝑅(𝑥) < 0 (12) 𝑃(𝑥)

𝑅(𝑥) > 𝑄(𝑥)

𝑅(𝑥), 𝑅(𝑥) < 0 (13)

Hal demikian juga berlaku pada𝑃(𝑥) ≤ 𝑄(𝑥).

Per daksamaan Nilai Mutlak n

Per daksamaan Nilai Mutlak Satu Variabel

Dalil 5

Jika𝑥 ∈ ℝ,𝑎 ∈ ℝ, dan𝑎 > 0, maka| 𝑥 | < 𝑎jika dan hanya jika−𝑎 < 𝑥 < 𝑎.

Dalil 6

Jika𝑥 ∈ ℝ,𝑎 ∈ ℝ, dan𝑎 > 0, maka| 𝑥 | > 𝑎jika dan hanya jika𝑥 < −𝑎atau𝑥 > 𝑎.

Contoh 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari| 𝑥 + 1 | < 3 Penyelesaian:

−3 < 𝑥 + 1 < 3 dalil 5

−4 < 𝑥 < 2 ap ruas ditambah oleh−1 Jadi HP= {𝑥 | − 4 < 𝑥 < 2}.

Contoh 4

Tentukan himpunan penyelesaian dari| 𝑥 + 1 | ≥ 3 Penyelesaian:

𝑥 + 1 ≤ −3 atau 𝑥 + 1 ≥ 3 dalil 6 𝑥 ≤ −4 atau 𝑥 ≥ 2

Jadi HP= {𝑥 | 𝑥 ≤ −4atau𝑥 ≥ 2}.

Dalil 7

Untuk se ap𝑥 ∈ ℝ,𝑥 ≤ | 𝑥 |.

Dalil 8

Jika𝑥 ∈ ℝdan𝑦 ∈ ℝmaka (1) | 𝑥 − 𝑦 | ≤ | 𝑥 | + | 𝑦 | (2) | 𝑥 + 𝑦 | ≤ | 𝑥 | + | 𝑦 | Akibatnya,

| 𝑥 − 𝑦 | ≥ ∣ | 𝑥 | − | 𝑦 | ∣

| 𝑥 − 𝑦 | ≤ | 𝑥 − 𝑧 | + | 𝑧 − 𝑦 |

Contoh 5

Tentukan himpunan penyelesaian dari| 𝑥 + 3 | < 2 − 𝑥.

Penyelesaian:

−(2 − 𝑥) < 𝑥 + 3 < 2 − 𝑥 dalil 5 𝑥 − 2 < 𝑥 + 3 < 2 − 𝑥

−2 < 3 dan 2𝑥 < −1

−2 < 3 dan 𝑥 < −¹₂ Jadi HP= {𝑥 | 𝑥 < −¹₂}.

Contoh 6

Tentukan himpunan penyelesaian dari| 3𝑥 + 7 | > | 4𝑥 − 8 | Penyelesaian:

3𝑥 + 7 < −| 4𝑥 − 8 | atau 3𝑥 + 7 > | 4𝑥 − 8 | dalil 6

(1) 3𝑥 + 7 < −| 4𝑥 − 8 |

| 4𝑥 − 8 | < −(3𝑥 + 7)

| 4𝑥 − 8 | < −3𝑥 − 7

−(−3𝑥 − 7) < 4𝑥 − 8 < −3𝑥 − 7 3𝑥 + 7 < 4𝑥 − 8 < −3𝑥 − 7 3𝑥 + 15 < 4𝑥 < −3𝑥 + 1 3𝑥 + 15 < 4𝑥dan4𝑥 < −3𝑥 + 1

−𝑥 < −15dan7𝑥 < 1 𝑥 > 15dan𝑥 < ¹₇

sehingga irisannya adalah∅. ……… (1) (2) 3𝑥 + 7 > | 4𝑥 − 8 |

| 4𝑥 − 8 | < 3𝑥 + 7

−(3𝑥 + 7) < 4𝑥 − 8 < 3𝑥 + 7

−3𝑥 − 7 < 4𝑥 − 8 < 3𝑥 + 7

−3𝑥 + 1 < 4𝑥 < 3𝑥 + 15

−3𝑥 + 1 < 4𝑥dan4𝑥 < 3𝑥 + 15

−7𝑥 < −1dan𝑥 < 15 𝑥 > ¹₇ dan𝑥 < 15

sehingga irisannya adalah{𝑥 |¹₇ < 𝑥 < 15}. ……… (2)

Dari (1) dan (2) kita peroleh HP= {𝑥 |¹₇ < 𝑥 < 15}.

Diberdayakan olehL^ATEX© 2017 Sulaeman, S.Pd. @SMKN 2 Sumbawa Besar

Sekian